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TS – DM16 – Révision Bac n°2
Petit rappel de cours :
Intervalle de fluctuation, intervalle de confiance.
– Un Intervalle de fluctuation est un intervalle dans lequel la fréquence
observée sur un échantillon se retrouvera, avec une probabilité de 95 %, si cet échantillon n'est pas « hors norme » par rapport à la population. Dans cette situation, la probabilité d'apparition du caractère de la population est connue, et c'est l'échantillon qu'on étudie.
– Un Intervalle de confiance est un intervalle dans lequel la probabilité élémentaire du caractère d'une population a 95 % de se trouver. Dans cette situation, la fréquence du caractère d'un échantillon est connue, et l'on cherche à estimer la probabilité d'apparition du caractère dans la population générale. Si la fréquence est dans l'intervalle de confiance, la probabilité p utilisée a 95 % d'être correcte.
– Si la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètre n et p, l'intervalle de fluctuation est donné par [ a
n ; b
n ], où a est l'entier le plus grand tel que P(X
≤ a) ≤ 0,025 et b est le plus petit entier tel que P(X ≥ b) ≤ 0,025.
Exercice n°1 – 4 points
Partie A
Dans un laboratoire, on cherche à concevoir un test pour le dépistage d'un virus. Les études, d'après ce laboratoire, donnent les résultats suivants : – la probabilité qu'une personne atteinte par le virus ait un test positif est de 0,9µ.
– la probabilité qu'une personne non atteinte par le virus ait un test positif est de 0,0µ.
On procède à un test de dépistage systématique dans une population « cible ».
On appelle :
– M l'évènement : « l'individu choisi est atteint par le virus ».
– T l'évènement : « Le test de l'individu choisi est positif ».
On note M et T les évènements contraires de M et T
On note p la proportion de personnes atteintes par la maladie dans la population cible.
1.a. Construire l'arbre de probabilité correspondant à la situation ci-dessus, en commençant par M et M.
1.b. Exprimer P(M ∩T), P( M ∩T), puis P(T) en fonction de p.
2.a. On note f la fonction qui donne la probabilité de M sachant T en fonction de p. Déterminer f.
2.b. Étudier les variation de f.
3. On considère que le test est fiable lorsque la probabilité qu'une personne ayant un test positif soit réellement atteinte est supérieure à 0,95. À partir de quelle proportion p de malades dans la population le test est-il fiable ?
Partie B
En juillet 2014, l'institut de veille sanitaire d'une île, en s'appuyant sur les données remontées par les médecins, publie que 1¤ % de la population est atteinte par le virus (Cette proportion est appelée p dans la suite).
Comme certaines personnes ne consultent pas forcément leur médecin, on 1/4
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pense que la proportion est en réalité plus importante.
Pour s'en assurer, on étudie un échantillon de 1000 personnes choisies au hasard dans cette île. Dans cette île, la population est suffisamment grande pour considérer qu'un tel échantillon résulte de tirages avec remise.
On désigne par X la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 1000 personnes choisies au hasard, fait correspondre le nombre de personnes atteintes par le virus, et par F la variable aléatoire donnant la fréquence associée.
1.a. Déterminer la loi de X.
1.b. Dans un échantillon de 1000 personnes choisies au hasard dans l'île, on dénombre 1µµ personnes atteintes par le virus. Quelle conclusion peut-on tirer de cette observation, à propos du chiffre de l'institut de veille sanitaire ?
2. On considère maintenant que la valeur de p est inconnue. En utilisant l'échantillon de la question 1.b., proposer un intervalle de confiance de la valeur de p, au niveau de confiance de 95 %.
Exercice n°2 – 6 points
Pour tout entier naturel n, on définit la fonction fn pour tout réel x de l'intervalle [0;1] par : fn(x) = ¤x + en(x-1).
On note cn la représentation graphique de la fonction fn dans un repère orthogonal.
Partie A
1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, la fonction fn est croissante et positive sur l'intervalle [0;1].
2. Montrer que les courbes cn ont toutes un point commun A et préciser ses coordonnées.
3. Conjecturer le comportement des coefficients directeurs des tangentes en A en fonction n. Démontrer cette conjecture.
Partie B
Soit x un réel fixé de l'intervalle [0;1]. Pour tout entier naturel n, on pose un = fn(x).
1. On suppose que x=1. Étudier la limite éventuelle de la suite (un).
2. On suppose 0 ≤ x <1. Étudier la limite éventuelle de la suite (un).
Partie C
On note An l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine situé entre l'axe des abscisses, la courbe cn, et les droites d'équations respectives x=0 et x=1.
Conjecturer la limite de la suite (An) puis démontrer cette conjecture.
Exercice n°3 – 5 points
Partie A
1.a. Résoudre dans C l'équation z² + z + 1 = 0.
1.b. Soit j une solution de l'équation précédente. Exprimer j2 en fonction de j et de -1.
1.c. Calculer j3.
2. Calculer le module et un argument de j, puis donner sa forme exponentielle.
3. Soient P, Q et R les images respectives de 1, j et j2. Quelle est la nature du triangle PQR ? Justifier.
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Partie B
Soient trois nombres complexes vérifiant a + jb + j2c = 0, et A, B et C leurs images respectives.
1. Démontrer que a – c = j(c – b) et que a – b = j2(b – c).
2. En déduire la nature de ABC.
Exercice n°4 – 5 points
On considère une variable aléatoire X qui suit une loi, dite 'loi exponentielle de paramètre λ' :
La probabilité que X soit plus petit ou égal à une quantité a est donnée par : P(X ≤ a) = ∫
0 a
λ e−λ tdt (1)
La courbe ci-dessous représente une fonction fλ(x)=λe-λx, et correspond à la durée de vie, exprimée en année, d'un composant électronique.
1.a. Représenter sur le graphique la probabilité P(X ≤ /t{1;2;3;4}).
1.b. Lire la valeur de λ.
2.a. Calculer ∫
0 a
0,5e−0,5tdt et en déduire la valeur exacte de la probabilité de la question 1.a. Interpréter alors ce résultat, sachant que l'axe des abscisses correspond au nombre d'année.
2.b. Représenter P( /t{1;2;3;4} ≤ X ≤ /t{5;6;7;8;9}) et calculer cette probabilité.
2.c. Calculer la probabilité qu'un composant ait une durée de vie supérieure à /t{5;6;7;8;9} ans.
3. On définit l'espérance mathématique d'une telle loi par : E(X)=
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lim
a→ ∞∫
0 a
λ te−λ tdt . On souhaite trouver une expression de E(x).
On pose g(x)=λxe-λx et G(x)=(Ax + B)(e-λx).
3.a. Calculer G'(x) et en déduire les valeurs de A et de B pour que G soit une primitive de g.
3.b. En déduire ∫
0 a
λ te−λ tdt 3.c. En déduire E(X).
3.d. Application : quelle est la durée de vie moyenne d'un composant électronique ?
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