La théorie de Floquet

Repubriqu.

affi*rG.,

Rlp,,rril-jMinistdre

de

_{t'En,'Jig""*""Is*pdrieur}

et de

lar

_Recherche

Scientifique

Univrtrsird

g

_Mai

_lg4|

Guelma

Y\{4

tt

Facultd

_des

Mtathdmatiques et de

l,Informatique

et des Sciences

_de

_la.

_Matidre

----:

Ddpartement

_{de Nfath}

_e*uiiqu.,

-." a: "l' l).:

'c

." r!i ..'.:,

M6moiE

Pr6sent6 en \/ue

de

f,obtention

_{du dipf6me}

_rJe

Master Acard6mique en fVlath6matiques

Option

:

Analyse

par:

ZI\IAMEN

_Aarabiya

f

ntitulti

Dlrio6

_Ra(

_{: Dr. Sahrina BADI}

Devant

le

jury

PRESTDEN{T

RAPPI]RTEIiJR

EXAMINATTEUN

R. Renraheh

S.

Badi

A.Mahri

I-Iniv-Guelma

Univ_Guelma

[Jni,r'-Guelma

ft] \

toi

1b; I i"'l

:"b

i

li

La

th6orie

_de

_Floquet

0g

4

J'expri grati $es l-n'a Mes vi et 6val Enfin

j

r6alisat

ed'

dDr

mis

d'

remer

cem

remelc de

Rernerciements

mes profonds remerciements,

ma vive

reconnaissance

et

ma

sincbre

ADI

sabrina

pour

avoir accept6 de m'encadrer et pour ses conseils et entations qu'elle n'a cess6 de m'apporter

tout

au long de ce

travail

et qui

indre humblement mon but.

vont

d, l'4clresse des membres du

jury pour

avoir accept6 de lire

gracieusement

_loute

personne

qui

a contribu6e de pr6s ou de

loin

i

Ia travail.

|__l--L

i rl . r.

_I

I

3-#e{ttc&c€

|

H

te dreu

tput

puissant, qui 4n'a

trac6le

_{chemin de ma vie,}

_j,ai

_{pu r6aliser}

ce travail

die:

umibre

_{e

mes yeux,

l'omsre

_{de mes pas et le bonheur de ma vie}

ma mbre

qui

ti"^::l

Fl""l

durant

tou{es

-",

unrr6*, d'6tudes,

po,r,

,on

sacrifice

_{et soutie'}

donne _{$onfiance, courage}

_ct

_s6curit6.

]:ifl:,tT

Tl*.1appris

re sens de ra pers6v6rance

tout

au rong _{de mes 6tudes,} jacnnce _{pes conseiis et ses r:ncouragements.}

)s s(Eurs

: Marieme,Fatifna

_et

_Hajira

es frbres

; Mouhamed,

_{erlah,

_Ahmed,

_et

_Nounou

rute Ia ffi,mille

nes amig

: rlham,Mofid4,Karima,Besma,Bouchra,Saliha

et Rachida.

)FA

T\, T'

SJEC[IC&C€

A

I'aide que je

4Ala

m'a qui m'on

4A

pour son

EAm

FA

FA

nous ne met faut, ti,al, une est

ti

les p nous

cause

petrte,

quz nop"s 6ch'appe, ddterm'ine'

un

effet consid,d.rabre que nous ne

e pas

uo'ir,

et

albrs

nous d'isons que cet

effet

est dil,

au

hasard,. si, nous

ractement les lods de

la

nature et

la situation

de l,(Jniuers d, l,,instant

i,ni-prddzre eqa,cternent

la

situation

de ce m€rne Un,iuers d,

un

instant

lors

m6,me _QUe les lo'is naturelles n'auraient

plus

d,e secret

pour

nous,

tns

connattre la situatzon i,niti,ale qu'approrimatiuement. S,i cela nous per-la s'ituation ult1.nieure auec la m€me approrimat,ion, c'est

tout

ce qu,il nous que le ph4.nonndne

_a

_{6td pr6.uu, qu,'il est r6gi,}

_par

_{d,es lo,is; Mai,s ,il n'en}

toujo ainsz,

il

peut qrriuer

que de petites d,iff1.rences dans les cond,i,tions int-en eng _de trds grqndes dans les phlnomdnes _fi.naur

_;

une peti,te _{erreur sur}

;,t _{une erf;eur 6,no'rme}

_sur

_{les dern'iers. La prd,d,icti,ort,}

deu,ient alors

Henri P ncare Sciences et M6thodes

pas

Ta

_es

_Matibres

Not

1.1 t.2 1.3 1t r.4

nsp

Systb Syst r.2.1 ystb

iminaires

et

diff6rentiels

g(rr6ralit6s

diff6rentiels _{lin6Bires auton6mes} 6thode de R6solution

diff6rentiels lin6aires non diff6rentiels non lin6aires

tion

de Stabilit6

quet

de Floquet de Lyapunov

es systbmes lin6p.ires p6riodiques

Rdsolution de l'6quation

de

Mathieu

autondmes 2.r 2.2 2.3

3Ap

15 -Ld 16 1b 22 25 26 29 36 38 A.' 47

.RSswxmd

Dans ce pravail o4 6tudie _{les systdmes diff6rentiels p6riodiques de ra formt:}

r

:

A(t\r

orj

A(t+T):A(t)

P:^:::lllciter

l]a th6orie de Floqmet, on va montrer

qu'un

systbme diffrirentiel

_d

coef-hclents Rpriodiquqs

peut

se transformer

par

_{une certaine}

_{transformation}

_en

_un

systdme

*:5:::lFt*_coe$cients

constants.

on

va montrer

te tti6orbme de

floq'et

et

cetui de

tyapunovl

_un

_terfine

_par

_{r6soudre l'6quation}

l--"

In

this we study can be

tr

floquet' quet' _alnd

Abstract

udy periodic diffrrrential systems _{of the form}

r

:

A(t)r

A(t

_+T)

:

_A(t)

theory, we prove

that

a

differential sy.stem

with

periodic

_coefficients

;

to

a differential _system

_with

_{constani coefficients.}

we

also prove flo_

ov one' _{we Fonclude by resolving mathieu's difierentiar}

It

ucfir$ru

gdndrale

_U

9Fuet est une branche de

la

th6orie _{des systbmes diff6rentiers ordinaires} upe classe de

soluti'ns

des 6quatior.,

_{iiffer"ntielles}

_de

_{la fo'me}

:

i:

A(t)r

.A(t+T):A(t)

