AGIR COMPETENT EN MATHEMATIQUES

(1)

AGIR COMPETENT EN MATHEMATIQUES

Septembre 2019 REPUBLIQUE DU CAMEROUN

Paix-Travail-Patrie

Photocopie strictement interdite Risque de poursuites judiciaires

MINISTERE DES ENSEIGNEMENTS SECONDAIRES Direction des Examens, des Concours

et de la Certification

% EXOS 100

l’Entraînement intensif

Professeur des Lycées

Master Teacher Training Program- AIMS

46^ème Promotion de L’Ecole Normale Supérieure de Yaoundé Thierry Nathanaël AWONO MESSI

Tous les éléments pour un entraînement intensif sur mesure, tout au long de l’année :

 Tout ce qu’il faut savoir pour le BEPC : le programme, la structure de l’épreuve…

 Plus de 250 exercices progressifs

 Exercices d’entraînement , Séquences, Mini-sessions, Sessions intensives, exercices d’approfondissement

 Sujets probables pour se préparer au BEPC et viser la mention

 Des situations de vie supplémentaires inédites

MATHS

3 ^ème

S

O A

On taille les maths

(2)

MINESEC-DECC AGIR COMPETENT EN MATHEMATIQUES 3^ème Prof : T.N.AWONO MESSI@LCE 2019

Présentation

La nouvelle formule AGIR COMPETENT présente des travaux dirigés et des sujets complets couvrant le nouveau programme de mathématiques de 3^ème suivant la nouvelle approche : L’APC- ESV. Ces travaux dirigés et ces sujets d’études définissent, en termes de savoirs, savoir-faire, savoir-être, les compétences essentielles devant être acquises par les candidats au BEPC 2020.

L’ensemble représente un grand nombre d’exercices et de problèmes.

Pour plus de confort pour les élèves et pour permettre aux enseignants de travailler en classe sur des épreuves complètes :

 Les exercices proposés couvrent l’enseignement des mathématiques en classe de 3^ème .

 Des conseils vous aident à rédiger l’épreuve

Déroulement de l’épreuve

(a) La durée et la définition de l’épreuve. Durée : 2 heures ; Coefficient : 4 L’épreuve de Mathématiques au BEPC vise à évaluer chez les candidats :

 Les ressources c’est-à-dire le niveau de l’appropriation des différents savoirs et savoir-faire mathématiques inscrits dans les programmes d’étude du premier cycle ;

 Les compétences c’est-à-dire la capacité à mobiliser les ressources pour résoudre une situation-problème complexe et significative.

(b) Structure de l’épreuve

PARTIE A : EVALUATION DES RESSOURCES sur 10 points Elle comporte deux sous parties :

A.1. TRAVAUX NUMERIQUES

Ils ont pour but d’évaluer la capacité du candidat à appliquer de façon immédiate ses connaissances dans la pratique du calcul numérique ou littéral, la gestion des situations concrètes par lecture graphique, la construction des tableaux ou de graphiques. A cet effet ils sont faits de deux ou de trois exercices couvrant le plus largement possible le programme de 3^ème.

A.2 TRAVAUX GEOMETRIQUES

Ils ont pour but d’évaluer la capacité du candidat à appliquer de façon immédiate ses connaissances dans la description ou la représentation des objets géométriques usuels du plan ou de l’espace, le calcul des grandeurs rattachées à ces objets( exemples : longueurs, aires et volumes), la construction d’une démonstration. . A cet effet ils sont faits de deux ou de trois exercices couvrant le plus largement possible le programme de 3^ème.

PARTIE B : EVALUATION DES COMPETENCES sur 10 points

Page 1

(3)

Elle est constituée d’une situation de vie significative et pertinente, de supports si nécessaire et de trois tâches complexes, indépendantes et équivalentes. Elles visent à évaluer le développement des compétences mathématiques. Chaque tâche est notée sur 3 points.

Remarques :

1) La présentation est notée sur 1 point. Elle porte sur l’ensemble de la copie du candidat.

2) Un des exercices des TRAVAUX NUMERIQUES et TRAVAUX GEOMETRIQUES ci- dessus pourra être un test objectif : exercice à trous, questions « vrai ou faux » ou Questions à Choix Multiples…

3) Il sera possible de noter l’ensemble de l’épreuve sur 80 points et dans ce cas, les différents barèmes sus-évoqués seront multipliés par 4.

4) L’usage de la calculatrice et des tables numériques sera autorisé.

5) L’appréciation des productions des apprenants se fera sur la base des critères et des indicateurs.

(c) La gestion du temps pendant l’épreuve.

Un exercice peut être traité en 15 minutes et le problème dans le temps restant, mais vous devez conserver au moins dix minutes pour vous relire et affiner la présentation (n’oublier pas de numéroter vos intercalaires).

Conseils de méthodes

 Prenez le soin de bien lire le sujet.

 Soulignez dans chaque exercice et dans le problème les données importantes et distinguez les questions qui semblent à priori vous inspirer.

 Traitez immédiatement ce qui vous paraît facile.

 Certaines questions nécessitent une recherche plus approfondie : il est exclu d’en faire une rédaction détaillée au brouillon.

 Si vous n’avez pas traité une question, ne vous obstinez pas : vous risquez perdre votre sang- froid et de commettre ensuite des erreurs dans des questions simples. Laissez un espace et continuez en supposant le résultat acquis.

 N’oubliez pas que les questions ne sont pas toutes indépendantes.

 Rédigez correctement, avec les explications appropriées, sans discours inutiles.

 Encadrez vos réponses.

 Toute question dont l’énoncé commence par « en déduire … » doit avoir pour solution une déduction de ce qui vient d’être traité. Toute autre méthode ne sera pas considérée comme valable.

