REVUE SUR L'APPLICATION DES GROUPES A LA RESOLUTION DES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES PHYSIQUE DES FLUIDES ET PHYSIQUE DES PLASMAS

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Submitted on 1 Jan 1980

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REVUE SUR L’APPLICATION DES GROUPES A LA RESOLUTION DES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES

PHYSIQUE DES FLUIDES ET PHYSIQUE DES PLASMAS

J. Burgan, M. Feix, E. Fijalkow, A. Munier, R. Nakach

To cite this version:

J. Burgan, M. Feix, E. Fijalkow, A. Munier, R. Nakach. REVUE SUR L’APPLICATION DES GROUPES A LA RESOLUTION DES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES PHYSIQUE DES FLUIDES ET PHYSIQUE DES PLASMAS. Journal de Physique Colloques, 1980, 41 (C3), pp.C3-377-C3-382.

�10.1051/jphyscol:1980394�. �jpa-00219913�

REVUE SUR L'APPLICATION DES GROUPES A LA RESOLUTION DES ÉQUATIONS NONLINÉAIRES PHYSIQUE DÉS FLUIDES ET PHYSIQUE DES PLASMAS,

J.R. Burgan, M.R. 7eix, E. Fijalkow, A. Munier, R. Nakach

CRPE/CNRS Orléans ; CEA Limeil et CEA Grenoble

Résumé. - Nous passons en revue l'utilisation des groupes de transformation pour la résolution d'équations aux dérivées partielles. Ces transformations laissent soit les équations strictement invariantes (avec réduction possible du nombre de variables indépendantes) soit, simplement qua- si invariantes. Plusieurs exemples sont donnés en physique des plasmas et mécanique quantique.

Abstract. - We review the use of transformation groups techniques for solution of partial deriva- tive equations. These transformations can leave the equations strictly invariant (with possibility of reducing the number of independent variables) or simply quasi invariant. Different examples are given in plasma physics and quantum mechanics.

I. INTRODUCTION

Il est inutile de passer beaucoup de temps à souligner l'importance des phénomènes non linéaires dans les plasmas et la physique des fluides. De mê- me, nous nous contenterons de rappeler que le do- maine des équations non linéaires nous demeure pra- tiquement inconnu. Un des points délicats est no- tamment le rôle des conditions initiales et/ou aux limites. Un changement dans ces dernières peut mo- difier complètement la nature de la solution et mê- me rendre caduc le modèle utilisé : par exemple un modèle plasma froid hydrodynamique devra être aban- donné dès l'apparition en un point de deux popula- tions de vitesse différente (déferlement de l'onde de densité).

Dans ces conditions, il reste la possibilité de recourir au calcul numérique. Cela bien sûr a été fait sur une large échelle. Toutefois il faut bien cerner les difficultés qui sont :

-*- la nécessité d'utiliser souvent un grand nombre de variables indépendantes (pouvant aller de 2 dans les plus simples modèles unidimensionnels de la mécanique des fluides, à 7 pour le cas de l'é- quation de Vlasov à trois dimensions).

•+• La difficulté d'obtenir les solutions pour des temps longs du fait de la longueur du calcul et des erreurs inhérentes à toute méthode numérique (en particulier instabilité et erreurs d1'arrondi).

L'utilisation de la théorie des groupes de transformation n'est bien sûr pas une panacée uni- verselle. Soulignons qu'elle portera à la fois sur l'obtention de quelques solutions analytiques et

également 'sur la possibilité de simplifier les cal- culs numériques. Ce dernier point nous semble capi- tal et nous pensons que la solution des problèmes non linéaires passera souvent par des méthodes mix- tes analytiques et numériques. Nous développerons ce point dans la suite de ce papier.

Le plan adopté est le suivant. Dans une pre- mière partie nous présenterons rapidement les deux aspects principaux de la théorie des groupes de transformation : avec d'une part la théorie des groupes laissant les équations strictement inva- riantes et d'autre part le concept de quasi inva- riance, plus souple et bien adapté à la philosophie analytico-numérique que nous préconisons. Dans une deuxième partie, nous nous attacherons aux diffé- rentes équations et à leur solution. Il ne sera pas question de donner les traitements mathématiques complets mais de souligner les différents points critiques de ces théories.

II.A. GROUPES MULTIPLICATIFS ET INVARIANCE STRICTE Ce ne sont pas - et de loin - les groupes les plus généraux que l'on peut introduire pour conser- ver l'invariance stricte des équations (on se réfé- rera à l| |2| et |3| pour une présentation généra- le du sujet). Quant à l'introduction des groupes de similitude, on pourra la trouver dans |4| et |5).