Int

Le th6or permet diff6rent Cette

t

est d,

la noti

_de tions p6 _iques elle a

_is

_de applicati _sur

_I'

valorise _{te th6or} F'loquet (1883) d,

un

systbme nentale de

la

th6orie _{de Floquet}

_qui

_est

_{d0 h}

Gaston

mer

un

systdme

_diff6rentiel

_i,

_{coefficients p6riodiques} ients constants gr6,ce _{h une certaine tra,nsformation.}

rmportante _{danrs l'6tude des systbmes}

rliff

6rentiels p6riodiques. _GrAce caract6ristique, _{elle permet de}

_montrer

I,existence v uv ovlu-

_{a" ,olul}

11lrt;::,::T:f^"-":il.Ti

du

muttiplicateur

par mis

c",

uuur,tuges aussi,

ts dans toute cetite _{6tude seront d6montr6s et}

seront finariser par une ation de Mathieu qui _{est un cas}

_particulier

_{de l,6quation}

de

H'l

ceci

de

Hill

qu on va

ill

*:"^:

dans ce

::y.,:1.j1:,

_m6rrroire.rd

*hi

eu

qui

".;

;,;

"

*-

o,,"i,

",i;J

tl

iid#i:l

Dans ce

t

Lyapunov. udie cette th6orler, on

introduit

le th6ordme de Froquet ainsi cerui de

1,4

C[-fA,pfrrG

1

r--l

l_

Nol,i'ns

_{pr6liminaires}

_et

_g6n6riarit6s

Dans ce c:hapi1;r':'

_on

_donne

_un

_{rappel succint}

sur

des notions _{fondarrLentaies}

concer-nant

les systdmers

_{diff6rentiei. uutorro-es}

et

non

urtor.o-.r.

_on

_{6tuclie res systemes} diff6rentiels lin'5aires

_et

_{on expiicite leur}

m6thode de

rrisolution.

_on

_{introdu.it aussi res}

systbmes diff6rr:rLtiels _{non lin6aires et on}

termine par rappeler les

notio's

de stabirit6.

1.

1

_Slrstbmes

_{diff6rentiels}

1l-.L.L un su st dme d, 6 qurtti o

n

d,iff lrenti,eile _orriinaire

Fn(t,ar,a'r,

_...af')

_{,uz,aL, ...rLrr)}

,

...,gn,a,.,

a*\:

_0...(1)

r6.solu pai" ropport

aur

d,6riu6.es d,'ord.,re le plus eleud gkt,A,rr,ykn _{s,appelle systd.me} canoniqur:, ctrr, _{l,d,c,,",it sctu,s la}

forme

:

'l:'.',

:

_f

1

\t'

u

t'

a','''

rt\n' - t'., r r, a\k'

-'

t,

a,

.

af

^ - t) )

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:

h(t,

y _{r, a\,} . . _u!*'

-'),

_ar,

rI,

- u,

r,

"

ri"

-,

_I

(2)

a|!-)

:

f

t. (t, a r, a'r, . .,.qf

,

- _{'), ar,}

_af,

- t),

a... a\*- - t) )

du systime

(2)

te na,mbr€

p:

_kt

I

_kz

₊

_{.. + kn.}

Un systbme _{cliff6rerLt.iei se met sous la}

forme vectoriel

r:

f

(r,t)

il

est

dit

non a'uLton6me _{car la variabie ind6pendante}

I apparait explicitement clans l,expression de

_/,

_{dans le cas conl,raire}

_il

_est

_dit

_atLtondme.

ilCfrriii;1u:

I

I

e

!

lin6aire

peut

se mettre sous ra forme matricielre _{comme suit}

i::A(t)r+B(t)

{]il on s'int6resse qu'aux _{systdmes autonomes c,est d}

dire qui sont de ra form +

_-

f

(-\

* _ J \L)

ftbmes

diffdrentiels

lin6aires

_auton6mes

N2'l

on appelle syt;ttme d'ifflrentier ri,n6ai,re _{auton6me re systdme}

t:Ar*B

$"

*

IR" est une nratrice constante

et

t

un _{vecteur constant.}

+2'2

o

si

B

_#

0

_,

re systEme

(1.1)

est _{d,it rr,nda.re auton6me non}

ho-t

_,

_{le systd,me}

_(1.1)

est di,t lind,aire autonilme homogine.

flhode de R6solution

u-lun

systdme diff(.lrentiel lin6aire auton6me

homoe"Ano

ce ii; i ue

1.2

(1.1) telle (1.2)

6(t)

:

M6

tion

d systbm est

L.2..

R6so Soit lr

i:

Ar

matrice fondarnentale de (1.2)

I

oi

eAt

_

r-

_{un2u r ^}

,A'tn

nl.

et

une

solution

(non identiquement _nulle

)

v6rifi ₀₍₀₎

Ce sys e

r(t) :

"tt'

est

une valeur propre

_de

_,4

_et

_tl

_le

_vecteur

(A

_-

\r)w

:0

si)

_propre

_{correspondant}

Sol Les Les D'or donc Soit chaq de A. Soit alors

matri

lNVCIS

2,...., An les valeurs propres

_a"

_,a

_{,e"tt"*idi.tir*u,}

et

ut,,tr2,....tlxn

.propres de

'4

alors une matrice fondarnentale

pour

le syst6me (1.2) _est

valeur

_re

_de

_A

_{sont r6elles}

et

distinctes

d(t)

:

_["^rrrr,

..., eAnr,u,f

n6rale _{de (1.2) est :}

r(t)

:

_Q(t)C

n

_{vecteur constant.}

la

condition

_{initiale z(0)}

_:

_{z6 alors}

C

₌

_d(to)-tr6

:;

S(t)g(t6)-t16

2,3

_{Rdsoudre le systdme :} solution que

rai

rt- (

,"r-

\

ron

la solu g6n6raie

_est

:

cas

: une val soluti une m

I

existe

rft):

₍₃

_i),at

'(t)

\

,(t)

₎

pres de

la

matrice _{,4 sont} pres correspondant sont

,b@:

₍

*at,:

₍

_Jl,

_::")

_(:;)

:li

'. _Ut e" e _1 \ r -r) 42:J

_( 1\

- \ -i / ;w2:

ttt \

"t' )

(t)

valeurs propres

_de

_A

_{sont r6elles multiples}

:::i:,:::\:::l

demourtiplicid.&

<

n alors pour _{chaqu e}

_k

:Tr-,

non nulle

w

de

(A

_-

I))kw:

₀

,,upp"ll;;;;;;;ffi#;

ji::

ce r6elle qui possi:de

₎₁

_,

_)2,...,),,

_des

valeurs propres r6elles r6p6t6es

["1

T

j,i

_{:.,],1 rl}

I

lil

r

::HTi

T"

!

r?:,

;

;!;

i^,

o

_l

rl

P-LSP:

_I

I

lt

.,,J

-

S

une matricer _{nilpotente d,ordre}

_k

_{

_n

avec ly',S _commutative;

,lution g6n6rale _{du systbme (1.2) esi}

:

e)r

_ol

I .

o

e)'l

_J

L2.4

R1.soudre

_le

_{systi.me :}

i:(t):( ,t -t, i

_)r,,,

\ 1 1

-1

/

{4\

-1 -1 \

101

0 i/

;/y':getP-r

:!(

_t\

g6n6rale

_est

:

/"'0

0

r(t):Pl 0

e2t

0

\o o

e2t

et

,4y'

:

Donc

.r(t\

-':

_*iO

(comP)t

propres de

la

nrretrice .4 sont:Ar

:

1;)z,e

:

i')

-2

(double).