Bon courage à tous ^L’auteur

Thierry Nathanaël AWONO MESSI PLEG-MATHS

Tel: (+237) 697 26 38 45-682 80 90 67

(4)

MODULE 13 : RELATIONS ET OPERATIONS FONDAMENTALES DANS L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS

Ce module vise à rendre l’apprenant compétent dans des situations de vie de la famille

« représentation, détermination des quantités et identification des objets par des nombres ». Il permet de développer le sens de l’ordre, de la concision et l’esprit critique. Il contribue au renforcement de la pratique du calcul mental ou à l’utilisation de la calculatrice, ce qui permet à l’apprenant d’agir de manière autonome, compétente et adaptative dans diverses situations de la vie courante, dans lesquelles ces pratiques interviennent.

I. ARITHMETIQUE

II. NOMBRES RATIONNELS III. NOMBRES REELS

IV. CALCUL LITTERAL

V. EQUATIONS ET INEQUATIONS DU 1

^ER

DEGRE A UNE INCONNUE DANS IR

VI. EQUATIONS ET INEQUATIONS DU 1

^ER

DEGRE DANS IR ×IR

Page 3

(5)

I. ARITHMETIQUE

Savoir-faire :

 Calculer le PGDC à l’aide de l’algorithme des soustractions, de l’algorithme d’Euclide

 Calculer le PPMC connaissant le PGDC ou le PGDC connaissant le PPMC.

 Résoudre les problèmes simples faisant appel au PPMC et au PGDC.

EXERCICE 1

1. Déterminer le PGCD des nombres et en précisant la méthode utilisée.

2. Ecrire le nombre sous forme d’une fraction irréductible.

3. Sachant que et que calculer EXERCICE 2

1. Calculer le PGDC de et de en utilisant l’algorithme d’Euclide.

2. Une pièce rectangulaire de de long et de de large est recouverte, sans découpe, par des dalles de moquettes carrées, toutes identiques.

(a) Quelle est la mesure du côté de chacune de ces dalles, sachant que l’on veut le moins de dalles possibles ? (b) Calculer alors le nombre de dalles utilisées.

EXERCICE 3

1. (a) En utilisant l’algorithme des soustractions successives, calculer

(b) Rendre irréductible la fraction 2. et sont deux entiers naturels tels que

Sachant que , calculer EXERCICE 4

1. Les nombres et sont-ils premiers entre eux ? Justifier.

2. Simplifier la fraction pour la rendre irréductible en indiquant la méthode.

EXERCICE 5

Un fleuriste a reçu roses blanches et roses rouges. Il désire réaliser des bouquets

identiques (c’est-à dire comprenant un même nombre de roses et la même répartition entre les roses blanches et rouges) en utilisant toutes les fleurs.

1. Quel sera le nombre maximum de bouquets identiques ? Justifier clairement la réponse.

2. Quel sera alors la composition de chaque bouquet ? EXERCICE 6

Deux bus et partent en même temps du terminus à Le bus part toutes les minutes du terminus alors que le bus part toutes les minutes.

A quelle heure les deux bus partiront de nouveau en même temps pour la cinquième fois ?

408 578 408

 578 F

540 5, 40m 3m

12, 16

 

a b ^{PGCD a b}  ^,  ^ ⁴ ^{PPCM a b}   ^, ^.

 ^{540; 288 .} 

PGDC 540 .

N  288

a b ^{PGDC a b}  ^,  ^ ^36.

155520

a b   ^{PPMC a b}  ^,  ^.

300 1638 351 1638

 351 F

1756

A B 7 00. h A 36

B 24

1317

(6)

II. NOMBRES RATIONNELS

Savoir-faire :

 Résoudre des problèmes se ramenant aux opérations sur les nombres rationnels.

EXERCICE 1

Toutes les étapes de vos calculs devront figurer sur la copie.

On donne les nombres suivants : ;

1. Donner sous la forme d’une fraction irréductible.

2. Donner les écritures décimale et scientifique de EXERCICE 2

Montrer, en détaillant les calculs, que les nombres et ci-dessous sont tous égaux à un même nombre entier.

EXERCICE 3

Moussa part de son garage situé dans les environs de Bafia. Il va acheter une pièce d’un véhicule dans un magasin à Yaoundé. Il a mis un temps total de pour le voyage aller et retour.

A l’aller, sa vitesse moyenne était de et au retour, elle est de On rappelle que le temps total mis en heures pour parcourir la distance aller-retour est de

1. Ecrire le nombre sous la forme d’une fraction irréductible.

2. Résoudre dans l’équation 3. En déduire en kilomètres, la distance du garage de Moussa au magasin de Yaoundé.

EXERCICE 4

On pose : ; et

En détaillant toutes les étapes de vos calculs :

1. Démontrer que

2. Donner l’écriture scientifique de EXERCICE 5

1. Un boutiquier reçoit une commande de bonbons d’un montant de FCFA.

Pour fidéliser son client, il décide d’accorder une remise de Calculer le montant de la facture après remise.

2. On donne : ;

2 15 5

7 7 4

   A

5 3

1

4 10 15 10 80 10



  

 

B

A

. B A B

7 2 2 3

9 3 3 7 ;

   

A      

 

3 2 2

5 3

2 10 25 10

50 10 0,1 10



   

    

B

3h 12 min

90 km h / 70 km h / .

3 12 .

 60 3 12

  60 A

 16

90 x  70 x  5 . d

5 2 4

7 7 13

   A

11 2

3

12 10 1, 2 10 3 10 .

  



 

B

3   14 A

. B

12040 25%.

