Enonc´e noE525 (Diophante)
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Pour 5 cl´es 3 couleurs suffisent, comme d’ailleurs pour tout nombre de cl´es (>2) : il suffit que toutes les cl´es soient rouges, sauf une bleue et une verte contigu¨es. Ces deux derni`eres cl´es d´efinissent sans ambigu¨ıt´e une origine et un sens de parcours, `a partir desquels Nyctophile peut rep´erer exactement chaque cl´e par son num´ero d’ordre.
Pour 2007 cl´es, comme d’ailleurs pour tout nombre de cl´es>5, deux couleurs suffisent. En effet, pla¸cant 3 cl´es bleues aux rangs 1, 3 et 4, et n−3 cl´es rouges aux rangs 2 et 5 `an, on d´efinit sans ambigu¨ıt´e une origine et un sens de parcours.
On peut mˆeme convenir que l’absence d’´etiquette ´equivaut `a une ´etiquette rouge. Alors on peut se limiter `a une ´etiquette bleue plus une ´etiquette verte, ou (sin >5), `a 3 ´etiquettes bleues.
Cette m´ethode peut obliger Nyctophile `a compter jusqu’`a 2007. Voici une variante qui ne lui demande de compter que jusqu’`a moins de 200.
Soit la suite d’entiers
1, 44, 2, 43, 3, 42, . . ., 44, 1, 26, 1.
Les termes de rang impair vont en croissant de 1 `a 44, sauf le dernier ; les termes de rang pair vont en d´ecroissant de 44 `a 1, sauf le dernier.
Partant d’une des cl´es du trousseau (choisie arbitrairement), je l’´etiquette en rouge, puis les 44 suivantes en bleu, puis les 2 suivantes en rouge, etc., jusqu’`a 44 en rouge, 1 en bleu, 26 en rouge, 1 (la 2007e) en bleu.
Pour connaˆıtre le rang (parmi les 2007) d’une cl´e quelconque C de son trous- seau, Nyctophile va compter les cl´es de part et d’autre jusqu’au changement de couleur, puis encore jusqu’au changement de couleur suivant. Il compte ainsi au plus 89 cl´es, et identifie la longueur de la s´equence monocolore o`u se trouve la cl´e C ; il identifie aussi, par les longueurs des s´equences mono- colores voisines, quel est le sens de parcours correspondant. Par exemple, la cl´e 1789 est dans la s´equence de 40 rouges, la 7e `a partir de la s´equence de 5 bleues (ou la 34e `a partir de la s´equence de 6 bleues). Le seul cas particulier est la s´equence finale de 26 rouges, `a ne pas confondre avec celle qui est encadr´ee par les s´equences de 19 et 20 bleues ; pour ce cas, il faut regarder encore 2 cl´es au-del`a des s´equences bleues voisines, pour voir de quel cˆot´e il y a une s´equence limit´ee `a 1 cl´e rouge (qui est la cl´e 1 ; de l’autre cˆot´e ce sont les cl´es 1979 et 1980 de la s´equence de 44 rouges).
Pour chercher une cl´e d´etermin´ee, Nyctophile prend son trousseau et part d’une cl´e quelconque ; il identifie comme ci-dessus `a quelle s´equence elle appartient, et le sens de parcours `a utiliser pour aller chercher la s´equence de la cl´e qu’il cherche. Il compte d’abord les changements de couleur (pas plus de 45 s’il choisit bien son sens), puis les cl´es quand il est dans la bonne s´equence.
1