(;')

_''':(

)

,-'"

tereque:

c: (:i)

1B

rs propres de ,4

son+

r:ur:l1l

/ i \

_,1il2:

\1/

t')

1

_-1

11

10

1 I 1 I

:

tic

_(

-\

aS

solu

o

]bme

cafi

:

Les_

valeurs pi

::i-1"^"

o3n

"

z")

p**a" z'

vareurs

o'oo*.

_"o-plexes

distinctes

,:l

- :t'r

y,oi

_i

Aj

:

aj _

ibi

.

telle que

j :T.n

;EJ

j:

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,n::,"J,tT,l,Ji";Ji:;::fi":,

,1r7,,12,u2, ,,,n,un

p_t

_Ap

:

_on"n

(tl

_J:

₎

j:\i

L{

solutio4 g6n6rale _{du syst6rne (1.2)} est :

r(t) _ Pd,as\",,

_(:,Tg,l

;::?J,li'

_)]

r-,

j

:In

{.2.5

Resoud,re _{le ;systd.me :}

/t;,3

_B

₎

,\

t(t):

| ;

\o

3

i;')"u'

sblttio',,

Les _{valeurs flropres de la matrir:e,4}

sont

:

)1

: I_i; )z:.1,

_;

_)s

_{:2_z}

;

)a

:;n.

,*.

"."r"u;rr:**,

de

I

sont

;

1r)r

(

, )"

.,

(;),,

;

/9\

l9\

/o

1o

o

*'[.:

I

I

1

.,lr

-',

]

:=,":

|

;

s

I

s)

\;),,

_\o

_f

_,,,

_\oo

_o

_,)'

"'-r;sij,)

\;;

;'

_{; )}

Dotri la

_{solut{pn g6n6rale du systbme est}

:

_,,\

_

-(

'(

-':,'il))

:.::[']

)

o

s

)

"o:'l

_;

",(

_.:ljli

:::[,]

)

_I

"-,"

\os/

I

bme

pas

_{: Les valeurs}

soit

,4 r4rne

matrice

r6el?e (2n

x

2n)

auec A,

_,

+ ibj

et

\ :

o,

_

ibj

_{ilexiste une}

Dase _{dq vecteurs}

_propres

_ui

_:

ui

_*

_iui

_et

_q

_

_1tj

_

,iui

_avec

.j

: Ti

p :

_{[upt,,1tr21)2, ..., Unun]}

est _{invqfsible v6rifie}

_A

_:

_li

_*

_lV

telle que:

P-tsp

:

aras

(

_!

_;r,

_{) ;j :T.n}

\",

ui /

et

.A/ esg une _{matrice nilpotente d,ordre}

k

{

2n,de

plus ,S.,A/

:

ry.g. donc la golution _{g6n6rale du problbme pr6c6dent}

est :

r:(t):

_{pdiasl"",, 1}

_Tt(.brl)

-sin(b,r)

\1

T

L

\'i"ia,rj

_"t;'(;,';'

_)]r-'

_l

r+

r',r+

₊

!I!,*-,

Exemnlb L.2.6

_{Rdsoudre Ie systd.me :}

/o

:/J\

_{^ /.\}

I

h(t)

:

Arc(t)

auec

_r(0)

:

_rs

_or)

_A

: I

l

t0

I

\2

$oturionl

I],es valeuXs _{propres de ,4}

_sont:

_)t

_:

_i

(double);)2

-

/o\

Les vecteurs propres de ,4

sont,t

:

I ; I

+

i

I

\

o

/,,

(lelle que

_|

(A-

_)11)w:0)

;

(A-),

_r)zw:n:=e,:

fl

)

.

f

i

)

\o/,, \

o

_/,,

(o o 1 o\

_{/o o}

o

==+p:l 0 0 o i I

I

I

o

1-u,

_Jf

o-':ll

₃

_;

\*1 o o o/

_\o

_1

_o

(?;1

_I9\

_/o

_o

_oo\

c-l

1

_o

_o

o,

_|

_,ru.=19

_o

_{o o}

I

- l0

1

_{0 _11"'-lo_-1;;l}

\r o

1

o

_/

_\i

_(r

_o

_o/

20

i'l+)

:

_)r

(double)

lo\

l;l

\ -t

/,,

l')

Si .4 a des

et elle

que

:

la solu

oilC

eo-t

(

cos(b,t)

-

sin(b,r)

\

\ sin(b"f)

cos(b,t)

₎

le que _{est nilpotente d,ordre}

2

f

cos(t)

_ _sin(r)

):pf

sin(t)

cos(r)

loo

\o

o

:+

_{la solution g6n6rale} est :

0g\

ool

cos(r)

_-srn(r)

_l,-'

( t

+

wt

_{) ro}

sin(t)

cos(r)

_/

:

Les

valeurs

_de

_A

_{s_on!}

_rdelles

et

_{cornplexes distinctes}

:::':::::

r6e'es distinctes ^ e aussi des valeurs

r

r";;

r"

;Hffi*::::i:*lt":"1"']1-:

ai

*

bi

et

f

:

ai

*

bi

tene

dont

le vecteur propre

_uj

:

_uj

_*

_i,ui

_et'L;:;

y

n:;,!;"ai

*

b

P

:

_[rr, 1)2, ..., 1)1x,,Ufl),1, _{..., UrUn]} A1

P_IAP:

lrk+7 A2

-("t

-b,\

:

₍

_,,

o,'

₎

..t

j

:TTT,

n

g6n6rale _{du systdme (1.2)}

est comme _suit:

r(t):

PMP-rC

0 eor+rt

(

i:os(ba*1t)

\

sin(b6*1t)

-

sin(b6aif) cos(b7,a1f) 0

ur

constant Rdsoudre le systdme .

Co

r(t)

:

\--J_LO'

n

_{systbme diff6rentiel}

e du systbme .rs _{propres de ,4}

_sont:

_)r

:

_{_3;)z}

_{_}

urs propres de ,4 sont:

,, :

( j

)

o

o\

_lt

_o

_o\

li)'"-':13

ti)

ution

g6n6rale _est :

f *t)

o

,,,,

:l

:

,"(:,T,gl

_;:?f,)

\0

(;'t

₊₎

,(t)

2

*

i,;

)s:8.

1D^2

_(i)

u,*n(

;).,

vec

(

:la

auec

Solu

Les'u Les v

p-Donc

0\

I

o-,

)

non

ho

C. R6so La sol est:

linda

ire

auton6me

i:ArlB

n:rcH(t)+rp(t)

oti 16:

(t)

la

tion

g6n6rale de

*r(t)

solu

de _Ie.