4 3

3 10 5 2 2 5

 



A ^B ^ ⁵

³

^  ²

⁴

^ ^{7, 5} 

²

Page 7

(7)

III. NOMBRES REELS

Savoir-faire :

 Déterminer la racine carrée ou une troncature ou un arrondi d’un réel positif

 Justifier qu’un réel positif est la racine carrée d’un nombre positif

 Effectuer les calculs sur les radicaux, comparer et encadrer des nombres réels

 Justifier l’appartenance d’un nombre réel à un intervalle.

EXERCICE 1

1. Ecrire chacun des nombres et suivants sous la forme où ;

2. (a) Comparer les nombres et en justifiant la réponse.

(b) On pose Ecrire le nombre sous la forme

(c) En déduire que : EXERCICE 2 :

On considère les nombres et

1. (a) Comparer les nombres et (b) Calculer (c) Ecrire sous la forme , le nombre 2. Ecrire sans radical au dénominateur.

EXERCICE 3

On donne les nombres ; ;

1. Calculer et donner le résultat sous forme de fraction irréductible.

2. Ecrire sous la forme où est un nombre réel.

3. Calculer : ; et 4. Justifier que est un entier relatif que l’on déterminera.

EXERCICE 4

On donne le nombre réel

1. Ecrire sous la forme où et sont des entiers relatifs.

2. Sachant que et que :

Donner un encadrement de

EXERCICE 5

On considère l’expression

1. Vérifier en donnant les détails de vos calculs que

7 3 5

 

p 1 5

. 7 3 5

  q  7 3 5.

2

. p

 5

a b r  94  42 5.

q

2

0, 0144 2, 5 10

^

1, 6

 

A  5

8 20 4 5

 4  

B 1 3 1 3

.

1 3 1 3

 

 

 

C

A

B a 5 a

 ¹ ³ 

²

 

x ^y ^{ }  ¹ ³ 

²

^z ^ ^ ¹ ^ ³ ^ ¹ ^ ^{3 .} ^

C

5 8 3 12 27 18.

E    

E a 2  b 3 a b

1, 41  2  1, 42 1, 73  3  1, 74 7 2  3 3.

2 5 1 5 3 . E  



7 5 5 4 . E   

A B a b a b ,   .

4 3 48 27

   

A 7 20

 10 B

2 3 3

 ³ ^{2 3 .} 

²

 

C C a  b c .

21 12 3   2 3  3.

(8)

IV. CALCUL LITTERAL

Savoir-faire :

 Calculer la valeur numérique d’une expression littérale, débit, volumes et aires ;

 Développer, réduire et ordonner suivant les puissances de la variable ;

 Factoriser (à l’aide d’un facteur commun, d’une identité remarquable, des deux éléments)

 Simplifier une fraction rationnelle

EXERCICE 1

On donne l’expression suivante :

1. Développer et réduire 2. Factoriser 3. Calculer pour 4. Résoudre dans l’équation EXERCICE 2

On donne les expressions suivantes : et

1. Développer, réduire et ordonner suivant les puissances croissantes de le polynôme 2. Factoriser les polynômes et 3. Calculer la valeur numérique de pour EXERCICE 3

est la fraction rationnelle définie par :

1. Montrer que 2. Donner la condition d’existence de 3. Simplifier 4. Rendre entier le dénominateur de pour EXERCICE 4

1. Développer et réduire 2. Factoriser , puis en déduire la factorisation de 3. Résoudre dans l’équation EXERCICE 5

1. Calculer pour 2. (a) Montrer que (b) En déduire la forme factorisée de 3. Résoudre dans l’équation

 

²

9 2 1 .

  

E x

. E .

E

E 1

3 .

 x

  ² ^ ² ^x  ⁴ ^ ² ^x  ^ ^0.

 ² ¹  ²   ²  ⁵ 

       

P x x x x

 

²

121 4 10

  

Q x R  9 x

²

 6 x  1.

x P .

,

P Q R .

Q 21

4 .

 x

F  

²

2

3 1

9 1 .

 

 F x

   x

9 x

2

  1 3 x  1 3 x  1 . . F .

F

F x  5.

  

16

2

25 2 4 5 .

    

E x x x

. E

16 x

2

 25 E .

  ⁴ ^x ^ ⁵  ⁵ ^x ^ ³  ^ ^0.

2

6 7.

E  x  x  E x   3 2.

 ³ 

²

^2.

E  x  

. E

  ^x ^{ } ³ ²  ^x ^{ } ³ ²  ^ ^0.

(9)

V. EQUATIONS ET INEQUATIONS DU 1

^er

DEGRE A UNE INCONNUE DANS IR

Savoir-faire :

 Résoudre une équation du 1^er degré à une inconnue dans IR et donner l’ensemble solution

 Vérifier qu’un nombre réel est solution d’une équation ou d’une inéquation donnée

 Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue dans IR et donner son ensemble sous forme d’intervalles

 Traduire en équation ou une inéquation un problème de la vie, le résoudre et interpréter.

EXERCICE 1

1. Résoudre l’inéquation 2. Un bureau de recherche emploie informaticiens et mathématiciens. On envisage

d’embaucher le même nombre d’informaticiens et de mathématiciens.

Combien faut-il embaucher de spécialistes de chaque sorte pour que le nombre de mathématiciens soit au moins égal aux deux tiers du nombre d’informaticiens ? EXERCICE 2

1. Développer et réduire l’expression suivante :

2. Trouver tous les triplets d’entiers relatifs consécutifs dont la somme des carrés est égale à EXERCICE 3

Le côté d’un rectangle mesure Le périmètre

P

(en ) et l’aire

A

(en ) sont exprimés par le même entier naturel. Soit la longueur de l’autre côté.

