1 4

1

Récapitulatif

Champ et potentiel électrostatique d’une charge ponctuelle

 

E M q AM

A ( )  1 A r

4  ₀ ³ V M q

r ^A K

( )  1 

4  ₀

Lignes de champ électrique

VECTEUR SCALAIRE

Surfaces équipotentielles

PERPENDICULAIRES –

ORIENTEES VERS LES

POTENTIELS DECROISSANTS

2

Principe de Superposition

 

E M E M q A M

A A M

i N

i i

i N i

( )

i

( )

, ,

 



  

  

1 0

3 1

1 4 

V M q

A M

i i N i

( )

,



  ₄

1  0

q 1

q 2

q 3

E 1 E 3 E 2

E ( M )

M x

=

^{E 1}

+

^{E 2}

+

E 3

3

r1 r2=r1

Superposition de Champs électrostatiques

+Q +Q

Surfaces équipotentielles Surfaces équipotentielles

Lignes de champ

Lignes de champ

4

Relation différentielle dV   E M dl   ( ).

Relation Champ - Potentiel

Relation locale 

E M ( )   grad V M ^{  } ( )

Relation intégrale  

E M dl dV V M V M

M M M

M ( ).     ( )  ( )



₁² ₁²

^{1 2}

La circulation est indépendante du chemin suivi

5

Chapitre II : Champ et potentiel électrostatique crées par des distributions de charges - Méthode de Coulomb- Méthode de Gauss- Notion de symétrie

Enoncé du Principe de Curie

La symétrie des causes ( sources de l’électrostatique)

se retrouve dans les effets produits ( champ et potentiel électrostatiques.

Axe de rotation:

Symétrie de révolution

Plan d’antisymétrie

Plan de symétrie

Plan de symétrie

6

x M

x M s V ( M )

V ( M s ) P s

x P s

x

Plan de symétrie

M

M s x P s

E ( M ) / /

E ( M s ) =

/ / E ( M ) / /

M

M s x P s

E ( M )

E ( M s ) = - E ( M )

Plan d’Antisymétrie

x M

x ^{M s} V ( M )

V ( M s ) = - V ( M ) P A S

x P A S

x

M

x M s P a s

E ( M ) / /

E ( M s ) =

/ / - E ( M ) / /

M

M s x P s

E ( M )

E ( M s ) = E ( M )

7

Exemple : Système de quatre charges équidistantes par rapport à l’origine

Q Q

Q

Q C

₂ 



z

V ( M ) V ( M 1 ) = V ( M )

V ( M 2 ) = V ( M ) V ( M 3 ) = V ( M )

Q Q

Q

Q C

₂ 



z

8

Etude d’une distribution linéique de charges

P l a n d e s y m e t r i e ( P ) ( p la n m é d i a t e u r d u f i l ) P la n d e s y m e t r i e

c o n t e n a n t le f i l.

A x e d e r o t a ti o n C

F i l u n i f o m é m e n t c h a r g é (  ) ( P ) _{/ /}

1. Méthode de Coulomb en Electrostatique

9 x

z

M A

z

d z

d E _A O

f i l c h a r g é ( ^ )

+ a

- a

3

4 0

) 1

( AM

AM M dz

E d _A





 





3 0

'

' '

' 4

) 1

( A M

M A M dz

E d

_A





 







^{2 2}



²³

0 2

0 3

3 0

'

,

2

) cos(

2 4

1 '

' 4

) 1 (

z x

dz u

u x AM

dz M

A

M A dz AM

AM M dz

E

d

_{A A x} ^x





 

 





 































 



 

 ^



 ^{x a}

z x

dz u

M x

E 0

2 2 3 0 2

) 2

( 

 ^



 _x ² _ ^dz _z ²  ^{2 3  x 2}  ^{x z 2  z 2} 

 ^{sin  0  a 2 a  x 2}

 

E M u

x ( ) sin x

  

 ₀ ⁰

2

10

Calcul du potentiel électrostatique en un point de l’axe Ox (calcul direct)

dV dz

x z

 





4 ₀ ^{2 2} V dz

x z

a

 a





  _{4 } ^ 0

2 2

Par la relation champ - potentiel électrostatique

dV E M dl a dx

x a x

   



 

( ). 



2 ₀ ^{2 2}

V M a dx

x a x ( )  

 _{2 } ^ 

0

2 2

On détermine le potentiel en M à une constante près

que l’on fixe par la convention de Coulomb.

11

Cas particulier : le fil chargé a une longueur infinie

a   ou l’angle  

0  2

.

 

E M u

x ( )   x



0

2 0

V M ( )    E M dl ^ ( ). ^

Champ

Potentiel

V M dx

x Ln x K

( )    ₂ ^ _   _{2 } ^ ( ) 

0 0

S u r f a c e s é q u i p ô t e n t i e l l e s

L i g n e s d e c h a m p f i l c h a r g é i n f i n i

Surfaces équipotentielles et lignes de champ

12

Distribution surfacique de charges Distribution surfacique de charges

z

O O z : a x e d e r o t a t i o n C

P l a n d e s y m é t r i e c o n t e n a n t l e d i s q u e . P l a n d e s y m é t r i e c o n t e n a t O z .

( i n f i n i t é d e p l a n s )

( u n i q u e )

A x e d e r o t a t i o n C 2

(

²₂^

)

z

d

3 0

1 4

) 1

( PM

M M dSP

E d

  

 

u z

M E

d M

E

d   

) cos(

) (

)

(  ₁ 

u z

z M dS

E

d  

) ( 4 cos

)

( ₂ ³

0

 

 

E

₁

dE

13

) ( cos

.

2 

 d dr  z

Champ crée par une couronne circulaire d’épaisseur dr

z z

z a

disque u

R z

u z u

d M

E    

. 2 1

max).

cos(

1 2 (

. ) 2 sin(

)

( 2 2

2

0 0

max

0 0

)

(  

 





 







  ^{ } _ ^{  } _ ^{ } _

Champ crée par le disque

Avec

z z

r

Couronne u

z u rdr

z M rdr

E

d   

) ( 2 cos

) ( cos

² 2 ) 4

( ₂ ³

0 3

0 )

( 



 



 _



) tan(  z

r 

D’où

z r

Couronne M d u

E

d  

. )

2 sin(

) (

0 )

(  



 

14

Calcul du potentiel électrostatique V(M), M étant un point de l’axe Oz Calcul du potentiel électrostatique V(M), M étant un point de l’axe Oz

 

dV E M dl z

z R dz V M z z R K

    





  

       

 

( ).  ( )







2 1

0 2 2 2

0

2 2

Cas d’un plan infini chargé uniformément en surface

 

E M z

z u _z ( )  

 2 ₀

dV   E M dl     dz  V z   z  K

( ).  ( )







2 ₀ 2 ₀

15