Développement d'une interface graphique pour le calcul des conditions d'accord de phase dans les milieux anisotropes.

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Remercîments

Ce travail a été réalisé dms le cadre de l'obtention du diplôme de Master en électronique intitulé : " Développement d'une interface graphique pemettamt le calcul des conditions d'accord de phase dams les milieux anisotropes ".

Je remercie tout d'abord DIEU tout pujssamt de m'avoir donné la volonté et le courage de mener ce travail à bien.

Je souhaite dire un grand «nŒRCI » à monsieur Hachemi Bouridah, Professeur à l'miversité de Jijel., sans qui rien n'auait été possible. Merci pour la grande aide qu'il m'a foumi, mercf pou la patience dont il a £àit preuve à mon égard, et surtout merci pou la bome humeur qu'il a réussi à instauer tout au long de la période dans laquelle j'ai eu l'honneur de

travailler à ses côtés.

J'exprime ma profonde recomaissance à Mademoiselle Amani Cheriguene, Doctorante à l'université de Jijel, pour avoir été à mes côtés tout le long de la réalisation de ce projet, pour l'aide précieuse qu'elle a pu me foumir, ajnsi que pou sa patience et sa confiance.

Un grand merci à messieus les membres du jury pour avoir examiné minutieusement mon travail et de me fàire 1 'honneu de leur présence à ma présentation.

J'exprime ma profonde gratitude pour tout le corps des enseignants qui ont pu m'encadrer tout le long de ma fomation, de m'avoir transmis une partie de leur savoir et qui ont frit de

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A mes très chers pŒ.ents A Assia et Amira

A toute ma f;amille

A mes très chers amis

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] Table des matières

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Table des matières

Table des matières

lntroduction généra]e ... 1

Chapitre I : Optique non-linéaire : aspect théorique et expérimental

I.2.Historique

1.3 Milieu linéaire et milieu non linaïre 1.3.1 Mlieu optique linéaire 1.3.1 Mlieu optique non linéaire

1.4 0rigine des non linéarités: polarisation non linéaire

1.5 Fomalisme st équation d'onde non-lïnéaire

1.6 Quelques effets non-linéaires

1.6.1 Génération de seconde hamonique 1.6.2 Génération de la somme de fféquences 1.6.3 Génération de la différence de fi.équences

1.6.4 Modélisation des phénomènes non-linéaire d'ordre 1.7 Efficacité des effets non-linéaires

1.7.1 L'accord de phase 1.7.2 Source LASER 1.7.3 Les matériaux utilisés 1.8 Types de milieux 1.8.1 Mlieux isotropes 1. 8.2 Milieux anisotropes 1.8.2.1 Mlieux Uniaxes 1.8.2.2 Mlieux Biaxes 1.9 Conclusicm

Chapitre 11: Modélisation de l'accord de phase dans les matériaux

anisotropes

11.1. htroduction II.2.Accord de phase

11.2.1.hterprétation de l'accord de phase

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Table des matières

H.3 Modélisation matiématique de l'accord de phase

11.3.1 Milieux uniaxes

11.3.1.1 Niobate de Lithium (LN)

11.3 .1.2 Béta-Borate de Baryum (BBO)

11.3.2 Milieux Biaxes

II.3.2.1 Titanyl phosphate de potassium (KTP) H.3.2.2 Yttrium Oxoborate de Calcium (YCOB)

11.4 Conclusion

Chapitre 111 : Résultats de simulations

III.1.htroduction

HI.2 Algorithmes de résolution

111.2.1 Mlieux uniaxes

111.2.2 MilieLix biaxes

111.3 . Simulations et résultats

HI.3.1 Nïobate de Lithium (LN) 111.3.2 Béta-borate de baryum (BBO)

HI.3.3 Titanyl phosphate de potassium (KTP) 111.3.4 Yttrium Oxoborate de calcium (YCOB) HI.4 Conclusion

Chapitre IV : Prés€ntation de l'interface graphique

IV.1.Introduction

IV.2 Présentation de l'outil GUIDE

IV.3. Présentation de l'interface graphique IV.3 .1 Fenêtre principale

IV.3 .2 Paramètres du matériau IV.3.3 Paramètres d'entrée IV.3.4 Zone de boutons IV.3.5 Graphes

IV.3 .6 Exemples d'exécutions IV.4 Conclusion 61 61 63 63 63 64 64 64 65 67 Conclusion générale ... 68 Réfiérences bibliographiques ... 69 m

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List€e des flmes

Liste des figures

Figure 1.1. Échelle temporelle illustrant l'histoire de l'optique non linéaire et son rapide progrès depuis l'invention du laser