1. Montrer que est solution de l’équation 2. Calculer la mesure de l’autre côté.

EXERCICE 4

Un groupe de personnes constitué d’adultes et d’enfants s’inscrit pour une visite guidée de la ville de KRIBI en bus climatisé. Chaque adulte paie et chaque enfant

Le responsable du groupe a remis à l’organisateur pour cette visite. On désigne par le nombre d’adultes.

1. Exprime le nombre d’enfants en fonction de 2. Exprime en fonction de le coût du transport des adultes, puis celui des enfants.

3. Déterminer le nombre d’adultes et le nombre d’enfants ? EXERCICE 5

1. Résoudre dans l’équation 2. M. KANGA est menuisier. Pour réaliser ses travaux, un atelier lui propose un contrat dont les termes sont les suivants : FCFA de caution non remboursable, puis FCFA par heure passée sur la machine à bois. Aujourd’hui, M. KANGA a payé FCFA.

Combien d’heures a-t-il passé sur la machine ?

 

15 2 27 .

  3 

x x

27 15

x

 ¹ 

² ²

 ^{1 .} 

²

    

A x x x

10. 6 cm . cm cm

²

x

x 4 x  12  0.

36 2000FCFA 500 FCFA .

48.000FCFA x

. x x

 15 x  20  110.

2000 1500

11000

(10)

I. STATISTIQUES

Savoir-faire :

 Regrouper une population en classes d’égales amplitudes.

 Déterminer la (ou les) classe(s) modale(s) d’une série statistique.

 Calculer la moyenne d’une série statistique regroupée en classes.

 Représenter ou interpréter un diagramme.

EXERCICE 1

Les notes de mathématiques obtenues par les candidats au BEPC dans un sous-centre de correction d’examen sont réparties dans le tableau ci-dessous :

1. Calculer le nombre 2. Combien d’élèves ont obtenu moins de 3. Calculer la note moyenne en mathématiques dans ce sous-centre.

4. Quel est le pourcentage des candidats ayant obtenu au moins EXERCICE 2

On considère le tableau statistique ci-dessous donnant les masses en kg des 150 élèves des classes de 3^ème A et 3^ème B d’un Lycée de la ville.

1. Sachant que la moyenne de cette série statistique est M = 50,16 kg, montrer que et vérifient le système (S) suivant : 2. Résoudre dans le système (S).

1. En prenant et , construire l’histogramme associé à cette série statistique.

EXERCICE 3

Voici les résultats au lancer de javelot lors d’un championnat d’athlétisme. Les longueurs sont exprimées en mètres.

1. Recopier et compléter le tableau suivant :

2. Calculer la longueur moyenne d’un lancer.

150

Note

Nombre de candidats

n 0   n 4 4   n 8 8   n 12 12   n 16 16   n 20

14 N 55 20 9

. N

12 ?

Classes

[

40 ;44

[ [

44 ;48

[ [

48 ;52

[ [

52 ;56

[ [

56 ;60

[ [

60 ;64

[

Effectifs 20 31

a

38

b

5

a

b 56

25 29 1448 a b

a b

 



2

44 a  b  12

36 42 37 43 38 44 32 40 44 36 46 39 40 40 41

41 45 37 43 43 46 39 44 47 48

             

        

Longueur du lancer (en mètres) Total

Nombre de sportifs Fréquence (en %)

l 

^{30; 35}

 

^{35; 40}

 

^{40; 45}

 

^{45; 50}



7 5

4% 20% 100%

Page 31

(11)

MODULE 15 : CONFIGURATIONS ET TRANSFORMATIONS ELEMENTAIRES DU PLAN

Ce module comporte trois parties essentielles : les configurations planes, les applications planes et la géométrie analytique. Il développe deux compétences fondamentales que sont :

 Déployer un raisonnement mathématique (analogique, inductif et déductif)

 Résoudre des problèmes par raisonnement, l’identification et la caractérisation des formes planes ; par les transformations élémentaires que sont les applications planes.

Il s’articule sur la famille de situations suivantes : « représentations et transformations des configurations planes dans l’environnement ». Les compétences mises en évidence s’appuient sur les trois catégories d’actions que sont :

 Perception des formes planes et des transformations de l’environnement physique

 Production des formes planes et des transformations de l’environnement physique

 Détermination des mesures et des positions dans l’environnement physique

A travers les différents raisonnements sus évoqués, l’apprenant développe les compétences transversales suivantes : le sens de l’ordre, le sens de la rigueur et de la concision, la pensée critique, le sens de l’initiative et de la créativité.

I. THALES DANS LE TRIANGLE

II. TRIGONOMETRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE III. ANGLES INSCRITS DANS UN CERCLE

IV. POLYGONES REGULIERS

V. MULTIPLICATION D’UN VECTEUR PAR UN NOMBRE REEL VI. COORDONNEES D’UN VECTEUR

VII. HOMOTHETIE

VIII. EQUATIONS DE DROITES

(12)

I. THALES DANS LE TRIANGLE

Savoir-faire :

 Justifier qu’une configuration est de Thalès à l’aide des données de l’énoncé ou des propriétés sur les angles.

 Utiliser la propriété directe de Thalès pour en déduire les proportions et calculer une longueur.

 Utiliser la propriété réciproque de Thalès pour justifier le parallélisme de deux droites.

EXERCICE 1

L’unité de longueur est le centimètre.

On considère la figure ci-contre. (les unités ne sont pas respectées) 1. Montrer que les droites et

sont parallèles.

2. Calculer la longueur 3. Montrer que le triangle est rectangle

en 4. Calculer l’aire du trapèze

EXERCICE 2

Dans le schéma ci-contre, les droites et sont parallèles.

