G20311. Combien de pavages ?
Michel Dorrer s’est intéressé au nombre de dessins différents qu’on peut ob- tenir en “pavant” un cadre rectangulaire formé de 6×12 cases carrées, avec 18 pièces rectangulaires 1×2 et 36 pièces carrées 1×1. Il a calculé qu’il y en a plus de 870 millions de milliards, exactement 870.009.925.011.598.747.
Michel Dorrer propose, sur le même thème, quelques questions moins ar- dues.
a) Le cadre est une simple file de n cases. Combien de dessins différents peut-on former en la pavant avec krectangles 1×2, complétés parn−2k carrés 1×1 ? Combien de dessins en tout, si le nombre de rectangles est quelconque ?
b) Le cadre comporte 2×ncases (ncases de long sur 2 de haut). Combien de dessins différents peut-on former en remplissant tout le cadre avec des rectangles 1×2 et des carrés 1×1 ?
Solution
a) Dans le cadre en simple file, le dessin est complètement défini par le rang des k rectangles parmi les n−k pièces utilisées. Donc il y a Cn−kk dessins distincts.
Si le nombre des rectangles est quelconque, les M(n) dessins commencent soit par un carré (avec M(n−1) possibilités pour la suite), soit par un rectangle (avec M(n−2) possibilités pour la suite). D’où la récurrence M(n) = M(n−1) +M(n−2), avec les conditions initiales M(1) = 1, M(2) = 2. Ainsi M(n) est le terme Fn+1 de la suite de Fibonacci 1, 1, 2, etc.
b) Dans le cadre en double file, je dirai qu’il y a coupure du dessin quand les jonctions entre pièces se correspondent dans les deux files de cases. Je note N(n) le nombre de dessins distincts dans le cadre 2×n, et S(n) le nombre de dessins sans coupure dans ce cadre.
Si un dessin présente une ou des coupures, soitsla distance entre le bord gauche du cadre et la première coupure à partir de la gauche. Le dessin complet s’obtient en combinant lesS(s) dessins à gauche de cette coupure et lesN(n−s) dessins à sa droite. On a donc
N(n) =S(n) +
n−1
X
s=1
S(s)N(n−s) =
n
X
s=1
S(s)N(n−s) en posantN(0) = 1.
Les nombres S(s) sont faciles à déterminer. Si s≥3, il faut un carré au bord gauche (2 places possibles) pour décaler les jonctions entre rectangles des deux files, etS(s) = 2. D’autre part S(1) = 2 (un rectangle ou deux carrés), etS(2) = 3 (un rectangle dans chaque file, ou un rectangle dans une file et deux carrés dans l’autre).
D’où la récurrenceN(n) =N(n−2) + 2
n
X
s=1
N(n−s),
N(n+ 1) =N(n−1) + 2N(n) + (N(n)−N(n−2)), avec les valeurs initiales N(0) = 1,N(1) = 2, N(2) = 7.
Pourngrand, la suiteN(n) a une croissance quasi-géométrique de raison 3,21431974. . ., plus grande racine de l’équation caractéristique
x3−3x2−x+ 1 = 0 (les autres sont 0,46081113. . . et−0,67513087. . .).
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