Géométrie élémentaire dans l'espace

Chapitre 7

Géométrie élémentaire dans l'espace

I - Terminologie Notation.

Soient −→u et −→v deux vecteurs de l'espace. On note (−→\u ,−→v) la mesure de l'angle géométrique compris entre les vecteurs −→u et−→v comprise dans l'intervalle [0, π].

Définition 1 (Coplanaire).

Trois vecteurs−→u , −→v ,−→w de l'espace sont dits coplanaires s'il existe deux réelsλetµtels que

−

→u =λ−→v +µ−→w ou −→v =λ−→u +µ−→w ou −→w =λ−→u +µ−→v.

Définition 2 (Base deR³).

Soient−→u , −→v ,−→w trois vecteurs deR³. La famille(−→u ,−→v ,−→w) est une base deR³ si pour tout

−

→u⁰∈R³, il existe un unique triplet de réels(λ, µ, ν) tel que −→u⁰ =λ−→u +µ−→v +ν−→w.

II - Comment se repérer dans l'espace ? II.1 - Les coordonnées cartésiennes

Définition 3 (Repère cartésien).

Un repère cartésien de R³ est un quadruplet (O,−→u ,−→v ,−→w), oùO est un point de l'espace et

−

→u , −→v ,−→w sont trois vecteurs non coplanaires.

Définition 4 (Coordonnées cartésiennes).

Soient (O,−→u ,−→v ,−→w) un repère cartésien,−→u⁰ un vecteur etM un point de l'espace.

(i). Il existe un unique triplet de réels(x, y, z)tel que−→u⁰ =x−→u +y−→v +z−→w. Ce triplet est appelé coordonnées cartésiennes de −→u⁰.

(ii). Il existe un unique triplet de réels (x, y, z) tel que −−→

OM =x−→u +y−→v +z−→w. Ce triplet est appelé coordonnées cartésiennes de M.

Définition 5 (Repère orthonormé). Le repère (O,−→

i ,−→ j ,−→

k) est dit orthonormé si les vecteurs −→ i, −→

j et −→

k sont deux à deux orthogonaux et si k−→

ik=k−→

jk=k−→ kk= 1. Remarque.

Le repère(O,−→ i ,−→

j ,−→

k) est dit direct si le triplet (−→ i ,−→

j ,−→

k)suit la règle des trois doigts.

Notation.

Dans toute la suite,R = (O,−→ i ,−→

j ,−→

k) désigne un repère orthonormé direct.

II.2 - Les coordonnées cylindriques

Notation.

Pour tout réelθ, on note−→uθ,−→vθ les vecteurs dénis par ( −→u_θ = cosθ−→

i + sinθ−→ j ,

−

→v_θ = −sinθ−→

i + cosθ−→ j .

Exercice 1.Soit θun nombre réel. Exprimer les vecteurs−→ i et−→

j comme combinaison linéaire de

−

→u_θ et−→v_θ. Définition 6.

Soit M un point de l'espace. Un système de coordonnées cylindriques de M par rapport au repère R est un triplet (r, θ, z) tel que−−→

OM =r−→u_θ+z−→ k. Théorème 1 (Changement cartésien / cylindrique).

SoitM un point de coordonnées cartésiennes(x, y, z). Si (r, θ, z) est un système de coordon- nées polaires du point M, alors x=rcosθ, y=rsinθetOM =√

r²+z². II.3 - Les coordonnées sphériques

Définition 7.

SoitM un point de l'espace de coordonnées cartésiennes(x, y, z). Un système de coordonnées sphériques de M par rapport au repèreR est un triplet (r, θ, ϕ) tel que θ∈]0, π]et







x=rcosϕsinθ y=rsinϕsinθ z=rcosθ.

Le réelrest appelé rayon, l'angleϕest appelé longitude et l'angleθest appelé la colatitude.

III - Produit scalaire, Produit vectoriel, Déterminant Dans toute la suite, −→u et−→v désignent deux vecteurs de l'espace.

III.1 - Produit scalaire Définition 8 (Produit scalaire).

Soient−→u , −→v deux vecteurs de l'espace non nuls. Leur produit scalaire, noté−→u · −→v, est le réel déni par−→u · −→v =k−→uk k−→vkcos(−→\u ,−→v).

Si−→u ou −→v est le vecteur nul, −→u · −→v = 0.

Proposition 1 (Produit scalaire et projeté orthogonal).