1. Utiliser la propriété de Thalès pour justifier que 2. Les droites et sont-elles

parallèles ? 3. Justifier que 4. Calculer en fonction de le périmètre

P

et l’aire

A

du quadrilatère

EXERCICE 3

Des élèves participent à une course à pied. Avant l’épreuve, un plan leur a été remis. Il est représenté par la figure ci-contre.

Les droites et sont sécantes en Les droites et sont parallèles est un triangle rectangle en

Calculer la longueur réelle du parcours

 ^MP   ^AB 

. AB

OAB .

O

. ABPM

O

A

B P M

5,2

2,8 3,9

2,1 6,5

 ^SU   ^WR 

2,8.

UR 

  ^SR  ^WX 

1,8 . y  x

x

. SRXW

5

4

3,5

5, 04

x y

O

U R

X W S

 ^AE   ^BD  ^C

 ^AB   ^DE 

ABC A .

. ABCDE

A

E

B ^C D

300m

1km 400m

(Départ)

(Arrivée)

Page 36

(13)

EXERCICE 13

Au

EXERCICE 14

Les droites et sont sécantes en On donne les longueurs (en cm) :

1. Montrer que les droites et sont parallèles.

2. Calculer le périmètre

P

du triangle

EXERCICE 15

Voici le schéma simplifié du fonctionnement d’un appareil photographique : Un objet situé à une distance de l’objectif a une image sur la pellicule située à une distance de

1. Démontrer que les droites et sont parallèles.

2. Démontrer que .

3. Pour un certain appareil Un sapin d’une hauteur de se trouve à

de l’objectif . Quelle est la hauteur de l’image qui se forme sur la pellicule ?

EXERCICE 16

La figure ci-contre représente un terrain à bâtir.

Les mesures sont données en mètres.

1. Calculer

2. Démontrer que le triangle est rectangle en

3. Calculer les mesures des angles et 4. Calculer en utilisant la propriété de Thalès.

La figure ci-contre montre un personnage sur les échasses au cours d’une cérémonie de danse traditionnelle dans une localité du Cameroun.

Quelle est la taille de ce personnage ?

  ^TP   ^YG ^I ^.

5; 7; 1, 4 0,8

  



IP IG IY YT

^et

TI  1.

  ^PG   ^YT

. IGP

I P

G

Y T

  ^AB

d O  ^MN 

d ,

.

 ^AB   O ^MN 

AB  d MN d ,

50 .



d , mm

12m 15m

M O

N

A B

d d ,

Pellicule

Objectif

sapin

20, 25, 24, 7, 8.

AB  BD  BC  CD  DE  .

AD

BDC C .

  ABD DBC , ^ ABC .

A B

D

E F

EF

C

(14)

II. TRIGONOMETRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE

Savoir-faire :

 Trouver à l’aide d’une calculatrice le sinus, le cosinus, la tangente d’un angle aigu de mesure donnée.

 Trouver à l’aide d’une calculatrice la mesure en degrés (ou un encadrement de cette mesure) d’un angle aigu dont on connait le sinus ou le cosinus ou la tangente.

 Calculer le sinus, le cosinus, la tangente d’un angle aigu dans un triangle rectangle.

 Utiliser le cosinus, ou le sinus ou la tangente pour calculer une longueur donnée dans un triangle rectangle.

EXERCICE 1

L’unité de longueur est le centimètre.

On considère la figure codée ci-contre :

1. Montrer que 2. (a) Montrer que les droites et

sont parallèles.

(b) Calculer les valeurs exactes de

et de 3. Calculer sachant que 4. (a) Calculer (b) Démontrer que le triangle est rectangle.

EXERCICE 2

A l’approche de la saison des pluies, M. KAMGA décide de renforcer le mur de sa maison en construisant un contrefort en bois comme l’indique la figure ci-contre.

Pour réussir sa construction, il faut que le montant soit perpendiculaire au sol et que la traverse lui soit parallèle.

1. Montrer que 2. Démontrer que est parallèle à 3. Calculer la longueur de la traverse EXERCICE 3

L’unité de longueur est le centimètre. Sur la figure ci-contre : est un triangle tel que et

C

est le cercle de centre et de rayon

C

coupe la droite en et en

1. Enoncer la propriété réciproque de Pythagore.

2. Démontrer que le triangle est rectangle en

3. Donner en justifiant la nature du triangle

3 3 .



AC cm

 ^NS 

 ^AC 

OS .

ES

ON mes NOE   30 . 

 . mesCOA

SON

E O N

A

C

S

3cm 5cm

6cm

30

RPS   ^SR

  ^EF

6,5 .



SP m

  ^EF   ^PR ^.

. EF

 

S

E F

P

_2,5m

R

^Sol

1,95m

6m 1,8m



 

ABC AB  5, BC  10 AC  5 3.

B AB .

  ^BC ^E ^F ^.

ABC A .

. AEF

E

A

B

C

F

Page 40

(15)

4. (a) Calculer et (b) En déduire EXERCICE 4

Le plan ci-contre est celui d’un complexe sportif bordé d’une piste cyclable.

La piste cyclable a la forme d’un rectangle dont on a « enlevé des coins ».

On suppose que est parallèle à

Quelle est la longueur de la piste cyclable ? EXERCICE 5

est un triangle équilatéral de côté est le pied de la hauteur issue de

1. Calculer la distance 2. Calculer et (on donnera les valeurs exactes) 3. En déduire EXERCICE 6

est un triangle tel que et où est le pied de la hauteur issue de

1. Déterminer et 2. Calculer l’aire

A

du triangle On prendra

EXERCICE 7

Joachim NOAH veut installer son panier de basket en Pour cela, il place une échelle contre le poteau On donne : et

1. Calculer et en déduire

2. Calculer et

EXERCICE 8

Un maçon veut vérifier que deux murs sont bien perpendiculaires.

