MODÉLISATION GÉOLOGIQUE 3D MODÉLISATION GÉOLOGIQUE 3D ET CARACTÉRISATION DES ET CARACTÉRISATION DES INCERTITUDES PAR LA MÉTHODE INCERTITUDES PAR LA MÉTHODE DU CHAMP DE POTENTIEL DU CHAMP DE POTENTIEL

MODÉLISATION GÉOLOGIQUE 3D MODÉLISATION GÉOLOGIQUE 3D

ET CARACTÉRISATION DES ET CARACTÉRISATION DES

INCERTITUDES PAR LA MÉTHODE INCERTITUDES PAR LA MÉTHODE

DU CHAMP DE POTENTIEL DU CHAMP DE POTENTIEL

Christophe

Christophe AugAug

Centre de Géostatistique Centre de Géostatistique

Rapporteur: J.-L. Mallet Jury Examinateur: J.-P. Chilès Rapporteur: A. Parriaux Examinateur: G. Courrioux Examinateur: J.-P. Brun Examinateur: Ch. Lajaunie

Ecole des Mines de Paris, 13 décembre 2004

?

Cartographie géologique

N

2

Comment interpoler une surface Comment interpoler une surface

géologique ? géologique ?

qq

Il nous faut: Il nous faut:

ØØ intégrer des donnéesintégrer des données

ØØ choisir une choisir une approcheapproche

ØØ respecter des règlesrespecter des règles

qq

Il ne Il ne faut pas faut pas : :

ØØ oublier qu’il s’agit d’une interprétation…oublier qu’il s’agit d’une interprétation…

Les données Les données

qq interfaces (contours, intersections dans les interfaces (contours, intersections dans les forages…)

forages…)

qq directions structuralesdirections structurales

qq faillesfailles

qq géophysiquegéophysique

Approches géostatistiques Approches géostatistiques

q

q Les surfaces d’élévation: z=f(x,y) (Ex. MNT)Les surfaces d’élévation: z=f(x,y) (Ex. MNT)

Ø

Ø faciles à utiliser, adaptées pour multicouches.faciles à utiliser, adaptées pour multicouches.

Ø

Ø visualisation 3D, mais modélisation 2Dvisualisation 3D, mais modélisation 2D

⇒⇒ certains objets ne peuvent être reconstruits.certains objets ne peuvent être reconstruits.

q

q Les surfaces implicites: Les surfaces implicites: VV₀₀=f(x,y,z)=f(x,y,z)

⇒⇒ Une surface est définie par une ^Une surface est définie par une isovaleurisovaleur particulière d’un particulière d’un champ scalaire dans l’espace 3D (champ de potentiel).

champ scalaire dans l’espace 3D (champ de potentiel).

Deux étapes:

Deux étapes:

Ø

Ø Phase d’interpolation: exprimer f Phase d’interpolation: exprimer f →→ calculer f(x,y,z).calculer f(x,y,z).

Ø

Ø Phase de reprPhase de repréésentation: expliciter les surfaces sentation: expliciter les surfaces isovaleursisovaleurs →→ dessiner les surfaces

dessiner les surfaces VV .

Les règles Les règles

qq La pile La pile

stratigraphique stratigraphique

qq Les relationsLes relations

Ø

Ø «« erodeerode »»

Ø

Ø «« onlaponlap » »

F3

F2-1 F1 F2-2 F4-1 F4-2 F4-3

Serie_F3 (ERODE) Serie_F4 (ONLAP)

Serie_F2 (ONLAP) Serie_F1 (ERODE)

L’ L’ Editeur Editeur Géologique Géologique

q

q Outil développé au BRGMOutil développé au BRGM..

q

q Approche implicite: méthode du champ de potentiel Approche implicite: méthode du champ de potentiel

(Lajaunie(Lajaunie et et al.al., 1997)., 1997).

q

q Construction automatique de modèles géologiques Construction automatique de modèles géologiques volumiques.

volumiques.

q

q Méthode adaptée aux besoins et aux spécificités de la Méthode adaptée aux besoins et aux spécificités de la cartographie géologique:

cartographie géologique:

Ø

Ø modélisation de différents types d’objets géologiques (bassins modélisation de différents types d’objets géologiques (bassins sédimentaires, séries métamorphiques, intrusions granitiques…) sédimentaires, séries métamorphiques, intrusions granitiques…)

Ø

Ø intégration de plusieurs types de données (MNT, carte intégration de plusieurs types de données (MNT, carte

géologique, données structurales, sondages, géophysique…) géologique, données structurales, sondages, géophysique…)

q

q Nombreux exemples d’études sur Nombreux exemples d’études sur http://www.3dweg.brgm.fr http://www.3dweg.brgm.fr

Objectifs de la thèse Objectifs de la thèse

q

q Cadre: Thèse sous la direction de JeanCadre: Thèse sous la direction de Jean--Paul Chilès, en Paul Chilès, en partenariat avec le BRGM.

partenariat avec le BRGM.

Projet de recherche en modélisation 3D des corps Projet de recherche en modélisation 3D des corps géologiques.

géologiques.

q

q Editeur Géologique: Développer dans cet outil des Editeur Géologique: Développer dans cet outil des

techniques géostatistiques permettant de construire des techniques géostatistiques permettant de construire des modèles géologiques plausibles.

modèles géologiques plausibles.

q

q Axes de rechercheAxes de recherche::

Ø

Ø Caractérisation des incertitudes affectant les modèles Caractérisation des incertitudes affectant les modèles construits.

construits.

Ø

Ø Traitement des sondages incomplets.Traitement des sondages incomplets.

Plan Plan

q

q Présentation de la méthode du champ de potentielPrésentation de la méthode du champ de potentiel

q

q Caractérisation de la covariance du potentielCaractérisation de la covariance du potentiel

Ø

Ø Inférence à partir des données de gradientInférence à partir des données de gradient

Ø

Ø Illustrations par les données du LimousinIllustrations par les données du Limousin

q

q Détermination des incertitudes :Détermination des incertitudes :

Ø

Ø sur la position des interfacessur la position des interfaces

Ø

Ø sur les paramètres du modèlesur les paramètres du modèle

q

q Autres problèmes :Autres problèmes :

Ø

Ø Gestion de plusieurs formations et des faillesGestion de plusieurs formations et des failles

Ø

Ø Traitement des fins de sondagesTraitement des fins de sondages

La méthode du champ de La méthode du champ de

potentiel potentiel

Deux types de données:

- points de passage (x, y, z) sur les interfaces géologiques ;

- données ponctuelles d’orientation: vecteurs normaux aux lignes iso valeurs (azimut, pendage, polarité).

Les interfaces sont interpolées en 3D en assimilant les points à

Les interfaces sont interpolées en 3D en assimilant les points à desdes potentiels (on travaille en fait sur des incréments) et les orientations à

(on travaille en fait sur des incréments) et les orientations à des des gradients du potentiel..

Points équipotentiels sur l’interface

Dérivées du champ de potentiel

Le cadre de la géostatistique Le cadre de la géostatistique

q

q MultivariableMultivariable

Deux types de données:

Deux types de données:

Ø

Ø Potentiel (incréments) Potentiel (incréments)

Ø

Ø Gradients Gradients

q

q NonNon-stationnaire-stationnaire

Dérive polynomiale Dérive polynomiale

⇒

⇒ CokrigeageCokrigeage universel universel (dual)

(dual)

⇒⇒ Choisir une covarianceChoisir une covariance

( ) ( ) ⁰

P x_j − P x_j′ =

( ) ( ) ( )

P x P y P z

 ∂ 

 ∂ 

 

 ∂ 

 ∂ 

 