Donnons un exemple. Nous voulons résoudre

1 1 3t 3x U 3x;

équation qui d'après |6| modèle - plus ou moins bien - l'évolution de plasmas où se développent des instabilités apériodiques. Lonngren |7| a donné la solution : on considère le groupe multiplicatif

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1980394

C3-378 ^JOURNAL DE PHYSIQUE

linéaire de transformation

--

a -

(2) p = a p x = a B < et t = a y T l'introduction de (2) en (1) donne

(3) sera strictement invariant si a-y = a+(m-2)B ce qui impose B/y = 1/(2-m) et a quelconque. D'autre part les invariants de la tran'sformation sont

(4) 5 = x/(t/~)~/~ et @ = p/(t/~)"/~

Introduisant (4) dans (3) on obtient l'équation

On remarque que (5) est une équation différentielle ordinaire. On a à notre disposition a/y ainsi que T.

On conviendra dans tous ces calculs de prendre com- me époque initiale le temps t = T;à ce moment d'a- près (4) x = 5 et p = $. On voit donc que $(5) est tout simplement la condition initiale p(x,T) =Q(<=x) et qu'''en conséquence les techniques du groupe mul- tiplicatif amène certes une réduction de 2 à 1 du nombre de variables indépendantes au prix d'une spécialisation des conditions initiales et/ou aux 1-imites".

Si maintenant dans (5) nous' considérons comme intervalle de définition de x [O +a[ nous pouvons envisager comme conditions initiales et/ou aux li- mites que le flux total soit conservé c'est à dire

Comme à l'instant initial t = T on a

<

la conservation dans le temps de

or

-.

m- 2

est que de plus nous obtenons une solution analyti- . que. (5) s'intègre une première fois. En imposant

qu'au delà d'un certain 5 à l'instant initial

$ = dQ/d< = O, on obtient

I <2-m (7) @ = K exq

-

(m-2)2 T

OU encore

. .

Dans (8) il est nécessaire de supposer m < 2.

1I.B. LOIS D'ECHELLES D eLES MACHINES A FUSION Le lecteur n'a certainement pas manqué de re- marquer l'analogie des calculs précédents avec l'étude des.,lois d'échelles c'est à dire tirée de 1 'analyse dimensionnelle. Voir par exemple 18

1.

L'application aux machines à fusion a été faite en

19 1 ^et 1 ^{I O ]}

.

i) le fonctionnement est à une densité si fai- ble que les interactions du plasma peuvent être né- gligées, on a alors la relation

(9) BT = F 1 l a2 B~

Une machine étant donnée, nous pouvons engendrer une famille de machines auto semblables avec 3 de- grés de liberté, en choisissant par exemple a, T et

2 2 n arbitraires. Les deux invariants BT et T/a B déceminent le champ magnétique et le temps de con- finement

.

ii) Il est alors intéressant de réduire d'une unité les degrés de liberté pour prendre en ligne de compte d'autres phénomènes physiques négligés jusqu'alors. Par exemple les champs électrostati- ques collectifs. On n'a plus alors que deux degrés de liberté et le système possède un invariant de plus. Dans ces conditions

(10) Br = F _(--- T _;

5)

*

n et T par exemple, peuvent être choisis arbitrai- rement pour la nouvelle machine, a, B et r en dé- coulent. Nous avons bien deux degrés Ue liberté.

iii) Il reste encore la probabilité d'inclure un phénomène supplémentaire (il faut au moins un degré de liberté), on aura par exemple le choix entre les champs magnétiques self consistants (et par dessus le marché, on pourra inclure les champs électriques d'induction et même les effets relati- vistes). Le système sera alors décrit par le sys- tème classique des équations de Vlasov et de Max- well. Par contre, les effets de grains (collisions) sont totalement négligés, nous aurons B-r fonction des 3 invariants

On n'a plus qu'un seul degré de liberté. T ne peut pas être changé dans la famille de machines. B im- plique n et également a et T.

On peut préférer par contre inclure les ef-

que. On a alors

Là encore un changement par exemple du champ magné- tique détermine complètement les paramètres de la nouvelle machine. Sans entrer dans les détails de calcul ni dans les conséquences pratiques que ces lois impliquent (il faut d'ailleurs souligner que la complexité des machines à fusion est telle qu'il faudrait considérer d'autres phénomènes pour être plus réaliste) et que l'on trouvera en (IO), signa- lons que toutes ces lois montrent qu'un accroisse- ment du champ magnétique permet de réduire considé- rablement la taille et dans certains cas d'amélio- rer les températures et les produits nT.