1.3

r:

Ar

+

rsn(t)

:

_O(t)C.

particulibre _de

_r

:

_Arr

_B,

on Ia d6termine par la m6thode de variation

sys

mes

diff6rentiels

_lin6aires

_{non auton6mes}

bme diff6rentiel lin6aire non auton6me:

i:

A(t)r

+ B(t)

22

(1.3)

: telle I o

:

A(t)

B(t)

_#

B(t)

==

lR'-+

lR."

oi

_d ap ), le systbme (1.8 l, le systbme (1.3

rir-it6 rlo

-^L.+:-prartient a l,intervalle _{1 de I'axe r6el.}

I est

dit

_{lin6aire non auton6me non}

homogdne .

est

dit

_{lin6aire non auton6me homogbne}

.

=

A(t)r

+ B(t\

o)

: ro

(P)

un intervalle _{1 de IR. Alors}

_pour

_tout

to

e

l,ir6

_€

R

lution

r(f)

dans 1.

nz.atrice _{carrde ayant}

_{pour tout}

_t

€

I

u,n d,€termznat : homogbne

i:

A(t)r

ppelde _{matrice fond,amentale}

d,u sgstime

:

i :

_A(t)r

r

_-

A(+\-Co

on,a(t)

problbm

Ddlinit:

non nul (te

_$(t)

Solutic

:ons le p

;t

B(f)

s ,

(P)

adr

rn

1.3"1 tt

si

_Q(t)

A(t)Q

_,

g6n6ra

oblbme de cauch.

!

*=

I

_"(t

nt

_{continues sur}

Let _{une unique so}

Si

_0(t)

est une u6,ffie le sgstimt alors

:

_Q(t)

est a =

du

svstbme

*+*

(14)

io,i"tiui

"o:t+*i,iabi

tt4

_-.

*0,

;

Rle

nant

I

I

On lorsq ',

"'I"J,|'.:tiHf

H;

J:l,Ti;;

_i:J:::fr

_I

ant

d e I

a

_{m at ri ce ro nd am}

ent ar e _{m 6m e}

le

1.3./f,

_Soit

_{le systdme :}

*-(

0.,

--\;

\

,-

t)''

r€R.

ort): (tz',

_i

)

ondamentale de ce systdme.

b)

det({(r)):t4lo.vf

_e

_lR.

D'apr6s

(a)

et

(fl)

g6n6rale du

systb$neol(ri5?ril:

'b(t)

est une

matrice

fondamentale

donc

la

sotution

i):(':l):a.r

de (1, on

_/(t)

_{est la} Si on _idbre oir

r(f

1r\

-rp(t)

:

Su

est donn6e

par

:

ale

du

systbme

le ystdme

_(t.3)

_avec

n:

A(t)r

_{+ B(t)}

A(t) et

B(t)

sont

continues

r(t)6p(t)

₊

_rp(t)

n:

_f(t,r)

r(t)

:

_d|)c

₊

_6ft)

f,"'

d{r)utr)a,

trice

fondamentale _{du systbme homogbne}

:

i:

1(1)r.

e plus

la

condition

_initiaje

_r(to)

=

re

_{I'unique solution 4e}

r(t)

: Q(t)O-r:

7t

',to)ro

₊

_d(L)

J,,d(')B(s)ds.

tion

g6n6rale _{du r;ystdme (1.3)}

est:

sur 1

de

IR, la solution

(1.3) est:

ip(t)

:

ip(t)

:

mais

_/(t

oft)c(t)

t)c(t)

Ir'od-tu\

dem

t)c(t)

que

(t)+r

(t)

+

B(t)

:

A(t)q5(t)c

_(t)

₊

_{B (t)} est une

d(t)c (t)

+

_$1')r:

_1t)

₊

_dl)c

_(t)

:

_A(t)4(t)c

_(t)

+

B

(t)

atrice _{fondamentale donc}

6(t)

:

A(t)Q(t)

_alorc

t)C

est

la

solutiorL g6n6rale _{du systbme}

_h(t)

_:

A(t)r.

rst

la

_{solution particuli6re de}

_r(t)

_:

A(t)r

+ B(t).

)B(s)ds

+

rp(t)

.= _OU)

Ir',d-'(4s(s)ds.

r(t)

:

_{d(t)6-1(to)ro}

₊

_de)

['

6{r1u1r1o,

a

Jto

0(t)c

_):o(t)c(t)

₊

_B(t)

_{+ I:,cQ):}

I,'06_198(s)ds

L.4

yst6

_{diff6rentiels non}

_lin6aires

Soit le sys auton6me

+

C(t)

donc

: (1.5) avec

r

_€

Il

n'y

a

c'est pour _{a qu'} chercher

rode g6n6rale _{de r6solution des systdmes}

diff6rentiels non lin6aires,

L S'int6resse _{aux comportement}

des sorutions

(Stabilit6)

_{sans avoir d,}

rion

_{explicite' cette}

_th6orie

appeil6e 6tude

qualitative

_h.,

_Lquutior,,

d, Poincar6 au dix-neuvibme

_,lb"l..

L,4 Unr

si:

a

Sta

.1

N

solution

Ve>0

si

_llr(r

La solu pas v6r

ilit6

de

tion

de

Stabilit6

'!'l

_Jd

-d"^rl*bme

_>

₀

_telle

_que (1.5) _pour v6rifiant ra condition

initiare

6(to)

:@s

esr dite stab

tout

solution de (1.5)

v6rifiant"i1roS,:16

_{On a}

ll"(to)

_-

Q(to)ll

<

d =+

_{Il"e) _ d(t)ll}

<,

-

$(t)il

:

0

la

solution

_/(r)

_est

_dite

_{asympotiquement stable.} on Q(t) est _{instable si pour d}

_>

_{0 aussi}

_petit

que

'on

veut l,in6galit6 n,es

i6e

pour

_{au moins une solution}

_r(t\.

solutions

pour

les

systbmes

_r

:

Ar

F

ffi

,;Y Si,

Re{i

alors

t

fum*$$

Aarcurt,l

iiil*a

,("rst bo

yopi;ttit

iat

qoi, 4g,,,,== .?*

!"'

tle

,0nl1r

i,ii

ti

'il

u€r t &21 ...t J .i"r]il 1.4 systdme fte

_f

(16) on lin6aire autonilrne

*:

_f(r)

),f

:

(h,fr,...f").

I

Le

poi'ntu'

_€

_{IR'r est dit poi,nt crittque (ou s,ingulier,}

ou poznt d,6.quiti,bre)

*:

_f(r)

26 0. le Soi

:)dfi

pour

lJelln qut n'r

udrifi,a

1.