Pour cela, il marque un point à du point et un point à du point Il mesure alors la distance et trouve Prouver que les murs sont bien perpendiculaires.

Piscine

Foot Basket

ABCD 3

 ^EF   ^AC  ^.

A E B

D I H C

G J

F cos  ABC sin  ABC .

 . mes ABC

EFG 4 cm . H E .

. EH

cos HEF  sin  HEF .

 . mesHEF

ABC mes ABC   30 ,  mes ACB   45 

 5

AH cm H A .

HC HB .

.

ABC 3

tan 30

  3

A

C H B

45 30

Echelle Poteau

Sol

3,05m

On rappelle que

sin 30 1

  2 ^{; cos 30} ³

  2

.

  ^AC   A ^AB ^. 3, 05



AB m AC  6,1 . m

sin  ACB mes ACB  . BC tan BAC  .

A

B C

A 60cm O

B 80cm O . AB 1 . m

O

A

B

(16)

1. On suppose que le triangle est rectangle en et on donne et

Calculer la valeur exacte de et en déduire la mesure en degrés de 2. Répondre par vrai ou faux :

(a) Le cercle de diamètre passe par (b) Une équation cartésienne de la droite est EXERCICE 5

Pour chacune des questions de 1 à 4, choisir la bonne réponse parmi celles qui sont proposées.

1. Une équation cartésienne de la droite passant par les points et est : a) ; b) ; c) ; d) 2. Un vecteur directeur de la droite d’équation a pour coordonnées

a) ; b) ; c) ; d) 3. Un angle aigu a pour sinus Son cosinus est égal à :

a) ; b) ; c) ; d) 4. Dans le plan muni d’un repère orthonormé , la distance des points et de

coordonnées respectives et est :

a) ; b) ; c) ; d) EXERCICE 6

Lors des jeux olympiques de Sidney 2000, M. J. Paul AKONO, Entraineur de l’équipe du Cameroun a placer ses joueurs sur un terrain de football assimilé à un plan muni repère orthonormé

1. Placer les joueurs SONG, ETO’O et NJITAP aux points respectifs et 2. Montrer que les joueurs SONG et NJITAP sont placés à égale distance de ETO’O.

3. Déterminer les coordonnées du joueur L. ETAME placé au point , milieu de 4. NJITAP effectue une « passe » rectiligne en direction de ETO’O.

Ecrire une équation cartésienne de cette « passe ».

EXERCICE 7

est un repère orthonormé d’unité le centimètre.

1. (a) Lire graphiquement les coordonnées des points et (b) Calculer les coordonnées du vecteur 2. Lire les coordonnées des vecteurs et 3. En déduire la nature du quadrilatère 4. Recopier et compléter l’égalité

ABC B AB  2 5

2 10.

AC 

cos  BAC  BAC .

 ^AC  B .

 ^AC  ^x ^ ² ^y ^{ } ⁴ ^0.

  ^{1; 2}

A ^B  ^{5; 4} 

3 0

  

x y x  2 y   3 0 x    y 1 0 x  2 y   3 0

  ^D ^{ } ³ ^x ⁴ ^y ^{ } ⁵ ⁰

 ^{ } ^{4; 3} 



u û ^  ^ ^4;3  û ^  ^{4; 3} ^  û ^  ^{ } ^{3; 4} 

2 . 1 3

3

5 3

5 4 2

5

 ^{O i j} ^{, ,} ^{ }  ^E ^F

 ^{ } ^{1; 2}   ^{4; 3} 

2 5 5 5 2 2 5 2.

 ^{5;3 ,}   ^{2; 2} 

S  E

 ^{1; 5 .} 

N 

 ^{O I J} ^{, ,}  ^.

L   ^SN ^.

 ^{O I J} ^{, ,} 

E F .

.



 EF

FL  . HG

. FLGH

...

 

 

FL EH

Page 53

(17)

EXERCICE 14

est une pyramide régulière de base carrée telle que et de volume

V

1. Calculer la hauteur de cette pyramide.

2. On coupe cette pyramide à mi-hauteur (au milieu de ) par un plan parallèle à sa base.

(a) Donner la nature de la section (b) Déterminer le volume de la pyramide réduite.

(c) En déduire le volume du tronc de pyramide.

EXERCICE 15

1. Un cône de révolution a une génératrice . Le rayon de sa base est . (a) Montrer que sa hauteur est (b) Calculer le volume de ce cône.

2. On coupe ce cône par un plan parallèle à sa base. On obtient un petit cône de hauteur Soit le rayon de la base du petit cône.

(a) Montrer que

(b) Calculer le volume du petit cône.

EXERCICE 16

est une pyramide régulière dont la base est le carré de côté et de centre La hauteur de la pyramide a pour longueur est le point de tel que On coupe la pyramide par un plan passant par le point et parallèle au plan de sa base.

1. Calculer le volume

V

de la pyramide

2. Calculer le volume du tronc de pyramide obtenu.

EXERCICE 17

Lors du lancement des activités de la coopérative du Lycée JOSS, le club art et culture nationale a proposé du jus naturel de baobab à FCFA dans une « mesurette » ayant la forme d’un cône de rayon et de hauteur (voir figure). Le club a prévu litres pour cette circonstance.

Tâches :

1. Combien de « mesurette » au maximum le club

pourra-t-il vendre ? 2. Quelle est la somme gagnée par le club a la fin de la cérémonie ?

