Généralités B. Van Oystaeyen / Haute Ecole Louvain en Hainaut (Helha)

B. Van Oystaeyen / Haute Ecole Louvain en Hainaut (Helha)

Introduction

I. Les grandeurs et leur mesure.

Si le but de la physique est l' étude des phénomènes observables dans l'espace et dans le temps, la première étape de cette étude consiste à identifier les différentes grandeurs qui influencent ces phénomènes. Dans ce cadre, on parlera de grandeurs fondamentales d'une part, de grandeurs dérivées d'autre part.

Par ailleurs, comme la démarche de la physique se veut objective, elle tend le plus souvent à utiliser des nombres , ou encore à mesurer les grandeurs utiles. La définition d'une "mesure" fait appel à la notion d' unité de mesure, notion vraiment omniprésente dans cette science. Les unités des grandeurs fondamentales se basent sur la définition d' "unités étalons". Celles des grandeurs dérivées se définissent en fonction des unités fondamentales.

A. Grandeurs fondamentales et systèmes d'unités

Les grandeurs physiques fondamentales sont la longueur, le temps, la masse, la température, l'intensité de courant électrique, la quantité de matière et l'intensité lumineuse. Le système d'unités présenté à la table 0.1 est le système MKSA: Selon une convention internationale, il est souhaité qu'à l'heure actuelle toutes les mesures utilisent ce système, souvent appelé aussi "SYSTEME INTERNATIONAL" SI.

Mais il faudra sans doute compter encore pendant quelques années avec

des unités bien ancrées dans les usages ou fort pratiques dans des domaines particuliers: Quelques exemples seront donnés au cours.

On se rappellera aussi les préfixes utilisés dans le langage courant pour désigner les multiples ou sous-multiples des unités (Table 0.2)

Qu'est-ce que:

- Une grandeur fondamentale?

- Une grandeur dérivée?

- Une mesure?

Qu'est-ce qu'un système d'unités ?

Grandeur [Dimension] Unité MKS (SI) Symbole

Longueur [ l ] mètre m

Temps [ t ] ... ...

Masse [ m ] ... ...

Température [ θ ] ... ...

Int. courant [ i ] ... ...

Quant. matière [N] ... ...

Int. lumineuse [J] ... ...

Table 0.1

Multiples Sous-multiples

103 kilo- 10-3 milli-

106 ... 10-6 ...

109 ... 10-9 ...

1012 ... 10-12 ...

Table 0.2

B. Van Oystaeyen: Cours de physique - 0.2 -

B. Les unités étalons

L'exemple qui suit (définition actuelle de l'étalon du mètre) est destiné uniquement à illustrer le soin et la précision apportés à la définition de ces unités de base (ne pas retenir !):

C. Les grandeurs dérivées.

Les grandeurs dérivées sont bien sûr de loin les plus nombreuses. L'essentiel, dans la définition d'une grandeur de ce type est l' EQUATION MATHEMATIQUE qui la relie aux grandeurs fondamentales. Cette équation lui confère automatiquement sa dimension physique et son unité:

Quelques exemples simples seront vus à ce niveau-ci du cours (volume, vitesse, ...) mais bien d'autres se présenteront par la suite!.

A noter que certaines grandeurs sont sans dimension (angle, ...) !

II. Grandeurs scalaires et grandeurs vectorielles.

Il s'agit ici de rassembler à nouveau l'ensemble des grandeurs physiques (fondamentales et dérivées) et de les reclasser selon un autre critère.

La définition-même des grandeurs scalaires montre qu'elles se manipulent comme de simples nombres et qu'il n'y a donc pas grand-chose de plus à en dire (sauf à

en trouver l'un ou l'autre exemple!). Par contre la définition des grandeurs vectorielles, suggère qu'il s'agit d' "objets" plus difficiles à manipuler (exemples?) et qui exigent des opérations qui leur sont propres: Ces opérations sont celles qui sont définies en mathématiques pour les

"VECTEURS", et l'essentiel de ce paragraphe sera consacré à leur rappel.

A. Orientation d'un vecteur.

(N.B.: sauf indication du contraire, nous n'utiliserons dans ce cours que des vecteurs dans le plan, ou espace à deux dimensions).