3

_{Une solution}

point

singulier, p6,r,iodique d,un

_pour

_laquelle

_il

champ de uecteurs

X

et:iste

un

nombre

_T

_>

₀

est une _appeld. soluti,on

_plriode

pas

4r)

r(0).

le et soit ;;-1 "tJ - Lt est ap _{d linda}

tbme diff6rentiel _autondme

r:

_f(r)

t

singulier

_pour

_{ce systbme.} Le systime

r.4

ou

r:

Ar

4"

,

,ot;

A:

_l#(r0)(,r0)l

_-drj'

_:

_Df(r6)

on de ce systime _en

_rs

_{01) le systime} l,ind.aire _en

_rs.

perboli,que

r.4,6

li'ndarisation

i

Thforie

_de

_Floquet

Dans pe chapitfe' _{on va d6finir}

certaines notions 6r6mentaires ( matrice cre monodromie, multiplicateur$ _{caract6ristiques,}

t'"o"-#1"

_{ca.act6ristiluer)}

oo.r. 6nnoncer Ie th6orbme de

_{Fl{quer et}

_cerui

_a"

_{Lyapun;;;:r:ants}

res ,y.tbrrr"..,diff6rentiers _p6riodiques. Nous _{{nontrons qu'un systbme}

difl€rentiel _a,

"o"m"i"rriJii.iodique"

peut se transfbrmer Rar

u{e

simple transformation _{d' u.,}

_.y.*a*.

aifi'e."nii"il,^.o.m"i"rrts

_constants.

Nous

ffiill|*

aussi l'existence de solutions p6riodiques

il;;rines

valeurs des

murtipri-t^

;Jiff+f:Tti"

des svstbmes lin6er,ires _{a coefficients p6riodiques}

qu,on _{va 6tudier dans}

(2

r)

orj

dr

*:

A(t)r

A.(t+T):A(t)

que

'a(Q

est une matrice cront _{les 6r6ments sont tous p6riodiques.}

:

Montripns que de tels syst,dmes _{c'est a, dire les}

systbmes du

type

(2.1) peuvent lutions _{rfon p6riodiques en consid6rant}

re systbme ;

:

(1

_+sin(f))r,

_z

_€

_IR,,

€

lR c'est d, dir$

Question

avorr des sp

dr

E

R6ponse

i-1+sin(r+pr):1

(1

+

sin(r))u,

_A(t)

,=

_r

₊

_sin(t),

_{A(t + T)}

_:

A(t +

2tr)

{

sin(t)

:

A(t)

donc

,4(t)

est p6riodique _{de p6riode}

_T

_:

2n

da

= m:

(1

₊

_sin(r))r

dr

=;:(1

+sin(r))dr

=+ln(z)

_t_cos(r)+C

+ r(t) -

g"t-cos(t) Mais la solution

_r(t):

grt-cos(t',t

n,est pas periodique

_car

:

1)

Soirt

d(t):

_{(6{t)...6tn)1une}

miatrice fondamentale _de vecteurs _{solutions lin6airement}

ind6pendants.

ona:

(2.1) on

_6@,,i:

_1,..., ,n _{sont n}

+

0(t

*

7)

est aussi on

peut

6crire : (

I

ona

6(t)

;:

A(t)o(t).

6(t

+ T\

'T:

A(t+T)d(t+r)

:

_{A(t)d(t +}

_r)

une mal;rice fondamentale _{de (2.1).}

a,l),,A,

.*

T):

c"ol.lf1l

+

i

c6g@ e)

6rnt(t+T):

cn

₄₀₎

(f)

_+..

_{+ d,'_6at'iq}

et 2)

d(t

+ T)

₌

_{16{t) 1t}

₊

_T)...4t") 1t

+

r))

:

":)

(:

tlt |-2r) -

1:"t*hr-cos(t+2r)

_

g"2n"t_c""tt)

I r(t)

30 @(1)Q) .

_o@(t))

(2.3) (2,2) (2.4)

l:0,onobtient:

q\e

_dU)

_{est telte quer}

/(0)

:

1

d(tl:6Q,0)

:

_{0-r(o): I}

_et

+

Q(t

+

7)

:

_Oft)C.

c:

_{d-l(t).d(t+T)}

c

:

_o-1@)

_d(r)

c,:d(T):d(7,0)

((t

₊

T, 0)

₌

_d(t,

_0).0g,

₀₎ La

matri

odromie

nii;i

appel€es

Soit

_f

_{une autre}

d'autre,

d'oi

:

et:

l'ilrlT,lljifri:o't'par

(2'3) s'appelle matrice principale _{ou matrice}

de

mon-2'o'8

_{Les ualeurs propres d,e}

ra matrice mon,1drlmi,e

c

_d,€f,nre

_{par (p.s)}

sont multiplicateurs _{caract€ristiques}

a"

r,irie*"

_e.

I _).

m$triCe fondamentale

_=*

_I

_{une matrice}

_i

:

$ft+rS:dO

unf

m4trice _{constantr: invesible}

_B

_tq:

qi1t1

:

_dQ)B

oQ-r

r)

:

_4(t)Bo

+

d'ori

oir

h

+

_{d(t +}

7)

:

_o(t)cB

+

B0:

CB

=+

C:

B-1CB

,":r:--Pt"!

e d

C

(donc

ils ont

les m6mes valeurs propres ).

2.q.10

_{Soi.t le systdm,e linlai,re}

pdri,od,ique

D6terminons _les

_{multiplicateurs}

caractdristiques

_pour

_ce Solu ron: Ce pfstbme _{est 6quivalent}

A,

{

_'t'

: rt *

x;2,

(

",

:

h(t)r2,

6qqation (2

_+.lrrd

_-

_cos

_t)i2

_:(cosf

*

sint)r2.

^- , /k

:t;2*0\L+Slnt_cosl)

b _{est rlne qonstante.}

s€r,s

_ffr

.f6rifle _:

rr

_{- rt :}

12

:

b(2

_{+ sinl}

_-

_cos/)

-

b(2

₊

_{sin r)}

tel

que _{a est un$ cofistante.}

On obtenir

(;:)

:(;

,L)G:)

de la nous telle Dans 4r

-unermatrice fondarnent ale

_$(t)on

_{consid6rons o}

:

0, b

:

I

et

a:

1, b

:

0

dQ"):Q(o)c

c:d-re)O(2n):(:

g

₎

' \l)

_"."

J

32

arl_(

-2-sinL

ct

\

c.J\^*

_ccr,,-

_U"r.C4c.

v\L):

\r*sinf

-cosl

o

₎

\c^

rl

-! r. n \nr.( \Arcr-\l'trt"t'Srr-x

p6riodiqlue de p6riode

2r.

C doit

v6rifi6

\t

_.

_.,1.

-

L

_$1"

IL

_v-w _'vrruv r n,t _-

L-(L

6(t+2r):6(t)C

_\

.r

\

I

{}.*b

val$urs propfes _{+\ ds} Ies multimflicafreurs

C v6rifient

:

det(C

_

rA)

^

it-l

o

€>l

I o

e2"-<+ (1

_

_)("r"

_

caract6ristiques _{sont :}

+)):Iou):e2n

Pui,sque

_la

_rnatri,ce

_C

_est

i,nuers,ible

_{elle n'admet}

_pas

z6ro

comme

it

)

uri

mrfltiplicateur

_{caract6ristique et}

_s

_l0

_un

vecteur propre _{correspon_}

:

la

so[ution yp de

(2.I)

qui

_{prend la valeur S}

_pour

_t

:

0 :p(0)

:

S

p(t)

:

_6(t,0)S

e(t+T):d(t+?,0).9

.=

_0(t,0)c.g

:

_/(r,0)A^9

,:

)/(f

_,0)^9 r /.\

:

Ag\t).

