1 Diffusion normale

Regards Croisés Mathématiques & Physique Bloc 2 : Processus de diffusion

Lucie Le Briquer 18 décembre 2017

Table des matières

1 Diffusion normale 1

1.1 Théorème Central Limite. . . 2

1.2 Marches aléatoires . . . 3

1.3 Paul Langevin (1907). . . 4

1.4 Forme générale . . . 4

2 Diffusion anormale 5

3 Diffusion et mouvement brownien : applications 11

Robert Brown 1827-1828 : observe le mouvement aléatoire de micro-plantes dans l’eau, conclut à une origine non biologique → mouvement brownien/diffusion. Il faut attendre 1905 pour qu’Albert Einsteindonne une interprétation physique et mathématique.

“grosse” molécule (∼µm) entourée de petites molécules d’eau (en 1905 la théorie atomiste n’est pas encore acceptée pleinement !).N = 6.10²³mol : dans 18 grammes d’eau, il y a10²⁵ molécules d’eau. La mécanique classique est impraticable, même si le système obéit de manière déterministe aux lois de Newton. Incapacité à résoudre10²⁰ équations et à mesurer10²⁰ conditions initiales en position/vitesse.

1 Diffusion normale

Les molécules d’eau rebondissent contre la grosse molécule en lui transmettant une impulsion, en moyenne nulle, mais qui peut-être localement (en temps) non-nulle →ξk variable aléatoire décrivant le mouvement résultant à l’instantk.Xtposition de la particule au tempst(on réduit à une dimension pour l’instant).

Xt=

n=t/τ

X

k=1

ξk

où ξ v.a., Xt v.a. et n 1. La densité de probabilité : p(x1, x2, ..., xn)dx1...dxn = P{ξ1 ∈ (x1, x1+dx1), ...}

Dans sa forme la plus générale, cette description ne sert pas à grand chose, car il faut obtenirp pourn1.

Hypothèses (Einstein)

1. Indépendance deξk :p(x1, ..., xn) =p1(x1)...pn(xn) 2. Stationnarité :pk(x) =p(x), ainsi :

p(x1, ..., xn) =p(x1)...p(xn)

3. Variance finie : Var{ξk}=σ²<+∞

De manière générale on peut toujours trouver des preuves physiques à l’une des hypothèses est fausse. L’indépendance se gère en en jouant sur τ : on prend le “temps de décorrélation”

(τ∼ps= 10⁻¹²sdans une solution aqueuse).

La stationnarité dépend du temps d’observation.

E{Xt}=

n

X

k=1

E{ξk}

| {z }

a

=na= a τ

|{z}v

t=vt= 0

On fait l’hypothèse supplémentaire qu’il n’y a pas de courant cohérent (a = 0 ⇒ v = 0).

Hypothèse faible on généralise facilement.

E{X_t²}=E







n

X

k=1

ξ_k

!²





=E







n

X

k=1

ξ_k²+

n

X

k=1

X

j6=i

ξ_kξ_i







=nσ²= 2t

2τσ²= 2Dt

On note doncD=^σ_2τ² qui représente le coefficient de diffusion.

p

E(X_t²) =√

2Dt: la distance est proportionnelle à la racine carrée du temps ce qui est typique des phénomènes diffusifs.

1.1 Théorème Central Limite.

P(X, t) = expÄ

−_2Var{X^X2

t}

ä

p2πVar{Xt} = expÄ

−_4DT^X2 ä

√2πDt

(comportement asymptotique). Densité de probabilité deX˜t=^√Xt

2Dt pour n1.

1. R+∞

−∞ P(x, t)dx= 1 2. E{Xt}=R+∞

−∞ xP(x, t)dx= 0etE{X_t²}=R+∞

−∞ x²P(x, t)dx= 2Dt 3. P(X, t)−−−→

t→0 δ(X)distribution de Dirac

4. La densité gaussienne vérifie l’équation de diffusion:

® _∂

∂tP(X, t) =D_∂x^∂2₂P(X, t) P(X, t₀) =δ(X)

5. Si on change le problème en :

® _∂

∂tu(x, t) =D_∂x^∂22u(x, t) u(x,0) =u0(x)

La solution est :

u(x, t) = Z +∞

−∞

u0(x)p(x−x0, t)dx0

Ent= 0 u(x,0) =

Z +∞

−∞

u₀(x)p(x−x₀,0)dx₀= Z +∞

−∞

u₀(x)δ(x−x₀)dx₀=u₀(x)