 ∂ 

 ∂ 

 

i

i

i

x

G x

x

Fonction Aléatoire P: potentiel

Caractérisation de la Caractérisation de la variabilité spatiale du variabilité spatiale du

potentiel potentiel

⇒ ⇒ Inférence à partir des données Inférence à partir des données d’orientation

d’orientation

Le choix de la covariance Le choix de la covariance

q

q Jusqu’à présent: modèle «Jusqu’à présent: modèle « conventionnelconventionnel »»

q

q Modèle de covariance par défautModèle de covariance par défaut

⇒

⇒ Cubique isotrope, portée arbitrairement prise égale Cubique isotrope, portée arbitrairement prise égale àà la taille du champ, la taille du champ, variance du gradient unité, effet de pépite du gradient de 0.01

variance du gradient unité, effet de pépite du gradient de 0.01

q

q Problème: incréments de potentiel nuls !Problème: incréments de potentiel nuls !

q

q Solution: exploiter les données d’orientationSolution: exploiter les données d’orientation

Ø

Ø Mesures angulaires d’orientation des plans de litage (stratification, Mesures angulaires d’orientation des plans de litage (stratification, schistosité, foliation).

schistosité, foliation).

Illustration

Illustration (photos de foliations dans des granites)(photos de foliations dans des granites)

Ø

Ø Dans le cas d’étude LimousinDans le cas d’étude Limousin: foliations cartographiques.: foliations cartographiques.

⇒

⇒ X, Y, (Z), Azimut, Pendage, PolaritéX, Y, (Z), Azimut, Pendage, Polarité

©Ledru et al. 2001 Tectonophysics

S

S

2 cm

Covariance du potentiel et Covariance du potentiel et

covariance du gradient covariance du gradient

q

q Lien algébrique:Lien algébrique:

q

q Calcul des variogrammesCalcul des variogrammes expérimentaux dans différentes directions.expérimentaux dans différentes directions.

2

2 2 2

2

2 2

2 3

(h) (h)

( ) 1

(h) ( ) (h) ( )

u

u

P

G x y z

u

u

P G u

K K r h h h

h

C r h

K C r K h C r

r r r

= − ∂ = + +

∂

 ′′ ′  

= ⇒ = − +  − 

 

 

1 γ(h)

0 a/2 a h

14/a² γ(h)

h // u

h ⊥u

0 a/2 a h

Variogramme du potentiel Z Variogramme de la dérivée ∂Z/∂u

Ajustement I Ajustement I

q Paliers variant avec la direction.

q Anisotropie zonale: le variogramme ne dépend que de certaines composantes du vecteur h.

⇒ Schéma gigogne.

q Ajustement manuel:

Ø Structure 3D ajustée sur G_Z.

Ø Structure 2D ajustée sur G_X.

Ø (Structure 1D ajustée sur G_Y.)

(

) (

) ^{( )}

3 2 1

P( )h hx hy hz hx hy hy

Γ = Γ + + + Γ + + Γ

Ajustement II Ajustement II

q 3 paramètres à déterminer pour chaque variogramme de composante de gradient: portée, palier, effet de pépite.

q Ajustement automatique: détermination des paramètres optimaux en minimisant une fonction d’erreur.

q Méthode de régression non-linéaire (Levenberg- Marquardt): méthode à gradient adaptatif

⇒ Chaîne de traitement entièrement automatique.

( ) ²

2

1

( ) ;

N

i i

i i

γ γ h

χ ₌ σ

−

 

=  

 

∑

a

Caractérisation de la Caractérisation de la variabilité spatiale du variabilité spatiale du

potentiel potentiel

⇒ ⇒ Illustrations par des données du Illustrations par des données du Limousin

Limousin

Présentation des données Présentation des données

Taille ≈ 70 × 70 km

1485 données de foliation (roches métamorphiques)

