M1 MEEF Maths 2013-2014
Grandeurs quotients (quatrième)
Quotient de deux grandeurs de même espèce
Soit a et b deux grandeurs de même espèce, a étant non nulle, il existe un réel positif k tel que : b = k a.
Ce nombre est appelé rapport de b à a, et il est noté b a . C'est la mesure de b quand on prend a pour unité.
Soit u une unité de grandeur de même espèce que a et b, et les mesures de a et b avec cette unité.
Montrer que = k .
Conclusion: le rapport de deux grandeurs de même espèce est égal au quotient de leurs mesures avec une unité, quelle que soit l'unité.
Justifier les égalités suivantes:
15 m
3 m = 5 ; 3 cm 5 cm = 3
5 = 0,6 = 30 m 50 m
Quelques applications pour définir des grandeurs sans dimension utilisées dans la vie courante:
- Les indices;
- L'échelle d'une carte : "1 cm pour 20 m" pour 1 cm
20 m = 1 cm
2000 cm = 1 2000 . - La pente d'une route : rapport de la dénivellation à la longueur horizontale.
Parfois, on parle de la déclivité.
- Les fréquences: quotient de deux cardinaux.
- L'ensoleillement d'une région, rapport de deux durées.
- La densité d'une substance, rapport de deux masses : la masse d'un certain volume de cette substance à la masse d'un même volume d'eau.
Quotient de deux grandeurs d'espèces différentes On veut donner à la formule v = d
t une signification en termes de grandeurs, afin d'avoir une formule indépendante des unités choisies.
On peut alors conduire le calcul suivant:
60 km/h = 60 km
1 h = 60 000 m
3 600 s = 60 000
3 600 m/s = 100
6 m/s 16,67 m/s.
Dans la formule d = v t , v n'est pas un nombre : en effet, sinon en multipliant une durée par un nombre, on obtiendrait une durée et non une longueur.
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D'autres grandeurs quotients
Grandeur 1 Grandeur 2 Grandeur quotient Exemples d'unités Masse de substance
dissoute dans une solution
Volume de la
solution Concentration g/l
g/cm3 Masse d'un corps
homogène Volume de ce corps Masse volumique g/l t/m3 Volume d'un liquide
qui s'écoule Durée Débit - volume m3/s
Masse d'une substance qui
s'écoule
Durée Débit - masse g/s
kg/h Volume de carburant
consommé Longueur parcourue Consommation moyenne
l/100 km l/km Différence de vitesse
entre deux instants Durée Accélération
moyenne m/s/s ou m/s2
Angle Durée Vitesse angulaire tr/min
Masse d'une culture
récoltée Aire du terrain Rendement q/ha
t/ha
Masse d'un fil Longueur Masse linéique kg/m
mg/m
Force Aire Pression N/m2 ou Pa
bar
Prix d'un produit Masse d'un produit Prix massique €/kg
Prix d'un service Durée du service Prix horaire €/h
PIB d'un pays Population PIB par habitant €/hab
Population d'un pays Aire d'un pays Densité de
population hab/km2
Les grandeurs quotients permettent de traiter les situations sollicitant un changement d'objets:
durée transformée en longueur en multipliant par une vitesse …
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Généralisation: quotient de deux grandeurs d'espèces différentes
Si u et v désignent des unités de ces deux grandeurs et a et b des nombres (avec b 0), alors:
a u b v = a
b u/v .
Grandeurs produits (troisième)
Produit de deux grandeurs
Soit g et g' deux grandeurs (de même espèce ou non). On peut associer à ces grandeurs une troisième grandeur telle que, chaque fois que l'une des grandeurs est multipliée par un nombre, l'autre étant maintenue constante, le produit est multiplié par ce nombre.
On la note g g'.
Ainsi: (kg) g' = k g g' ; g (k'g') = k' g g' ; (kg) (k'g') = kk' g g'.
Soit u et v deux unités respectives de ces grandeurs, a et b étant des nombres, alors a u b v est égal à ab u v. On note usuellement uv au lieu de u v, donc:
a u b v = ab uv.
Exemples de grandeurs produits
Grandeur 1 Grandeur 2 Grandeur produit Exemples d'unités
Longueur Longueur Aire m2, cm2, km2, ha
Aire Longueur Volume m3, dm3, cm3
Population Longueur (du
transport) Trafic de voyageurs voyageur - km siège - km
Durée (de travail) Population (de
stagiaires) Volume d'un stage journée - stagiaire
Population Durée (de travail) Volume d'un chantier homme - jour
Masse (transportée) Longueur (du transport)
Trafic de
marchandises t - km
Volume (transporté) Longueur (du
transport) Déplacement m3 - km
Force Longueur Travail d'une force N - m ou J
Puissance Durée Energie (électrique) kWh
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Grandeurs composées (troisième)
On peut dire aussi: grandeurs dérivées.
A partir de grandeurs produits et quotients, on peut en définir d'autres: quotient d'un produit par une grandeur, quotient d'une grandeur par un produit …
Exemples de grandeurs composées
Grandeurs composées Exemples d'unités
Energie électrique par habitant kWh/hab
Quantité de mouvement m2/s
Moment d'inertie d'un corps par rapport à une droite kg - m2
Prix unitaire de l'énergie électrique €/kWh
Rendement moyen d'un établissement commercial €/m2 /an ou €/(m2 an) Densité énergétique (d'une installation de production d'énergie) :
quotient de la puissance fournie par le produit de son coût par son encombrement
MW/(M€ km2)
Débit d'absorption spécifique : quotient du débit d'énergie
absorbée par sa masse W/Kg
Un texte à analyser
Extrait de "Pour la Science", Août 2008
Outre Atlantique, l'efficacité énergétique d'une voiture est exprimée en miles (1,6 kilomètre) par gallon (3,78 litres). Intuitivement, Européens et Américains pensent que la consommation en essence d'une voiture est proportionnelle à son efficacité. Or, ce n'est vrai que si
l'efficacité est exprimée en gallons par mile (ou en litres par kilomètre). En revanche, quand l'unité est inverse, la relation n'est pus proportionnelle. Ainsi, passer d'une voiture effectuant 12 miles par gallon à une qui en fait 14 réduit la consommation d'essence de 1,2 gallon sur 100 miles. Au contraire, le gain n'est que de 0,3 gallon pour une voiture passant de 42 miles par gallon à 48. Exprimer l'efficacité en miles par gallon est trompeur: les Américains jugent peu utile, à tort, de remplacer leur vieille voiture. Il suffirait, pour les convaincre, d'exprimer l'efficacité en gallons par mile!