Figue 1.2. Représentation schématique du mouvement des particules chargées dans un milieu diélectrique soumis à ui champ électrique de fréquence o

Figure 1.3. Parties réelles et imaSnaires de la susceptibilité en fonction de la fréquence de

1'onde lumineuse autour de la fféquence de résonance fi

Figue 1.4. Schéma de principe du dédoub]ement de fi-équences

Figure 1.5. Schéma de principe de la génération de la fféquence somme dans un milieu non

linéaire d'ordre 2

Figure 1.6. Schéma de principe de la génération de la fi.équence différence dans un milieu non-linéaire d' ordre 2

Figure 1.7 : Exemple de structure cristamne isotrope cubique

Figure 1.8. Définition du repère cristàllophysique X, Y, Z et des angles associés ... 16

Figue 1.9. Empsoïde des indices dans m miljeu anisotrope

Figure ].10 : Tab]eau regroupant différentes structures de matériaux, les classant selon leu anisotropie et leurs tenseurs diélectriques

Figure 11+ 1. Types 1 et 11 d'accord de phase pour la génération de la seconde hamonique ... 23

Figure 11.2. Quasi accord de phase

Figue ll.3.schéma résummt les métiiodes de réalisation de la condition d'accord de phase dans les différents types de matériaux

Figure 111.1. Orgamigramme de la procédue de simulation pou les milieux uniaxes (Type 1) .. 36

Figure 111.2. Organigramme de la procédure de simulation pour les milieux uniaxes (Type 11) . 38

Figure 111.3. Organigramme de la procédure de simulation pour les milieux biaxes„ ... 39

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LisËdes figures __

Figure lll.3.b. Représentation 2D des Angles réahsant l'accord de phase aux températures 0°,250° et 500° pour une génération de seconde hamonique Type 1

Figure 111.4. Coefficients non linéaires en fonction de la longueur d'onde et de la température pour une génération de seconde hamonique de type 1 dans le Niobate de Lithium ... 41 Figure 111.5 Angles et températiires réalisamt l'accord de phase pour une génération de

seconde hamonique Type 11 dans le Niobate de Lithium

Figure 111.6. Coefficients non linéaires en fonction de la longueu d'onde et de la températue

pour une génération de seconde hamonique de type 11 dms le Niobate de Lithium ... 43 Figure 111.7 Angles et températures réalismt l'accord de phase pour une génération de somme

de fféquences Type 1 dans le Niobate de Lithium

Figure 111.8. Coefficients non linéaires en fonction de la longueur d'onde et de la température pou tme génération de la somme de fréquences de type 1 dans le Niobate de Lithiun ... 44

Figure 111.9 Angles et températures réalismt l'accord de phase pou une génération de somme

de fféquences Type 11 dans le Niobate de Lithium

Figure 111.10. Coefficients non linéaires en fonction de la longueur d'onde et de la température pour une génération de la somme de fi-équences de type H dams le Nïobate de Lithium

Figure 111.11 Andes et températues réàlisant l'accord de phase pour uie génération de

seconde harmorique Type 1 dams un crista] BBO

Figure 111.12.Coefficients non linéaires en fonction de la longueu d'onde et de la températue

pour une génération de seconde hamonique de type 1 dans un cristal BBO

Figure HI.13. Angles et températures réalisamt l'accord de phase pour une génération de seconde hamonique Type 11 dans un cristal de BBO

Figure 111.14.Coeffiüents non linéaires en fonction de la longueu d'onde et de la températHre

pour me génération de seconde hamonique de type ll dams un cristal de BBO 49

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Figue 111.15 Angles et températures réàlisant l'accord de phase pou une génération de la

somme de fréquences Type 1 dans un cristal de BBO

Figure 111.16. Coeffiüents non linéaires en fonction de la longueur d'onde et de la température pou me génération de la somme de fiéquences de type 1 dans m cristal de 880 ... 50

Figure IH.17 Angles et températures réalisant l'accord de phase pou une génération de la somme de fl.équences Type 11 dans un cristal de 880

Figure 111.18. Coefficients non linéaires en fonction de la longueu d'onde et de la

température pou me génération de la somme de fléquences de type 11 dams m cristal de BBO ... 52

Figure 111.19. Représentations des angles réalisant l'accord de phase dms un cristal de KTP

pour une génération de seconde hamonique de type 1

Figure 111.20. Représentations des angles réalisamt 1'accord de phase dms un cristal de KTP

pour une génération de seconde hamonique de type 11

Figure 111.21. Représentations des angles réalisant 1'accord de phase dans un cristal de KTP

pou une génération de la somme de fi-équences de type 1

Figure 111.22. Représentations des angles réalismt l'accord de phase dms un cristal de KTP pour une génération de la somme de fi.équences de type 11

