Un diaporama d'explication pour la méthode d'Euler

LA MÉTHODE D’EULER

Au départ, il y a un problème. Cette méthode permet, à partir des conditions initiales du problème, et après une succession d’étapes identiques, d’obtenir une solution approchée au problème.

A quoi va-t-elle nous servir ?

Cette année, nous allons nous servir de cette méthode pour résoudre des équations différentielles du premier ordre (qui font intervenir une grandeur et sa dérivée première).

Un exemple ?

La première équation différentielle que nous avons vue est celle donnant la tension aux bornes du condensateur lors de sa charge :

On peut transformer celle-ci pour isoler le terme dérivé :

Et pour se simplifier la tâche, nous appellerons a et b les deux constantes de cette équation :

Voilà notre équation de départ

La méthode d’Euler va nous permettre, à partir de cette équation, d’avoir les valeurs de u_C en fonction du temps et donc de pouvoir tracer u_C=f(t). RC E u RC dt du C C   1 

Mathématiquement, la dérivée est égale au coefficient directeur de la tangente à la courbe.

Dans notre exemple, en t = t₀, on peut facilement calculer la dérivée de u_C(t) : B A u_C(B)-u_C(A) t(B)-t(A) ) ( ) ( ) ( ) ( A t B t A u B u dt du _{C C} t t C           Rappels mathématiques :

δu_C δt

Si on zoome sur la courbe, on voit que cette dérivée (calculée grâce aux points bleus) est pratiquement égale à (calculée avec les points rouges) t

u_C

 

Où δu_C est une petite variation de u_C pendant le petit temps δt.

Ceci est vraie si δt est pris suffisamment petit . Alors, dans ces cas là, notre équation différentielle peut s’écrire :





On connaît à présent la variation de u_C entre deux instants proches

Dénouement :

Comment se servir de cette variation δu_C maintenant connue ? Nous avions dit au tout départ qu’il fallait connaître une

valeur initiale pour mettre en œuvre cette méthode :

On connaît donc u_C0 = u_C(t₀=0)

On peut à présent calculer u_C1 à l’instant t₁ = t₀ + δt :

u_C1 = u_C0 + δu_C = u_C0 + (a×u_C0+b)×δt A condition d’avoir choisi un δt judicieux.

Calculons u_C2 à l’instant t₂ = t₁ + δt :

u_C2 = u_C1 + δu_C = u_C1 + (a×u_C1+b)×δt

Le processus peut alors être répéter afin de calculer toutes les valeurs de u_C, de proche en proche.

EN RÉSUMÉ :

On a une équation différentielle de cette forme :

Et on connaît les valeurs de a, b et u_C0

Si on choisit un δt suffisamment petit, on peut écrire :





u_{C C}





On peut alors calculer toutes les valeurs de u_C de proche en proche en utilisant la formule :

Un vrai exemple, avec des chiffres !

Restons avec notre charge de condensateur : l’équation était :

Le condensateur est préalablement déchargé : u_C0(t=0) = 0. Prenons les valeurs suivantes : R = 1 kΩ ; C = 1 mF ; E = 6 V

On a alors a = -1 et b = 6. RC E u RC dt du C C   1 

On peut donc calculer la première valeur de u_C : u_C1 = u_C0 + δu_C = u_C0 + (a×u_C0+b)× δt = 0 + (-1×0+6)×0.01

= 0.06 V

On choisit à présent une valeur pour δt : par ex, δt = 0.01s

??? Va-t-on calculer toutes les valeurs une à une ???

Il aurait fallu le faire si on ne connaissait pas les tableurs : ils vont nous simplifier grandement les calculs.