Mathématiques 30411B/C Formatif Bloc 1         

12 B – enlève no. 10 à 17, 23, 29 et 30

1. Simplifie les expressions rationnelles suivantes. Indique les restrictions.

a) ^{3 2 2}

3 2

2x 3x 17x 12 4x 12x 16

8x 27 8x 12x 18

     

  

   

     

 

 

32

2 2

2 2

1 2 3 17 12 8 0 0 27

2 5 12 12 18 27

2 5 12 8 12 18

2 4 6 9 x 1 2x 5x 12 2 4x 6x 9 2x 3 4x 6x 9 4 x 3x 4 x 1

   

    





    

 

    

   ^{2x 8 2x 3 }   ^ 

 

/ 2

2x 3   ^4x

²

^{ 6x 9 }  _ ^{2 4x} 

²

^{ 6x 9 } 

   

4 x 4 x 1  

 

 

2 x 4 1 ; x 3 , 4, 1

2 2

4 x 4

    



b) ²

2 2 2 3

b 2 b

a ab  b a a b 2ab b

   

     

   

2

2 2

2

b 2 b

a a b a b b a 2ab b

b 2 b

a a b a b

  

    

  

   b   

   

     

 

2 2

2 2

2

a b a b

b a b 2a a b ba ab b 2a 2ab ab a a b a b a a b a b

2a 2ab b ;a et b 0 et a b a a b

 

       

 

   

 

  



c) ₂ 3 2 ₂ 9

a 3a 3 a  3a 18a 27

   

     

      

   

  

    

 

 

2

2 2

2

2

2

3 2 9

a a 3 a 3 3 a 6a 9

3 2 9

a a 3 a 3 3 a 3 a 3 3 3 a 3 2 3a a 3 9a

3a a 3 a 3

9a 27 6a 18a 9a 6a 18a 9 3a a 3 a 3 3a a 3

3 2a 3a 3

; x 0, 3 3a a 3

  

    

 

    

     

  

     

 

  

 

 



2. La règle

v

E 10e 4095 10 donne la quantité E d’énergie en (Mj) dégagée sous forme de chaleur lorsqu’une plaquette de frein est appuyée sur un disque qui tourne à une vitesse v (en tours/min).

a) Quelle est la quantité d’énergie dégagée lorsque la plaquette de frein est appuyée sur un disque qui tourne à une vitesse de 5400 tours/min ?

V 4095 5400

4095

E 10e 10

E 10e 10 27, 28Mj

 

  

b) Établissez la règle qui permet d’exprimer la vitesse de rotation du disque en fonction de la quantité d’énergie dégagée.

V

E 10 e4095

10E 10 V ln 10 4095

4095 ln E 10 V 10

 

  

  

 

 

 

  

  

 

 

 

3. Simplifie l’expression rationnelle suivante. Indique les restrictions.

2

2 2 3 2

10 5m 2m 6 m 3m 2

m 4 m 7m 12 m  5m 2m 8

     

 

5 m 2

 



^{m 2}

  

^{2 m 3}

 

m 2

 





^{m 4 m 3}

 

^



_



^{m 1}

  

   

m2 6m 8 m 2 m 1

 

 



^{m 25}

 

^{m 42}



 

 



^{m 4}





 

 

 

   

m 2 m 2

5 2 m 2 5 2m 4 2m 1 ;m 2, 2, 4,3, 1 m 2 m 2 m 2





       

     

  

4. Trace le graphique de la fonction y 2 log₂ x 1 4 3

  

 

   

 

 

 

2

2

2

0 2 log 1 x 1 4 31

2 log x 1 13

2 x 1

1 33 x 1

4 7 7

x ; , 0 4 4



 

 

    

 

 

    

  

   

 

  

  

 

 

2

2

y 2 log 1 2 1 4 3

y 2 log 1 4 3

y 0,83; 2; 0,83

 

 

     

  

     

   

5. Soient log b_a  0, 25 et log c_a  1, 37 a) Évalue log bc_a ² 2 log_a a

 b

     

a a a a

log b 2 log c 2 log a 2 log b 0, 25 2 1, 37 2 1 2 0, 25

3,99

   

    

 

b) Si 𝑎 > 1, quel nombre parmi b ou c est plus grand? Explique.

20,25

log b 0, 25

2 b

b 1, 19







2 1,37

log c 1, 37

2 c

c 0, 39



 



 b est donc plus grand que c.

6. Identifie les courbes suivantes avec la lettre correspondante.

7. Trace la courbe de ^{g x}

 

^{ 2 log x3}



^2



^1 . Identifie le domaine, l’image, le point min ou max, la(les) racine(s), l’ordonnée à l’origine, les signes, la variation.