128 points (carte géologique) tous situés sur la surface

topographique

É É tude exploratoire tude exploratoire

0.0314 0.0314 0.7491

0.7491 1.0000

1.0000 0.3168

0.3168 GG_zz

0.2076 0.2076 --0.11040.1104

0.8932 0.8932 --0.86590.8659

GG_yy

0.1876 0.1876 0.0108

0.0108 0.8659

0.8659 -0.8913-0.8913

GG_xx

VarVar MoyMoy

MaxMax MinMin

N=1485

-1 0 1 -1 0 1 0.3 0.7 1

G_X G_Y G_Z

Variogrammes

Variogrammes exp exp é é rimentaux rimentaux

0 5 0 0 0 1 0 0 0 0 1 5 0 0 0 2 0 0 0 0 2 5 0 0 0

D i s t a n c e 0 . 0

0 . 1 0 . 2 0 . 3

Variogramme

γ_Y//

γ_X⊥ γ_Y⊥ γ_X//

γ_Z⊥

Ajustement des

Ajustement des variogrammes variogrammes

0 5000 10000 15000 20000 25000

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04

Variogramme

Distance

0 5000 10000 15000 20000 25000

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

Variogramme

Distance

0.0825 0.0825

0.0733 0.0733

0.0750 0.0750

0.0707 0.0707

17000 17000

8560 8560

2D2D

Auto Auto

0.0500 0.0500

/ /

0.0750 0.0750

/ /

55000 55000

/ /

1D1D

auto auto

0.0175 0.0175

0.0179 0.0179

0.0165 0.0165

0.0166 0.0166

25000 25000

26707 26707

3D3D

auto auto

Palier Palier Effet

Effet pépite pépite Portée

Portée (en m) (en m) Struct

Struct..

γ_Z

γ_X

⊥

0 5000 10000 15000 20000 25000

Distance 0.0

0.1 0.2 0.3

Variogramme ⊥

//

γ_Y

//

Synthèse de l’étude Synthèse de l’étude

variographique variographique

qq Belle structuration des variogrammesBelle structuration des variogrammes..

qq Effet de pépite relativement important.Effet de pépite relativement important.

qq Portée de l’ordre de la dizaine de kilomètres.Portée de l’ordre de la dizaine de kilomètres.

qq Palier de la composante verticale bien inférieur à Palier de la composante verticale bien inférieur à ceux des composantes horizontales.

ceux des composantes horizontales.

qq Ajustement facile pour la composante verticale, Ajustement facile pour la composante verticale, plus délicat pour les composantes horizontales.

plus délicat pour les composantes horizontales.

Impact du modèle sur les surfaces Impact du modèle sur les surfaces

Calcul du potentiel en tout point de la grille, puis tracé de l’isopotentielle passant par les points de données.

128 points sur

l’interface considérée

Topographie – altitude constante Z=500

Comparaison

Modèle par défaut Modèle ajusté

Coupe 1

C1

Différence de 450 m

70 km 70 km

N

17 km

Représentation 3D Représentation 3D

Algorithme Marching Cubes:

• Evaluation du potentiel en tous nœuds d’un maillage de cube

• Détermination de l’éventualité de rencontre de la surface et d’un cube

• Construction de l’intersection surface/cube si nécessaire, toutes les solutions des différentes configurations sont répertoriées

La détermination des La détermination des

incertitudes sur la position incertitudes sur la position

des interfaces

des interfaces

Probabilité d’appartenance d’un point Probabilité d’appartenance d’un point

à une formation à une formation

q Calcul des variances σ²_CK des incréments de potentiel.

q Probabilité pour un point donné x d’appartenir à une formation:

{ }

( )

( )

1 2

Pr ( )

( ) ( )

CK CK

P P P P

P P P G G

σ σ

∗ ∗

 −   − 

< ≤ =   −  

   

x x

x x x

P P₂

P(x)

Le « Le « potentiel réduit potentiel réduit » »

q Calcul du “potentiel réduit” Φ : x₀ étant un point de l’interface

q Hyp. gaussienne: l’interface estimée est comprise dans 95% des cas entre les courbes Φ=-2 et Φ=+2.

q Cartographie de l’incertitude du toit de l’unité géologique.

→ Carte du “potentiel réduit” (iso-Φ).

( ) ( )

( ) _CK( )

P P

σ

∗ − ∗

Φ = x x⁰

x x

Φ= + 2

Φ= - 2 Interface P=P(x₀) Exemple dans une coupe: 3 données d’interface et 2 données d’orientation.

