Analyse Numérique

Analyse Numérique

Problèmes Pratiques

Résolution d'équations

différentielles

Introduction

Principes généraux

 équation différentielle :

 avec t  I = [t

,T]

 idée générale :

 discrétiser t

t

= t

+ nh avec h = (T-t

)/n = pas de la méthode

 trouver une suite itérative z

qui approche y

= y(t

)

     

  

 



 

0

0

y

t y

t y , t f t

y

         



 

  

2 n

n 1

n

y y t hf t , y t O h

2 t h

y h t

y t

y

        

Taylor :

 

 







1



n

y z

z , t hf z

z

 

 











0 0

n n n

1 n

y z

z , t h z

z 

Schémas à un pas ^1/

 Forme générique :

  (t

,z

) calculé à partir de z

 exemples : on peut partir de la propriété :



 calcul de l'intégrale I par :

• rectangle gauche I = hf(tn) schéma d'Euler simple

• rectangle droit I = hf(tn+1) schéma d'Euler rétrograde (z_n+1 n'est plus donné directement,

il faut résoudre le système)

 

^   ^ 

^   ^   ^



   

n 1

n

n

t

t n

t

t n

1

n

y t y t dt y t f t , y t dt

t y





n 1

n

z hf t , z

z

 





n 1

n

z hf t , z

z

 

méthode implicite

Schémas à un pas ^2/

 calcul de l'intégrale I par :

• trapèzes schéma d'Euler centré

I = h[f(tn)+ hf(tn+1)]/2

 comment éviter les méthodes implicites en gardant les avantages du schéma d'Euler centré ?

 on remplace le z_n+1 "génant" du Euler centré par son estimation simple :

schéma prédicteur/correcteur d'Euler-Cauchy

   





n 1

n

f t , z f t , z

2 z h

z

  

méthode implicite





n 1

n

z hf t , z

z~

 

   





n 1

n

f t , z f t , z~

2 z h

z

  

Schémas à un pas ^3/

 les schémas de Runge-Kutta

 forme générique

avec  (t,z) défini par :

 un ordre q

 les équations suivantes :

 problème = trouver les meilleurs 





 

 











0 0

n n n

1 n

y z

z , t h z

z 

  





1 i

i i

k z

,

t 



   

 













 

 



  













 



1 q

1 p

p p , 1 q 11

q q

1 11 1

2

1

k h

z , h t

f k

hk z

, h t

f k

z , t f k











Schémas à un pas ^4/

 Runge-Kutta d'ordre 2

 

=0 

=1 

= 

=1/2 : schéma du point milieu

 

= 

=1/2 

= 

=1 : schéma d'Euler-Cauchy

 

 











0 0

n n n

1 n

y z

z , t h z

z 

  ^{t , z }

^k

^

^k

  

  



2 1

hk z

, h t

f k

z , t f k



 







  



 



  



1



n

f t , z

2 z h

2 , t h

hf z

z

     





n 1

n

f t , z f t h , z hf t , z

2 z h

z

    

Schémas à un pas ^4/

 Runge-Kutta d'ordre 4

 il faut alors estimer f sur plusieurs valeurs intermédiaires (souvent coûteux)

 





4

2 n

n 3

1 n

n 2

n n 1

hk z

, h t

f k

2 k z h

2 , t h

f k

2 k z h

2 , t h

f k

z , t f k







 

 



  



 

 



  









n 1

n

k 2 k 2 k k

6 z h

z

    

 

 











0 0

n n n

1 n

y z

z , t h z

z 

Schémas multi-pas ^1/

 les schémas d'Adams-Bashforth

  (t

,z

) calculé à partir de z

z

...

 On repart de la propriété :



 calcul de l'intégrale I en remplaçant f par une interpolation polynomiale d'ordre q (avec les points t_n à t_n-q)

 

^   ^ 

^   ^   ^



   

n 1

n

n

t

t n

t

t n

1

n

y t y t dt y t f t , y t dt

t y

 

      

  

 ^q

0 k

k n k

n

k(t ) f t ,y t L

t y , t

f _Lk = Polynômes de Lagrange

 

 



 h ^q b_k f t_{n k} ,y t_{n k}

I

^



t k

k

L ( t ) dt

h

b 1

Schémas multi-pas ^2/

 Adams-Bashforth à 2 pas

 pour n  1

 problème : il faut calculer z

autrement …

(avec une méthode à 1 pas comme Runge-Kutta)

    _ ^

  





1 n n n n 1 n 1

n

f t , z

2 z 1

, t 2 f

h 3 z

z

Schémas multi-pas ^3/

 Adams-Bashforth à 3 pas

 pour n  2

 Adams-Bashforth à 4 pas

 pour n  3

     





n 1

n

23 f t , z 16 f t , z 5 f t , z

12 z h

z

  



       





n 1

n

55 f t , z 59 f t , z 37 f t , z 9 f t , z

24 z h

z

  





Schémas multi-pas ^4/

 les schémas d'Adams-Moulton



 calcul de l'intégrale I en remplaçant f par une interpolation polynomiale d'ordre q+1 (avec les points t_n+1 à t_n-q)

 méthode implicite : z_n+1 va dépendre de f(t_n+1,zn+1) (à cause du k=-1)

 

^   ^ 

^   ^   ^



   

n 1

n

n

t

t n

t

t n

1

n

y t y t dt y t f t , y t dt

t y

 

 



 ^q

1 k

k n k

n

k f t ,y t b

h

I

z

 z

 I

Schémas multi-pas ^5/

 Adams-Moulton à 1 pas

 pour n  0 (Euler centré)

 Adams-Moulton à 2 pas

 pour n  1

 …

   





n 1

n

f t , z f t , z

2 z h

z

 



     





n 1

n

5 f t , z 8 f t , z f t , z

12 z h

z

 

 

Schémas multi-pas ^6/

 Comment éviter le côté implicite de Adams-Moulton ?

 on remplace le z

"génant" par son estimation par Adams-Bashford :

 Exemple :

       





n 1

n

55 f t , z 59 f t , z 37 f t , z 9 f t , z

24 z h

z~

  





       





n 1

n

9 f t , z~ 19 f t , z 5 f t , z f t , z

24 z h

z

 

 



Sujet de TD

Conclusion