Université Claude Bernard Lyon 1 Mathématiques pour l’enseignement Licence de mathématiques 3
eannée UE Approfondissement en analyse
Contrôle terminal – seconde chance – – le 25 juin 2020 –
– durée 60 minutes + 20 minutes pour numériser la copie –
Instructions
a) Entête de la copie : prénom, nom, numéro d’étudiant b) Début de l’épreuve : 9 h 30
c) Copies à déposer dans la colonne Tomuss 2_CHANCE en un seul docu- ment .pdf
d) La colonne 2_CHANCE est accessible jusqu’à 10 h 50
Des questions concernant l’énoncé pendant le contrôle ? Écrire à [email protected]
Exercice # 1. Soit
F := {(x, y) ∈ R
2; x
2≤ y + 2, y
2≤ x + 2}.
1. Représenter graphiquement F dans le plan xOy.
2. Montrer que F est fermé.
3. Montrer que
(x, y) ∈ F = ⇒
x − 1 2
2+
y − 1 2
2≤ 9 2 .
On pourra développer
x − 1 2
2+
y − 1 2
2.
4. Justifier rigoureusement l’existence d’une solution du problème M := max
(x,y)∈F
x. (P)
5. Trouver la valeur M à partir de la représentation graphique de F .
6. Écrire le système des multiplicateurs de Fritz John satisfait en un point (x, y) ∈ F ou le maximum M est atteint.
Exercice # 2. Soient E := C([0, 1]; R ) et son sous-espace F := {f ∈ C
1([0, 1]; R ) ; f (1) = 0}.
Nous munissons E de la norme
E 3 f 7→ N
E(f ) :=
Z
10
|f (x)| dx,
respectivement F de
F 3 f 7→ N
F(f) :=
Z
10
|f
0(x)| dx.
1. Montrer que
∀ f ∈ F, [N
F(f ) = 0 = ⇒ f = 0].
Nous admettons dans la suite que N
E(respectivement N
F) est une norme sur E (respectivement F ).
Soit
T (f ) :=
Z
10
