Dipôle magnétique
Nota : depuis 2003, le dipôle magnétique fait partie du programme de MP et non de MPSI.
I39.
Rayon de la Terre R =6, 4.10 m6 ; perméabilité du vide µ0 =4 .10π −7SI ; 9
0
1 9.10 SI
4πε = .
1) Donner l’expression en coordonnées sphériques du potentiel d’un dipôle électrique de moment pG . 2) En déduire le champ électrique de ce dipôle.
3) En déduire le champ magnétique d’un dipôle magnétique de moment M G
.
4) Le champ magnétique terrestre pointe vers le nord ; sur l’équateur, il vaut . On suppose que c’est celui d’un dipôle de moment M
0 2, 8.10 5T
B = −
G
placé au centre de la Terre ; déterminer MG
(direction, sens, valeur numérique de son module).
5) Définir par un croquis la direction et le sens et exprimer la grandeur du moment magnétique d’une spire circulaire de rayon parcourue par un courant r I .
6) On suppose que le moment de la Terre est dû à ce que sa surface porte une densité superficielle de charge uniforme. Exprimer le moment magnétique de la Terre dû à au mouvement diurne de rotation de la Terre autour de l’axe des Pôles. On pourra considérer que ce moment est la somme des moments d’un empilement de spires et calculer le courant dû à la rotation de la charge située dans une direction faisant avec l’axe des Pôles un angle compris entre θ
et .
σ
θ+dθ
7) En déduire σ.
8) Calculer le champ électrique créé par σ un peu au-dessus de la surface de la Terre . 9) Conclure.
II40. Solénoïde et dipôle.
Soit une spire circulaire de rayon R, de centre O, d’axe Oz et parcourue par le courant I .
1) Déterminer par un argument précis de symétrie la direction du champ magnétique en un point de Oz.
2) Calculer ce champ magnétique en fonction de l’angle α sous lequel on voit le rayon de la spire.
DS : dipôle magnétique, page 1
3) Donner l’expression du moment dipolaire magnétique M G
de ce circuit.
Un solénoïde est constitué par un fil électrique enroulé suivant tours répartis régulièrement sur un cylindre de rayon et d’axe Ox entre les abscisses et (0 ). Il est parcouru par un courant qui vu de l’origine tourne dans le sens des aiguilles d’une montre. On pose n N et . On néglige dans tout le problème le caractère hélicoïdal du fil et considère que ce solénoïde est assimilable à une série de spires situées dans des plans perpendiculaires à l’axe.
N R x1 x2 <x1 <x2
( 2 1)
/ x x
= − nI
I
0 0
B = µ
4) Combien de spires comporte une tranche de solénoïde située entre les abscisses et x x +dx ? 5) Quel est le moment dipolaire dMJJJG
de cette tranche ?
6) Dans quel cas peut-on représenter approximativement le champ magnétique d’une spire par celui d’un dipôle ? 7) Dans cette approximation, quel est le champ magnétique en O d’une tranche de solénoïde située entre les abscisses
et ?
x x +dx
8) Dans cette approximation, quel est le champ magnétique BGd
que crée le solénoïde à l’origine ? 9) Calculer le champ magnétique en O exact du solénoïde, sans faire l’approximation dipolaire.
10) Donner un développement de cette expression quand et sont grands, jusqu’à la puissance –4 par rapport à et , considérés comme du même ordre.
x1 x2 x1 x2
11) Déterminer en fonction de pour que, si , l’expression obtenue par l’approximation dipolaire soit valable à 1 % près.
R x1 x2 =2x1
12) Par analogie avec les charges électriques, on appelle masse magnétique l’objet qui placé à l’origine crée le champ magnétique
m
0
4 2 r
B m r
= µ
π u
G G
. A quelles masses magnétiques est équivalent à grande distance le solénoïde ? 13) Comment pourrait être réalisé un monopôle magnétique, qui créerait le champ magnétique 0 2
4 r
B mu
r
= µ π
G G
?