1I.C. LES GROUPES ASSURANT LA QUASI INVARIANCE ---

Il s'agit d'un concept plus flou où les con- naissances du physicien jouent un rôle important.

On gardera la même structure de l'équation mais on utilisera la transformation pour simplifier cer- tains termes. Donnons un exemple portant sur une transformation qui conserve le formalisme Bamilto- nien (mais qui modifie bien sûr 1'Hamiltonien avec possibilité de le simplifier). Une particule de po-

+ -f

sition x et de vitesse v fonction du temps t, sera

-+ +

décrite dans le nouvel espace de phase 5 en fonc- tion d'un nouveau temps e. On suppose

i) que le nouveau temps 0 n'est fonction que de t

ii) que la nouvelle position est simplement donnée par un changement d'échelle fonction du

+

temps 5 = ~ ( t ) Z

iii) que la nouvelle vitesse est une fonction linéaire de l'ancienne vitesse et de l'ancienne

+ -+ +

position r) = B(t) x + C(t) v.

Nous imposons 2 conditions

i) l'élément de l'espace des phases est con- + - + + +

servé d< dn = dx dv

ii) Nous conservons le formalisme Hamiltonien.

+ -+

Par conséquent rl = dE/dO et la nouvelle accéléra-

+ +

tien d ~ / d e doit être une fonction de 5 et 8 seule- ment. Ces 2 conditions impliquent que la transfor- mation ne dépende que d'une fonction C(t) avec

-+ E = d 2 + x/dt2 et E = d2t/dû2 sont respectivement les accélérations dans l'ancien et le nouvel espzce des phases.

La transformation (13) a été proposée pour la première fois en ( 1 1 ) et a été utilisée en (12) et (13) dans des problèmes d'oscillateurs linéaires classique et quantique. On trouvera en (14) un exposé détaillé du concept de quasi invariance.

Nous donnons un seul exemple : l'application à l'os- cillateur harmonique quantique à fréquence variable.

L'équation de Schroedinger qui le décrit est trans- formée en utilisant les deux premières et la der- nière relations de (13) ainsi que la transformation de i/i en une nouvelle fonction donnée par

i dC/dt

(14) i/i = c - " ~ exp - 2 C x2 $(<,EI)

1 2 2

Si I$ = -- w (t) x est le potentiel, le potentiel

2 da

dans le nouvel espace est (correspondant à = E) dS (15) = (112) c3 5' (d2c/dt%+ w2 C)

n

si maintenant nous choisissonç.&.de telle sorte que

2 2 3

( 1 6 ) d-? + w (t) C = R /C dt2

où R est une constante, on transforme l'équation de Schroedinger pour un oscillateur à fréquence varia- ble en un problème à fréquence fixe (que l'on sait résoudre analytiquement) à l'aide d'une transforma- tion de i1, et des deux changements d'échelles donnés par (13). La seule résolution numérique nécessaire sera celle de l'équation (16). Un autre exemple sur l'intérêt de cette transformation dans des problè- mes de résolution de l'équation de Schroedinger avec conditions aux limites mobiles est donné en

1151-

1I.D. LA RENORMALISATION OU LA COMF'RESSION DU TEMPE' OBTENTION DE SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES (ce pa- ---

--- -

ragraphe est basé sur un travail de Marie- Pierre MORAUX)

On s'intéresse aux solutions asymptatiques de l'équation différentielle non linéaire'

2

( 1 7 ) + a(t) x + B(t) x3 = O dt2

avec (18) a(t) = A/(1 + nt)'; B(t) = B/(1 + nt)'

C3-380 JOURNAL DE PHYSIQUE

On suppose A, B, )J et v > O. En fait la forme exac- te de a(t) et de B(t) est sans importance pourvu que leurs comportements asymptotiques soient en t - ^!J

et t -v , la forme (18) simplifiant l'exposition des calculs, on utilise la transformation dû = dt/C et 2 on décompose la variation de x en un changement d'échelle dépendant de l'ancien temps t et d'une variation en fonction du nouveau temps û

(17) devient

On prends C(t) = (1 + et on choisit y de telle sorte que

i) Prioritairement aucun des coefficients de 5

et

c3

ii) y est choisi le plus grand possible (com- patible avec i) de telle manière que la croissance de 9 avec t soit aussi lente que possible. Si l'on peut prendre y > 112, on voit que û + û1 (avec une limite finie) si t -t m. On pourra parler alors de renormalisation du temps. Sinon on dira que l'on a procédé à une compression du temps.