SABCD 6

AB  cm  72 cm

³

. h

  ^SO

. EFGH

V

1

V

2

S

A B

D C

E F

H G

O

 20

g cm r  12 cm

16 .



h cm

1

 4 .

h cm r

₁

1

 3 .

r cm

100 3cm 10cm 20

O

S A

10cm

3cm

SABCD

ABCD 5cm O .   ^SO

6 .



SO cm M   ^SO

1 .

  2

SM SO

M

. SABCD

S

A B

C D

M

O

6cm

(18)

EXEMPLES DE SUJETS DE PREPARATION AUX DEVOIRS DU 1

^er

TRIMESTRE

1. SUJET DE TYPE DS N° 1

2. SUJET DE TYPE DS N° 1 (bis) 3. SUJET DE TYPE DS N° 2

4. SUJET DE TYPE DS N° 2 (bis)

Page 68

(19)

PARTIE A : EVALUATION DES RESSOURCES (10 points) ACTIVITES NUMERIQUES : (5 points)

EXERCICE 1 : (2 points)

On donne les expressions suivantes : ; et .

1. Ecrire et sous la forme d’une fraction irréductible. 1,5pt 2. Montrer que la somme est un nombre entier. 0,5pt EXERCICE 2 : (1,5 points)

1. En utilisant l’algorithme d’Euclide, calculer 0,75pt 2. Ecrire sous la forme d’une fraction irréductible. 0,25pt

3. Calculer et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible. 0,5pt EXERCICE 2 : (1,5 points)

Soit l’expression littérale :

1. Développer et réduire 0,5pt 2. Factoriser 0,5pt 3. Résoudre dans l’équation 0,5pt ACTIVITES GEOMETRIQUES : (5 points)

EXERCICE 1 : (1,5 points)

Sur cette figure, on a les longueurs suivantes : et

1. Montrer que les droites et sont

parallèles. 0,75pt 2. Sachant que , calculer 0,75pt

Une cartonnerie fabrique des boîtes de bouteilles de vin. Chaque boîte a la forme d’un parallélépipède rectangle. L’unité de longueur est le centimètre.

1. Montrer que l’aire totale des faces de la

boîte est 0,75pt 2. Sachant que pour les découpes, il faut prévoir

de plus de carton, combien de de carton seront

nécessaires pour fabriquer boîtes? 0,75pt Ministère des Enseignements Secondaires

Direction des Examens, des Concours et de la Certification

EVALUATION SOMMATIVE N° 1 Epreuve : Mathématiques Durée : 2h Coefficient : 4 Prof : T. N. AWONO MESSI

4 35

5 8

A   5 15

8 2

 

B 5 1

3 1

2 5

   

       

   

C

,

A B C

  A B C

 ^{496;806 .} 

PGDC 496

806 496 3 806 26

 

F

 ² ³  ² ³   ³ ^{1 2}  ^{3 .} 

     

E x x x x

. E .

E

  ² ^x ^ ³  ^{ } ^x ²  ^ ^0.

7,5 ; 4 ; 3

  

OA cm OB cm OC cm OD  1,6 cm .

 ^DC    ^AB

 5

DC cm AB .

A

B

O

D C

5400 cm

2

.

20%

m

2

100

50 cm

30 cm 15 cm

1^er TRIMESTRE

(20)

Le mur ci-contre est constitué de briques de sur (et de profondeur). Il constitue le point d’appui d’une structure métallique.

Pour cela, il est nécessaire d’avoir parallèle à 1. Combien de briques ont-elles été nécessaires

pour construire ce mur ? Expliquer. 1pt 2. Quel est le volume total de ce mur ? 0,5pt 3. A-t-on parallèle à Justifier. 1pt

10cm 20cm

10cm

  ^AB  ^CD  ^.

  ^AB  ^CD  ^?

U C A O

B D R

Y

Pour sceller (« coller ») les briques, il est nécessaire d’avoir du mortier.

On ne tiendra pas compte de son épaisseur, car elle est incluse dans les 10cm×20cm×10cm

(21)

On considère les expressions suivantes : ; et

1. Calculer et écrire le résultat sous forme d’une fraction irréductible. 0,5pt 2. Donner l’écriture scientifique de 0,5pt 3. Ecrire sous la forme , où et sont deux entiers. 0,5pt ACTIVITES GEOMETRIQUES : (5 points)

L’image ci-contre représente une partie d’un terrain de basket-ball appelée « raquette ».

On donne les dimensions suivantes :

et

est le centre du cercle de rayon

1. Justifier, par un calcul, que 0,5pt

2. Calculer, en mètre, la longueur Arrondir le résultat au dixième. 0,5pt 3. Calculer la mesure de l’angle Donner le résultat au dixième de degré près. 0,5pt 4. Calculer, en mètre carré, l’aire

A

1 du disque de rayon Arrondir le résultat au dixième. 0,5pt 5. Justifier, par un calcul, que l’aire du quadrilatère est de 0,5pt 6. En déduire, en , l’aire totale

A

2 de la « raquette ». 0,5pt Ministère des Enseignements Secondaires

Direction des Examens, des Concours et de la Certification

EVALUATION SOMMATIVE N° 3 Epreuve : Mathématiques Durée : 2h Coefficient : 4 Prof : T. N. AWONO MESSI

7 3 4

5 5 21

  

A

²

 

² ³

3

12 10 10 8 10



 

 

B 7 32 6 2 3 50.

  

C

A

. B

C a b a b

 5,6

AB m

6 , 3,6 , ,

   

DE m DC m AD BC AE HB

   ^AB ^// ^DC     ^ED ^// ^HC 

F   ^FG ^.

 1 . AE m

.

 AD .

ADE   ^FG ^.

