CHAPITRE 15 : INÉGALITÉS ET INÉQUATIONS

CHAPITRE 15 : INÉGALITÉS ET INÉQUATIONS

Objectifs :

• 3.250 [–] Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue.

• 3.251 [–] Représenter les solutions d'une inéquation sur une droite graduée.

I. Inégalités

a) Inégalités au sens large

ab signifie a = b ou a < b.

ab signifie a = b ou a > b.

Exemple : Si a est un entier positif qui vérifie a2 , alors a = 0 ou a = 1 ou a = 2.

b) Inégalités et opérations

Si on ajoute (ou on soustrait) un même nombre aux deux membres d'une inégalité, on ne change pas le sens de l'inégalité.

Quels que soient les nombres a, b et c,

– si ab alors acbc ;

– si ab alors a−cb−c.

Exemple : si xy alors x7y7 et x−3y−3 .

Si on multiplie (ou on divise) les deux membres d'une inégalité par un même nombre positif, on ne change pas le sens de l'inégalité.

Si on multiplie (ou on divise) les deux membres d'une inégalité par un même nombre négatif, on change le sens de l'inégalité.

Quels que soient les nombres a, b et c,

– si ab et c0 alors acbc.

– si ab et c > 0 alors a cb

c .

– si ab et c0 alors acbc.

– si ab et c < 0 alors a cb

c .

Exemple :

Si 3x−12 alors x−12 3 Si −2x6 alors x 6

−2

L'inégalité change de sens car on a divisé par un nombre négatif (-2)

II. Inéquation

Une inéquation est une inégalité dans laquelle intervient un nombre inconnu, désigné le plus souvent par une lettre.

Résoudre une inéquation c'est trouver toutes les valeurs possibles du nombre inconnu telles que l'inégalité soit vraie. Les valeurs trouvées sont appelées les solutions de l'inéquation.

Exemple 1 :

Résoudre l'inéquation 3 x5 Si 3×x5 alors x5

3

Les solutions de l'inéquation sont tous les nombres inférieurs à 5

3.

Représentation graphique des solutions

Le crochet est tourné vers les solutions car le nombre 5

3 est solution de l'inéquation.

Exemple 1 :

Résoudre l'inéquation −1

2 x14

−1

2 x1−14−1

−1 2 x3 x 3

−¹ 2 x3×−2 x−6

Les solutions de l'inéquation sont tous les nombres strictement supérieurs à -6.

Représentation graphique des solutions

Le crochet n'est pas tourné vers les solutions car le nombre - 6 n'est pas solution de l'inéquation.

L'inégalité change de sens.

0 1 ⁵₃ 2

0 1

- 6