*0

I

',

l:0

^l

2.D.tt

r

Pr"e-gye : dant. consl

Ona:

et

:

_{Supposons qu,on}

_a:

9(T):

lp(0)

pour _{une solution non}

triviale

_!r.

p(T):

_d\,o)p(o)

Q(7,0)e(0):

)p(0)

ce@):

Ap(o)

+

(C

_-

)1)cp(0)

:

0

+det.( A

_{/ svu\v}

_{- \r\}

n Al I : lt

+ )

ist

un

mrlltiplicateur

caract6ristique

_et

_{rp(O) le vecteur.propre}

correspondant,

_a

invefsemgnt

comdre :

ceci dignifiq qUe:

c'est p dire :

1V

_{#0tq: CV:V}

Preuf

:

Si 1 es{ un n[ult]ipliQateur _{caract6ristique}

=+

c'est A,

pire

_fl(",

0)V

:

y

];:

tl

solution _{qr(r) teue que <p(0)}

:

I

,

_e(t):$(t)v

Jrn(

lr7\-_

y\L _r

_t

)

:

$(t)CV

:

d(t)V

:

A(t) =+ ,p es{, ?-p6riodiqqe.

de

m6me

:

Jr

(-rJ

est un

nultiplicateur

_{caract6ristique on a}

:

1-=V

+Qtq:

QV

:

*V,

O(T,g)V

: -y

bort Ia sblution

p(/)

ttelle que

p(0)

.= fz

on

a:

p(t)

:

_0@v

d'or) ,^l+ | r)rr'\ /t

p\t

+.2.1,)

:

pe +

T

+ T)

:

_Q(t

+ T)CV

: J/J , 6\r,

- -g\', -t I )v

:

_-rh(t.\aV

\t'\wtv v

:

_d(t)(_v)

:

(t( _{Y \".1 ,t.\V} 34

preuvb

_:

+9

r6cil

alors =+ 1 est

de

m6rrl

ona

avec _a2

=)

1 est Si

(-1)

n

d'orl

: =+ 1 est donc ,ro2 p6riode mi

d'oir

_{, on} a =+

(-1)

es{ -f6ripdique.

:

_e(t).

est une solution _{?_p6riodiq Lre}

$

e'(t+T):91(t)

,plQ):

pt(0)

nfenlt

:l

_{Si cp1(r)} m4rripric4teur

_caracr6;;:

_::]

)lrr'?,

:

_$i

,a'z(r) _{est une solution 2?-p6riodique}

6

0)

e'(T):c2,p,(o):pr(o)

vafeul prppre d,e

c2l*'rir'

i

tle2')

:

o

+

(c1:

-

t),pr(o):

_(C

₊

_De

_{_}

_t)pr(o)

:

o(,pr(o)

_#

o) =+ det(C

+

1)

det(C

_-

1)

:

0

t

p1s t.ln

r4ultiplicateur

_{caractiristique alors}

:

det(C+r)+0.

0).

det(C-1):0.

mulliplicatgur

caractiristique _{c,est d, dire}

t'

c'g2(o)

:

p'(o)

?-pprirpdique _,ce

_qui

_contredit

_le

_fait

qoe

_{92 est}

_{2?-p6riodiq'e}

_(2T

est Ie

mal$)

:

(dei(C

_-

ti)

₊

0)

ce

qui

implique que det(C

*

1)

:

6

I

(,1

t')':;

(

₁

(l-")

1 1 1 1 -t

(

nl

r-.y.roi

_{sozt Le susti,m,e:}

t"

(

{

_{I r^}

1'=

;sin(2t)q

+

(cos(2r)

_

r)r,

- I^^^/or\ 1 \

(

-z

_-

_\cus(zr,/

_

_I)rt

_*

_sin(2t)r2

l

"l

lopaamentale est donnde

par

;

d(t)

: (

et,(cos(t)

-

sin(r))

e-'(cos(t)

+

sin(f))

\

\

e"icos(t)

₊

_sin(r))

_{e_r(_ cos(t)}

+

siig11

₎

.l rzc7 _{de monodrom,ie et les} multiplicateurs _{caract6r,ist,iques.} :l

if

)i

d-'(o):

rr#o)

rcoms(o)t,:

₊

-lt

_)i

c

:

d-1(o)4,'12'n7":

('/,3

:0;j

donc

tr:

Les val(rurs act6ristleue R6riodi$ues 'o{res lAe

C

sont

:

Ar

:

Dq ce _jr6sultat

_et

_d'aprbs

lz:lquirepr6sentent

le corollaire pr6cedent, _on

-t,)

les

multiplicateurs

_{car_}

obtient

_{deux solutions}

r

ce iystdme.

2.L

_Th

l

bfr.

de Floquer

eB?:C:$(7,0)

36 erfi

satisfait

:

on peut _6c

Soit le fpcteu

On

a:

,l)"6fi,ni"ti$rn 2.

sont appele4,s

Il

est clai,,t; que:

ftt

est

un

er,i actdristiq\e ). multi,plica\eur

k:0,11,

_F2,.,

(c'est d di4'e :

A

chaque gx de la formQ :

P(t+T):

p(t).

En

effet ;

groit ,S

p(o)

:

S; _Qn a

oir

:

P(t+T):

.2

Lel

O(t,O)

:

_{d(t,g)e-Btrat}

p(t)

_:

Q(t,0)e_Bt P

(t

+ T)

:

_d(t

_*

T,

o)e-nft+r)

:

_d(t, 0)

_d(7,

0) e- Bt "-

er

:

_{d(t,0)eBrs-BT.-at}

:

_{d(t,0)e_Bt"_at}

:

_P(t)

_a

ualeurs propres _d,e

_la

_matrice

_B

d,6.fi,ni,e par

eBr:C:6(7,0)

eppolants caractiristiques _{du systdme}

i :

A(t)r,

Ag

+ t)

:

A(t)

,r

:

_*rn())

:

_|

+,i@'g^-+

zt'")

ui

est

un

_{erposant caractd,rist'ique arors}

_rj

₊

_i2+

r,est aussi,).

'nt car]act6ristique

p,

il

lui

_{correspond une solution}

_p

_du

systdme (2.1)

p(t)

:

exp(11,t)p(t) ip telle que :

p(t)

:

P(t)eBts

:

P(t)ep'S

:

eP'P(t)S

:

eqt

P(t)

o?Y

"4*untist'ique

de

se

systi.me)e

(A

:

sur

est _{murti,pr,icateur}

car-ota?:

V".? les erposants caract1r'istiques ne sont pas uniques. si,

)

est un raqtdrlsti,que

_alors

_les

Exemple

consi.ddr6.

