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Problèmes faiblement bien posés : discrétisation et applications.
Sabrina Petit-Bergez
To cite this version:
Sabrina Petit-Bergez. Problèmes faiblement bien posés : discrétisation et applications.. Mathéma- tiques [math]. Université Paris-Nord - Paris XIII, 2006. Français. �tel-00545794�
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THESE
pour obtenirle grade de
DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ PARIS 13
Disipline :Mathématiques appliquées
présentée etsoutenue publiquement
par
Sabrina PETIT-BERGEZ
le 5 déembre 2006
Titre :
Problèmes faiblement bien posés : disrétisation et appliations
JURY
Mme E.Béahe Examinatrie
M. A. Bendali Rapporteur
M. M. Crouzeix Rapporteur
Mme L.Halpern Diretrie de thèse
M. O.Latte Examinateur
Je tiens à remerier en premier lieu Laurene Halpern qui m'a enadrée durant
toute ette thèse. Je la remerie pour son impliationdans mon travail et pour ses
nombreuses onnaissanes sientiques qu'elle m'a fait partager. Le soutien moral
qu'elle m'a aordé a aussi été fondamental pendant es années de thèse.
Je remerie Abderrahmane Bendali et Mihel Crouzeix d'avoir aepté d'être
mes rapporteurs. Leurs ommentaires avisés me furent très utiles. Je les remerie
également pour l'intérêt qu'ilsont aordé àmon travail.
Je remerie également Eliane Béahe et OlivierLatte d'avoiraepté de faire
partiedu jury.
Je tiens à remerier partiulièrement Jerey Rauh ave qui j'ai eu le plaisir
de travailler. Je le remerie de m'avoir fait partager le spetre très large de ses
onnaissanes mathématiques.
Je voudrais également remerier les membres du LAGA pour leur aueil. Le
laboratoirea été pour moiun lieude travailagréable etstimulant. Jeremerie plus
partiulièrement Yolande Jimenez pour son eaité et sasympathie.
Jeremerietouslesthésards duLAGApourleuronvivialité.MeriàStéphanie,
Laurentiu,Xavier,Christophe,Aurélien,Olivier,Véronique,Assia,RubenetSandra
pour tous les joyeux déjeuners et pauses que nous avons pris ensemble. Je remerie
plus partiulièrement Christine Vespa et Ibrahima Cissé pour leur soutien dans la
bonne humeur etleurs nombreux onseils.
Enn,jesouhaiteremerier toutemafamillepour sonsoutiensansfailletout au
long de mes études. Un grand meri à mes parents et à mon frère Sébastien qui se
sonttoujours intéressés àmathèse.Pournir, ungrandmeri àJean-Françoispour
m'avoirsoutenue en toutes ironstanes.
I Shémas pour les problèmes faiblement bien posés 13
1 Le problème de Cauhy 15
1.1 Caratérisation des problèmes faiblementbien posés . . . . . . . . . . 15
1.1.1 Quelques résultats importants sur les problèmes fortement bien posés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.2 Etude des problèmes faiblementbien posés . . . . . . . . . . . 17
1.2 Rappelssur ledéveloppement en séries de Puiseux . . . . . . . . . . . 20
1.3 Caratérisation dans le as unidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.1 En dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.2 Equations d'Euler pour un modèle diphasique . . . . . . . . . 32
1.4.3 Equation PML pour les équationsde Maxwell 2D TE . . . . . 33
2 Théorèmes généraux sur les shémas 37 2.1 Préliminaires :les outils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.1 Transformée de Fourier disrète . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.2 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.3 Espaes de Sobolev disrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.4 Tronature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1.5 Evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1.6 Normes d'appliationslinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 Dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.1 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.2 Consistane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.3 Convergene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3 Extension du théorème de Lax Rihtmyer. . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.1 Condition susante de onvergene . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.2 Condition néessaire de onvergene . . . . . . . . . . . . . . . 49
onstants 51
3.1 Interprétation des dénitions en termes matriiels . . . . . . . . . . . 52
3.1.1 Caratérisations de la stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.2 Remarquessur l'étudede laonsistane . . . . . . . . . . . . 58
3.2 Taux de onvergene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2.1 Estimationgénérale du taux de onvergene . . . . . . . . . . 59
3.2.2 Unexemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2.3 Calul optimal du taux de onvergene dans le as monodi- mensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4 Appliation à divers shémas et résultats numériques 79 4.1 Shéma de Lax-Wendro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.1 Eritured'un shéma de Lax-Wendro . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.2 Etude de la stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.1.3 Taux de onvergene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.1.4 Résultatsnumériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.1.5 Remarquesur leshéma de Lax-Wendro usuel . . . . . . . . 89