Cartographie de l’incertitude sur Cartographie de l’incertitude sur

la position des interfaces la position des interfaces

>=3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5

<-3

Plan Z=500

C 1

Coupe 1

Z=500

La détermination des La détermination des

incertitudes sur les

incertitudes sur les

paramètres du modèle

paramètres du modèle

Incertitudes sur le modèle de Incertitudes sur le modèle de

covariance covariance

Utilisation d’une approche

Utilisation d’une approche bayésiennebayésienne pour inférer les paramètres pour inférer les paramètres

?? du modèle:du modèle:

q

q Loi a posteriori: Loi a posteriori:

q

q Loi Loi a priori:a priori:

q

q Fonction de vraisemblance:Fonction de vraisemblance:

⇒⇒ Simulations selon la loi a posterioriSimulations selon la loi a posteriori

(

)

θ σ β ν=

( )

( )

( )

π θ ∝ θ π θ

( )

π θ

(^{z |} )

( )

π θ ∝ ⁻ Σ ⁻  − − Σ⁻ − 

 

[ ] ( )

( ) ² ( )

( )

( ), ,

E Z x t f x

Cov Z x Z x _ν x x β

σ

=

′ = Σ ′

 

 

Résultats de l’approche Résultats de l’approche

bayésienne bayésienne I I

α β

ν τ

Histogrammes et densités des paramètres a posteriori Limousin G_z

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0.00 0.01 0.02 0.03

5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000 0.0E0

2.0E-5 4.0E-5 6.0E-5 8.0E-5 1.0E-4

0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0

2 4 6 8 10 12

0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 1.7

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Résultats de l’approche Résultats de l’approche

bayésienne

bayésienne II II

16000 18000 20000 22000 24000 26000 28000

Portée

0.15 0.17 0.19 0.21 0.23 0.25

Palier

10 30 50 70 90

Alpha

0.0 0.4 0.8 1.2 1.6

Tau

Variogramme et relations entre paramètres

G_{x ;} τ=0.3

G_x G_z

0 5000 10000 15000 20000 25000

Distance 0.00

0.01 0.02 0.03 0.04

Variogramme

G_z

Autres problèmes:

Autres problèmes:

la gestion de plusieurs formations la gestion de plusieurs formations

et des failles

et des failles

Le cas de formations sub Le cas de formations sub - -

parallèles parallèles

1 2 3 4 5 6

⇒ Utilisation d’un seul champ de potentiel.

1 2

3

4 5 6

Le cas de formations

Le cas de formations non non - - parallèles

parallèles I I

1 2 3 4 5 6 7

Sans prise en compte des relations

⇒ problème de croisements

⇒ Nécessité d’utiliser plusieurs champs de potentiel.

1 2 3 4 5 6

7 erode

erode

erode onlap

onlap onlap onlap

⇒ Utilisation de plusieurs champs de potentiel en exploitant les règles « erode » et « onlap ».

Le cas de formations

Le cas de formations non non - - parallèles

parallèles II II

On peut alors remplir les volumes créés à travers le modèle.

Les discontinuités Les discontinuités

0

1

0 Profil longitudinal

1

0 Profil transversal

Failles finies

Profil longitudinal 0

1

Failles infinies

Profil transversal 1

0 0

Prise en compte des failles: des fonctions de dérive discontinues sont ajoutées aux équations de cokrigeage

Autres problèmes:

Autres problèmes:

le traitement des fins de le traitement des fins de

sondages

sondages

Les données d’inégalité Les données d’inégalité

Modéliser une interface géologique à partir de données Modéliser une interface géologique à partir de données

exactes et de données d’inégalité.

exactes et de données d’inégalité.

-- Données «Données « duresdures »: incertitude attachée à la mesure de »: incertitude attachée à la mesure de la valeur considérée comme négligeable.

la valeur considérée comme négligeable.

-- Données «Données « souplessouples »: contraintes accompagnées d’une »: contraintes accompagnées d’une information sur l’incertitude. Données d’inégalité.

information sur l’incertitude. Données d’inégalité.

Z_B = Z(F₁) Z_B < Z_fin(F₂) Z_B > Z_deb(F₃)

A

B C

Z_B Z_C

F₁ F₂

F₃

Comment prendre en compte les Comment prendre en compte les

contraintes d’inégalité ? contraintes d’inégalité ?

