LA MÉTHODE D’EULER
C’est une méthode numérique itérative Qu’est-ce que la méthode d’Euler ?Au départ, il y a un problème. Cette méthode permet, à partir des conditions initiales du problème, et après une succession d’étapes identiques, d’obtenir une solution approchée au problème.
A quoi va-t-elle nous servir ?
Cette année, nous allons nous servir de cette méthode pour résoudre des équations différentielles du premier ordre (qui font intervenir une grandeur et sa dérivée première).
Un exemple ?
La première équation différentielle que nous avons vue est celle donnant la tension aux bornes du condensateur lors de sa charge :
On peut transformer celle-ci pour isoler le terme dérivé :
Et pour se simplifier la tâche, nous appellerons a et b les deux constantes de cette équation :
Voilà notre équation de départ
La méthode d’Euler va nous permettre, à partir de cette équation, d’avoir les valeurs de uC en fonction du temps et donc de pouvoir tracer uC=f(t). RC E u RC dt du C C 1
Mathématiquement, la dérivée est égale au coefficient directeur de la tangente à la courbe.
Dans notre exemple, en t = t0, on peut facilement calculer la dérivée de uC(t) : B A uC(B)-uC(A) t(B)-t(A) ) ( ) ( ) ( ) ( A t B t A u B u dt du C C t t C Rappels mathématiques :
δuC δt
Si on zoome sur la courbe, on voit que cette dérivée (calculée grâce aux points bleus) est pratiquement égale à (calculée avec les points rouges) t
uC
Où δuC est une petite variation de uC pendant le petit temps δt.
Ceci est vraie si δt est pris suffisamment petit . Alors, dans ces cas là, notre équation différentielle peut s’écrire :
a u b
t u donc b u a t u C C C C On connaît à présent la variation de uC entre deux instants proches
Dénouement :
Comment se servir de cette variation δuC maintenant connue ? Nous avions dit au tout départ qu’il fallait connaître une
valeur initiale pour mettre en œuvre cette méthode :
On connaît donc uC0 = uC(t0=0)
On peut à présent calculer uC1 à l’instant t1 = t0 + δt :
uC1 = uC0 + δuC = uC0 + (a×uC0+b)×δt A condition d’avoir choisi un δt judicieux.
Calculons uC2 à l’instant t2 = t1 + δt :
uC2 = uC1 + δuC = uC1 + (a×uC1+b)×δt
Le processus peut alors être répéter afin de calculer toutes les valeurs de uC, de proche en proche.
EN RÉSUMÉ :
On a une équation différentielle de cette forme :
Et on connaît les valeurs de a, b et uC0
Si on choisit un δt suffisamment petit, on peut écrire :
a u b
tuC C
On peut alors calculer toutes les valeurs de uC de proche en proche en utilisant la formule :
Un vrai exemple, avec des chiffres !
Restons avec notre charge de condensateur : l’équation était :
Le condensateur est préalablement déchargé : uC0(t=0) = 0. Prenons les valeurs suivantes : R = 1 kΩ ; C = 1 mF ; E = 6 V
On a alors a = -1 et b = 6. RC E u RC dt du C C 1
On peut donc calculer la première valeur de uC : uC1 = uC0 + δuC = uC0 + (a×uC0+b)× δt = 0 + (-1×0+6)×0.01
= 0.06 V
On choisit à présent une valeur pour δt : par ex, δt = 0.01s
??? Va-t-on calculer toutes les valeurs une à une ???
Il aurait fallu le faire si on ne connaissait pas les tableurs : ils vont nous simplifier grandement les calculs.