.

Dans ce Montrons former en d6pend du

Prquve

: Posons : Substituons dans on

troul'e

:

?r::r#:i|nons

d,l'erempte s-0-10, on a catcutd, tes mutttpticateurs _{d,u systime}

)t : 1, )2:

e2n

les erposants caract1.ristiques correspond,ants _sont

/-4:0,

Hz: I

ue

touf

_{systbme ]in6aire homogbne}

a, coefficients p6riodiques

_peut

6tre trans_

:#jJ:-.

lin6aire i, coefficients constants par une rransforrnation lin6aire qui

2.2

T

dorbme

_{de Lyapunov}

f,:::,T:6),!?,!i,ont);:,,;;lj::;,ff

_{:,leriste,,";,***;}

homosdne

,

,-r;,';:r

_,onstants ou

p(t):Q(t,O)e-Bt,

_d:Ad

r

:

p(t)z

r

:

A(t)r

Pz

-l p2

:

Apz

z:

p_L[Ap _

p],

P-|IAP

_-

PJ

:

eBt4-1[A6e-Bt

_

_de-at

₊

_gBe-Bt]

eBt4-168e-Bt

:

B

t -

r)-L-U'

38

6e

par

:

eBr:C:Q(T,A)

finfl

lef

_{exposants caract6ristiques}

du systdme

(2.1)

:

Y:

BA

urg _{prPpres de la matrice}

_B

du systbme

r_e,un _{sVltdme a coefficients p6riodiques}

e tp sygteme (2.1) :

a les m6mes

_{multiplicateurs}

_{car_} u

:

A(t)y

ceci est u{t cas _{ier d'une propri6t6}

g6n6rale oir

B

eqt don

l\ons

avlons

comme lf:s val

consid616

act6ristiqlres

Si nous

_tr

alors les nfLulti

Preuve

: Montrons _glue: multiplions par

(r+?f

: ; - D-.-DZ Si nous cpnsi

de mono{lromi

_:!|

_{:?:T$'T"":#ffi::}

svstbme p6riodique de p6riode _{?.alors sa matrice}

t-D-,_D.

,11:T].::!r_-t)

*

un aurre sysrbme par une transformation _p6riodique urp de ce nouveau systdme seront les m6mes que

_ce,y.,1-"

fZ.f

l.

S-'(t+?):^9-t(r)

<+ ,9(r

_{+ T)S-1(t +}

_?)

:

_,S(,

₊

_Z)5-r

(=)/:^9(r+Z)5-t

:,S(f)S-l

_:1

z(d) sapisfair dofrc lp systbme :

l)z

dans

(*)

_,

on

obtient

:

S (t) z

+

S (t) 2

:

A(t) S (t)

2...(**)

u _\v) L _T _Lr

\L ) z : /t\L ) b \t) 2... (**)

fait

dofrc

lf

svstbme :

,

:

_f'(f)[

A(t)

s(t)

_

s

(t)]z

.

*

nT

esl

_{coftinue et}

_{T_p6riodique}

.

r)

t{

_mptrite

_fondamentale

de

(x)

telle que

_/(0,0)

:

_{1 alors :}

'l'(t)

:

S-tQ)O(t,0)

,

:

_f'(f)i

A(asu)

_ s(t)1,

-I

coftinue et

T-p6riodique .

fltrife

fondamentale de

(x)

telle que

_/(0,0)

:

_{1 alors :}

,l,Q):

S-tQ)O(t,0)

flricf

fondamentale de (xx).

lrs

9aract6ristiques de

(*x)

sont les valeurs propres

de:r/-1(o),r/(?)

_mais

,,1,-t _(o)rb

_(T)

:

d-,

(0,0).9(0)^9-1 (

T)

_{d17. 0)}

une ma,tricf _{fondamentale de (xx).}

pli

at fa SO Ct

tri

la ce

:

1,9(o),s-t(o)c

:

_IC

:

_c

ristiques est

un

ensemble

invariant

_d'un

_{systdme lin6aire}

ho-:""1":fljt,Triodiques

dans re sens que

cet

ensemble esL

invariant

par

une

6s

lde pet fnsemble d6termine le comportement des sorutions , l,existence d,une

io$iqrie e{ comme , on le verra

ia

stabilit6.

tt."F

"1""1

les

multiplicateurs

caract6ristiques

,

on a

besoin d,une

ma-"3t1 irdire

on a.besoin de connaitre toutes res solutions.

pour

trouver

::Tl.Ti::nj],.-"

p6riodique A,

un

sysrdme

i

_{coeficienrs constants}

,

est Cec

En,

Sie

Le

s' prop

sik

nuller Ainsi le svs

multipl

_{qarapt6ristiques.} nta au, n9n hc une I mogll

i

l:ilt ..=

,'i'

il-:.,lf

'l

i)br ; Xttr

Prsuye

; La 6crit: est I'u4ique

t

une valeur _tr rci se

prqduit

r effet _; sfi (a,

eoT

:1

_{est u} systbme hom rpre de ,4 pou

k:0,4llors

les ). Lsi, si le Eystbr ystdme

_(x)

_a r lrtrtior

rti

rppe d e[ ser egt u. v4leur gd4re a url cer ^h+ ^. i uptr 5. hom Folu rn de p6riodicit6 rT

"o',po

+ |

_{Jo "A(r-s)} B$)d.s

:

90

(e-n

_-

_Dpo):

Io"

e-A"81s1d.s..,.(*) I <+

det(e-A, _

t)

_*

o <+ det(1

_

"or) +

0 det(1

_-

"or)

:0

<+ 1 e eAT.

rlement

,i

2kni

o.,

?

trDr, _{une valeur propre de ,4}

_pour

k

==

0,7,2,....

r

coupie propre

_de,4

₊₊

_(e"r,u)

_{est un}

couple prcpre

_de

_eAt. propre _de

"o'

+

aT

:

ln(I)

+

2kri,

+

a

:

2ktri

T

une

solution

_{p6riodique de p6riode}

_?

2kni.

SSr

:l;-

_{est une valeur}

tain

k

(si ,k

>

_{1 alors la plus}

_petite

p6ri

T

ode _{positve est}

;.

'ngulibre

et

le

_{systbme homogdne}

_a

_des

_solution

constantes non :gdne

n'a

pas de solution p6riodique _{sauf ra solution nulle}

arors

tion

unique rpo, ,n0

2.3t

$tabilit.

des

syst.mes

_rin6aires

_p6riodiques

(2.5)

a

:

A(t)y

A(t+T):A(t),

_A€eo(R+),

_Vte

R*

Preuye

:

Le systi)me

($.t)

se transforme _{au systbme}

_2:

_Bz,

B

est une matrice constante par ra

transformatitn

!

:

p(t)z(t)

p(t+T):p(t)

oir

p(t)

_:

_{e(t,o)e_Bt}

Si pour r:

-i

_{+]oo z(t)}

_-+

₀

_{alors y(t)}

_{_+}

0.

