Ch21: Dynamique du dipôle RC
1. L’intensité du courant électrique
Pour un courant permanent: L’intensité 𝑰 (𝒆𝒏 𝑨𝒎𝒑è𝒓𝒆) du courant électrique est la quantité de charges électriques 𝑸 (𝒆𝒏 𝒄𝒐𝒖𝒍𝒐𝒎𝒃) qui passe par unité de temps (seconde).
𝑰 = 𝑸 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒔
Pour un courant variable: on fait tendre vers zéro l’intervalle de temps.
L’
intensité (Ampère)
est la dérivée de lacharge électrique (coulomb)
par rapport au temps.𝒊 = 𝑑𝒒 𝑑𝑡
Remarque: 𝒊 peut être positive ou négative
2. Le condensateur
2.1. Constitution d’un condensateur
Un condensateur est constitué de deux surfaces (armatures)
conductrices placées face à face séparée par un isolant (diélectrique).
Son symbole dans un circuit électrique est:
2.2. Comportement d’un condensateur et capacité
Lorsqu’un condensateur est soumis à une tension électrique 𝑈𝐴𝐵, il y a un déplacement des charges électriques qui s’accumulent sur les
armatures. 𝑞𝐴 sur l’armature A et 𝒒𝑩 = −𝒒𝑨 sur l’armature B.
La capacité C à accumuler les charges électriques sur ses armatures est généralement proportionnelle à la surface des armatures.
Les valeurs usuelles des capacités des condensateur est souvent de l’ordre du nano ou micro Farad (nF ou 𝝁F).
2.3. Relation entre la charge électrique et la tension pour un condensateur
La charge électrique 𝒒𝑨 (𝒆𝒏 𝑪𝒐𝒖𝒍𝒐𝒎𝒃 𝑪 ) accumulée sur l’armature A d’un condensateur de capacité C (F) et sous tension électrique 𝒖𝑪 (V) est toujours de la forme:
𝒒 𝑨 = C x 𝒖 𝑪
2.3. Relation entre l’intensité électrique et la tension pour un condensateur
D’après le 1. 𝒊 = 𝒅𝒒𝑨
𝒅𝒕
et d’après le 2.2. 𝒒𝑨 = C x 𝒖𝑪
Donc:
𝒊 =
𝒅(C
x 𝒖𝑪)𝒅𝒕
𝒊 = C x 𝒅𝒖
𝑪𝒅𝒕
car C est constante dans le temps3. Le modèle du circuit RC série
3.1. Charge et décharge d’un condensateur
Pour modéliser ces circuit RC on établi l’équation différentielle vérifiée par la tension 𝒖
𝑪aux bornes du condensateur au
cour du temps et on exprime cette valeur 𝒖
𝑪en fonction du
temps
Cas de la charge:
D’après la loi des mailles: 𝑢
𝑅+ 𝒖
𝑪− 𝐸 = 0 D’après la loi d’ohm: 𝑢
𝑅= 𝑅 × 𝒊
D’après le 2.3. : 𝒊 = C x
𝒅𝒖𝑪𝒅𝒕
On en déduit l’équation différentielle:
𝑹 × C x 𝒅𝒖
𝑪𝒅𝒕 + 𝒖
𝑪− 𝑬 = 𝟎
Ou encore: 𝒅𝒖
𝑪𝒅𝒕 = − 𝟏
𝑹𝑪 × 𝒖 𝑪 + 𝟏
𝑹𝑪 ×E
Résolution de l’équation:
𝒅𝒖
𝑪𝒅𝒕 = − 𝟏
𝑹𝑪 × 𝒖 𝑪 + 𝟏
𝑹𝑪 × E
(rappel: 𝑦
′= 𝑎𝑦 + 𝑏 à pour solution 𝑦 = 𝐾 × 𝑒
𝑎𝑥−
𝑏𝑎
) Donc ici 𝒖
𝑪= 𝐾 × 𝑒
−𝑹𝑪𝒕+ 𝐸
À t=0 𝑞
𝐴0 = 0 donc 𝒖
𝑪= 0 Donc 0= 𝐾 × 𝑒
−𝟎
𝑹𝑪
+ 𝐸 soit 𝐾 = −𝐸 Lors de la charge la tension est donc:
𝒖 𝑪 = 𝐸(1 − 𝑒 − 𝑹𝑪 𝒕 )
Cas de la décharge:
D’après la loi des mailles: 𝑢
𝑅+ 𝒖
𝑪= 0 D’après la loi d’ohm: 𝑢
𝑅= 𝑅 × 𝒊
D’après le 2.3. :𝒊 = C x
𝒅𝒖𝑪𝒅𝒕
On en déduit l’équation différentielle:
𝑹 × C x 𝒅𝒖
𝑪𝒅𝒕 + 𝒖
𝑪= 𝟎
Ou encore: 𝒅𝒖
𝑪𝒅𝒕 = − 𝟏
𝑹𝑪 × 𝒖 𝑪
Résolution de l’équation:
𝒅𝒖
𝑪𝒅𝒕 = − 𝟏
𝑹𝑪 × 𝒖 𝑪
(rappel: 𝑦
′= 𝑎𝑦 + 𝑏 à pour solution 𝑦 = 𝐾 × 𝑒
𝑎𝑥−
𝑏𝑎
) Donc ici 𝒖
𝑪= 𝐾 × 𝑒
−𝑹𝑪𝒕À t=0 𝒖
𝑪= E
Donc E= 𝐾 × 𝑒
−𝟎
𝑹𝑪
soit 𝐾 = 𝐸
Lors de la décharge la tension est donc:
𝒖 𝑪 = 𝐸 × 𝑒 − 𝑹𝑪 𝒕
3.2. Temps caractéristique
On peut voir que les solutions des différentes équations différentielles sont toujours dépendante du produit RC. Montrer que ce produit RC est homogène à un temps 𝑻 .
Loi d’ohm: 𝑢 = 𝑅 × 𝑖 donc R est homogène à 𝑈
𝐼
et 𝑖 = 𝐶 𝑑𝑢𝐶
𝑑𝑡 donc C est homogène à 𝐼 × 𝑇
𝑈
Donc le produit RxC est homogène à 𝑈
𝐼 × 𝐼 × 𝑇
𝑈 = 𝑇
RC est appelé le temps caractéristique (ou constante de temps) de la charge ou de la décharge d’un dipôle RC. On utilise souvent la notation 𝑹𝑪 = 𝝉.
On considère que la charge ou la décharge totale est atteinte lorsque le temps écoulé est de 5 𝝉
On peut déterminer cette constante de temps graphiquement:
QCM 1,2,3 et exercices p 433 n° 3, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 16, 18, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 30, et ECE