Réponses
I. 1) 2
0
cos 4 V p
r θ
= πε ; 2) 3 3
0 0
2 cos sin
4 4 0
r p p
E E E
r θ r ϕ
θ θ
πε πε
= = = ; 3) 0 2 cos3 sin3
4 r
M M
r u r θ
µ θ θ
B = π⎡⎢ + u ⎤⎥
⎣ ⎦
G G G
; 4) M G est parallèle à l’axe des Pôles, est orienté du nord vers le sud et vaut
3 22 2
0
4 R B 7, 34.10 A.m
M π
= µ = ; 5) M =πr2I ; 6) 8 2 4
3 M R
T
= π σ ;
7) 32 4 0,143 C.m 2 8
TM σ R
π
=− =− − ; 8) 10
0
1, 6.10 V/m
E σ
= ε =− ; 9) voir corrigé.
I
MG II. 1) Oz est un axe de révolution du courant, donc le champ magnétique en un point de cet axe est porté par Oz ; 2)
0 sin3
2 z
B I u
R
µ α
G = G
; 3) MG =πR Iu2 Gz
; 4) dN =ndx ; 5) dMJJJG =πR Indxu2 Gx
; 6) à grande distance ; 7)
0 2
2 3
d x
nIR dx
dB u
x
= µ
G G
; 8)
0 2
2 2
1 2
1 1
d 4 x
B B R u
x x
⎛ ⎞⎟
= ⎜⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎟⎠
G G
; 9) 0 2 1
2 2 2 2
2 1
2 x
B x x
B u
R x R x
⎡ ⎤
⎢ ⎥
= ⎢⎣ + − + ⎥⎦
G G
; 10)
2 2
0
2 2 4 4
2 1 2 1
1 1 3 1 1
4 4
B R R
B x x x x
⎛ ⎛ ⎞⎟ ⎛ ⎟⎞⎟
⎜ ⎜ ⎜
= ⎜ ⎜⎜⎜ ⎝⎝−⎜ − ⎟⎟⎟⎠+ ⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⎞
⎠ ; 11) 4 1
R< 375x ; 12) le solénoïde équivaut à une masse en
et une masse en telles que ; 13) .
m1
x1 m2 x2 −m1 =m2 =πR nI2 x2 → ∞
DS : dipôle magnétique, page 2
Corrigé
I.1) 2
0
cos 4 V p
r θ
= πε
2) 3 3
0 0
2 cos 1 sin 1
sin 0
4 4
r
V p V p V
E E E
r r θ r r ϕ r
θ θ
θ θ
πε πε
∂ ∂
=− = =− = =− =
∂ ∂ ϕ
∂
∂
3) 0 2 cos3 sin3
4 r
M M
B u
r r θ
µ θ θ
π
⎡ ⎤
= ⎢ + ⎥
⎣ u ⎦
G G G
4) A l’Équateur, 0 3
2 4
B M u
R θ π µ
θ = G = π G
, donc MG
est parallèle à l’axe des Pôles, est orienté du nord vers le sud et vaut
6 3 5
3 22 2
0 7
(6, 4.10 ) 2, 8.10
4 7, 34.10 A.m
10 M πR B
µ
−
−
= = × =
DS : dipôle magnétique, page 3
5) M =πr2I
θ =σ πR θ θd
=
6) Entre et se trouve la charge dq qui traverse un plan méridien en un jour sidéral T , d’où le moment
θ θ+d 2 2sin
86164 s
2 2 4
2 2 3
0 0
cos 0 cos 0
2 3
3 3 2
cos 1
0 0 cos 1
2 4
2 sin 2
( sin ) ( sin ) sin
cos 4
sin 2 sin 2 (1 cos ) (cos ) 2 cos
3 3
8 3
R d
dq R
M R R d
T T T
d d d
M R
T
π π
π π θ θ
θ θ
σ π θ θ π σ
π θ π θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ θ
π σ
= =
= =
= = =
⎡ ⎤
⎢ ⎥
= = − − = ⎢⎣− + ⎥⎦ =
=
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
I
MG
7) Comme la Terre tourne d’ouest en est, la charge σ est négative.