Figure HI.23. Représentations des angles réalisamt l'accord de phase dans un cristal de

YCOB pour une génération de seconde hamionique de type 1

Figure 111.24. Représentations des angles réalisant l'accord de phase dans un cristal de

YCOB pou une génération de seconde hamonique de type 11

Figue 111.25. Représentations des angles réalisant l'accord de phase dans un cristal de

YCOB pou une génération de la somme de fféquences de type 1

Figure 111.26. Représentations des angles réalisant l'accord de phase dans un cristal de YCOB pour une génération de la somme de fi.équences de type 11

Figure IV.1 Fenêtre de l'outil GUIDE

Figure IV.2 Fenêtre de dessin du GUI

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FigtHe IV.3. Aperçu général de l 'interface graphique

Figure IV.4. Résultats de simulation pour une génération de seconde hamonique de type 1 dans m cristàl de Nïobate de Ljthium su l 'riterface graphique

Figue IV.5. Résultats de sjmulation pou une génération de seconde hamonique de type 11 dans un cristal de Niobate de Lithium sur l'intgrface grapliique

Figure IV.6. Résultats de simulation pour une génération de seconde hamonique de type 11 dans le KTP su l'interface graphique

Figure IV.6. Résultats de simulation pou une génération de seconde hamonique de type 1 dans le KTP su l'iiiterface graphjque

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Introduction générale

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Introduction générale

Aujoud'hri la lumjère joue un rôle majeur dans la communication et il est devenu possible

de l'utiliser comme porteuse de l'information et de la transporter sur de très grandes djstamces. Le défi quj se présente, en revanche, est le traitement de cette ïnfomation. 11 ne se

ffit, actuellement, que de manière électronique et impose donc une conversion photon-électron. Cette conversion a un coût en terme de bande passante car les composants

électroniques atteignent leus limites, alors que les flux modemes de données nécessitent d'atteindre des fféquences de commutation supérieures à 10 GHz, de plus cette conversion

introduit des pertes. Une idée qui vient alors immédiatement à l'esprit à parir de ce coiistat, consiste à employer l'optique non hnéaire afin d'effectuer un traitement du signàl pu.ement photonique où, par l'intemédiaire de l'interaction lumière-matière, il devient possible de

changer la longueur d'onde des photons, de les coinmutei., de les mélanger, de les additiomer,

etc .... La génération de la seconde hamorique (GSH) n'est qu'un cas particulier des processus de conversion de fféquences pemettamt de générer de la lumière cohérente dams des régions spectrales où les lasers ont parfois des perfomances limitées. La première démonstration expérimentale de la (GSH) a été réalisée par Franken et ses collaborateurs [1]

au début des années 1961, peu de temps après l'Ïnvention du laser, à partir d'un cristal de

quartz illuminé par un laser à rubis [2]. L'efficacité de conversion du fàisceau incident en un rayomement de seconde hamonique était alors très fàible, de l'ordre de 10-8.

L'optique non linéaire s'est alors rapidement développée avec caractérisation et commercialisation d'autres cristaux non linéaires. Pour avoir une conversion efficace, ces

cristaux non linéaires doivent satisfrire les conditions d'accord de phase avec une grande

susceptibilité non linéaire d'ordre 2, dans les matériaux massifs usuellement utilisés en optique non linéaire comme le Niobate de Lithium (LN) ou le Bêta-Borate de Baiyum (BBO) qui sont naturellement anisotropes et biréfringents, l'accord de phase peut être obtenu avec différentes polarisations et angles de propagation.

Dams le cadre de ce travail, iious nous intéresserons à la réalisation de 1'accord de phase dans

dfféremts matériaux, appartfflant à de dfféreiits groupes cristamns, et nous développons une

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Ce manuscrit est organisé en quatre chapitres :

• le chapitre 1 de ce mémoire sera dédié aux rappels de certaines notions de 1'optique linéaire et non linéaire, ainsi qu'à 1'explicitation de l'origine des non linéarité dans un milieu. Nous rappellerons également le formalisme d'onde de l'optique non linéaire

pou enfin teminer sur la classification des différents milieux anisotropes.

• le chapitre 11 atira pou but d'introdujre le problème d'accord de phase et présenter son

impact sur l'efficacité des effets non linéaires générés, ainsi qu'à la modélisation de

cet accord de phase dms les matériam amisotropes.

• ]e chapitre 111 présentera les résultats de sjmulations du comportement de l'accord de phase réalisées dams plusieus matériaux amisotropes.

