FM 04 : Résolution d’équations – Mise en équations
1/2 Seconde – Lycée Desfontaines – Melle
Fiche méthode 04 – Résolution d ’ équations – Mise en équations
1. Définitions – Propriétés - Méthodes
Définitions :
• Une égalité est une expression algébrique qui contient le signe "=". Une égalité peut être vraie ou fausse.
• Une équation est une égalité où figure un nombre inconnu (souvent notés à l’aide d’une lettre x, y, a…)
• Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs possibles du nombre inconnu telles que l’égalité soit vraie. On appelle l’ensemble des solutions de l’équation, l’ensemble de ces valeurs.
• On dit que deux équations sont équivalentes lorsqu’elles ont le même ensemble de solutions.
Propriétés :
• Lorsqu’on ajoute ou retranche un même réel aux deux membres d’une équation, on obtient une équation équivalente.
• Lorsqu’on multiplie (ou divise) les deux membres d’une équation par un même réel non nul, on obtient une équation équivalente.
"Equations-type" Résolution dans Ë Exemples
Equations du premier degré
a x+b=0 a☻Ë et b☻Ë
a x+b=0ñx=-b a S=
-b
a
Résolvons dans Ë : 3x−2−2(x−1)=8x+28 3x−2−2(x−1)=8x+28ñ3x−2−2x+2−8x=28 ñ−7x=28
ñx=-28
7 =-4 donc S={-4}
Equations produits A×B=0
Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs
est nul.
A×B=0ñA=0 ou B=0
Résolvons dans Ë : (4x−3)(5x−2)=0
(4x−3)(5x−2)=0ñ4x−3=0=0 ou 5x−2=0 ñx=3
4 ou x=2
5 donc S=
3 4;2
5
Equations quotients
A B=0
Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur
est non nul.
A
B=0ñA=0 et Bý0
Résolvons dans Ë : 3x−2 4x+1=0
Recherche des valeurs interdites : 4x+1=0ñx=-1 4
On appelle E l’ensemble des réels, privé des éventuelles valeurs interdites.
Sur E, 3x−2
4x+1=0ñ3x−2=0ñx=2 3
On vérifie que les solutions trouvées appartiennent à E avant de conclure : S=
2 3
Exercice 1 : Résoudre dans Ë les équations suivantes :
1. (3x−1)(7−2x)=0 2. x2=-7
3. x2+9=6x
4. (x−2)(2−5x)=(3x+7)(2−5x) 5. x2+5=0
6. x(x−1)(x−2)−x(x−1)(3−2x)=0 7. x2=3
8. 5+x
(7x−1)(10+2x)=0
9. (2x−7)(3x+1) x+8 =0 10. x2−6x+9
x−2 =0
11. 25x2−9+(2x+1)(5x+3)
3x−10 =0
12. 1
1+x= 1
1−x
13. 3x+2
x−2 =2x−1 1−x
14. x−2 x+7=x−1
x−5 15. x−2= 5
x+2 16. 1
x−2− 3 x2−4=0 Méthode de résolution d’équation :
- Si l’équation correspond à une des trois équations-type ci-dessus, conclure à l’aide du tableau.
- Sinon, montrer que l’équation est équivalente à une des trois équations-type par transformation d’écriture, puis conclure à l’aide du tableau
FM 04 : Résolution d’équations – Mise en équations
2/2
2. Résolution de problèmes
Méthode :
• Choix de l’inconnue et contraintes
• Mise en équation du problème
• Résolution
• Conclusion après avoir vérifié que les solutions trouvées sont compatibles avec les contraintes de l’énoncé.
Exercice 2
Résoudre les problèmes suivants après les avoir mis en équation :
1. Déterminer le ou les réels y tels que le quotient de y par 5 est égal à l’inverse de y.
2. Déterminer les nombres dont le carré du double est égal à 100.
Exercice 3
Soit [AB] un segment de longueur 8cm. Soient [AC] et [BD] des segments perpendiculaires à [AB] et de longueurs respectives 4cm et 6cm. Soit M un point de [AB] et soit x la longueur AM.
1. Déterminer x pour que les aires des triangles AMC et BMD soient égales.
2. a. Exprimer MC2 en fonction de x, puis déterminer x tel que MC ait pour longueur 5cm.
b. Démontrer que MD2=x2−16x+100
c. Déterminer x pour que les longueurs MC et MD soient égales.
3. a. Démontrer que MC2+MD2=2
[
(x−4)2+42 .]
b. Déterminer x pour que MC2+MD2=86.
Exercice 4
La longueur d’un rectangle est le double de sa largeur. Son aire est 450 m2. Trouver les dimensions de ce rectangle.
