Série 47

L.S.Marsa Elriadh

Série 47 ^{M : Zribi}

4

Sc

Exercice 1

Soit (E) l’équation différentielle : y’ + 2y = 1.

1°) Déterminer les solutions de (E) sur R.

2°) Déterminer l’unique solution f de (E) dont la courbe passe par le point A(1 ; 2).

Exercice 2

On considère l’équation différentielle :

y' − 2 y = e^{2 x} (E).

1° Démontrer que la fonction u définie sur R par u(x) = x e^{2 x} est une solution de (E).

2° Résoudre l’équation différentielle : y' − 2 y = 0 (E0).

3° Démontrer qu’une fonction v définie sur IR est solution de (E) si et seulement si v −u est solution de (E0).

4° En déduire toutes les solutions de l’équation (E).

5° Déterminer la fonction, solution de (E), qui prend la valeur 1 en 0.

Exercice 3

On considère l’équation différentielle (E) : ' ₂ e x

y y x

   , et on cherche les solutions de

cette équation définies sur l’intervalle ]0 ; +[.

1. Démontrer que la fonction u définie par ( ) ex

u x  x est solution de (E).

2. Montrer qu’une fonction v est solution de (E) si et seulement si la fonction h définie par ( ) ( )

ex

h x v x

  x vérifie l’équation : h' h 0. En déduire les solutions de l’équation (E) définies sur ]0 ; +[

Exercice 4

Le but de l’exercice est de résoudre l’équation différentielle (1) : y’ – 2y = xe^x.

1°) Résoudre l’équation différentielle (2) : y’ – 2y = 0, où y désigne une fonction dérivable sur R.

2°) a) Démontrer qu’il existe une solution u de (1) qui s’écrit : x  (ax + b)e^x, a et b étant des réels à déterminer.

b) Soit v une fonction dérivable sur R.

Démontrer que v est solution de l’équation (1) si, et seulement si, v – u est solution de (2).

c) En déduire l’ensemble des solutions de (1).