6. Généralisation àddimensions.d= 2

P(x1, . . . , xd, t) =p(x1, t). . . p(xd, t) = Å 1

4πDt ã^d₂

exp Å

−x²₁+. . .+x²_d 4Dt

ã

∂

∂tP(~r, t) =

d

X

i,j=1

∂²

∂x_i∂x_jDijP(~r, t) Propriété 1(de la densité gaussienne)

Remarque.On a ∀α >0:

Z +∞

−∞

e^−αx2dx=

…π α

1.2 Marches aléatoires

• • • • • • •

−3 −2 −1 0 1 2 3

1/2 1/2

• • •

m−1 m m+ 1 1/2 1/2

P_n+1(m) = 1

2P_n(m−1) +1

2P_n(m+ 1)

P_n+1(m)−P_n(m) τ

| {z }

∂

∂tP(X,t)

= σ²(P_n(m−1) +P_n(m+ 1)−2P_n(m))

2τ σ² =DP_n(m−1) +P_n(m+ 1)−2P_n(m)) σ²

| {z }

∂2

∂x2

∂

∂tf = lim

τ→0

f(t+τ)−f(t) τ

∂²f

∂x² = lim

σ→0

f(x+σ) +f(x−σ)−2f(x) σ²

1.3 Paul Langevin (1907)

m¨x= −γx˙

| {z }

force de friction

+ F(t)

| {z }

aléatoire

Hypothèses sur la force thermique.

1. F(t)est distribuée par une loi gaussienne

2. E{F(t)}= 0 E{F(t)F(t⁰)}=C(t, t⁰) =Aδ(t−t⁰) Si on néglige l’inertie (m¨x= 0), alors0 =−γx˙+F(t)d’où :

dx

dt =F(t)

γ x(t) =

Z t 0

F(t⁰) γ dt⁰ ≈

t/τ

X

k=1

F(kτ) γ τ

| {z }

ξ_k

équivalent à la description d’Einstein en l’abscence d’autres forces.

1.4 Forme générale

dx

dt =F_ext(x(t), t) γ +F(t)

t t dXt=Fext(x(t), t)

γ

| {z }

=µ

dt+F(t) γ dt

| {z }

=σdWt

=µ(X(t), t)dt+σ(X(t), t)dWt

Remarque.(équation de Fokker-Planck)







∂P

∂t =D∆P−_∂x^∂ Ä_F

ext

γ Pä P(x,0) =δ(x)

Si on ne néglige plus l’inertie (particules massives) : m¨x=−γx˙+F(t) ⇔

ß x˙ =v

mv˙ =−γv+F(t)

∂P

∂t =−∂

∂_kP+ γ m

∂

∂vP+ 1 m

∂²

∂v²P

2 Diffusion anormale

On s’intéresse désormais à des marches aléatoires à temps continu (CTRW).

Modèle.

• ξ1, ..., ξk : déplacements aléatoires qui durent un temps aléatoire :

• τ₁, ..., τ_n : temps d’attente aléatoire (correspondant à la durée entre chaque collision)

X(t) =

N(t)

X

k=1

ξk est la position au tempst etN(t)le nombre de déplacements avant le tempst

Hypothèses.

• indépendance :ξksont indépendants,τk sont indépendants, et indépendance entre les deux

• stationnarité : p(x)densité de probabilité pourξk,ψ(t)densité de probabilité pourτk

On cherche à déterminerP(x, t).

P(x, t) =p0(x)η0(t) +p1(x)η1(t) +p2(x)η2(t) +p3(x)η3(t) +...

oùp_k(x)est la densité de probabilité de déplacement enxenksauts.

oùη_k(t)est la probabilité de faire ksauts avant le tempst. Cela se réécrit :

P(x, t) =

+∞

X

n=0

pn(x)ηn(t)

Comme arriver enxaprèsnsauts correspond à arriver enx⁰aprèsn−1sauts puis faire la suite en1saut, les deux étant indépendants, on a :

p_n(x) = Z +∞

−∞

p_n−1(x⁰)p(x−x⁰)dx⁰

On introduit la transformée de Fourier : ˆ pn(k) =

Z +∞

−∞

e^ikxpn(x)dx

On obtient alors la relation ˆ

pn(k) = ˆpn−1(k) = ˆp(k) = (ˆp(k))ⁿ

Définissons :

• η_n(t): la probabilité de fairendéplacements avant le tempst

• ψ_n(t): la densité de probabilité de faire len-ième déplacement en tempst

Alors :