Si−→u⁰ désigne le projeté orthogonal de −→u sur−→v, alors −→u · −→v =−→u⁰· −→v. Théorème 2 (Produit scalaire et Orthogonalité).

−

→u et−→v sont orthogonaux si et seulement si−→u · −→v = 0. Propriétés 2.

Soient −→u de coordonnées (x, y, z) et−→v de coordonnées(x⁰, y⁰, z⁰). (i). −→u · −→v =xx⁰+yy⁰+zz⁰.

(ii). Symétrie : −→u · −→v =−→v · −→u.

(iii). Bilinéarité : Le produit scalaire est une forme bilinéaire.

III.2 - Produit vectoriel Définition 9 (Produit vectoriel).

Le produit vectoriel de −→u et−→v, noté−→u ∧ −→v, est le vecteur

∗ −→

0 si −→u et−→v sont colinéaires,

∗ de normek−→ukk−→vksin(−→\u ,−→v),

∗ orthogonal à−→u et−→v,

∗ de sens tel que la famille(−→u ,−→v ,−→u ∧ −→v) soit directe.

Exercice 2.Calculer−→ i ∧−→

j,−→ j ∧−→

i,−→ j ∧−→

k. Théorème 3 (Produit vectoriel et Colinéarité).

−

→u et−→v sont colinéaires si et seulement si−→u ∧ −→v =−→ 0. Propriétés 3.

Soient −→u de coordonnées (x, y, z) et−→v de coordonnées(x⁰, y⁰, z⁰). (i). −→u ∧ −→v a pour coordonnées (yz⁰−zy⁰, zx⁰−xz⁰, xy⁰−yx⁰). (ii). Antisymétrie :−→u ∧ −→v =−−→v ∧ −→u.

(iii). Bilinéarité : Le produit vectoriel est une forme bilinéaire.

(iv). −→u ∧(−→v ∧ −→w) = (−→u · −→w)−→v −(−→u · −→v)−→w. III.3 - Déterminant

Définition 10 (Déterminant).

Soient−→u , −→v ,−→w trois vecteurs de l'espace. Le déterminant (ou produit mixte) de −→u , −→v ,−→w, est le réel det(−→u ,−→v ,−→w) = (−→u ∧ −→v)· −→w.

Théorème 4 (Déterminant et Coplanarité).

Soient −→u , −→v et−→w trois vecteurs de l'espace.−→u ,−→v et−→w sont coplanaires si et seulement si det(−→u ,−→v ,−→w) = 0.

Propriétés 4.

Soient −→u , −→v ,−→w trois vecteurs de l'espace.

(i). Si −→u (resp.−→v,−→w) a pour coordonnées(x, y, z)(resp. (x⁰, y⁰, z⁰),(x⁰⁰, y⁰⁰, z⁰⁰)), alors det(−→u ,−→v ,−→w) =xy⁰z⁰⁰+x⁰y⁰⁰z+x⁰⁰yz⁰−x⁰⁰y⁰z−x⁰yz⁰⁰−xy⁰⁰z⁰.

(ii). Forme alternée : Échanger deux variables du déterminant revient à en changer le signe.

(iii). Trilinéarité : Le déterminant est linéaire par rapport à chacune de ses variables.

Exercice 3.Exprimerdet(−→v ,−→w ,−→u) en fonction dedet(−→u ,−→v ,−→w).

IV - Droites, Plans et Sphères IV.1 - Plans

Définition 11 (Plan).

Soient A un point de l'espace et −→u , −→v des vecteurs non colinéaires. Le plan contenant le point Aet dirigé selon les vecteurs −→u et−→v est l'ensemble des pointsM tels que−−→

AM s'écrit comme combinaison linéaire de −→u et−→v.

Propriétés 5 (Équations).

(i). Équation paramétrique : il existe des réels x0, y0, z0 et des vecteurs (u₁, u₂, u₃),(v₁, v₂, v₃) tels que pour tout point M de coordonnées (x, y, z), M appartient à P si et seulement si







x=x0+λu1+µv1

y=y₀+λu₂+µv₂ z=z0+λu3+µv3

(ii). Équation cartésienne :il existe un triplet(a, b, c)6= (0,0,0)tel que pour tout pointM de coordonnées (x, y, z),M appartient à P si et seulement si ax+by+cz+d= 0.

Définition 12 (Équation normale).

Soit P un plan. L'équation normale de P est une équation cartésienne de la forme αx+ βy+γz+δ= 0, oùα, β, γ, δ sont des réels tels que α²+β²+γ² = 1.

