TD 25 - Sciences Industrielles pour l'Ingénieur Lycée Fermat Toulouse - CPGE MPSI/PCSI
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Frein à disque - Corrigé
Q.1. On isole le disque 2 et on effectue le Bilan de Actions Mécaniques Extérieures (B.A.M.E.) On utilise le théorème de la résultante statique que l’on projette sur l’axe zr
: 0
S . p
N+ =
− avec S r.dr.d d . R r.dr .(r22 r12)
R 2 0 )
S (
2 1
− α
= θ
= θ
=
∫ ∫
α∫
soit p NS .(rN r2)1 2
2 −
=α
=
Q.2. Définition de l’action mécanique élémentaire et du modèle local.
Par définition on a :
{ }
∧
=
=
=
∫
∫
→
→
→
→
→
) S (
1 2 )
1 2 ( O
) S (
1 2 1 2
O 1
2 M OM dF
F d R
F r
r
avec dFr2→1=
[
fn(M).nr(M)+ft(M).tr(M)]
.dSO zr
yr A
(S) xr
err
A θ fn(M)
) M ( ft
erθ
A r
Disque 1 M
O
zr e
) M ( fn
r M er A
• On suppose que la pression de contact de 2 sur 1 est uniforme soit fn(M)=−p(M)=−p.
• Le vecteur normal au plan tangent commun à 2 et 1 sortant de la matière de 1 est zr
soit nr(M) zr0
=
• Il y a du glissement en M entre 2 et 1 et puisque l’on calcule les efforts de 2 sur 1, on a donc
2 / 1 , M
2 / 1 , M
V ) V M (
t =−
r
avec VM,1/2 =VM,1/0 car 2 est solidaire de 0 lors du freinage.
θ θ
= θ
∧
−
= Ω
∧ +
=
=V V MO r.e .z r. .e
VM,1/2 M,1/0 O,1/0 1/0 rr &10r0 &10r
soit tr(M)=−erθ
si θ&10>0
• L’existence du glissement induit que ft(M) est sur le cône de frottement soit ft(M)=f.fn(M) Au final l’action mécanique élémentaire s’écrit : dFr2→1=(−p.zr+f.p.erθ).dS
Et le modèle local :
{ }
+
−
∧
=
+
−
=
=
∫
∫
θ
→
θ
→
→
) S ( ) 1 2 ( O
) S ( 1 2
O 1
2 M OM ( p.z f.p.e ).dS
dS ).
e . p . f z . p ( R
F r r
r r
Q.3. Définition du modèle global.
On intègre le modèle local sur la surface (S)
∫
θ→ = − +
) S ( 1
2 ( p.z f.p.e ).dS
R r r
avec dS=r.dr.dθ et er sin .xr cos .yr θ + θ
−
θ =
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∫
∫
∫
∫
∫
θ + θ − θ + θ =− θ + + θ θ−
= α
α
→ −
) S ( r
r )
S ( )
S ( 1
2 p. r.dr.d .z p.f. r.dr.d .( sin .x cos .y) p.z. d . r.dr 0 p.f. r.cos .dr.d .y
R 2
1
r r r
r r
r
) y . sin . f z . ).(
r r .(
p y . sin . 2 2 .
r .r f . p z 2 .
r .r . 2 . p
R 22 12
2 1 2 2 2
1 2 2 1
2
r r
r
r+ − α = − −α + α
α −
−
→ =
Soit : R2 1 p.(r22 r12).( .rz f.sin .yr) α + α
−
−
→ =
∫
∫
∫
∧ − + = + ∧ − + = + −= θ θ θ
→
) S (
r )
S (
r )
S ( ) 1 2 (
O OM ( p.z f.p.e ).dS (r.e e.z) ( p.z f.p.e ).dS (r.p.e f.r.p.z f.e.p.e ).dS
M r r r r r r r r r
∫
∫
∫
∫
∫
∫
−αα −αα −αα→ = − θ + θ θ + θ − θ + θ θ 2
1 2
1 2
1
r r r
r r 2
r 2 )
1 2 (
O p. ( sin .x cos .y).d . r .dr f.p.z. d . r .dr f.e.p. (cos .x sin .y)d . r.dr
M r r r r r
x 2 .
