LE DIPÔLE RC

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LYCEE ZAHROUNI-TUNIS-

SCIENCES PHYSIQUES

4ème MATH

Cours

Boussada .A 2 www.physiqueweb2.c4.fr

LE DIPÔLE RC

Le dipôle RC est constitué d’un condensateur associé en série avec un résistor (conducteur ohmique).

U est une tension appliquée aux bornes du dipôle RC, à t=0 s on ferme le circuit. Si :

Pour t<0 ; u =0 Pour t0 ; u = E.

On dit alors qu’on applique un échelon de tension au dipôle RC.

En courant variable: i(t) =dq dt^.

c c

c d(Cu ) du

i dqavec q C.u donci C.

dt dt dt

   

à retenir

(on doit représenter les flèches des tensions avant d’établir l’équation différentielle).

Le condensateur est initialement déchargé, à la date t=0, on ferme l’interrupteur K.

d’après la loi des mailles :

uR + uc+ uG= 0 avec uR=Ri et uG= - E Ri + uc- E = 0 or i C.du^c

 dt

c c

RCdu u E

dt   , on pose=RC

c c

du u E

 dt   _ou du^c u^c E dt  

 

a- Solution de l’équation différentielle :

L’équation différentielle précédente a pour solution uC= A + Be^-t. Avec A ; B etsont des constantes positives. Déterminons A ; B et: 1^èreétape: Le condensateur est initialement vide uC(0) = 0.

A + Be⁰=0A + B =0 donc B= - A. D’ou uC= A – Ae^-t.

2^èmeétape: lorsque t+ ∞ ; le condensateur est complètement chargé : uC(∞) = E.

A – Ae^-∞= E or e^-∞=0.

A – 0 = E d’où A=E et B= - E.

Donc uC= E – Ee^-t. uC= E( 1 – e^-t).

5 Solution de l’équation différentielle 4 Equation différentielle 3 Relation entre i(t) et u^c(t) 2 Echelon de tension 1 Dipôle RC

Réponse d’un dipôle RC à un échelon de tension I

C i +q -q

uC

R C

t(s) u(V)

E

uR

uC

i

i R E C

K

uG

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3^èmeétape: Cette solution vérifie l’équation différentielle RCdu^c u_c E dt   Donc : RCE(0 – (-)e^-t) + E( 1 – e^-t) = E

RCEe^-t+ E -E e^-t= E RCEe^-t-E e^-t= 0Ee^-t( RC- 1 ) = 0.

Or Ee^-t>0 d’où RC- 1 = 0  RC= 1 =  RC=

.

u

= E(1- e

).

Expression de uR(t) ; uR= E – uc=E - E(1 e ) ^t = E –E + Ee^t d’où

t

u =EeR ^

Expression de i(t)

uR

i R donc i= eE ^t R



t

uc E(1 e ) ^ u =Ee_R ^t i= eE ^t R



t(s) 0 + t(s) 0 + t(s) 0 +

uc(V) 0 E uR(V) E 0 i(A) ^E_R 0

a-Définition:

La constante de tempsest une grandeur caractéristique du dipôle RC, elle nous renseigne sur la rapidité avec laquelle s’effectue la charge ou la décharge d’un condensateur.

b- Unité de:

uR V

R i donc R est en A V A.s

R C avec C q or q I.t donc C est en A.s d ' où est en A V. s

uc V

{ ^

   

 

(seconde) doncest un temps.

c- Détermination de:

 Par calcul : Ayant les valeurs de R(en Ω) et de C(en F), on peut calculer directement(en s) ; = RC.

 Graphiquement:1^èreméthode (utilisation de la tangente à l’origine): on peut montrer queest l’abscisse du point d’intersection de la tangente à la courbe de uc(t)[de même pour uR(t), i(t) et q(t)] à la date t=0 avec l’asymptote (lorsque t+).

0 ^t(s)

E=uRmax

uR(V)

Tangente

Asymptote

Point d’intersection



0

t(s) E=Uc

max

uc(V )

Tangente

Asymptote Point

d’intersection

 8 La constante de temps

0

t(s)

max E

I R i(A)

0

t(s) E=URmax

uR(V)

0

E

X E R C C I E S D E S Y N T H E S E

Exer cice 1

E X R E

uc

E

7 Graphes de u^c(t), uR(t) et de i(t) 6 Expression de u^R(t) et de i(t)

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o 2^èmeméthode (lecture graphique): 1^ercas: à partir du graphe de uc(t)

Pour t=, quelle est la valeur de uc?

1 1

1 0 63 0 37

u ( ) E(1 e ) E( e )c   ^   ^ , .E car e^ , Exemple:

On a E= 4 V d’où 0,63.4 =2,52 V donc l’abscisse du point d’ordonnée 2,52 V est égale à

2^ème cas: à partir du graphe de uR(t) Pour t=, quelle est la valeur de uR?

1 0 37

u ( ) E.eR  ^ E.e^ , .E Exemple:

On a E= 4 V d’où 0,37.4 =1,48 V donc l’abscisse du point d’ordonnée 1,48 V est égale à.

On peut considérer qu’un condensateur est complètement chargé lorsque sa tension uc= 0,99E ce qui donne une durée de charge t 5= 5RC

Le temps de charge augmente avec R et avec C.

Pour t < 5, on a le régime transitoire.

Pour t5, on a le régime permanent.

Remarque:

 la réponse d’un dipôle RC à un échelon de tension est la charge progressive du condensateur : c’est un phénomène transitoire.

 Charge d’un condensateur par une tension créneaux.

Pour 5< T

2, pendant une demi-période la tension ucpeut atteindre sa valeur finale donc on observe les courbes suivantes (les deux voies ont la même sensibilité verticale) :

Pour 5> T

2, pendant une demi-période la tension uc

ne peut pas atteindre sa valeur finale donc on observe les courbes suivantes : uG

uc

u(V)

t(s)

Um

5 ^T2

T K

i

i R C

G.B.F A

B uc

Voie YA

Voie YB

uG

9 Durée de charge d’un condensateur

0 2,52

t(s) 4

uc(V)



0

t(s) 4

uR(V)

1,48



/ 4

1- Equation différentielle :

(on doit garder la même orientation du circuit).

Le condensateur est initialement chargé, à la date t=0, on ferme l’interrupteur K.

d’après la loi des mailles : uR + uc= 0 avec uR=Ri Ri + uc= 0 avec i C. du^c

dt RCdu^c

dt ^{+ uc= 0 ,=RC}

0

c c

du udt

   _ou du^c u^c 0 dt   2- Solution de l’équation différentielle : 

L’équation différentielle précédente a pour solution

t

uc Ee^_. Avec=RC.

3- Expression de uR(t) et de i(t) : Expression de uR(t)

uR= 0 – uc= Ee^t d’où

t

u = EeR  ^ Expression de i(t) : iu^R

R ^donc

-E t

i= e R



4- graphes de uc(t), uR(t) et de i(t) :

t

uc Ee^ u = Ee_R  ^t i=-Ee ^t R



0 ^t(s)

max E

I  R i(A)

0 ^t(s)

URmax E

uR(V)

0

t(s) E=Ucmax

uc(V)

La décharge d’un condensateur II

0 _T 5

2

T u(V)

t(s) uG

uc

K

uR

uC

i

i R

C