Pour repérer l'orientation d'un vecteur dans un espace à deux dimensions, il faut un repère constitué de deux axes orthogonaux (X et Y par exemple) et un ensemble de deux informations qui le situent par rapport à ces axes. Les deux ensembles les plus souvent utilisés sont d'une part les deux projections orthogonales du vecteur sur les axes ou "composantes" VX et VY du vecteur, et d'autre part l'ensemble "norme V - inclinaison  ". Le lien entre les deux est donné par:

"Le mètre est la longueur égale à 1 650 763,73 longueurs d'onde, dans le vide, de la radiation correspondant à la transition entre les niveaux 2p10 et 5d5 de l'atome de krypton 86".

Pourquoi associer une unité étalon à une grandeur fondamentale?

!! Important !!

Qu'est-ce que:

- une grandeur scalaire?

- une grandeur

vectorielle? V

(norme: )V

V = V cos V = V sin

X Y









V = V + V = arctg (V V )

X 2

Y 2

Y X





 ( 0.1 )

Tracer le graphe illustrant les équations (0.1)

B. Opérations sur les vecteurs.

[ N.B.: Pour chacune des opérations qui suit il s'agira de pouvoir donner une définition correcte et de connaître la signification des paramètres qui interviennent dans les formules.

Lorsque le résultat d'une opération est une grandeur scalaire, la définition se réduit à une formule et à la dimension physique de cette grandeur. Lorsqu'il s'agit d'une grandeur vectorielle, il faut définir les trois caractéristiques de tout vecteur: direction, sens et norme (celle-ci est donnée par une formule qui fournit aussi la dimension physique) ]

1. Produit simple

 Un cas remarquable de produit simple conduit au vecteur opposé à  V.

 En physique, le scalaire 'a' comme le vecteur 

V1 peuvent avoir une dimension physique.

Dans ce cas, la dimension du résultat 

V est le produit des deux dimensions (voir plus loin l'équation de

Newton  

F = m a ).

2. Produit scalaire de deux vecteurs.

 La dimension du résultat est le produit des dimensions des facteurs. (voir plus loin 'le travail d'une force', par exemple)

 Un produit scalaire entre deux vecteurs

peut-être vu comme le produit de la norme du premier par la projection orthogonale du second sur le premier: Un graphique simple illustre ce point.

3. Produit vectoriel de deux vecteurs.

Le produit vectoriel 

V de deux vecteurs  V_{1 et} 

V2 est lui-même un vecteur dont la direction est perpendiculaire à la fois à 

V_{1 et} 

V2,(donc au plan formé par

 V_{1 et} 

V2), dont le sens est donné par exemple par la 'règle du tire-bouchon', dont la norme est donnée en (0.4) et dont la dimension physique est le produit des dimensions physiques des deux vecteurs. (voir plus loin 'le moment de force', par exemple).

4. Somme vectorielle.

La somme de plusieurs vecteurs n'a de sens que pour des vecteurs de même dimension physique (somme de plusieurs vitesses, somme de plusieurs forces, ...). Le résultat est un vecteur de

 

V = a V

Qu'est ce que:

-) Un produit simple?

-) Deux vecteurs opposés?

P = V V = V V cos = V V + V V

1 2

1 2

1X 2X 1Y 2Y

 



 ( 0.3 ) -) Que signifie  ?

-) Quand un produit scalaire est-il nul?

-) Que signifie  ? -) Quand un produit

vectoriel est-il nul?   

V = V

V (avec V = V V sin )

Que vaut la norme de la somme? (formule)

B. Van Oystaeyen: Cours de physique - 0.4 - résultante",...). Il peut être obtenu graphiquement par l'une des deux méthodes suivantes:

V1

V V V

V1

2 2 V

F ig. 0.1

 On étudiera en particulier les cas remarquables de vecteurs alignés, de vecteurs opposés, et de vecteurs perpendiculaires.

 Propriété: Les composantes du vecteur somme sont les sommes des composantes des vecteurs:

5. Différence de deux vecteurs

(On montrera que l'opération "différence de deux vecteurs"se ramène facilement à une opération de somme).

III. Les erreurs de mesure.

Aucune mesure en physique ne peut prétendre être tout-à-fait exacte, du fait de la précision toujours limitée des instruments de mesure, des imperfections liées à leur conception et à leur fabrication, du fait aussi de la façon dont nous interprétons les renseignements qu'ils nous donnent (subjectivité!). Une mesure donc ne fait jamais qu'approcher de plus ou moins près la réalité des choses:

On dira que toute mesure est "entachée d'une erreur".

