Intersections de droites

1 Systèmes de deux

équations linéaires à deux

inonnues

1.1 Dénition

Dénition 15.1.

On appelle système de deux équations

linéaires à deux inonnues tout ensemble

d'équations de la forme

® a ₁ x + b ₁ y = c ₁ , a ₂ x + b ₂ y = c ₂ ,

où

a ₁ , a ₂ , b ₁ , b ₂ ∈ _R

^.

Le ouple

( x ; y )

^{est solution du système}

si et seulement si il est solution de haune des

équations qui le omposent.

Résoudre un système signie trouver ses solu-

tions.

Remarque : Les équations d'un tel sys-

tème sont en fait des équations de droites.

Exemples :

1.

® 3x − 2y = 1, x + y = 2,

est un système

de deux équa-

tions linéaires à

deux inonnues.

2.

® 3 x ² − 2 y = 1, 2x + y = 2,

n'est pas un

système de

deux équations

linéaires ar il

ontient un

x ²

^.

Exemples :

Le ouple

(1 ; 1)

^{est solution du sys-}

tème i-dessus ar

® 3 × 1 − 2 × 1 = 1,

1 + 1 = 2.

Le ouple

(2 ; −1)

^{n'est pas solution du}

système même s'il vérie l'une de ses

deux équations ar il ne vérie pas

l'autre :

® 3 × 2 − 2 × (−1) = 8 6= 1, 2 + (−1) = 1.

1.2 Résolution de systèmes de

deux équations linéaires à

deux inonnues

Propriété 15.1. Un système de deux équations li-

néaires à deux inonnues admet soit une unique solu-

tion, soit une innité de solutions, soit auune solution.

Exemple de résolution d'un système linéaire :

Reprenons le système i-dessus et donnons

un nom à ses lignes :

® 3x − 2y = 1, (L ₁ )

x + y = 2. (L ₂ )

Pour trouver ses éventuelles solutions,

on laisse une ligne intate par exemple

(L ₁ )

^{et remplae l'autre par une ombinai-}

son linéaire des deux lignes an d'éliminer

une inonnue dans e as, on va éliminer

x

^{en remplaçant}

(L ₂ )

^par

(L ₁ − 3L ₂ )

^:

® 3 x − 2 y = 1, ( L ₁ )

3x − 2y − 3(x + y ) = 1 − 3 × 2. (L ₂ ← L ₁ − 3L ₂ )

On obtient alors :

® 3x − 2y = 1, (L ₁ )

−5 y = −5. ( L ₂ )

La ligne

(L ₂ )

^{est maintenant une équation}

à une inonnue, sa solution est

y = 1

^{. On}

remplae alors

y

^{par 1 dans}

(L ₁ )

^:

® 3 x − 2 = 1, ( L ₁ ) y = 1. ( L ₂ )

La ligne

(L ₁ )

^{est à son tour devenu une}

inonnue, sa solution est

−1

^{. Le ouple}

solution est don

(1 ; 1)

^.

Remarques :

Cette méthode est dite d'élimina-

tion ar elle onsiste à éliminer une

variable pour se ramener à des équa-

tions à une inonnue.

Un système a une innité de solutions

lorsque l'élimination onduit à une équa-

tion du type

0 = 0

^.

Un système n'a pas de solution lorsque

l'élimination onduit à une équation

du type

0 = 1

^.

2 Parallélisme

Propriété 15.2. Soit

D ₁

et

D ₂

deux droites du plan de veteurs direteurs respetifs

~ u

^et

~ v

^.

D ₁

et

D ₂

sont parallèles si et seulement si

~ u

^et

~ v

^{sont olinéaires .}

Démonstration. Il existe

A

^et

B

^{deux points de}

D ₁

tels que

−→ AB = ~ u

^{. De même, il existe}

C

^et

D

^{deux points}

de

D ₂

tels que

−→ CD = ~ v

^{. Les droites}

( AB )

^et

( CD )

sont parallèles si et seulement si les veteurs

~ u = −→

AB

et

~ v = −→

CD

^sont olinéaires.

Propriété 15.3. Soient deux droites du plan

D ₁

et

D ₂

d'équations respetives

y = a ₁ x + b ₁

^et

y = a ₂ x + b ₂

^{. Les droites}

D ₁

et

D ₂

sont parallèles si et seulement si

a ₁ = a ₂

^.