ηn(t) = Z t

0

ψn(t⁰)η0(t−t⁰)dt⁰

Car une fois que l’on a fait n déplacements au temps t⁰ il ne faut pas se déplacer à nouveau pendant le temps restant. Par un raisonnement similaire :

ψn(t) = Z t

0

ψ_n−1(t⁰)ψ(t−t⁰)dt⁰

On définit la transformée de Laplace : f˜(s) =

Z +∞

0

f(t)e^−tsdt

On réécrit la relation :

ψ˜n(s) = ˜ψn−1(t) ˜ψ(s) = ( ˜ψ(s))ⁿ

Et :

η₀(t) = Z +∞

t

ψ(t⁰)dt⁰ = 1− Z t

0

ψ(t⁰)dt⁰

Donc,

˜

η₀(s) = 1

s−ψ(t)˜ 1 s

CalculonsPˆ˜(k, s).

ˆ˜

P(k, s) = Z +∞

−∞

e^ikx

ÇZ +∞

0

e^−tsP(x, t)dt å

dx

=

+∞

X

n=0

ˆ

pn(k)˜ηn(s)

=

+∞

X

n=0

(ˆp(k))ⁿ( ˜ψ(s))ⁿ1−ψ(s)˜ s

=1−ψ(s)˜

s × 1

1−p(k) ˜ˆ ψ(s)

On s’intéresse au comportement lorsque x −→ +∞ (⇔ k −→ 0) et t −→ +∞ (⇔ s −→ 0).

Regardons tout d’abordp(k)ˆ lorsquek−→0.

ˆ p(k) =

Z +∞

−∞

e^ikxp(x)dx= Z +∞

−∞

Å

1 +ikx−k²x² 2 +...

ã dx

= 1 +ik Z +∞

−∞

xp(x)dx

| {z }

E[ξ]=0

−k² 2

Z +∞

−∞

x²p(x)dx

| {z }

E[ξ²_n]=σ²

+...

≈1−k²σ² 2 +...

D’un autre côté,

ψ(s) =˜ Z +∞

0

e^−tsψ(t)dt= Z +∞

0

(1−ts+...)ψ(t)dt

= 1−s Z +∞

0

tψ(t)dt

| {z }

E[τn]=τ

+...

= 1−sτ+...

Alors, ˆ˜

P(k, s)≈(τ+...) 1 1−Ä

1−^k2₂^σ2ä

(1−sτ+...)

= τ

k²σ²

2 +sτ+... ≈ 1 s+ σ²

2τ

|{z}

=D

k² +...

D’où :

ˆ˜

P(k, s)≈ 1 s+Dk² On vérifie facilement queL⁻¹{Pˆ˜(k, s)}=e^−Dk2t. Ainsi,

P(x, t) =F⁻¹L⁻¹(Pˆ˜(k, s)) =F⁻¹{e^−Dk2t}= Z +∞

−∞

1

2πe^−ikxe^−Dk2tdk= expÄ

−_4Dt^x2 ä

√ 4πDt

On retrouve la même expression que dans le cas de la diffusion normale. Le comportement macroscopique est identique.

Reprenons l’expression trouvée :

sPˆ˜(k, s) +Dk²Pˆ˜(k, s) = 1 on en déduit sP˜(x, s)−D ∂²

∂x²

P˜(x, s) =δ(x)

Finalement en appliquantL⁻¹,







∂

∂tP(x, t) =D_∂x^∂22P(x, t) P(x, t= 0) =δ(x)

Où se trouve l’“anormalité” de cette diffusion ? Il y a quatre cas possibles :

σ²<+∞etτ <+∞ σ²= +∞et τ <+∞

classique (1)

σ²<+∞etτ= +∞ σ²= +∞et τ= +∞

(2) (3)

(1):

σ²= Z +∞

−∞

x²p(x)dx= +∞

p(x) ∼

|x|→+∞

A

|x|^1+β 0< β <2

Exemple.(distribution de Cauchy)

p(x) = a π(x²+a²)

On a bien :

Z +∞

−∞

p(x)dx= 1

Z +∞

−∞

xp(x)

| {z }

impaire

dx= 0

Z +∞

∞

x²p(x)dx= +∞

Dans le cas d’une variance infinie, l’expression dep(k)ˆ n’est plus valable, reprenons le calcul : ˆ

p(k) = Z +∞

−∞

e^ikxp(x)dx= 1− Z +∞

−∞

(1−e^ikx)p(x)dx

=

x⁰=kx1−1 k

Z +∞

−∞

(1−e^ix)px k

dx

≈1−1 k

Z +∞

−∞

(1−e^ix) A

|x/k|^1+βdx+... (∗)

= 1− |k|^β Z +∞

−∞

(1−e^ix) A

|x|^1+βdx

| {z }

constante ^aβ₂

+...