• le chapitre IV sera consacré à la présentation de l'interface graphique réalisée dams le cadre de ce mémoire.

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Chapitre I : Optique

nonllinéaire : aspect

théoriflue et

expérimental

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tiaue non-1inéaire : asDect fléorique et exDérimental

Les phénomènes de physique linéaire sont ceux qui obéissent aux principes de

proportionnalité et de superposition des états. L'optique linéaire est bien dans ce cas.

Mais si l'on irradie un volume d'atomes ou de molécules par une onde électromagnétique dont le champ électrique n'est plus négligeable devant le champ électrique atom£que, le

mmeu matériel interagit avec le champ excitateu de telle sorte que l'onde électromagnétique diffi]sée se modifie: cette modification ne repecte plus les principes de proportionnalité et de

superposition. On rentre dans le domaine des interactions non linéaires.

Dams ce premier chapitre, nous rappelons quelques notions concemant l'optique linéaire et 1'optique non linéaire, en commençamt par un historique des découveftes relatives aux phénomènes de l'optique non linéaire. Nous allons voire de manière simple, comment des

matériaux peuvent acquérir sous l'effet d'un champ une polarisation dépendant de façon non linéaire de l'amplitude de ce champ. Nous continuerons sur le fomalisme d'onde de 1'optique non linéaire pou enfin teiminer sur la classification des différents milieux anisotropes.

I.2.Historique

L'optique non hnéaire englobe une gramde diversité de phénomènes dont les applications se sont développées de manière exponentielle, et ce depuis l'invention du LASER en 1958 et sa réalisation pratique en 1960[1]. En quelques années, des effets tels que la génération de

seconde hamonique (SHG) [2], la génération de fféquences somme (SFG), la différence de

fi.équences, 1a rectification optique, l'absorption de deux photons et la génération de la troisième hamonique ont été observés pour la première fois à des fi.équences optiques [3] .

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S€cond harm€}r`i£: gtrncration (Franken,1961)

Tu'o-photon absorption

{Kaiscr,1961)

É_que non-1inéaire : asDect üéoriaue.et exDérimental

Brjll<`ujn sc..|tt€.ring (Brillouin.1922)

Raman s{atterii`g {Raman, 1928}

Two-photon abs..rption theory

(Go-.ppt?rt-i`1i-yt?r±1931) 1 96`2 .J 1963 Sum-rr€qucncy g€n€ratit}n {Bass.196Îa} c)PticLai rectific.atlon {Bdss,1962b}

Third harm{]inic generation

(r|.erhun+`,19û2)

Stimulated Raman scattering

("'oodbui.y.1962}. (Eckhürdt.1962)

Diffcrenc.-I-T€+quîr`c}.gener.iti<>n (t`-iebuhr.1963). {Smit_h,1963}

i\l.|sÂ`rd+-ni.`nsti-.it.-d {Gordoi`. 19`~.4)

()pti.|I mas€r (Ias€r} propos&.d

(Schau.Iow. 1958)

Laser demt}n5tratl.d {i`laiman,1960) 1964/1965

`Stimulated Brillciuin sc`attering

tchiao,196..1)

Oip.ic`al paramerric amplifit`r

(W'd,tg, 1965)

Optic`al pararnetric osc'illator

{Gi€7rdmainL`, 1965)

Th€c}retical desc`nptioi` of ncmlin€ar proc`c`sses {Armstrong,196-2}. (Bloembergen.1962). (BI{.embergen.19¢1)

Figure 1.1. Echelle temporelle illustrant l'liistoire de l'optique non linéaire et son rapide progrès depuis l 'invention du laser [3]

Derrière tous ces développements et découvertes se cache les développements associés dams le domaine des LASERS. Grâce à leurs cohérences temporelle et spatial, 1es lasers disposent d'une très grande jntensjté lumineuse. Les premiers lasers impulsionnels (Q-switched lasers) atteignaient des intensités supérieures à lMW/cm2 par focàlisation, et 1'interaction de ces lasers avec des matériaux a conduit à l'observation de phénomènes non-1inéaires.

Des applications pour des appareils utilisant l'optique non linéaire ont vu très rapidement le jou après leurs premières démonstrations. La capacité à convertir des fiéquences dome

beaucoup de flexibilité aux lasers ayant une fi.équence fixe. La maitrise des techniques liées à l'optique non linéaire permet par exemple la réalisation d'expériences nécessitantes une fféquence spécifique impossible à atteindre avec les lasers disponibles [3] .

