U101 – Devoir sur les suites
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DEVOIR SUR LES SUITES 1
BACCALAUREAT POLYNESIE JUIN 2012
Partie A
On considère l’algorithme suivant :
Les variables sont le réel et les entiers naturels et .
Entrée
Saisir le nombre entier naturel non nul N.
Traitement
Affecter à la valeur 0 Pour allant de 0 à − 1
Affecter à la valeur 3 − 2 + 3 Fin pour
Sortie Afficher
Quel est l’affichage en sortie lorsque = 3 ?
Partie B
On considère la suite (
) définie par
= 0 et, pour tout entier naturel ,
= 3
+ 2 + 3
1. Calculer
2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel ,
≥ . b. En déduire la limite de la suite (
)
3. Démontrer que la suite (
) est croissante.
4. Soit la suite (
) définie, pour tout entier naturel n, par
=
− + 1 a. Démontrer que la suite (
) est une suite géométrique.
b. En déduire que, pour tout entier naturel ,
= 3
+ − 1 5. Soit un entier naturel non nul.
a. Pourquoi peut-on affirmer qu’il existe au moins un entier
tel que, pour tout ≥ ,
≥ 10
?
On s’intéresse maintenant au plus petit entier
. b. Justifier que
≤ 3.
c. Déterminer à l’aide de la calculatrice cet entier
pour la valeur = 3.
d. Proposer un algorithme qui, pour une valeur de p donnée en entrée, affiche en sortie la
valeur du plus petit entier
tel que, pour tout ≥
, on ait
≥ 10
.
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CORRECTION 2
PARTIE A
Lorsque = 3, l’algorithme effectue trois boucles avant de s’arrêter.
À la fin de la boucle pour = 0, on a = 3 ; à la fin de la boucle = 1, on a = 10 et à la fin de la boucle correspondant à = 2, on obtient = 29.
L’affichage en sortie est donc 29.
PARTIE B
On considère la suite () définie par = 0 et, pour tout entier naturel , = 3+ 2 + 3 1. = 3 = 10
2. a. Démonstration par récurrence,
Pour tout ∈ ℕ, notons la propriété ℘() ∶ ≥
- Initialisation (au rang O) = 0 ≥ 0
"#$ ℘(0)% &'(
- Hérédité (au rang + 1)
Soit ∈ ℕ. Supposons ℘() vraie si ≥ + 1 = 3+ 2 + 3
≥
⇔3≥3
⇔ 3+ 2≥ 3+ 2
⇔ 3+ 2+ 3≥ 3 + 2+ 3
⇔ 3+ 2 + 3 ≥ + 3
⇔ ≥ + 3
⇔ ≥ + 1
- Conclusion : On a montré par récurrence que ∀ ∈ ℕ, ≥
b) Calcul de limite
→0lim = +∞
Or ≥
Donc d’après le théorème de comparaison,
→0lim = +∞
3)
− = 3− 2 + 3 −
⇔ − = 2− 2 + 3
⇔ − ≥ 3
⇔ − ≥ 0
Donc la suite () est croissante.
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3
4) a)
= − + 1
= − ( + 1) + 1
⇔ = 3− 2 + 3 − − 1 + 1
⇔ = 3− 3 + 3 −
⇔ = 3 (− + 1)
⇔ = 3
Donc la suite () est une suite géométrique de raison 3 et de premier terme = 1
b)
Pour tout ∈ ℕ,
= × 3= 3
= − + 1 Donc = + − 1
= 3+ − 1
5) a)
lim→0= +∞ donc il existe au moins un entier tel que ≥ , ≥ 10
b)
4= 34+ 3 − 1 = 27+ 3 − 1 Or 27+ 3 − 1 ≥ 27≥ 10
= 3 est une valeur de telle que ≥ 10
La suite est croissante, pour tout n tel que ≥ 3, alors ≥ 4 et donc ≥ 10pour tout ≥ 3
est la plus petite de ces valeurs, soit 3 ≥
c) A la calculatrice : @= 734 et B= 2 193 donc pour = 3 = 7
d)
Entrée
Saisir le nombre entier naturel non nul p.
Traitement
Affecter à la valeur 0 Affecter à la valeur 0 Tant que < 10
Affecter à la valeur 3 − 2 + 3 Affecter à la valeur + 1 Fin tant que
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