= 1−|k|^βa^β 2 +...

(∗)La justification se fait en séparant l’intégraleR−y

−∞..+Ry

−y+..+R+∞

y . On arrive à montrer que Ry

−y est négligeable par rapport aux deux autres et pour y →+∞ on peut utiliser l’expression asymptotique dep(.).

On obtient alors : ˆ˜

P(k, s) = 1 s+|k|^β a^β

2τ

|{z}

D_β L⁻¹

⇒ P(k, t) =˜ e^{−Dβ|k|βt F}

−1

⇒ P(x, t) = Z +∞

−∞

1

2πe^−ikxe^−Dβ|k|βtdk

P(x, t)est une distribution de Lévy.

Comme précédemment appliquons les transformées inverses. On a : sPˆ˜(k, s) +D_β|k|^βPˆ˜(k, s) = 1

F⁻¹

⇒ sP(x, s) +˜ D_βF⁻¹{|k|^βPˆ˜}=δ(x) Définissons un nouvel opérateur :

−∞D_x^βf(x) =F⁻¹{|k|^βF(f)}(x)

C’est un opérateur linéaire. Et siβ= 2,_−∞D_x²f =^−∂_∂x2²f(x). On a aussi :

−∞D^β_xf(x)“=” const Z +∞

−∞

f(x⁰)

|x−x⁰|dx⁰ On se ramène alors à :

sP˜(x, s) +Dβ −∞D^β_xP˜(x, s) =δ(x) On trouve enfin :







∂

∂tP(x, t) =Dβ −∞D^β_xP(x, t) P(x, t= 0) =δ(x)

Remarque.On est passé d’un opérateur différentiel_∂x^∂22 à un opérateur intégral−∞D_x^βpuisqu’on prend désormais en compte le comportement global de la fonction. En effet, on s’intéresse aux déplacements vers un pointxeffectué dans le tempstqui peuvent provenir d’un x⁰ quelconque.

(2): On a comme dans le cas classiquep(k) = 1ˆ −^k2₂^σ2 +.... En revanche l’expression deψ˜n’est plus valable.

ψ(t) ∼

t→+∞

A

t^1+α 0<

|{z}

Rψ=1

α <1

|{z}

Rtψ=+∞

ψ(s) =˜ Z +∞

0

e^−tsψ(t)dt= 1− Z +∞

0

(1−e^−ts)ψ(t)dt

= 1−1 s

Z +∞

0

(1−e^−t)ψ Åt

k ã

dt

≈1−1 s

Z +∞

0

(1−e^−t) s (t/s)^1+αdt

= 1−s^α Z +∞

0

(1−e^−t) s t^1+αdt

| {z }

constanteδ^α

= 1−s^αδ^α+...

Alors :

ˆ˜

P(k, s) = 1 s+s^1−αk²σ^α

2δ^α

|{z}

Dα

= 1

s+Dαs^1−αk²

Comme précédemment :

sP(k, s) +ˆ˜ Dαs^1−αk²P(k, s) = 1ˆ˜

F⁻¹

⇒ sP˜(x, s)−Dαs^1−α ∂²

∂x²

P˜(x, s) =δ(x)

L⁻¹

⇒ ∂

∂tP(x, t)−Dα

∂²

∂x²L⁻¹(s^1−αL(P(x, t))) = 0

On définit de la même manière que(1)un opérateur (ici dans le cas temporel) :

0D_t^1−α=L⁻¹(s^1−αL(f)) = 1 Γ(α)

∂

∂t Z t

0

f(t⁰) (t−t⁰)^1−αdt⁰ Finalement on se ramène au système :







∂

∂tP(x, t) =Dα∂²

∂x² 0D_t^1−α(P(x, t)) P(x, t= 0) =δ(x)

Remarque.L’opérateur que l’on vient de définir s’appellela dérivée de Riemann-Liouville.

On peut calculer ^∂E(X_∂t^t2) et on en déduit :

E{X_t²}= 2Dαt^α Γ(1 +α)

3 Diffusion et mouvement brownien : applications