4.2 Shéma de Crank-Niolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2.1 Eritured'un shéma de Crank-Niolson . . . . . . . . . . . . 89
4.2.2 Etude de la stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.2.3 Taux de onvergene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2.4 Résultatsnumériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2.5 Présentationrapided'un autreexemple:leshéma Box-Sheme 94 4.3 Shéma de Lax-Friedrihs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.3.1 Etude de la stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3.2 Taux de onvergene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.4 Shéma déentré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5 Etude de shémas multipas pour des équations à oeients onstants 103 5.1 Unrésultat de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.2 Taux de onvergene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.3 Etude d'un exemple: le shéma de saute-mouton . . . . . . . . . . . 110
5.3.1 Eritured'un shéma de saute-mouton . . . . . . . . . . . . . 110
5.3.2 Etude de la stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.3.3 Taux de onvergene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.3.4 Résultatsnumériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6 Généralités 121
6.1 Les premières PML de Bérenger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.1.1 Eriture des équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.1.2 Etude de laréexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.1.3 Etude de l'absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.1.4 Un exemple pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.2 Appliationà d'autres équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.2.1 Equations de Maxwelltridimensionnelles . . . . . . . . . . . . 125
6.2.2 Equations d'Euler linéarisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.2.3 Les PML ommehangement omplexede variable . . . . . . 125
6.3 Les problèmes renontrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.3.1 La régularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.3.2 L'instabilitéasymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7 Estimations d'énergie pour les équations de Maxwell PML 129 7.1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.1.1 Des équations PML fortement bien posées . . . . . . . . . . . 129
7.1.2 Revue des estimations d'énergie onnues . . . . . . . . . . . . 130
7.1.3 Méthodes proposées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.2 Etude du symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.2.1 Théorème de Kreiss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.2.2 Equations de MaxwellPML en dimension2 . . . . . . . . . . 132
7.2.3 Equations de MaxwellPML en dimension3 . . . . . . . . . . 135
7.3 Etude par semi-disrétisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.3.1 Disrétisation des équationsPML . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.3.2 Lemmes alulatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.3.3 Existene d'une solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.3.4 Estimations d'énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.3.5 Solution régulièredu problème ontinu . . . . . . . . . . . . . 154
7.3.6 Régularisation du probleme ontinu . . . . . . . . . . . . . . . 160
8 Shémas de Yee 165 8.1 Shéma de Yee pour leséquations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . 165
8.2 Shéma de Yee pour leséquations de MaxwellPML . . . . . . . . . . 167
8.3 Appliationdes résultatsde la première partie . . . . . . . . . . . . . 175
9 Stabilité WKB 179 9.1 Le problème de la stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
9.1.1 Origine de l'instabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
9.2 Etude de lastabilité pour des équationsPML générales . . . . . . . . 180
9.2.1 Rappeldes dénitions et des prinipauxrésultats antérieurs . 180 9.2.2 Résultatgénéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
9.3 Etude de as partiuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
9.3.1 Critèregéométrique de Béahe, Fauqueux et Joly . . . . . . . 187
9.3.2 Vitesse de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
9.4 Appliationauxéquations de Maxwell PML de Bérenger . . . . . . . 190
9.4.1 Endimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
9.4.2 Endimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
9.5 Appliationauxéquations d'Euler PML . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Les problèmes de Cauhy faiblement bien posés sont des problèmes hyperbo-
liques pour lesquels l'existene et l'uniité d'une solution est assurée mais tels que
la solution est moins régulièreque la donnée initiale. Plus préisément, il s'agit de
problèmes tels qu'il y ait une perte de régularité, au sens des espaes de Sobolev,
onstante entre la donnée initiale et la solution du problème à un instant t quel-
onque. Ils ont été introduits par Gårding [18℄ et sont évoqués brièvement dans
[15℄ et [27℄. La grande majorité des équations fondamentales issues de la physique
onduisent à un problème fortement bien posé, 'est àdire sans perte de régularité
parrapportàla donnéeinitiale.C'est pourquoilesproblèmes faiblementbien posés
n'ont été qu'extrêmement peu étudiés jusqu'àprésent.