A. Erreurs aléatoires et erreurs systématiques.

On verra la grande différence entre 'erreurs aléatoires' et 'erreurs systématiques'.

A noter que les erreurs aléatoires sont inhérentes à la technique utilisée; elles sont irréductibles (en ce sens qu'on ne peut les éliminer complètement) et la seule question qui se pose donc à leur sujet est la façon de les évaluer et d'en tenir compte dans les résultats (les paragraphes suivants donnent un début de solution à ce problème).

Par contre, les erreurs systématiques ne sont pas inhérentes à la mesure: Elles proviennent d'un mauvais fonctionnement ou d'un mauvais usage de l'appareil. Elles faussent les résultats et doivent donc être éliminées, ou en tout cas rendues petites par rapport aux erreurs aléatoires.

Tracer un graphique

illustrant (0.6)   

V = V + V

V = V + V V = V + V

1 2

X 1X 2X

Y 1Y 2Y





( 0.6 )

Qu'est-ce que:

-)une erreur aléatoire -)une erreur systéma- tique

B. Erreur absolue et erreur relative.

L'encadré (0.7) donne les notations que nous utiliserons pour une erreur absolue, pour une erreur relative et pour la présentation du résultat 'a' d'une mesure.

C. Propagation des erreurs (1)

Il arrive souvent qu'une quantité ne puisse être mesurée directement mais doive être calculée au départ de plusieurs manipulations distinctes: Ainsi, pour évaluer le poids d'une quantité de liquide, on pourra effectuer une double pesée (rechercher le poids du récipient vide, puis le poids du récipient plein et soustraire l'un de l'autre); la mesure d'un volume passe par celle de ses trois dimensions qu'on multiplie entre elles; etc... Le problème est de savoir quelle erreur attribuer au résultat ainsi calculé.

Pour les OPERATIONS ARITHMETIQUES de base, les règles sont les suivantes:

 Pour une addition ou une soustraction, l'erreur absolue du résultat est la somme des erreurs absolues des quantités qu'on additionne ou qu'on soustrait.

 Pour une multiplication ou une division, ce sont les erreurs relatives qui s'additionnent pour donner l'erreur relative du résultat.

Exemple : Appliquer (0.9) pour le calcul de l'erreur sur une masse spécifique =m/L3 d'une masse m contenue dans un cube de côté L (on mesure m et L)

D. Chiffres significatifs.

Lorsqu'on présente un résultat expérimental, il n'y a pas de sens à donner de l'information numérique qui soit plus petite que l'erreur absolue sur ce résultat: Par exemple, quand on mesure une longueur précise au millimètre-près, il n'est pas raisonnable de fournir un résultat qui fasse intervenir le dixième de millimètre. Cet aspect sera vu plus en détail au laboratoire.

Mesure : a

erreur absolue : a erreur relative : a

a Résultat : a a









( 0.7 ) Qu'est-ce que:

-) l'erreur absolue?

-) l'erreur relative?

c = a + b

c = a - b

c = a + b

    ( 0.8 )

Démontrer (0.8) et (0.9)

c = a x b c = a / b c

c = a

a + b b





  

( 0.9 )

Comment tenir compte d'une

constante k dans (0.8) ou (0.9)

B. Van Oystaeyen: Cours de physique - 0.6 - (N.B.: La physique peut difficilement se passer d'outils mathématiques comme les dérivées ou les intégrales. Même si, dans ce cours, nous essayerons de les éviter chaque fois que cela sera possible, on ne s'étonnera pas qu'à certains endroits leur présence soit inévitable. Les étudiants qui seraient peu familiers de ces notions peuvent provisoirement laisser de côté ces parties du cours, mais ils devront obligatoirement les retravailler dès que le cours de mathématiques aura fait les rappels nécessaires!)

A. Propagation des erreurs (2).

Les équations (0.8) et (0.9) sont en fait des cas particuliers de l'équation suivante, qui s'applique à toute fonction mathématique (équation non démontrée au cours) :

Exemple : Calculer par (0.10) l'erreur sur la période d'un pendule

T = 2

l / g

B. Ajustement d'une fonction à des points expérimentaux.

1. Principe

 Problème: Soit une série de n valeurs expérimentales yi, mesurées pour différentes valeurs d'un paramètre x donné (par exemple, pour étudier la dilatation d'un corps, on mesure son volume pour différents points de température.) En théorie, ces points devraient se disposer sur une courbe mathématique typique du phénomène étudié (dans notre exemple, une droite.) En fait, à cause des inévitables erreurs expérimentales, les points se disposent de façon aléatoire de part et d'autre de cette courbe ("fluctuations"). Le problème est alors de trouver la courbe qui passe au mieux au travers du "nuage de points".