Les deux conditions ci-dessus s'expliquent ai- sément. Il ne servirait à rien de renormaliser le temps si pour 8 -t û1 on avait des coefficients de 5

et t3 (c'est à dire en fait les fréquences d'oscil- lation) vers l'infini. La figure montre que l'on

La région 1 où l'on prend y = ~ / 4 où l'on procède simplement à une compression du temps et où la so-

2 2

lution asymptotique est donnée par d c/dB + A < = O Qscillation périodique linéaire).

La région II où l'on prend y = y16 avec de nouveau une simple compression du temps avec la 50-

2' 2

lution asymptotique donnée par d </dB + B

c3

(oscillation périodique non linéaire, solution en fonctions elliptiques).

La région III où l'on prend y = 112 mais où

on doit procéder à une nouvelle transformation pour trouver la solution asymptotique

(21) x ⁼

*

2 2 2

solution asymptotique obéit à d </dû - ( C l 14) 5 = O ce qui signifie x = at + B (les termes linéaires et non linéaires ne jouent asymptotiquement aucun rô- le) Nous sommes à la limite de la renormalisation

avec Qû = log (1 + Qt). 1

Dans la région V enfin, on peut prendre y = 1 ce qui permet une renormalisation du temps avec Qû = Rt/(l + Qt) On obtiendra pour t variant de O à l'infini la solution en résolvant (20) sur l'in- tervalle O G-'. La solution asymptotique est éga- lement de la forme x = at + 6 et physiquement les régions, IV et V donnent le même résultat d'expan- sion asymptotique libre.

I1I.A. LA DESCRIPTION DU PLASMA DANS L'ESPACE DE

--

CONFIGURATION, LA DIFFUSION NON LINEAIRE Il est bien connu qu'une description complète du plasma implique l'utilisation de l'espace des phases. Toutefois un certain nombre de phénomènes peuvent être modélisés par des équations n'impli- quant que l'espace de configuration. Parmi ces équations, celle de la diffusion non linéaire sem- ble jouer un rôle important 1 ¹⁶ 1 1 ¹⁷ 1 dans certains phénomènes de turbulence et dans l'expansion d'un nuage d'électrons dans le vide. Cette équation s'écrit

et on notera la similitude avec (1). On introduit de même (2) et on trouve les invariants de la

t -w 1-2w

transformation 5 = x(-) et 0 = P(~)T- qui outre T

T (caractéristique du temps initial) contient un paramètre arbitraire w que l'on choisit de manière à conserver le flux total et par conséquent d'avoir des conditions initiales réalistes. Cela implique w = 1 /(S+2). Nous renvoyons en 1 ¹⁸ 1 pour les dé- tails de la solution donnée par

1 1 - --

x =

c($)"

,

(23) @ = (K - ^---) _2(S+2)T ^pour 15 1 <

[---

(23) décrit l'évolution d'un profil de "chaleur"

initialement limité dans l'espace et qui se propage d'une manière "auto semblable". Il est instructif

ques de stricte invariance obtenue par les groupes multiplicatifs et celles de quasi invariance expo- sées en 1I.C. Les détails du calcul sont donnés en

1

1.

uo = Log ( l+~t)

(24) 1 1

x = 5(i+ilt)s+2 p = i9 (5,e) (i+ut)S+2 on obtient une nouvelle équation de diffusion avec

On notera qu'en (23) l'origine des temps est prise à t = T et qu'en conséquence si l'on identifie

u-1 = T, la Ière équation (23) et l'équation (24) expriment les mêmes relations de redimensionnement.

On vérifiera aisément que les 2ème et 3ème équa- tions (23) sont bien la solution de (25) dans le- quel on a fait 3/20 = O. On peut donc dire que si les conditions initiales ne coïncident pas avec une solution stationnaire de (25), nous pouvons toutefois choisir K et T de manière à ce que les conditions initiales soient aussi proches que pos- sible de la solution (23) ; l'évolution est alors en partie prise en compte par les changements d'échelles sur p et x et d'autre part par la réso- lution numérique de (25) où nous avons effectué une énergique compression du temps. Des études nu- mériques sont en cours pour préciser le gain en

temps et les éventuelles difficultés amenées par le terme supplémentaire de diffusion 3/35 (5$).

