A40007. Au temps des francs
Ayant depuis 5 mois (plus pr´ecis´ement 22 semaines) un bureau dans les anciens locaux de l’X rue Descartes, je fr´equente (2 `a 4 fois par semaine) le restaurant administratif qui a remplac´e le magnan de notre jeunesse. J’y ai ouvert un compte que j’alimente par des versements de 300 F. J’y prends aussi le caf´e (1 `a 3 fois par semaine). Le repas coˆute 32,50 F et le caf´e 3,30 F.
Il reste sur mon compte 243,60 F. Combien ai-je pris de repas et de caf´es ? Solution
Il s’agit de trouver 3 entiers V, R, C v´erifiant 300V −32,50R−3,30C= 243,60.
Divisant par la “partie aliquote commune” 0,10, on obtient l’´equation `a coefficients entiers
3000V −325R−33C−2436 = 0.
Deux coefficients sur quatre sont multiples de 25, ce qui permet d’´ecrire 25(120V −13−C−100) = 8(C−8),
soitC= 8 + 25x, 120V = 13R+ 33x+ 108.
En 22 semaines, mon nombre de repas est compris entre 44 et 88, mon nombre de caf´es est compris entre 22 et 66, et mon nombre de versements est positif.
La condition surC imposex= 1 ou 2, et C= 33 ou 58.
a) SiC= 33, 120V = 13R+141, et dans cette derni`ere ´equation 2 coefficients sur 3 sont multiples de 3, le 3e terme doit l’ˆetre aussi, R = 3y, 40V = 13y+ 47. Mettons en ´evidence les quotients et restes modulo 13 :
V −8 = 13(y−3V + 3), d’o`u V = 8 + 13z, y = 3V −3 +z = 21 + 40z, R= 63 + 120z.
A l’´evidence,z= 0 est le seul entier donnant `aR une valeur comprise entre 44 et 88. AlorsR= 63 et V = 8.
b) Si C = 58, 120V = 13R + 174. On poursuit de mˆeme par R = 3y, 40V = 13y+58,V−6 = 13(y+4−3V),V = 6+13z,y= 3V−4+z= 14+40z, R= 42 + 120z, et il est clair qu’il n’y a pas de solution dans ce cas, car pas d’entierz donnanr `aR une valeur de l’intervalle (44,88).
La seule solution est donc 8 versements, 63 repas et 33 caf´es.
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