22 2
2 4 2 6 4
3 3 86164 7, 34.10
0,143 C.m
8 8 (6, 4.10 )
TM σ R
π π
× × −
=− =− = −
× ×
8) Le théorème de Gauss appliqué à une sphère de rayon à peine supérieur à celui de la Terre donne le champ électrique dans l’atmosphère près du sol :
2 2
0
4 4 R
R E π σ
π = ε ⇒ 9 1
0
36 .10 0,143 1, 6.10 V/m
E σ π
= ε =− × = − 0
9) Cette valeur est énorme ; l’explication proposée par ce problème du magnétisme terrestre est fausse. En réalité, le moment magnétique terrestre est dû à des courants électriques dans le noyau de la Terre.
II. Solénoïde et dipôle.
1) Oz est un axe de révolution du courant, donc le champ magnétique en un point de cet axe est porté par Oz.
2)
0 0 0 0 3
2 2 2 2
sin sin sin
; sin 2
4 z 4 4 4 2
Id u Id I I 0I
u B d R
r r r r R
µ ∧ µ µ α µ α µ α
= = = α= = π =
π π π π
∫ ∫ ∫
B B
JJG G
G A G A
v v v
A=πR Iu
. 3) MG 2 Gz de ce circuit.
4) dN =ndx 5) dMJJJG=πR Indxu2 Gx 6) A grande distance.
7) En transposant l’expression du champ électrique d’un dipôle, on obtient 0
( )
3
3 4
M u u M
B r
⋅ −
= µ π
G G G G
G
. Comme uG &MG ,
0 0 2
3 3
2 2
d x
dM nIR dx
dB u
x x
µ µ
= =
π
G G G
8) 2
1
2 2 2
0 0 0
3 2 2 2
1 2 1 2
1 1 1 1
4 4
2
x
d x x
x
R Indx R nI B R
B u u
x x x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
µ π µ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
=
∫
π = ⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎟⎠ = ⎜⎜⎝ −x2⎟⎟⎟⎠uxG G G G
9)
[ ]
0 3 0 3
2
0 0 2
1
0 2 1
2 2 2 2
2 1
sin sin
2 2
cotan
sin
sin cos
2 2
2 x
I B
B ndx dx
R R
x R dx R d
B B
B d
B x x
B u
R x R x
= µ α = α
= α ⇒ =− α
α
=− α α = α
⎡ ⎤
⎢ ⎥
= ⎢⎣ + − + ⎥⎦
∫ ∫
∫
G G
.
10)
2 1/2 2
2 2
2 2
2 2
0
2 2 4 4
2 1 2 1
1 1 3 ...
2 8
1 1 3 1 1
4 4
x R R R
x x x
R x
B R R
B x x x x
⎛ ⎞⎟−
=⎜⎜⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎟⎠ = − + + +
⎛ ⎛ ⎞⎟ ⎛ ⎞⎞⎟
⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
= ⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎝ ⎝− − ⎟⎟⎟⎠+ ⎜⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎟⎠⎠
4 4
⎟⎟⎟⎟⎟
.
11) On veut que
4 4
2 1 2
2 2
1 2
2
2 2
1 2
2 2
1 2
1
1%
1 1
3 1%
1 1
4
3 1 1
4 1%
1 1 1
75 4 375
d d
B B
B x x R
x x R
x x
R x x
R x
− <
−
<
−
⎛ ⎞⎟
⎜ + ⎟<
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞⎟
⎜ ⎟
< ⎜⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎟⎠
<
12) Le solénoïde équivaut à une masse m1 en x1 et une masse m2 en x2 telles que
0 2 0 1 2 2
1 2
2 2 2 2
1 2 1 2
1 1
4 4
d
R nI m m
B m
x x x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
µ ⎜ ⎟ µ ⎜ ⎟
= ⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎟⎠=− π⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎟⎠⇒ − =m =πR nI G
13) Il faut que x2 → ∞.
DS : dipôle magnétique, page 4
