Nombres de Bell
Référence :FGNal1p.14 et internet...
Pour toutn∈N∗, on noteBn le nombre de partitions de l’ensembleJ1, nK, avec par conventionB0= 1.
Définition
— On aBn+1=
n
X
k=0
n k
Bk.
— Pourn>1,B(n)6nB(n−1)
— De plus, pourn>1 p
(n−1)!6Bn6n!.
Lemme
Preuve :
Déjà, on aB1= 1,B2= 2 etB3= 5 (12-3 ;13-2 ;23-1 ;1-2-3 ;123).
— Pourk∈ {0, ..., n}, soitEk l’ensemble des partitions deJ1, n+ 1Ktelles que la partie contenantn+ 1 soit de cardinalk+ 1. LesEk sont bien sûr disjoints (ils ne contiennent pas les mêmes partitions).
Pour constituer la partie contenantn+ 1, il faut choisirkéléments dansJ1, nKqui seront dans la partie den+ 1 puis réaliser une partition desn−k éléments restants. Ceci nous donne|Ek|=
n k
Bn−k. Ensuite, on sait que
n
G
k=0
Ek est l’ensemble des partitions deJ1, n+ 1K(on a mis toutes les façons possibles de couperJ1, n+ 1K). DoncBn+1=
n
X
k=0
|Ek|=
n
X
k=0
n k
Bn−k=
n
X
k=0
n k
Bk car n
k
= n
n−k
— Par récurrence, pour n= 1 OK.
On utilise ensuite la formule précédente Bn+1= 1+
n
X
k=1
n k
Bk 61+
n
X
k=1
n k
kBk−1= 1+n
n
X
k=1
n−1 k−1
Bk−1= 1+n
n−1
X
k=0
n−1 k
Bk = 1+nBn
Donc a fortioriBn+16(1 +n)Bn. Ce qui clôt la récurrence.
— La majoration est immédiate par récurrence avec la formule précédente.
On va procéder également par récurrence pour la minoration en utilisant la première formule.
Pourn= 1 OK
On utilise pour la récurrence une minoration de la somme par l’un de ses termes Bn+1>
n n−1
Bn−1=nBn−1
Laura Gay p.1 31 mai 2015
D’où la minoration.
On aBn =1 e
+∞
X
k=1
kn k!
Proposition (Formule de Dobinski - 1877)
Preuve :
Etape 1 Soitf(z) =
+∞
X
n=0
Bn
n!zn. Montrons que le rayon de convergenceR de cette série n’est pas nul.
Par le Lemme, ∀n ∈ N, Bn 6 n!. Ainsi R > 1 (comparaison des séries à termes positifs car
+∞
X
k=0
zn
converge pour |z|<1) doncRnon nul.
Etape 2 Calculerf sur ]−R, R[
La fonctionf est dérivable sur cet intervalle et on a : f0(z) =
+∞
X
n=1
Bn
(n−1)!zn−1=
+∞
X
n=0
Bn+1
n! zn
=
+∞
X
n=0
1 n!
n
X
k=0
n k
Bkzn
=
+∞
X
n=0 n
X
k=0
Bk
k!
1 (n−k)!
! zn=
+∞
X
n=0
Bn
n!zn
! +∞
X
n=0
1 n!zn
!
(produit de Cauchy)
=f(z)ez
Donc il existe C∈Rtqf(z) =Ceez pourz∈]−R, R[.
Mais f(0) =B0= 1 donc
f(z) = 1 eeez Etape 3 DéduireBn
On exprime un autre développement en série entière de f. En effet, eez =
+∞
X
k=0
ekz k! =
+∞
X
k=0 +∞
X
n=0
(kz)n k!n! =
+∞
X
n=0 +∞
X
k=0
kn k!
!zn
n! (voir détails pour appliquer le théorème de Fubini)
Et donc, par unicité du développement en série entière : Bn= 1
e
+∞
X
k=0
kn k!
Laura Gay p.2 31 mai 2015
Détails :
Considérons la suite (un,k)(n,k)∈N2 = (kz)n k!n! . Cette série est sommable car
+∞
X
n=0
|un,k|= e|kz|
k! et
+∞
X
k=0
e|kz|
k! = eez.
Notes :
XA l’oral, bla
XCes calculs montrent que le rayon def est infini.
X Bn est convexe au sens oùBn−1+Bn+1>2Bn mais ça sert à rien.
XBn est donc le moment d’ordrend’une loi de Poisson de paramètre 1.
XEquivalent des nombres de Bell : on peut montrer que ln(Bn)∼nln(n) (compliqué) http://culturemath.ens.fr/maths/pdf/combi/boites.pdf
♣Eric Temple Bell (1883 – 1960) est un mathématicien et auteur de science-fiction écossais. Ses recherches portent sur la théorie des nombres, en particulier les séries de Bell. Il travaille aussi sur les fonctions génératrice.
Il est à l’origine des polynômes de Bell et des nombres de Bell en combinatoire.
♣Dobinski(qui était-ce ?)
Laura Gay p.3 31 mai 2015
