C'est une expérience

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Chapitre 12 1^ière S

PROBABILITES

C'est au XVI siècle à la cour du roi de France que l'on commença à élaborer des théories mathématiques sur les jeux de hasards notamment deux mathématiciens Pascal et Fermat, auteurs de : "la nouvelle géométrie du hasard " joignant la rigueur des démonstrations scientifiques à l'incertitude du sort.

Cette science est ensuite délaissée jusqu'en 1713 ou paraît une œuvre capitale "L'Art de la conjecture " de Jacques Bernoulli dans laquelle apparaît la première formulation de la loi des grand nombres :"La probabilité de

l'apparition d'un résultat dans une expérience est "pratiquement égale " à la fréquence d'apparition de ce résultat quand on a répété un grand nombre de fois cette expérience." Ainsi, un lien est fait entre statistiques et probabilités.

I Description d'une expérience aléatoire

Définition: Une expérience aléatoire est une expérience dont on peut prévoir quels sont les résultats possibles (appelés issues ou éventualités), mais dont on ignore lequel sera réalisé avant que l'expérience soit faite.

L'univers est l'ensemble formé de tous les événements Un événement est une partie de l'univers

On dit qu'un événement A est réalisé lorsque le résultat de l'expérience est une éventualité de A Un événement élémentaire est un événement formé d'une unique éventualité ( ou issue)

Exemple: On s'intéresse à la somme des numéros obtenus lors du lancer de 2 dés à 4 faces.

C'est une expérience……….

L'univers est: E =

Si A désigne l'événement : "la somme est paire" , alors A =

Si B désigne l'événement : "la somme est strictement inférieure à 5", alors B = Si le résultat de l'expérience est 6 quel événement est réalisé?

Remarque: le nombre d'éventualités qui composent A est leCardinal de A noté :card(A)

Exemple: card(E) = card(A) = card(B) =

II

Loi de probabilité 1) définition

Définition: Définir une loi de probabilité P d'une expérience aléatoire c'est associé à chaque issue ei un nombre pi qui est la probabilité d'obtenir ei.

. Les réels pi vérifient la relation : p1 + p2 + … + pn =1

Exemple1: On s'intéresse à la somme des numéros obtenus lors du lancer de deux dés tétraédriques.

Etablir la loi de probabilité de cette expérience dans le tableau suivant:

xi

pi

2) Loi équirépartie

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La loi est équirépartie lorsque tous les réels pi sont égaux. Dans ce cas on dit que les issues sont équiprobables.

Remarque: le résultat du lancer d'un dé cubique conduit à une loi équirépartie.

Exercices: 2, 3, 4p228 III

Probabilité d'un événement

Définition: Soit E = { e1; e2; e3;...;en } l'univers associé à une expérience aléatoire.

Soit P la loi de probabilité associée à cette expérience aléatoire.

Alors la probabilité de l'événement A notée P(A) est égale à la somme des toutes les probabilités pi appartenant à A P (A) =  pi

Application: En utilisant la loi de probabilité de l'exemple1 déterminé P(A) la probabilité d'obtenir une somme paire

Remarque: La probabilité d'un événement est donc un réel de l'intervalle [0;1]. Plus ce réel est voisin de 1, plus la réalisation de cet événement est "probable" compte tenu de la loi de probabilité initiale.

P() = 0 on dit que l'événement est impossible P(E) = 1 on dit que l'événement est certain.

Propriété: Lorsque la loi est équirépartie, si A est un événement contenant k éléments dans un univers qui en contient n, alors P(A) = =

Exercices:6, 9p228 IV

Evénements "A et B", "A ou B" et

Théorème: La réunion des événements A et B est l'événement A È B formé de toutes les éventualités Appartenant à A ou à B

L'intersection des événements A et B est l'événement A Ç B formé de toutes les éventualités appartenant à la fois à A et B

Lorsque A Ç B =  il n'y a aucune éventualités commune, on dit que A et B sont disjoints ou incompatibles.

Si A et B sont 2 événements quelconques, on a P(A È B) = P(A) +P(B) - (P( A Ç B ) Si A et B sont incompatibles, alors P(A È B) = P(A) +P(B)

Propriété: Soit A un événement quelconque et son événement contraire formé de toutes les

B A

A B B A

AB

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éventualités qui ne sont pas dans A.

On a P() = 1 – P(A)

Application : les contraires: A devient et Ç devient È Ainsi P( Ç ) a pour événement contraire P(A È B) Donner les événements contraires de :

La somme des 2 dés est 4 

La carte tirée est un carreaux ou un 10 

Exercices: 10,11,12 p 229 V

Variables aléatoire

Définition: E est l'univers associé à une expérience aléatoire. Toute fonction définie sur E, à valeurs dans IR, est appelée une variable aléatoire.

Exemple: On lance 2 dés tétraédriques équilibrés et on ajoute les résultats obtenus. Si la somme est paire, le joueur gagne 1 €; sinon il perd 1 €. On définit la variable aléatoire G qui, au couple (i;j) des résultats , associe 1 si i+j est pair et -1 si i+j est impair,

ainsi G(1+3) = G(7 +1) = G(1+2) =

Loi de probabilité d'une variable aléatoire:

Soit X une variable aléatoire définie sur E et qui prend les valeurs {x1;x2;…;xk} . La loi de probabilité de X peut être définie par:

Application: Etablir la loi de probabilité de l'exemple précèdent:

Remarque: les événements ( X = x1 ) , ( X = x2) …., (X = xk) sont 2 à 2 disjoints et leur réunion est l'univers E ( on dit qu'ils forment une partition de E). Cette propriété permet de démontrer que P(X=x1) + P(X=x2) +…+ P(X=xk) = 1

Espérance mathématique de X: E(X) = x1.P(X=x1) + x2.P(X=x2) +…+ xk.P(X=xk) Variance de X: V(X) = P(X=xi).xi2 - [ E(X)]²

Ecart-type de X: s(X) =

Remarque: Lorsqu'une expérience est répétée un grand nombre de fois ,le résultat moyen se rapproche de l'espérance mathématique. Ainsi, dans le cas d'un jeu si l'espérance mathématique est négative le jeu est défavorable au joueur et si elle est nulle le jeu est équitable.

Exercices: 14,15,16 p229 et 32 p233

valeur x1 x2 ….. xk

P(X=xi) P(X=x1) P(X=x2) ….. P(X=xk)