Exemples :

D ₁

d'équation

y = 3 x + 3

^et

D ₂

d'équa- tion

y = 3 x − 1

^{sont parallèles.}

D ₁

d'équation

y = 3 x + 3

^et

D ₃

d'équa- tion

y = − 1

3 x

^{ne sont pas parallèles.}

0 1 2 3 4

−1

−2 0

−1

−2 1 2 3 4

D ₁ D ₂

D ₃

Démonstration. Soient

A (0 ; y _A )

^et

B (1 ; y _B )

^{deux points}

de

D ₁

. Par dénition,

−→ AB

^{est un veteur direteur de}

D ₁

. Or,

−→ AB

Å 1 a ₁

ã

où

a ₁

^{est le oeient direteur de}

D ₁

. De même, en onsidérant

C (0 ; y _C )

^et

D (1 ; y _D )

deux points de

D ₂

,

−→ CD 1

a ₂

^(où

a ₂

^{est le oeient}

direteur de

D ₂

) est un veteur direteur de

D ₂

.

D'après la propriété 15.2,

D ₁

et

D ₂

sont parallèles si et seulement si

−→ AB

^et

−→

CD

^{sont olinéaires si et seule-}

ment si

1 × a ₂ − a ₁ × 1 = 0,

ou enore

a ₁ = a ₂

^.

Corollaire 15.1. Soient

A

^,

B

^et

C

^{trois points du}

plan. Ces trois points sont alignés si et seulement si les

droites

(AB )

^et

(AC )

^{ont le même oeient dire-}

teur.

3 Intersetion

Propriété 15.4. Soit

D ₁

et

D ₂

deux droites du plan de veteurs direteurs respetifs

~ u

^et

~ v

^.

D ₁

et

D ₂

sont séantes si et seulement si

~ u

^et

~ v

^{ne sont pas olinéaires}

.

Démonstration. Conséquene immédiate de la propriété

15.3.

Propriété 15.5. Soient deux droites du plan

D ₁

et

D ₂

d'équations respetives

a ₁ x + b ₁ y + c ₁ = 0

^et

a ₂ x + b ₂ y + c ₂ = 0

^{. Si les droites}

D ₁

et

D ₂

sont

séantes, alors leur point d'intersetion

I

^{est l'unique}

solution du système

® a ₁ x + b ₁ y = −c ₁ , a ₂ x + b ₂ y = −c ₂ .

Démonstration. Soient deux droites du plan

D ₁

et

D ₂

d'équations respetives

a ₁ x + b ₁ y + c ₁ = 0

^et

a ₂ x + b ₂ y + c ₂ = 0

^{. Si elles sont séantes, alors elles ad-}

mettent un unique point d'intersetion

I

^{qui est solu-}

tion des deux équations de droites et don du système

i-dessus.

Exemple : Soient les droites du plan

D ₁

et

D ₂

d'équations respetives

3 x − 2 y − 1 = 0

et

x + y − 2 =

^{. Leurs veteurs direteurs}

sont

~ v ₁

Å 2 3

ã

et

~ v ₂

Å 1

−1 ã

. On a

2 × (−1) − 3 × 2 = −8 6= 0,

don

~ v ₁

^et

~ v ₂

^{ne sont pas} olinéaires. On en déduit que

D ₁

et

D ₂

sont séantes et leur point d'intersetion est l'unique solution

du système

® 3 x − 2 y = 1, x + y = 2.

On a déjà vu que la solution de e système

est

(1 ; 1)

^{don le point} d'intersetion de

D ₁

et

D ₂

est

I (1 ; 1)

^.

4 Attendus et savoir-faire :

Déterminer si un système est un sys-

tème d'équations linéaires à deux in-

onnues ou non.

Déterminer si un ouple est solution

ou non d'un système d'équations.

Résoudre un système d'équations li-

néaires à deux inonnues.

Déterminer si des droites sont paral-

lèles ou séantes.

Sahant que deux droites parallèles et

onnaissant un veteur direteur ou le

oeient direteur de l'une, détermi-

ner elui de l'autre.

Déterminer le point d'intersetion de

deux droites séantes.

5 Exeries

5.1 Démarrage

Exerie 15.1. Dans haque as, dire si oui ou non

le ouple

(−2 ; 1)

^{est solution du système i-dessous.}

1.