 

 

 

21

3

3

A.V. x 2 0 2 log x 2 1

1 log x 2 23 x 2 x 1, 42; 1, 42; 0



  

   

  

 

  

   

   

g 0 2 log 0 23 1 g 0 2, 26

0; 2, 26

   

 



8. Identifie le graphique qui représente le mieux chacune des fonctions.

a) y = 3^x 2

b) y = log2 x 3 c) y = log1/3x 4 d) y = (0,1)^x 1

9. Représente graphiquement la fonction ^{f x}

 

^{ 3log 2x 62}



^



^2. Indique le domaine et l’image ainsi que l’intervalle de croissance et décroissance.

 

 

 

 

 

32

2

2

A.V. x 3

0 3log 2 x 3 2 2 log 2 x 3 3 2 2x 6 x 2, 69; 2, 69; 0



  

   

  

 

  

     

   

f 0 3log 2 0 32 2 f 0 9,75

0; 9,75

   

 



10. Résous pour x.

a) log₄ ³2  x b) 2^{x 2} 5^{x c)} 3_{3x 4}^{x 1} 27^{x 5} 9

 

 

13

log 24 x log 2

1 x

3 log 4 x 0, 167







 

x 2 x

log 2 log 5 x 2 log 2 x log 5 0, 3010x 0, 6020 0, 699x

0, 3980x 0, 6020 x 1, 51

 

 

 





 

₂^{x 13x 4}

 

^{3 x 5}

x 1 6x 8 3x 15

3 3

3

3 3

5x 9 3x 15 8x 24

x 3

 



   





   

  

 11. Le césium 144 est l’un des produits d’une explosion nucléaire. S’il ne reste que

64

1 de la quantité initiale au bout de 846 jours, quelle est la demi-vie du césium 144 ?

t 846 j M 1 C C C64 x 1

2









 

^dt

846 d

6 846

d

M C x 1 C C 1

64 2

1 1

2 2

6 846

d 141 joursd



  

    

   

   

   

   

 

   





La demi-vie du césium est de 141 jours.

12. Soit un angle A tel que sec A 7

 5 Détermine toutes les valeurs possibles de tanA.

1 7

cos A 5 cos A 5

7





2 2 2

2 2

7 5 y

49 25 y y 24

y 24 2 6

 

 



   

tan A 2 6 5

 

13. Évalue les expressions suivantes.

a) cos5 tan 420^o

4  ^b) cos7 sec²⁷ 6

 

 

^o o

o o

5 180

cos tan 420 cos 2254 tan 420

2 3

2





 

2 o

2

cos7 cos 210 1 3

2 4 3

 

 

 

  



14. Soit l’angle 32 7

   mesuré en position standard.

a) Détermine l’angle co-terminal principal de θ.

32 2 18

7 7

18 2 4

7 7

   

    

b) Dans quel quadrant se situe le côté terminal de l’angle θ?

2^e quadrant

c) Détermine l’angle l’expression de tous les angles co-terminaux de θ.

4 2 k;k N 7   

d) Convertis θ en degrés.

o o

32 x 7 180 x 822,86

 

 



15. Si log 5₇  x^{, évalue} log 250 log 10 log 49₇  ₇  ₇ en fonction de x.

2 2

7

7 7

5 10 7 log 10 2 log 5 2 log 7

2x 2

 



 16. Évalue.

a) log5 200 + log5 



 



 8

1 b) log8 √36 - log8 3 + 5log8 2

log 255  2 log₈^{6 32} log 64₈ 2 3

  

17. Le graphique de P(x)= 2x³ - 5x² - 4x + 3 est représenté ci-contre. Selon son graphique donne les facteurs de P(x).



x 1 2x 1 x 3











18. Le produit de quatre nombres entiers est x⁴ + 6x³ + 11x² + 6x, où x est un des nombres entiers. Quelles sont des expressions possibles des trois autres nombres entiers?

 

   

   

3 2

2

x x 6x 11x 6 x x 1 x 5x 6 x x 1 x 3 x 2

  

   

   

1 1 6 11 6 1 5 6 1 5 6

19. On divise le polynôme P(x) = 5x³ + mx² – nx - 13 par x + 2, le reste est 7. Si on divise ce même polynôme par 3x - 5, le reste est . Quelles sont les valeurs de m et n?

   

³

 

²

P 2 5 2 m 2 2n 13 7 40 4m 2n 13 7

4m 2n 60 2m n 30 n 30 2m

       

    

 

 

 

 

75m 45 30 2m 465 75m 1350 90m 465

165m 1815 m 11

  

  





3 2

5 5 5 5 739

P 5 m n 13

3 3 3 3 27

125 25 5 739

5 m n 13

27 9 3 27

625 75m 45n 351 739 75m 45n 465

     

         

     

     

  

     

 

     

 

 

 

   

 

^{n 30 2 11}

 

n 8

 

