￿￿￿ UTILISATION DE LA NOTION DE COMPACITÉ.

��� UTILISATION DE LA NOTION DE COMPACITÉ.

Soit(X, d)un espace métrique (donc séparé).

I. Caractérisations de la compacité, premières utilisations

[Gou��, §�.�, p��]

I. A. Propriété de B����-L�������

Définition par la propriété deB����-L�������, exemples d’un espace fini, contre exemple deR, caractérisation par les fermés, fermés dans un compact, intersection (union finie) de compacts, théorème deT�������, théorème des fermés emboités,

Premier théorème deD���. Contre-exemple si la fonction limite n’est pas continue :x‘≠æxⁿ. Remarque : un espace compact est par définition séparé! à ne pas oublier dans la définition

I. B. Théorème de B������-W���������� et conséquences

[Gou��, §�.�, p��] [FGN��, §�.��, p��]

Xest compact si et seulement si il satisfait la propriété deB������-W����������.

Xest précompact et complet si et seulement siXcompact. Exemples des compacts d’un es- pace de dimension finie.Xcompact implique(C(X,R),Î.Î_Œ)complet.

Procédé d’extraction diagonale

P�����������. Soit(E, d)un espace métrique compact et(un)nœN œ E^Ntelle que d(un, un+1)≠æⁿæ+Œ0.

Alors l’ensemble des valeurs d’adhérence de(un)nœNœE^Nest connexe.

A�����������. [����� �� �� ����������]

Soitf : [0,1]≠æ[0,1]une fonction continue et(xn)nœNœ[0,1]^Ndéfinie parx0œ[0,1]et xn+1=f(xn)pournœN.

Alors(xn)nœNconverge si et seulement silimnæ+Œxn+1≠xn= 0.

II. Fonctions continues sur un compact

II. A. Extrema

L’image d’un compact par une application continue est un compact. Pas forcément l’image ré- ciproque. Une application continue définie sur un compact et à valeurs dansRest bornée et atteint ses bornes.

Sifest coercive continue et minorée alors elle admet un minimum qui est atteint.

La distance à un compact est atteinte.

Théorème deR����, inégalité des accroissements finis

Équivalence des normes en dimension finie, application à la continuité des applications li- néaires

II. B. Théorème de H����

Théorème deH����. Exemples : fonctions continues périodiques, ou continues avec une limite finie en±Œ, deuxième théorème deD���

II. C. Théorème de point fixe

Point fixe dans un compact, exemple decos.

Application : siXest compact,f : X ≠æ Xest telle qued(f(a), f(b)) Ø d(a, b)pour tout a, bœX, alorsfest une isométrie bijective surX. [FGN��, §�.�, p��]

Application : siKest compact convexe etf est1-lipschitzienne, alorsf admet au moins un point fixe.

Théorèmes du point fixe deB������, deS�������

II. D. Théorème de S����-W����������

Soit(X, d)un compact non vide.

T��������. [�������� ��S����-W����������]

SoitHune sous-algèbre deC(X,R)séparante et unitaire. AlorsHest dense dansC(X,R).

Application : théorème deW����������(dans le cas où l’on est surR, la limite est nécessaire- ment un polynôme), base deF������des fonctions2fi-périodiques

III. Compacité en dimension finie

III. A. Espaces vectoriels normés

Théorème deR����

En dimension infinie : la boule unité de(C([0,1]),Î.Î_Œ)n’est pas compacte :fn : x ‘≠æ xⁿ converge vers une fonction non continue!

P���������� �. SoitK un espace métrique compact. Les morphismes d’anneaux de C(K,R)dansRsont les morphismes d’évaluation(evt:f ‘≠æf(t))tœK.

III. B. Le théorème d’A�����-A�����

SoitXun compact. Définition de l’(uniforme) équicontinuité d’une partie deC(X), exemple des fonctions lipschitziennes

Théorème d’A�����, application aux opérateurs à noyauxæopérateurs compacts

ÉNS Paris-Saclay –����/���� AntoineB������–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page���sur���

Agrégation – Leçons ���– Utilisation de la notion de compacité.

���������

Q Peut-on trouver une fonction continue deRdansRnon limite uniforme de polynômes?

R Oui, toute fonction continue qui n’est pas un polynôme!

Q Soitf : [a, b]≠æRcontinue telle quesb

a f(t)tⁿdt= 0pour toutnœN. Montrer quef = 0.

R On approximef uniformément par une suite (Pn)n de polynômes. On a pour tout n, sb

af(t)Pn(t)dt= 0, et doncsb

af(t)²dt= limnæ+Œsb

af(t)Pn(t)dt= 0.

Q SoientX, Y métriques compacts. Montrer que toutef œC(X◊Y,R)est limite uniforme de combinaisons linéaires de fonctions produits.

Q Montrer sans le théorème deR����que la boule unité des polynômes n’est pas compacte.

R Considérons la norme infinie sur[0,1]et la famille(Xⁿ)nœN. Si la boule unité était com- pacte, il existerait une sous-suiteÏet un polynômePtel queX^Ï(n) _næ+Œ≠æ P, et alors on auraitP(1) = 1etP([0,1[) = 0ce qui est impossible par continuité d’un polynôme.

Q Soit(Xn)_nœNune suite décroissante de compacts non vides. Montrer queflnœNXn”=?.

R Prenonsxn œ Xnpour toutn. Alors(xn)_nœN œ X₀^Ndoncxnconverge vers unxquitte à extraire. Comme(xn)nØk œX_k^N, on a quexœXkpour toutk, et doncxœ flnœNXn. Q Soit E un espace vectoriel normé. Montrer que B(0,1) est compacte

si et seulement siS(0,1)l’est.

R SiB(0,1)est compacte,S(0,1)l’est. Réciproquement, siS(0,1)est compacte, soit(xn)n

une suite deB(0,1). Si elle ne converge pas vers0, supposons qu’aucun des termes n’est nul quitte à extraire. Alors_Î^x_xⁿ_nÎ œS(0,1)converge quitte à extraire, etÎxnÎ œ[0,1]converge quitte à extraire, donc finalement(xn)nconverge.

Q Oⁿ(R) =)

M|M^€M = Idn*est-il compact?

R Il est fermé carOⁿ(R) =f^≠1({Idn})oùf(M) =M^€Mest continue. Il est bien sûr borné.

Q SoitAun compact deMⁿ(R).S=)

P^≠1M P|M œA, P œGLⁿ(R)*est-il compact?

R Non, si on prend pour A un singleton, sa classe de similitude est bornée si et seulement si c’est une homothétie!

�������������

[FG��] S.F��������et H.G�������:Exercices de mathématiques pour l’agrégation - Algèbre

�. Masson,����.

[FGN��] S.F��������, H.G�������et S.N������:Oraux X-ENS - Analyse�. Cassini,����.

[FGN��] S.F��������, H.G�������et S.N������:Oraux X-ENS - Analyse�. Cassini,�^èmeédition,

����.

[Gou��] X.G������:Les maths en tête - Analyse. Ellipses,�^èmeédition,����.

[HL��] F.H�����et G.L������:Eléments d’analyse fonctionnelle. Dunod,����.

ÉNS Paris-Saclay –����/���� AntoineB������–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page���sur���