Cependant,desproblèmesfaiblementbien poséssontapparus lorsde l'étudedes
ouhesparfaitementadaptéesdeBérenger[12℄ououhesPML(PerfetlyMathed
Layers). Les ouhes PML ont été rééesan d'étudier lapropagation d'ondes éle-
tromagnétiquesen domaine non borné. C'est d'abord lemode transverse életrique
des équations de Maxwell bidimensionnelles qui a été étudié. Le prinipe de ette
méthode est d'entourer le domaine d'intérêt par une ouhe. Les équations véri-
éesdans laouhe sontobtenues en eetuantun déoupage endeux omposantes
du hampmagnétique, es deux omposantes n'ayant pas de signiationphysique,
et en introduisant un oeient d'absorption. L'intérêt de ette manipulation est
qu'entre deux ouhes, lesondes sontparfaitementtransmises pour toutefréquene
et tout angle d'inidene. Il n'y a auun problème de réexion entre deux ouhes
PML.Cependant,lesouhesPMLprésententuninonvénientthéoriquemajeur[1℄:
elles ne sont plus fortement bien posées, omme l'étaient leséquations de Maxwell,
mais uniquement faiblementbien posées.
Nous allons maintenant nous intéresser à la disrétisation des équations PML.
Comme les équations de Maxwell sont disrétisées habituellement dans l'industrie
parun shémade Yee [41℄,leséquationsPMLissuesdes équationsMaxwelldevront
l'êtrenaturellementaussi.L'appliationdushémadeYeeauxéquationsPMLdonne
desrésultatsnumériquestrèssatisfaisants.Toutefois,ilaétémontré[1℄queleshéma
de Yee pour les équations PML n'est pas stable. La motivation de ette thèse est
d'expliquerpourquoi un shéma qui n'est pas stable ausens lassique peut tout de
La première partie de ette thèse est l'étude des shémas numériques
pour les problèmes faiblement bien posés. En eet, le problème du shéma
de Yee est que la dénition d'un shéma stable n'est pas adaptée aux problèmes
faiblementbien posés. Nousallonsdonreprendre lathéoriedeladisrétisationpar
diérenes nies des problèmes fortement bien posés pour l'adapter aux problèmes
faiblement bien posés.
La théoriedes shémas numériques pour les problèmes fortementbien posés est
assez anienne et elle a été étudiée par de nombreux auteurs [37℄, [29℄ et reprise
dans [19℄, [38℄. Le résultat fondamental dans ette théorie est le théorème de Lax-
Rihtmyer qui donneune ondition néessaire et susante de onvergene pour un
shéma numérique. De plus, la onvergene peut être préisée grâe au taux de
onvergene. Le tauxde onvergene semesure sur l'erreur entre la solutionexate
du problème de Cauhy etlasolution disrèteobtenue par un shéma.Cette erreur
diminue lorsque les pas d'espae et de temps diminuent et ette diminution est,
asymptotiquement, polynomiale. Le taux de onvergene est le degré du polynme
en lespas d'espae etde temps qui majore l'erreur. Un autre résultat fondamental
de la théorie de la disrétisation des problèmes fortement bien posés est que, pour
une donnée initialesusammentrégulière, letaux de onvergene est égal àl'ordre
de onvergene du shéma,donné par l'erreurde tronature.De nombreux shémas
ontpuêtre étudiésgrâeàette théorie,lespluslassiquesétantleshémadéentré
quiest d'ordre1,leshémade Lax-Wendroqui est d'ordre2,leshéma de Crank-
Niolsonquiest aussid'ordre2maisest impliiteetleshémasaute-mouton,d'ordre
2,qui est àdeux pas en temps.
Lebutde ettethèseestd'étendre lesrésultatsonnusdansleasdes problèmes
fortementbienposésauxproblèmesfaiblementbienposés.Nousommeneronsdon
pardonnerdesnouvellesdénitionsquivontêtreadaptéesauxproblèmesfaiblement
bien posés. En eet, la perte de régularité par rapport à la donnée initiale qui
apparaît dans le problème ontinu doit aussi apparaître dans le problème disret.
Nous allons don dénir une nouvelle notion de stabilité que nous appellerons la
stabilité faible et qui autorisera une perte de régularité de la solution disrète par
rapport à la donnée initiale du shéma. Nous ferons de même pour les notions de
onvergene etde onsistane.
Grâe à es dénitions qui sont bien adaptées aux problèmes faiblement bien
posés, nous étendrons le théorème de Lax-Rihtmyer. Le résultat démontré a une
strutureidentiqueauas fortementbienposé,àsavoir: uneonditionsusantede
onvergene estqueleshémasoitstableetonsistantetuneonditionnéessairede
onvergene est que le shéma soit stable. Toutefois, dans le as des problèmes fai-
blementbienposés,nousallonsdevoirrelierentre elles toutelespertesde régularité
intervenant dans lesdiérentes dénitions.
