4
CDS1 pourcentages : initiation à la démonstration sujet 1 2011-2012
Exercice 1 (4 points)
Léa et Simon vont passer une soirée chez un ami commun.
Léa a 40 morceaux de musique, parmi lesquels il y a 30 % de rap.
Simon a 50 morceaux de musique dont 12% de rap.
Ils rassemblent leurs morceaux de musique.
Quel est le pourcentage de morceaux de rap dans les deux groupes réunis ?
Exercice 2 (5 points) Voici un énoncé :
Sur la figure ci-dessous, ABCD est un parallélogramme. En utilisant le codage, démontrer que (EF) et (DC) sont parallèles.
a/ Effectuer cette démonstration.
b/ Voici deux démonstrations réalisées par deux élèves. Préciser pour chacune d’elles ce qui est faux et/ou ce qui manque.
Rachel : On sait que (DC) et (AG) sont perpendiculaires et que (EF) et (AG) sont perpendiculaires.
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles.
Donc (EF) et (DC) sont parallèles.
Victor : On sait que (EF) est perpendiculaire à (AG) et que (AB) est perpendiculaire à (AG) (donnée).
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles.
Donc (AB) et (EF) sont parallèles.
On sait que (AB) et (DC) sont parallèles et que (AB) et (EF) sont parallèles.
Donc (DC) et (EF) sont parallèles.
Exercice 3 (2 points)
Citer deux propriétés qui permettent de démontrer que deux droites sont perpendiculaires.
Exercice 4 (4 points)
3. Prendre un nombre, ajouter 5 à ce nombre, multiplier le résultat par 3, retrancher ensuite le double du nombre choisi au départ puis retrancher 5 au résultat obtenu.
a/ Effectuer cette suite d’opérations pour les nombres suivants : 2, 0 et – 1. Quelle conjecture peut- on faire ?
4
CDS1 pourcentages : initiation à la démonstration sujet 2 2011-2012
Exercice 1 (4 points)
Léo et Siméon vont passer une soirée chez un ami commun.
Léo a 30 morceaux de musique, parmi lesquels il y a 60 % de rap.
Siméon a 45 morceaux de musique dont 40% de rap.
Ils rassemblent leurs morceaux de musique.
Quel est le pourcentage de morceaux de rap dans les deux groupes réunis ?
Exercice 2 (5 points) Voici un énoncé :
Sur la figure ci-dessous, LMNO est un parallélogramme.
Les droites (ON) et (CN) sont perpendiculaires.
Les droites (AB) et (LM) sont parallèles.
Démontrer que les droites (AB) et (CN) sont perpendiculaires.
a/ Effectuer cette démonstration.
b/ Voici deux démonstrations réalisées par deux élèves. Préciser pour chacune d’elles ce qui est faux et/ou ce qui manque.
Lucie : On sait que (AB) et (ON) sont parallèles et que (ON) et (CN) sont perpendiculaires.
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles.
Donc (AB) et (CN) sont perpendiculaires.
Anne : On sait que (LM) et (ON) sont parallèles et que (AB) et (LM) sont parallèles.
Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles.
Donc (ON) et (AB) sont parallèles.
On sait que (ON) est perpendiculaire à (CN) et que (AB) est parallèle à (ON).
Donc (AB) et (CN) sont perpendiculaires.
Exercice 3 (2 points)
Citer deux propriétés qui permettent de démontrer que deux droites sont parallèles.
Exercice 4 (4 points)
Prendre un nombre, soustraire 4 à ce nombre, multiplier le résultat par 2, ajouter ensuite 8.
a/ Effectuer cette suite d’opérations pour les nombres suivants : 5, 0 et – 2. Quelle conjecture peut-on faire ?
b/ Démontrer cette conjecture.
4
CDS1 pourcentages : initiation à la démonstration sujet 1 2011-2012
CORRECTION Exercice 1 (4 points)
Léa et Simon vont passer une soirée chez un ami commun.
Léa a 40 morceaux de musique, parmi lesquels il y a 30 % de rap.
Simon a 50 morceaux de musique dont 12% de rap.
Ils rassemblent leurs morceaux de musique.
Quel est le pourcentage de morceaux de rap dans les deux groupes réunis ?
Léa a 40×30
100 = 12 morceaux de rap.
Siméon a 50×12
100 = 6 morceaux de rap.
Le pourcentage de morceaux de rap dans les deux groupes réunis est : 12 + 6
40 + 50 = 0,2 soit 20%.
Exercice 2 (5 points) Voici un énoncé :
Sur la figure ci-dessous, ABCD est un parallélogramme. En utilisant le codage, démontrer que (EF) et (DC) sont parallèles.
a/ Effectuer cette démonstration.
b/ Voici deux démonstrations réalisées par deux élèves. Préciser pour chacune d’elles ce qui est faux et/ou ce qui manque.
Rachel : On sait que (DC) et (AG) sont perpendiculaires et que (EF) et (AG) sont perpendiculaires.
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles.
Donc (EF) et (DC) sont parallèles.
Victor : On sait que (EF) est perpendiculaire à (AG) et que (AB) est perpendiculaire à (AG) (donnée).
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles.
Donc (AB) et (EF) sont parallèles.
On sait que (AB) et (DC) sont parallèles et que (AB) et (EF) sont parallèles.
Donc (DC) et (EF) sont parallèles.
a/ On sait que ABCD est un parallélogramme (donnée).
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.
Donc (AB) et (DC) sont parallèles.
• On sait que (EF) est perpendiculaire à (AG) et que (AB) est perpendiculaire à (AG) (donnée).
4
CDS1 pourcentages : initiation à la démonstration sujet 1 2011-2012
CORRECTION
• On sait que (AB) et (DC) sont parallèles et (AB) et (EF) sont parallèles.
Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles.
Donc (DC) et (EF) sont parallèles.
b/ Rachel utilise le fait que (DC) et (AG) sont perpendiculaires sans l’avoir démontré.
Victor ne démontre pas que (AB) et (DC) sont parallèles.
Victor ne cite pas la propriété suivante avant de conclure que (DC) et (EF) sont parallèles.:
Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles.
Exercice 3 (2 points)
Citer deux propriétés qui permettent de démontrer que deux droites sont perpendiculaires.
Si deux droites sont parallèles et qu’une troisième est perpendiculaire à l’une alors elle est perpendiculaire à l’autre.
Si un quadrilatère est un losange alors ses diagonales ont le même milieu et sont perpendiculaires.
Exercice 4 (4 points)
3. Prendre un nombre, ajouter 5 à ce nombre, multiplier le résultat par 3, retrancher ensuite le double du nombre choisi au départ puis retrancher 5 au résultat obtenu.
a/ Effectuer cette suite d’opérations pour les nombres suivants : 2, 0 et – 1. Quelle conjecture peut- on faire ?
b/ Démontrer cette conjecture.
a/
Pour 2 : (2 + 5)×3 - 2×2 - 5 = 21 – 4 – 5 = 12 Pour 0 : (0 + 5)×3 - 0×2 - 5 = 15 – 5 = 10 pour –1 : (-1 + 5)×3 – 2×(-1) - 5 = 12 + 2 – 5 = 9
Conjecture. Il semble que l’on trouve comme résultat final le nombre choisi au départ auquel on a ajouté 10.
b/ Démonstration. Soit x le nombre choisi au départ : ajouter 5 à ce nombre au départ
x + 5 multiplier le résultat par
3
(x + 5)× 3 retrancher ensuite le
double du nombre choisi
(x + 5)×3 –2x puis retrancher 5 au
résultat obtenu
(x + 5)×3 – 2x – 5
(x + 5) × 3 – 2x – 5 = 3x + 15 – 2x – 5 ; 3x + 15 – 2x – 5 = x + 10.
Ce qui démontre qu’on obtient toujours le nombre choisi au départ auquel on ajoute 10.
4
CDS1 pourcentages : initiation à la démonstration sujet 2 2011-2012
CORRECTION Exercice 1 (4 points)
Léo et Siméon vont passer une soirée chez un ami commun.
Léo a 30 morceaux de musique, parmi lesquels il y a 60 % de rap.
Siméon a 45 morceaux de musique dont 40% de rap.
Ils rassemblent leurs morceaux de musique.
Quel est le pourcentage de morceaux de rap dans les deux groupes réunis ?
Léo a 30×60
100 = 18 morceaux de rap.
Siméon a 45×40
100 = 18 morceaux de rap.
Le pourcentage de morceaux de rap dans les deux groupes réunis est : 18 + 18
30 + 45 = 0,48 soit 48%.
Exercice 2 (5 points) Voici un énoncé :
Sur la figure ci-dessous, LMNO est un parallélogramme.
Les droites (ON) et (CN) sont perpendiculaires.
Les droites (AB) et (LM) sont parallèles.
Démontrer que les droites (AB) et (CN) sont perpendiculaires.
a/ Effectuer cette démonstration.
b/ Voici deux démonstrations réalisées par deux élèves. Préciser pour chacune d’elles ce qui est faux et/ou ce qui manque.
Lucie : On sait que (AB) et (ON) sont parallèles et que (ON) et (CN) sont perpendiculaires.
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles.
Donc (AB) et (CN) sont perpendiculaires.
Anne : On sait que (LM) et (ON) sont parallèles et que (AB) et (LM) sont parallèles.
Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles.
Donc (ON) et (AB) sont parallèles.
On sait que (ON) est perpendiculaire à (CN) et que (AB) est parallèle à (ON).
Donc (AB) et (CN) sont perpendiculaires.
a/ On sait que LMNO est un parallélogramme (donnée).
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.
Donc (LM) et (ON) sont parallèles.
4
CDS1 pourcentages : initiation à la démonstration sujet 2 2011-2012
CORRECTION Donc (AB) et (ON) sont parallèles.
On sait que (AB) et (ON) sont parallèles et que (ON) et perpendiculaire à (CN).
Si deux droites sont parallèles alors toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.
Donc (CN) et (AB) sont perpendiculaires.
b/ Lucie n'a pas justifié que (AB) et (ON) sont parallèles et la première propriété énoncée n'est pas la bonne.
Anne n'a pas justifié que (LM) est parallèle à (ON) et n'a pas cité la propriété dans le dernier chaînon.
Exercice 3 (2 points)
Citer deux propriétés qui permettent de démontrer que deux droites sont parallèles.
Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles.
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles.
Exercice 4 (4 points)
Prendre un nombre, soustraire 4 à ce nombre, multiplier le résultat par 2, ajouter ensuite 8.
a/ Effectuer cette suite d’opérations pour les nombres suivants : 5, 0 et – 2. Quelle conjecture peut-on faire ?
b/ Démontrer cette conjecture.
a/ Pour 5 : (5 – 4)×2 + 8 = 10 Pour 0 : (0 – 4)×2 + 8 = 0 pour –2 : (-2 – 4)×2 + 8 = -4
Conjecture : on obtient le double du nombre de départ.
b/
Soit x le nombre de départ :
soustraire 4 à ce nombre au départ
x – 4 multiplier le résultat par
2
(x – 4)×2
ajouter 8 (x – 4)×2 + 8
Or (x – 4)×2 + 8 = 2x – 8 + 8 = 2x et 2x est bien le double de x.