Théorème 5 (Vecteur normal).

Soient(a, b, c, d)∈Rtel que(a, b, c)6= (0,0,0)etP le plan d'équation cartésienneax+by+ cz+d= 0. Le vecteur de coordonnées cartésiennes(a, b, c) est orthogonal à tous les vecteurs de P.

Théorème 6 (Distance d’un point à un plan).

SoientM un point de coordonnées cartésiennes(x0, y0, z0),Pun plan etd(M,P)la distance de M à P.

(i). Si P est déni par son équation cartésienne ax+by+cz+d= 0, alors

d(M,P) = |ax₀+by₀+cz₀+d|

√

a²+b²+c² .

(ii). Si P est déni par un point A et deux vecteurs non colinéaires−→u , −→v, alors

d(M,P) = |det(−→u ,−→v ,−−→

AM)|

k−→u ∧ −→vk .

IV.2 - Droites Définition 13 (Droite).

Soient −→u un vecteur non nul de l'espace etA un point du plan. La droite passant par A de vecteur directeur −→u est l'ensemble des pointsM du plan tels que −−→

AM soit colinéaire à−→u. Propriétés 6 (Équations).

(i). Équation paramétrique : il existe deux triplets de réels (xA, yA, zA) et(u1, u2, u3) tels que(u₁, u₂, u₃)6= (0,0,0)et tout pointM de coordonnées(x, y, z)appartient à la droite D si et seulement s'il existe un réelttel que







x=xA+tu1

y=y_A+tu₂ z=z_A+tu₃

.

(ii). Équation cartésienne :il existe des réelsa, b, c, α, β, γ non tous nuls et deux réelsd, δ tels que tout pointM de coordonnées (x, y, z)appartient à la droite D si et seulement

si

ax+by+cz+d= 0 αx+βy+γz+δ= 0

Théorème 7 (Perpendiculaire commune).

Soient D,D⁰ deux droites non colinéaires. Il existe une unique droite D⁰ perpendiculaire à D et àD⁰.

Théorème 8 (Distance d’un point à une droite).

Soient M un point de coordonnées cartésiennes (x, y, z),D une droite passant par un point A de vecteur directeur−→u etd(M,D) la distance du pointM à la droiteD.

d(M,D) = k−−→

AM∧ −→uk k−→uk .

IV.3 - Sphères Définition 14 (Sphère).

Soit R ∈ R^?₊. La sphère de centre A et de rayon R est l'ensemble des points M tels que k−−→

AMk=R.

Propriétés 7 (Équations).

Soit S une sphère de rayon R et de centre de coordonnées (a, b, c).

(i). Équation cartésienne :La sphère S a pour équation cartésienne(x−a)²+ (y−b)²+ (z−c)² =R².

Réciproquement, l'ensemble des points satisfaisant l'équationx²+y²+z²−2ax−2by− 2cz+d= 0 est soit vide, soit un singleton, soit une sphère.

(ii). Équation paramétrique :Une équation paramétrique de S est







x=Rcosϕsinθ y=Rsinϕsinθ z=Rcosθ

, θ∈[0, π], ϕ∈]−π, π].

Théorème 9 (Sphères et Plans).

Soit S la sphère de centre A et de rayonR etP un plan. Soit H le projeté orthogonal de A surP.

(i). Si d(A,P)> R, alors S ∩P=∅.

(ii). Si d(A,P) =R, alors S ∩P={H}. Le planP est tangent àS. (iii). Si d(A,P)< R, alors S ∩P est le cercle de centre H et de rayon p

R²−d(A,P)². Théorème 10 (Sphères et Droites).

SoitS la sphère de centreA et de rayonR etD une droite. SoitH le projeté orthogonal de A surD.

(i). Si d(A,D)> R,S ∩D =∅.

(ii). Si d(A,D) =R,S ∩D ={H}. La droite D est tangente àS. (iii). Si d(A,D)< R,S ∩D possède exactement deux éléments.

Théorème 11 (Sphères et Sphères).

Soit S (resp. S⁰) une sphère de centre A (resp. A⁰) et de rayon R (resp. R⁰). On suppose que AetA⁰ sont distincts, c'est-à-dire que les sphères ne sont pas concentriques.

(i). S ∩S⁰ est soit vide, soit réduit à un point, soit un cercle.

(ii). S etS⁰possèdent au moins un point d'intersection si et seulement si|R⁰−R| ≤AA⁰≤ R+R⁰.