® 2x + 3y = 1, x + 2y = 0.

2.

® 3 x − 2 y = 1,

−2 x + 4 y = 8.

3.

® 3x + y = −5,

−5x + 7y = 4.

Exerie 15.2. Résoudre les systèmes i-dessous.

1.

® 2 x + y = 1, x + 2y = 0.

2.

® 3x − 2y = 1,

−2 x + 4 y = 8.

3.

® 3x + y = −5,

−5x + 7y = 4.

4.

® 3 x − y = 1, x + 2y = −6.

5.

® −2x + 5y = 0, 2 x − 5 y = 3.

6.

® 2x − 6y = 8,

−x + 3y = −4.

Exerie 15.3. Dans haque as, déterminer si les

droites

D ₁

et

D ₂

sont parallèles ou séantes.

1.

D ₁ : 6 x − y +3 = 0

^et

D ₂ : −4 x + 2

3 y +5 = 0

^.

2.

D ₁ : 3 x + 2 y − 1 = 0

^et

D ₂ : x + 1

3 y + 4 = 0

^.

3.

D ₁ : 4 x − 3 y + 12 = 0

^et

D ₂ : y = 7

^.

4.

D ₁ : y = 2x − 1

^et

D ₂ : y = 3x + 4

^.

5.

D ₁ : y = 3 x − 4

^et

D ₂ : y = 4 x + 5

^.

6.

D ₁ : y = −6x − 7

^et

D ₂ : y = 1

^.

5.2 Approfondissement

Exerie 15.4. On onsidère le système

(S )

® x ² + y ² = 13, 2x ² − y ² = −1.

1. On pose

X = x ²

^et

Y = y ²

^{. Érire le système}

dont

( X ; Y )

^{est solution et le résoudre.}

2. En déduire tous les ouples

( x ; y )

^{solutions de}

(S )

^.

Exerie 15.5. On onsidère le système

( S )



 



 

 3

x + 2

y = 4, 9

x − 5

y = 1.

1. On pose

X = 1

x

^et

Y = 1

y

^{. Érire le système}

dont

( X ; Y )

^{est solution et le résoudre.}

2. En déduire tous les ouples

( x ; y )

^{solutions de}

( S )

^.

Exerie 15.6. Résoudre graphiquement les systèmes

i-dessous.

1.

® y = 2,

x − y = 3.

^2.

® −2x + 2y = −6, x + 2 y = 6.

Exerie 15.7. Soit

m ∈ _R

^{. Déterminer les valeurs}

de

m

^{pour lesquelles les systèmes suivants ont des so-}

lutions

1.

® mx + 3 y = 5, 2x + my = 7.

2.

® 5 x − my = 6, mx + 25y = 10.

3.

® mx + y = 6,

mx − 2y = −1.

Exerie 15.8. [Magie℄ Triss et Yennefer ont aheté

des items magiques an de préparer quelques élixirs.

Triss a aheté 80 ristaux d'Albar et 50 plumes de Co-

atrix pour 75 Orins ; Yennefer a aheté 30 ristaux

d'Albar et 60 plumes de Coatrix pour 57 Orins. Dé-

terminer le oût d'un ristal d'Albar et d'une plume de

Coatrix.

Exerie 15.9. [Algorithme℄ On souhaite érire

un algorithme permettant de déterminer les oordon-

nées du point d'intersetion, s'il existe, des droites d'équa-

tions

y = m ₁ x + p ₁

^et

y = m ₂ x + p ₂

^.

1. À quelles onditions les deux droites sont-elles

séantes, parallèles, onfondues ?

2. Exprimer

x

^{en fontion}

m ₁ , m ₂ , p ₁

^et

p ₂

^.

3. Compléter l'algorithme i-dessous.

Exerie 15.10. [Algorithme,***℄ Érire un al-

gorithme permettant de déterminer si les droites d'équa-

tions

a ₁ x + b ₁ y + c ₁ = 0

^et

a ₂ x + b ₂ + c ₂ = 0

^sont

parallèles, onfondues ou séantes et le as éhéant leur

unique point d'intersetion.

Algorithme 1 : Intersetion de droites

Données :

m ₁ , m ₂ , p ₁ , p ₂

1 Début

2 Si . . . .. . . Alors

Sorties : . . . .. . . .

