6.6 F.S.O Session Rattrapage 2010-2011 (Durée : 1h30)

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Barème : 1 point par question ( la réponse doit êtrejustifiée) + 1 point pour présentation

Exercice I

On cherche à résoudre le systèmeAx= bpar les méthodes directe et indirecte.

SoitA= (ai j)_1≤i,j≤n une matrice carrée vérifiant les conditions suivantes : a_ii >0 , 1≤ⁱ≤ⁿ

ai j ≤^{0 , 1} ≤ⁱ6= j≤ⁿ

j=n

∑

j=1

ai j >0 , 1≤ⁱ≤ ⁿ

SoitDla matrice diagonale (dii= aii etdi j =0 sii6= j) 1) Montrer que la matriceDest inversible et donnerD⁻¹ 2) Montrer que la matriceAvérifie :

j=n

∑

j6=i,j=1

ai j

<|^aii| ^{, 1} ≤ⁱ≤ ⁿ (∗) 3) Donner l’expression du terme général de la matrice A⁽¹⁾obtenue après la première étape du procédé d’élimination de Gauss sans pivot

4) Montrer que la matriceBd’ordre(n−¹)obtenue à partir deA⁽¹⁾en

enlevant la première ligne et la première colonne vérifie une la relation similaire à(∗)

5) Ecrire le schéma itératif de Jacobi x^(k+1)=Tx^(k)+C (T étant la matrice de Jacobi associée àA)

6) Expliciter les composantesx⁽_j^k+1)en fonction de celles de x^(k)et deC 7) Montrer que la méthode de Jaobi converge

(on pourra montrer quek^Tk^∞= max

1≤i≤n j=n

∑

j=1

ti j

<1 ) 8) Application :

On donne A=





3 −¹ −¹

−^{1 4} −²

−¹ −^{3 5}



,b=



 1 1 1



,x⁽⁰⁾=



 1 1 1



 a) Donner la matriceT de Jacobi associée àA

b) Calculer la 1^ere itérationx⁽¹⁾obtenue en utilisant la méthode de Jacobi Exercice II

Soitg la fonction définie sur[0,+^∞[ parg(x) = xexp(x)

1) Montrer qu’il xiste une solution unique θ∈]0,+^∞[qui vérifieg(θ) =1

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2) Montrer que∀ ^x∈[0,+^∞[on a : g^′′(x) g^′(x) ≤²

3) On considère la fonction h définie sur[0,+^∞[par :h(x) =x− ^g(x)−¹ g^′(x) a) Montrer que ∀ ^x ∈]0,+^∞[ , il existe c ∈]0,x[ tel que : h(x)−^θ = ¹

2(θ− x)^2g′′(c)

g^′(x)

b) Déduire que que∀^x∈]0,+^∞[,h(x)≥^θ

4) On considère la méthode itérative définie par : la donnée de x0 ≥ ^{θ et} xn+1 =h(xn)

i) Montrer que la suite(xn)_n∈N est décroissante

ii) Déduire que la suite(xn)_n∈N converge et trouver sa limite iii) Montrer que pour toutx≥^{θ on ah}(x)−^θ≤(θ−^x)²

iv) Déduire que∀^k∈N_,xk−^θ≤(x0−^θ)^poù pest un entier à préciser 4) Trouver le polynômePde degré 1 qui interpole la fonctiongaux points 0 et 1

5) Montrer que|^g(x)−^P(x)| ≤ ^3e₈ ^{où e} =exp(1)

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