ABCD 27, 6 m

²

. m

2

A E

H B

D

C F G

1^er TRIMESTRE

(22)

L’unité de longueur est le centimètre.

est un triangle rectangle en Le point appartient au segment tel que

On donne : et

1. Dans les triangles rectangles respectifs et

Justifier que : et 0,5pt

2. Sachant que , démontrer que :

0,75pt

3. Calculer 0,75pt

PARTIE B : EVALUATION DES COMPETENCES (10 points)

ABH H . C

BH BC  6 cm .

   30

mes ABH mes ACH   60 . 

ABH ACH ,

tan 30

 

BH AH .

tan 60

 

CH AH

 

BC BH CH tan 60 tan 30 tan 60 tan 30 .

  

   

AH BC

. AH

Rappels : 3

tan 30

  3 tan 60  3

B C H

A

30 60

(23)

10 SUJETS DES EXAMENS BLANCS

 EXAMEN BLANC N° 1

 EXAMEN BLANC N° 2

 EXAMEN BLANC N° 3

 EXAMEN BLANC N° 4

 EXAMEN BLANC N° 5

 EXAMEN BLANC N° 6

 EXAMEN BLANC N° 7

 EXAMEN BLANC N° 8

 EXAMEN BLANC N° 9

 EXAMEN BLANC N° 10

(24)

EXERCICE 1 : (2 points) Soit l’expression littérale :

1. Développer, réduire et ordonner suivant les puissances décroissantes de 0,75pt 2. Factoriser 0,75pt 3. Résoudre dans l’équation 0,5pt EXERCICE 2 : (1,75 points)

1. Résoudre dans le système : 0,75pt 2. Un grand restaurateur se rend au marché et achète pour ses restaurants sacs de

carottes et bottes de poireaux. Il dépense pour l’achat de tous ces produits une somme de FCFA. Le prix d’un sac de carottes est le triple du prix d’une botte de poireaux.

Déterminer le coût d’un sac de carottes et celui d’une botte de poireaux. 1pt EXERCICE 3 : (1,25 point)

1. Ecrire plus simplement le nombre et donner le résultat sous la forme où est un nombre entier relatif. 0,5pt 2. Déterminer l’ensemble solution du système d’inéquations : 0,75pt ACTIVITES GEOMETRIQUES : (5 points)

Le plan est muni d’un repère orthonormé On donne les points et

1. Placer les points et dans le repère. 0,75pt 2. Montrer que les vecteurs et sont orthogonaux. 0,75pt 3. Calculer les distances et , puis en déduire la nature exacte du triangle 0,75pt 4. (a) Ecrire une équation cartésienne de la droite

D

passant par les points

et 0,75pt (b) Montrer que la droite

L

d’équation est perpendiculaire à la droite

D

. 0,5pt EXERCICE 2 : (1,5 points)

1. Calculer le volume d’une pyramide régulière à base carrée , de hauteur et de côté 0,5pt 2. Répondre par vrai ou faux aux propositions suivantes :

Ministère des Enseignements Secondaires Direction des Examens, des Concours

et de la Certification

Examen N° 3: BEPC Session : 2020 Epreuve : Mathématiques

Durée : 2h Coefficient : 4 Prof : T. N. AWONO MESSI

 ³ ¹  

²

^{5 1 3}   ^.

    

P x x x

P

^x^.

. P

  ³ ^x ^ ^{1 2}  ^x ^ ⁴  ^ ^0.

7 x  16 y  66000



2

3 0

  x y

35 80

333.000

3 180 5 80 45

  

A 5

a ^a

1 2

4 2 10

  

 

x x

x

 ^{O i j} ^{, ,} ^{ }  ^.

,

A B C 

AB



AC

AB AC ABC .

 ^{ } ^{5; 5} 

E

 ^{ } ^{1; 2 .} 

F 4

3 1

  

y x

   ^{1; 2 ,} ^ ^4;1 

A B

 ^{2; 3 .} ^ 

C

SABCD ABCD

4,5cm AB  2,5 cm .

Page 82

(25)

(a) Si et sont deux angles complémentaires, alors : 0,5pt (b) Dans le plan rapporté à un repère orthonormé , les vecteurs et

sont colinéaires. 0,5pt PARTIE B : EVALUATION DES COMPETENCES (10 points)

SITUATION :

Un pisciculteur (éleveur de poissons) veut construire un étang. Il contacte un technicien qui lui propose trois plans possibles tels que présentés sur la fiche technique ci-dessous. Le technicien lui signale également qu’un sac de ciment peut produire parpaings et que pour bâtir un mètre carré de mur, il faut parpaings. Néanmoins, les coupes effectuées sur les parpaings (opération permettant de réduire un parpaing) afin de donner forme à l’étang entraine une perte de ces derniers.

Tâches :

1. Déterminer la quantité de sacs de ciment nécessaire pour effectuer le premier plan. 3pts 2. Déterminer la quantité de sacs de ciment nécessaire pour effectuer le deuxième plan. 3pts 3. Déterminer la quantité de sacs de ciment nécessaire pour effectuer le troisième plan. 3pts

Présentation : 1pt

 A

C^ cosAsin .C

 ^{O i j} ^{, ,} ^{ }  ^u ^ ^ ^ _

^{1 1} _{2 3}

^;

^ ^ _

  ^{3; 2}

 v

50 15

10m

1,5m

6m

1,5m

5m Forme : cylindrique

Hauteur : Rayon :

Perte en parpaings dûe aux coupes : 15%

Forme : pavé droit Perte en parpaings dûe

aux coupes : 10% Forme : hexagone régulier

Perte en parpaings dûe aux coupes : 20%

1^er plan 2^eme plan

3^eme plan

1,5m 5m

FICHE TECHNIQUE DE CONSTRUCTION D’UN ETANG

AGIR COMPETENT EN MATHEMATIQUES