 Solution (méthode des moindres carrés): La courbe qui passe "au mieux" au travers des points est celle qui passe le plus près possible de chacun des points. On construit donc une quantité M faite de la somme des distances (en fait, le carré des distances) séparant les valeurs mesurées yi de la courbe mathématique y=f(x):

On essayera ensuite de rendre cette quantité M la plus petite possible (minimalisation): voir exemple au paragraphe suivant.

c = f (a, b,... ) c = c

a a + c

b b + ....

    





 ( 0.10 )

fig. 0.2

M = ( f (x ) - y )i i 2 i = 1



2. Exemple : ajustement d'une droite.

Soit à ajuster une droite y=f(x)=ax+b à n points (xi,yi) expérimentaux (fig.0.2). L'équation du paragraphe précédent devient:

Le problème revient à trouver les valeurs de a et b pour lesquelles la droite passe au plus près des points, donc pour lesquelles M prend la valeur la plus basse possible. Or toute fonction trouve sa valeur minimum lorsque ses dérivées par rapport aux variables concernées s'annulent. Il s'agit donc de trouver les valeurs de a et de b pour lesquelles les dérivées de M par rapport à a et à b s'annulent:

ou:

La résolution de ce système de deux équations aux deux inconnues a et b donne:

(voir exemples numériques au cours ou au laboratoire, ainsi que l'application à d'autres fonctions mathématiques.)

N.B.: La technique décrite ci-dessus est dite "régression linéaire", ce qui fait croire à beaucoup qu'elle se limite à l'ajustement d'une droite à des points expérimentaux. C'est oublier que dans y=ax+b les points en question donnent des valeurs précises à x et y, et que les inconnues sont a et b. Or, de même que y=ax+b est linéaire en a et en b, une parabole du genre y=ax²+bx+c est linéaire en a, b et c, de sorte que la régression linéaire s'applique aussi aux polynômes du second degré…

comme à vrai dire à ceux du troisième degré et ainsi de suite.

M = ( ax + b - y )i i 2 i = 1



M

a = 2 x (ax + b - y ) = 0 M = 2 (ax + b - y ) = 0

i i i

i=1 n

i i

i=1 n





















 b

a x + b x = x y a x + b n = y

2i

i i i

i i





 









a = n x y - x y n x - ( x ) b = x y - x x y

n x - ( x )

i i i i

2i

i 2 2i

i i i i

2i

i 2





  







  













B. Van Oystaeyen: Cours de physique - 0.8 - EXERCICES SUR LES VECTEURS

1. Deux vecteurs ont pour normes respectivement 5 et 13 et forment entre eux un angle de 30°. Que valent leur produit scalaire et la norme de leur produit vectoriel? (R: 56,3 et 32,5)

2. Deux vecteurs  V₁et 

V₂ ont pour composantes respectivement 

V₁(8,2) et 

V₂(2,8). Que valent leur produit scalaire et la norme de leur produit vectoriel? (R:32 et 60)

3. Soit (10,18) les composantes d'un vecteur dans un repère orthogonal. Soit un second vecteur de norme 25 et faisant avec l'axe Ox angle de 45°. Que vaut le produit scalaire de ces deux vecteurs? Que vaut la norme de leur résultante? (R: 496 et 46,6) 4. Un bateau navigue sur un fleuve à une vitesse de 8km/h. Avec quel

angle doit-il naviguer par rapport à la rive pour atteindre un point de la rive opposée situé juste en face du point de départ, sachant que le courant est de 4km/h? (R: 120° par rapport au courant)

5. Calculer la résultante d'un système de forces de 20N, 40N, 25N, 42N et 12N qui font respectivement des angles de 30°, 120°, 180°, 270°

et 315° avec la direction positive de l'axe Ox. (R: 20N à 197°) 6. Quelle est la force minimale nécessaire pour remonter un bloc de

4kN le long d'une surface lisse de 12m de long et dont l'extrémité supérieure est située à 3m du sol? (R: 1kN)