3 FinSi

4 Sinon Si . . . .. . .. . . Alors

Sorties : . . . .. . . .

5 FinSi

6 Sinon Si . . . Alors

7

x ←

^{. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .}

8

y ←

^{. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .}

Sorties : . . . .. . . .

9 FinSi

10 Fin

Exerie 15.11. [**℄ On souhaite déterminer les

longueurs des tés de l'angle droit d'un triangle

ABC

retangle en

B

^dont l'hypoténuse mesure

4

^{et l'aire}

vaut

3, 84

^{. On pose}

AB = x

^et

BC = y

^.

1. Faire un dessin de la situation.

2. Exprimer l'aire de

ABC

^{en fontion de}

x

^et

y

^.

En déduire que

xy = 7, 68

^.

3. Érire l'égalité de Pythagore dans e triangle à

l'aide de

x

^et

y

^.

4. Montrer que

( x + y ) = 31, 36

^et

( x − y ) = 0, 64

^.

5. En déduire un système linéaire de deux équations

à deux inonnues

x

^et

y

^{et le résoudre.}

Exerie 15.12. [*℄ Soit

m ∈ _R

^{. On nomme}

d _m

^la

droite d'équation

mx + (1 − 2m) + m − 3 = 0

^.

1. Érire une équation de

d ₁

^{et la traer.}

2. Traer dans le même repère

d ₋₁

^et

d ₂

^.

3. Déterminer la valeur de

m

^{pour laquelle :}

a) la droite

d _m

^{est parallèle à l'axe}

(Ox )

^{puis la}

traer;

b) la droite

d _m

^{est parallèle à l'axe}

( Oy )

^{puis la}

traer;

) la droite

d _m

^{passe par l'origine du repère puis}

la traer.

4. Les droites traées semblent onourantes en un

point

P

^{. Montrer que quelque soit}

m

^,

d _m

^passe

par

P

^.

5. Existe-t-il des droites

d _m

^:

a) passant par

M (10 ; 6)

^?

b) de veteur direteur

~ u

Å −1

−1 ã

?

5.3 Entraînement

Exerie 15.13. Dans haque as, dire si oui ou non

le ouple

(−1 ; 2)

^{est solution du système i-dessous.}

1.

® 3x − y = −5,

−5 x + 7 y = 4.

2.

® x + y = 1,

−2 x + 4 y = 8.

3.

® 3x + 2y = 1, 2 x + y = 0.

Exerie 15.14. Résoudre les systèmes i-dessous.

1.

® x + y = 1, 5x + 2y = 4.

2.

® 4 x − 2 y = 10,

−2 x + y = −5.

3.

® −3x + 5y = −5, 21 x − 35 y = 4.

4.

® 10 x − 12 y = 9, x + 2y = −8.

5.

® −2 x + 5 y = 7,

16 x − 40 y = −56.

6.

® 2x − 3y = 0,

−x + 3 y = −4.

Exerie 15.15. Dans haque as, déterminer si les

droites

D ₁

et

D ₂

sont parallèles ou séantes.

1.

D ₁ : 5 x +2 y +3 = 0

^et

D ₂ : −4 x + 2

5 y +3 = 0

^.

2.

D ₁ : 2 x −3 y +1 = 0

^et

D ₂ : − 1

2 x + 3

4 y +4 = 0

^.

3.

D ₁ : x + 2 y − 4 = 0

^et

D ₂ : 2 x + y − 1 = 0

^.

4.

D ₁ : y = 2x − 1

^et

D ₂ : y = 2x + 6

^.

5.

D ₁ : y = −3 x − 4

^et

D ₂ : y = 4 x − 7

^.

6.

D ₁ : y = 8x − 6

^et

D ₂ : x = 3

^.

Exerie 15.16. Résoudre graphiquement les sys-

tèmes i-dessous.

1.

® x = −4,

−x + y = 5.

^2.

® 3x − 3y = −9, x + 2y = 6.

Exerie 15.17. Soit

m ∈ _R

^{. Déterminer les va-}

leurs de

m

^{pour lesquelles les systèmes suivants ont}

des solutions

1.

® 9 x − my = 7,

−mx + 4y = 5.

2.

® mx − y = 2, 36x + my = 6.

3.

® x + my = −1,

5x − 2my = 0.