Si

z(t)

_{reste bprn6e alors}

_g(t)

_reste

born6e.

s'il

y

a des

z(tf

non _{born6es alors}

_9(t)

_{sont non}

born6es.

Les valeurs

pr{pres

de

B

sont _{les exposants caract6ristiques}

du

systbme (3.1) _{reli6s aux} multipticateur$ _par:

1

.

.\

_{\ ln(.\l)}

_i(ara\

_{+ 2kr)}

'r: f

1n(^)

: j.

*,=_g;__--a)'(b),(c)

peuvent _s'6xprimer

en termes d,exposants caractrristiques.

itlh_qsy-b1

c)

Le

sys :,3

f;,":)",:;,::

_;:,,#:

_{::,:),:"*z'l;:}

;,ffi

y

;;;

r,

_"

*ii,!;";"",J#!:1,#::!::,::T#"';,,r:;::;.7:,n::tr:"ff

:ffi

;!f

:ii#,ffijti::;::rzi::,#,y,i,f

:J::;;:#;;:;;;,::;T;:;:#';".h:

k:0,t1,....

Les condibions 42

Le

systbme caract6ristiq des parl;ies

le

polyn6me avec _une minimal,res

Exemple

(2.6) La pdri,ode

_T

La transformati or) transforme le

Jf"TttrlTlJ:j':;"",il:1,,::?::.,

_ij:l':,

instab,e

_si

_{rous res exposants}

:T,l1i,ll[::::::T:J::,::'".*i{:;J:n:"':ixJ'":ff:,

j:ffi

:::"J,1;

llles _{non positives}

_et

vvol uUUb res exposants caract6ristiques _ont

rinimale,

_it

_v

_a

_u,

",'j,11

?::t"::::if

ies r6elles nulles

_*nt

_,i*pr.s

_dans

'#ff

T

"*' i I

"n

:-

:1.

:

"ll',,1',

:"0

J;"*"."H':

_iljf

_:

_:::1,

_J'

;,,T;*H:,r

e don c une murtipri.i t e

piu,

;.'a.

;:.tllli:

_;:*.,

J

:."'lilil:

llivement. polynome

11, _{Soi,t le systdme li,n1azre}

homogdne S- p6ri,od,ioue

#

r,

+

!

*,,

_r\\u,

₊

f

sinl{'yn

ffr,*

f

,.ff1

)y,+2J"o",1!)yn

-73r

lin6aire

73r

_+'t _to 30 "o y

:

p(t)z

"o"(2nt

\ -

*i,,(2TL

t

^,^,2Tt,

'""\

₅

_{/ -}

Dur[

-/

s]n(

-)

. ,2trt.

2.trr

s'n(-)

_cos(f

₎

₀

o

o

"or(2nt

'5',

\

o

o

sinllt)

(3.2) au systbme 0 )rt stn(

-

)

,^+

. / a tl b \

_

_{sm{_}

_} ,-t , ktt b, cos{

_

) \F) o

(t

7\

Onat

B

poss{:de _I Le syst{rme ( nulles , on co Une

m{trice

La matrif:e fon

Il

est

claif

que

_4(Q,0):

_r

44 21 _' : =-7^ Qn-z UW T /1 : -2. ' en-l .

e

-73r

a_-7. 30

.A

73r

/.= : .-.-- 7^ QN 'J

00

0 1T 30 30 0

-73n

30 -132r 30 73n

300

2) poqsbde

donc 4 exposants caract6ristiques simples _{avec des parties r6e'es}

clft

qpue (3.2) _{est un systdme stable.} arnlentale _{de (3.3) est} Dt ,7Tt . cos(

_

)

'30'

,trl sln(

*

)

'30'

0 0 rt

-

srn(-

)

'30'

.rt.

cos(

-

)

'30'

0 0 0

,73nt,

cos(

---

)

'30'

.

,13trt. sm(

_-)

'30'

0

.,13nt.

_sln{

_-.-}

'30'

.I3rt.

cos{

-_-

)

'30'

tale de (3,2) esr :

d(t,o)

:

P(t)"a,

Le matfrice

C

:

_d(5,0)

:

_IesB

_:

Le polyn]6me _t6riistique

est

;

/3

-1

TT

O

O

1rt

,T

0

0

0 0 \/5

-1

22

o o lJs

_9o -z

det(C-

)1)

:

()2

_

r/il

₊

_t12

;ilrl:t]tticateurs

caract6ristiou".

.*'#

qui sonr des _{racines doubles}

pqlyn6me

_minimal

_est

_:

)2

_

_t/iS

₊

_t.

cartactdristiques sont de modules _{un et simples dans le polynome}

Applipation

_:

_R6solution

de

I'6qualtion

_de

_Mathieu

|

,?nn*JPi3

?tiJ:-T:lH;

_::

o*

avantages de ra th6orie de

Froquet

_En

_effet,

f

n

!:H':

#;:

_:

_H*i

;lil:ixt

;.r#i:

f;J'#" ffi

ff

:*T

:tl

_l

_i*:

,;:

#

On consid6re _{l,4quation de}

_Mathieu

:

ti

₊

_[p

t

2e cos(2t)]z

:

₉

pour

€

<<

_{0 cet[e tiquation}

est 6quivalente

_d,

_:

(y\:(

o

\u/

\-tp+2ccos(2t)l

I

0

_{) (:)}

On

a:

la matrice r:le mo[orlromie et _{d'aprbs le}

_r6suftal

_de

_Liouville

traceA(t)

:

g

c

:

_d(T)

detS(t)

_-

1

^2

+trace(C)+rlet(C)

Soit )1,

)2

_{ltls valqurs proprerj de}

_C

_alors

det(C):

)1.\2

: l

trace(C):

Ar

_f

)z

me caract6ristique _de

_C

_est

:

)r+()r+)r)l*1:0

6quation,

pour

cela on r6sout

o

_A>

+l

*Arl>Z

+

()r

a

)r)'

*)r

t*

<

-1

or)

*)r

*Az<-2or)

A:()r*)r)'-q

>4

\*)z>2

Ar

*)o

-t1

_,^'1

\,\

_{t At} 2

qra>0

les valeurs propres r6elles _{distinctes d'oir}

_la

_{solution g6n6rale} :

u(t)

: e

exp(pt1t)

p{t)

₊

_{C2 exp(1.t2t)92(t)}

p;

sont des fonctions _{p6riodiques de p6riode}

_r

,,

Ft:

ln()l)

=+

_lal

<

_{1 les valeurs propres complexes con;ugu6es}

on

obtient

tS: alors deux

cos(at)/(f)

_-

_sin(at)e(t)

sin(at)f (t)

+

cos(ad)e(f)

t*r):

_{f (t)}

et

g(t*zr)

:9(f)

_{les solutions sont}

born6es

r

_A:0

_Ial

:

_t

on

obtient

une solution p6riodique.

=

on donc

l*l

>

t;elle

A<

soluti pour 48

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