Ch21: Dynamique du dipôle RC

Ch21: Dynamique du dipôle RC

1. L’intensité du courant électrique

Pour un courant permanent: L’intensité 𝑰 (𝒆𝒏 𝑨𝒎𝒑è𝒓𝒆) du courant électrique est la quantité de charges électriques 𝑸 (𝒆𝒏 𝒄𝒐𝒖𝒍𝒐𝒎𝒃) qui passe par unité de temps (seconde).

𝑰 = 𝑸 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒔

Pour un courant variable: on fait tendre vers zéro l’intervalle de temps.

L’

intensité (Ampère)

charge électrique (coulomb)

𝒊 = 𝑑𝒒 𝑑𝑡

Remarque: 𝒊 peut être positive ou négative

2. Le condensateur

2.1. Constitution d’un condensateur

Un condensateur est constitué de deux surfaces (armatures)

conductrices placées face à face séparée par un isolant (diélectrique).

Son symbole dans un circuit électrique est:

2.2. Comportement d’un condensateur et capacité

Lorsqu’un condensateur est soumis à une tension électrique 𝑈_𝐴𝐵, il y a un déplacement des charges électriques qui s’accumulent sur les

armatures. 𝑞_𝐴 sur l’armature A et 𝒒_𝑩 = −𝒒_𝑨 sur l’armature B.

La capacité C à accumuler les charges électriques sur ses armatures est généralement proportionnelle à la surface des armatures.

Les valeurs usuelles des capacités des condensateur est souvent de l’ordre du nano ou micro Farad (nF ou 𝝁F).

2.3. Relation entre la charge électrique et la tension pour un condensateur

La charge électrique 𝒒_𝑨 (𝒆𝒏 𝑪𝒐𝒖𝒍𝒐𝒎𝒃 𝑪 ) accumulée sur l’armature A d’un condensateur de capacité C (F) et sous tension électrique 𝒖_𝑪 (V) est toujours de la forme:

𝒒 _𝑨 = C x 𝒖 _𝑪

2.3. Relation entre l’intensité électrique et la tension pour un condensateur

D’après le 1. 𝒊 = ^𝒅𝒒𝑨

𝒅𝒕

et d’après le 2.2. 𝒒_𝑨 = C ^{x 𝒖}_𝑪

Donc:

𝒊 =

C

𝒅𝒕

𝒊 = C x ^𝒅𝒖

𝒅𝒕

3. Le modèle du circuit RC série

3.1. Charge et décharge d’un condensateur

Pour modéliser ces circuit RC on établi l’équation différentielle vérifiée par la tension 𝒖

aux bornes du condensateur au

cour du temps et on exprime cette valeur 𝒖

en fonction du

temps

Cas de la charge:

D’après la loi des mailles: 𝑢

+ 𝒖

− 𝐸 = 0 D’après la loi d’ohm: 𝑢

= 𝑅 × 𝒊

D’après le 2.3. : 𝒊 = C x

𝒅𝒕

On en déduit l’équation différentielle:

𝑹 × C x 𝒅𝒖

𝒅𝒕 + 𝒖

− 𝑬 = 𝟎

Ou encore: 𝒅𝒖

𝒅𝒕 = − ^𝟏

𝑹𝑪 × 𝒖 _𝑪 + ^𝟏

𝑹𝑪 ×E

Résolution de l’équation:

𝒅𝒖

𝒅𝒕 = − ^𝟏

𝑹𝑪 × 𝒖 _𝑪 + ^𝟏

𝑹𝑪 × E

(rappel: 𝑦

= 𝑎𝑦 + 𝑏 à pour solution 𝑦 = 𝐾 × 𝑒

−

𝑎

) Donc ici 𝒖

= 𝐾 × 𝑒

+ 𝐸

À t=0 𝑞

0 = 0 donc 𝒖

= 0 Donc 0= 𝐾 × 𝑒

𝟎

𝑹𝑪

+ 𝐸 soit 𝐾 = −𝐸 Lors de la charge la tension est donc:

𝒖 _𝑪 = 𝐸(1 − 𝑒 ^{− 𝑹𝑪 𝒕} )

Cas de la décharge:

D’après la loi des mailles: 𝑢

+ 𝒖

= 0 D’après la loi d’ohm: 𝑢

= 𝑅 × 𝒊

D’après le 2.3. :𝒊 = C x

𝒅𝒕

On en déduit l’équation différentielle:

𝑹 × C x 𝒅𝒖

𝒅𝒕 + 𝒖

= 𝟎

Ou encore: 𝒅𝒖

𝒅𝒕 = − ^𝟏

𝑹𝑪 × 𝒖 _𝑪

Résolution de l’équation:

𝒅𝒖

𝒅𝒕 = − ^𝟏

𝑹𝑪 × 𝒖 _𝑪

(rappel: 𝑦

= 𝑎𝑦 + 𝑏 à pour solution 𝑦 = 𝐾 × 𝑒

−

𝑎

) Donc ici 𝒖

= 𝐾 × 𝑒

À t=0 𝒖

= E

Donc E= 𝐾 × 𝑒

𝟎

𝑹𝑪

soit 𝐾 = 𝐸

Lors de la décharge la tension est donc:

𝒖 _𝑪 = 𝐸 × 𝑒 ^{− 𝑹𝑪 𝒕}

3.2. Temps caractéristique

On peut voir que les solutions des différentes équations différentielles sont toujours dépendante du produit RC. Montrer que ce produit RC est homogène à un temps 𝑻 .

Loi d’ohm: 𝑢 = 𝑅 × 𝑖 donc R est homogène à ^𝑈

𝐼

et 𝑖 = 𝐶 ^𝑑𝑢𝐶

𝑑𝑡 donc C est homogène à ^{𝐼 × 𝑇}

𝑈

Donc le produit RxC est homogène à ^𝑈

𝐼 × ^{𝐼 × 𝑇}

𝑈 = 𝑇

RC est appelé le temps caractéristique (ou constante de temps) de la charge ou de la décharge d’un dipôle RC. On utilise souvent la notation 𝑹𝑪 = 𝝉.

On considère que la charge ou la décharge totale est atteinte lorsque le temps écoulé est de 5 𝝉

On peut déterminer cette constante de temps graphiquement:

QCM 1,2,3 et exercices p 433 n° 3, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 16, 18, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 30, et ECE