r .r sin 2 . p . e . f z 3 .
r .r 2 . p . f y 3 .
r .r sin 2 . p M
2 1 2 2 3
1 3 2 3
1 3 2 )
1 2 ( O
r r
r+ α − − α −
α −
→ =
) z . . f y . ).(sin r r .(
p 3. x 2 ).
r r .(
sin . p . e . f
MO(2 1) 22 12 r 23 13 r r
α + α
− +
− α
−
→ =
Seule la composante suivant zr
participe au couple de freinage soit : .f.p. .(r r ) 3
z 2 .
MO(2→1)r= α 23− 13
Sachant que
) r r .(
p N 2
1 2
2 −
=α et .f.p. .(r r ) 3
C 2 z .
MO(2→1)r= 0 = α 23− 13
Le couple de freinage global CF exercé par le bloc de freinage sur la jante de la roue correspond au couple C0
multiplié par le nombre de surfaces en contact (ici 2).
0 F 2.C
C = soit :
) r r (
) r r .( N . f 3.
M 4 2
1 2 2
3 1 3 2 global
−
= −
Q.4. Le frottement entre les éléments en contact génère une perte énergétique sous forme de chaleur qui entraine l’échauffement des éléments en contact → ces soluAons construcAves permeBent d’améliorer l’échange de chaleur avec l’air ambiant pour baisser la température des éléments de friction.
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Système de freinage d’un TGV DUPLEX - Corrigé
Schéma cinématique du dispositif de freinage Q.1. On définit le modèle local.
O zr
yr A
dS
xr
Disque
dN dT
dC ρ
Définition de l’effort normal élémentaire : ρ
⋅ θ
⋅ ρ
⋅
=
=pds p d d
dN avec p⋅ρ=cte
Définition de l’effort tangentiel élémentaire en phase de glissement : ρ
⋅ θ
⋅ ρ
⋅
⋅
=
⋅
=f dN f p d d
dT avec p⋅ρ=cte
Définition du couple élémentaire : ρ
⋅ θ
⋅ ρ
⋅
⋅
⋅ ρ
=
⋅ ρ
= dT f p d d
dC avec p⋅ρ=cte
Intégration :
∫ ∫ ∫
θθ
ρ
⋅ θ
⋅ ρ ρ
=
= 2
1 2
1
R
R )
S (
d d . . p . f dC C
Soit :
2 R p R
f C
2 1 2 2−
⋅ α
⋅ ρ
⋅
⋅
= par face de disque. (α = θ2 – θ1).
Q.2. On a F dN p d d p (R2 R1)
R
R ) S (
2
1 2
1
−
⋅ α
⋅ ρ
⋅
= ρ
⋅ θ
⋅ ρ
⋅
=
=
∫ ∫ ∫
θθ
Q.3. 10 15223,6N
2 310 610 50 180
10 163 , 1 F
F1 2 5 × 3=
−
π ×
×
×
×
=
= −
Q.4. Le théorème du moment statique écrit en C2 projeté sur xr
donne directement : 0
F . D C F . C
B2 2 2 + 2 2 v = → c.F2 =c.Fv → Fv = F2 =15223,6N< 29 kN → C.d.C.F. ok.
Q.5. Les biellettes 1 et 2 servent à s’opposer à l’effort disque / garniture suivant xr
et soulagent ainsi les liaisons pivot en C1 et C2. Elles servent aussi à encaisser le poids de la garniture.
Q.6. Frein rhéostatique qui consiste à faire fonctionner les moteurs en générateurs et à charger le générateur en lui faisant fournir de l’énergie à un récepteur (réseau ou résistances). Frein à courants de Foucault, en utilisant les courants induit sur un disque ou sur le rail.