Principe:

Remplacer les données souples par des données dures respectant:

– la structure spatiale – les inégalités

Algorithme de validation des contraintes: simulations de vecteurs gaussiens tronqués par une approche MCMC (échantillonneur de Gibbs) (Freulon, de Fouquet, 1993)

– Valable pour le krigeage simple.

– Reste robuste pour le cokrigeage ordinaire ou universel dans le cadre des applications.

KS KS

i i i i

Z = Z +σ U

Objectif: remplacer l’inégalité par l’espérance conditionnelle de la valeur compte tenu de l’ensemble des données.

Initialisation: tirage au sort d’une valeur dans l’intervalle.

Cycle de p itérations:

i) Choix d’un site ii) Relaxation du site

iii) Itérations sur l’ensemble des sites

Itérations sur p cycles → 1 simulation pour chaque site Monte - Carlo: N simulations de p cycles

L’échantillonneur de Gibbs L’échantillonneur de Gibbs

Geman et Geman, 1984

Cas d’une seule passe Cas d’une seule passe

Passe uniquement

composée de B: différence de potentiel positive

Passe uniquement

composée de A: différence de potentiel négative

Pile

stratigraphique

B A

Cas de deux interfaces Cas de deux interfaces

B A B en onlap A érodante

Sans validation Avec validation

Le cas de lacunes Le cas de lacunes

SA NS

A VE C

B A C D

Pile

stratigraphique

C en onlap B érodante A en onlap

Conclusion I Conclusion I

q

q «« Editeur GéologiqueEditeur Géologique »: modeleur utilisant la méthode »: modeleur utilisant la méthode du champ de potentiel afin de construire des modèles du champ de potentiel afin de construire des modèles géologiques 3D géométriquement cohérents et

géologiques 3D géométriquement cohérents et respectant les données d’origine diverse.

respectant les données d’origine diverse.

Apports principaux de la thèse Apports principaux de la thèse::

q

q Mise en place d’Mise en place d’une procune procédure dédure d’’infinféérence des rence des param

paramèètres du modtres du modèle de covarianceèle de covariance

Ø Meilleure prise en compte de la structure spatiale grâce à la modélisation des variogrammes des données d’orientation.

Ø Procédure entièrement automatique: on fournit en entrée le fichier des données et les paramètres du modèle sont mis à jour dans le logiciel.

Conclusion II Conclusion II

Apports principaux de la thèse Apports principaux de la thèse::

q

q Quantification de l’incertitude affectant les modèles Quantification de l’incertitude affectant les modèles géologiques construits

géologiques construits

Ø Cartographie des incertitudes sur la position des interfaces en profondeur et détermination de la variance de la cote.

Ø

Ø L’approche bayL’approche bayéésiennesienne permet de dpermet de déterminer les incertitudes sur éterminer les incertitudes sur les param

les paramèètres du modtres du modèèle de covariance.le de covariance.

q

q Traitement automatique des sondages incomplets.Traitement automatique des sondages incomplets.

Ø

Ø Testé dans une approche multicoucheTesté dans une approche multicouche

Ø

Ø Résultats encourageants sur données synthétiquesRésultats encourageants sur données synthétiques

Perspectives Perspectives

qq A préciser:A préciser:

q

q Etude d’un cas réel de traitement des inégalités .Etude d’un cas réel de traitement des inégalités .

q

q Impact sur le cokrigeageImpact sur le cokrigeage de l’utilisation de vecteurs de l’utilisation de vecteurs normés à la place des gradients réels.

normés à la place des gradients réels.

qq Développements ultérieurs:Développements ultérieurs:

q

q Mise en place d’un voisinage glissant à la place d’un Mise en place d’un voisinage glissant à la place d’un voisinage unique.

voisinage unique.

q

q Meilleure prise en compte des réseaux de failles.Meilleure prise en compte des réseaux de failles.

q

q Meilleure intégration de la géophysique.Meilleure intégration de la géophysique.

q

q Simulations conditionnelles.Simulations conditionnelles.

……