1II.B. DESCRIPTION DANS Z'ESPACE DE CONFIGURATION EQUATION DE KORTEWEG DE VRIES ET EQUATIONS DE SCHROEDINGER NON LINEAIRES

----

L'équation de KORTEWEG De VRIES a été proposée pour décrire certains aspects des interactions non linéaires dans les plasmas (en particulier les on- des acoustiques à basse fréquence). Une solution générale - toutefois assez difficile à mettre en oeuvre numériquement - a été donnée en 1201, s'ap- puyant sur la méthode "Inverse Scatteriag". Toute- fois il est intéressant de regarder les solutions obtenues à l'aide des groupes multiplicatifs.

L'équation KdV s'écrit (nous suivons le traitement donné en 12 1

1

Introduisons les transformations données par (2), nous obtenons les relations donnant la nouvelle variable de fonction 5 et la nouvelle fonction @

L'équation sur i9 s'écrit

On remarquera que contrairement à l'équation (5) nous n'avons plus de paramètres à notre disposition dans (28). Les solutions immédiates sont

$ = O ; @ = c / T et i9 = (- 12)/5 2

On introduit 0 = (t/T)

-

qui a pour intégrale première

On peut alors montrer (voir 121

1)

Un traitement analogue peut être appliqué à l'équation de Schroedinger non linéaire 121

1

0

qui décrit des phénomènes d'auto focalisation et d'auto modulation en physique des plasmas et en optique non linéaire. L'application des groupes permet d'introduire

et nous sommes de nouveau ramené à une équation différentielle que l'on peut résoudre par l'intro- duction du quatrjème transcendant de Painlevé 1101.

I1I.C. EQUATION DE VLASOV -

Il nous reste à parler du système de Vlasov Poisson et de sa possible résolution'à l'aide des groupes. Nous ne mentionons qu'un résultat obtenu à l'aide du concept de quasi-invariance en utili- sant les relations (13). Si nous gardons de plus

C3-382 JOURNAL DE PHYSIQUE

invariant f(x,v,t) = F(c,n,O), nous obtenons dans le nouvel espace des phases une équation de Vlasov invariante

et une équation de Poisson modifiée (on a E = e

= m = 1). Le système est unidimensionnel

est la densité des ions supposés fournir un fonds continu immobile. Supposons qu'à l'instant initial t = 8 = O, la densité d'électrons soit n

.

Choisissons C tel que C(0) = 1, (dt)t=O dC = O avec 2 2

n = N C + d C/dt la solution est

O O n n

(35) C = - - 2 + (1 - 2 ) cos w t

No No P

en introduisant la fréquence plasma w _P = N e /mc 2

.

Si la population d'électrons à l'instant initial est homogène en x, le choix fait sur C(t) annulle le nouveau champs électrique initial ; le mouvement est donné par aF/a0 + rl aF+ac = O qui ne modifie pas la densité et par conséquent le champ électri- que reste nul. Dans notre nouvel espace des phases F(<,q,8) est stationnaire. Si nous bornons f(x,v,t

=- 0) à la fois en vitesse entre . - V et Vo et dans Ci0

l'espace (-L,L) la zone dans laquelle le champ res- te nul se rétrécit (voir Figure) et à l'instant 0 ne s'étend plus que de -(L-Vo8) à L-V 8. La zone pour laquelle nous avons défini

des invariants absolus disparait complètement après un temps L/V

= 0. De plus si no/No < 112 C(t) passe par la valeur zéro pour un temps fini et il est impossible -L

de suivre le mouvement au-delà.

Ce concept de zone de sous in-

variance est développé en 124

1

1.

plasma cette zone disparait dans un temps fini.

Par contre'dans le cas du faisceau, le terme NoC 4 disparait. Si'w est la fréquence plasma corres-

P

pondant à un faisceau de densité n /2 alors C = 1

+ w t2 et le nouveau temps est roenormaiisé avec

P .

+ Arc tg w t

Si t -+ m, w 0 -t n/4. Si comme précédemment on borne P

dans l'espace des phases par

-

O O

gion initialement occupée par les particules pour un pourcentage de particules égales à 1-(nVo/4RL) on a une expansion identique.à:celle d'un gaz de

?,-

particules libres dans le nouve.fiFspace gles phases.

.. .

Nous renvoyons pour une 'généraiii&ion de ces ré-

sultats à 1141.

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