1.3 Milieu linéaire st milieu non Hnaire

1.3.1 Milieu optique linéaire

Un milieu linéaire est caractérisé par une réponse linéaire en présence d'une onde électromagnétique, si les relations entre le vecteur de déplacement D et le champ électrique E

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Chaoitre 1 tique non-linéaire : asDect tiéoTique et exDérimental

-deux faisceaux lumineux se propagemt dans un milieu linéaire n'interagissent pas entre eux3 l'un se propage comme si le deuxième n'existait pas ;

-la pu]sation d'un £risceau lumineux traversant le miljeu linéaire ne subjt pas d'altération lors

de sa traversé et reste inchangée ;

-le principe de superposition s'applique dans le milieu linéaire ;

-1'indice de réffaction du milieu est indépendant de 1'intensité de la lumière qui le traverse ;

La polarisation induite par le champ E dans un milieu linéaire est domée par la relation

suivante :

p - €ox(1)E

Avec :

€o : Pemittivité diélectrique du vïde

j¥(ï) : Susceptibilité linéaire du milieu,

€r = %(1) + 1

1.3.2 Milieu optique non-linéaire

(1.1)

(1.2)

Lorsque l'on parle d'optique non-linéaire, la propriété de non linéarité conceme le milieu

traversé par la lumière et non la lumière elle-même. Aucun phénomène non linéaire ne peut apparaitre quand la lumfère se propage en espace lfbre.

Toutes les propriétés citées pour un milieu linéaire ne sont plus valables pour un milieu non linéaire:

-deux frisceaux lumineux traversant le milieu interagissent entre eux ;

-la lumière peut chamger de pulsation en traversant ce milieu ;

-le prinüpe de supeposition n'est plus valjde ;

-1'indice de réffaction et donc la vitesse de la lumière varient en fonction l'intensité lumineuse ;

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±ig!±±Ê___non-linéaire : aspect fléorique et exi)érimental

La polarisation dams un milieu non linéaire devient alors :

P = €0%ti>E+£Ojrt2JE2+£Oxt3>E3 + ...

(1.3)

1.4 0rigine des non linéarités: polarisation non linéaire

Afin de décrire simplement et de comprendre les interactions de la lunière avec la matière, les matériaux auxquels on s'intéresse en optique sont souvent modélisés en les considérant

comme m ensemble de particules chargées: des électrons et des ions (noyaux des atomes).

Lorsqu'un champ électrique est appliqué à cette matière, les charges se déplacent dans la

direction du champ, les charges positives dans un sens, les chaffges négatives dans l'autre.

Dans les matériaux conducteus, les électrons peuvent se déplacer librement aussi longtemps

que le champ électrique est présent domamt naissamce à un courant électrique. Dans les matériaux diélectriques, les charges sont liées fortement les unes aux autres, bien que leurs

liens possèdent une certaine élasticité. En présence d'un champ électrique, ces charges ont un mouvement uniquement transitoire et s'éloignent légèrement de leur position d'origine. Ces petits déplacements se traduisent par l'apparition dans la matière de moments dipolaires

électriques induits, ou autrement dit, par l'apparition d'une polarisation [4].

Sous l'action du champ é]ectiique provenant d'une onde ]umineuse de fi-équence œ, ]es charges du diélectrique vont alors se comporter comme des dipôles oscillant à la fféquence œ

du champ excitateu. L'effet du champ magnétique sur les particules chargées est quant à lui beaucoup plus faible et peut être négligé. De plus, étant domé que la masse des électrons est beaucoup plus faible que celle des ions, on peut considérer comme significatif seulement le

déplacement des électrons. On peut alors décrire ce système à l'aide d'un modèle mécanique simple où l'électron de masse m et de charge e- est lié à l'ion par un ressort. Cette situation est

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ChaDitre 1 _{tigue non-linéaire : asDect üéoriaue et exDérimental}

Figure 1.2. Représentation schématique du mouvement des particules chargées dans m milieu diélectrique soumis à un champ électrique de fréquence œ [4]

L'évolution de l'écart à l'équilibre x de l'électron en réponse à un chainp électrique E(t) obéit

alors à l'équation suivante :

i;Ë+2r8"2x+(f2r2+f3r3+...)=ËE(t)

(1.4)

Négligeons dans m premier temps les temes anhamoniques(ç2x2 +f3x3 +...)et considérons la réponse harmonique du système à un champ électrique de la fome:

E(£) = Eo exp[-/'wt] + cc _(1.5)

Où cc désigne le complexe conjugué. En injectamt (1.5) dans ( 1.4), on trouve sans difficulté la solution:

xŒ)-

2m fl2-2jT.w-w2+cc (1.6)

En considéramt, pou simpljfier, que tous ]es d.pô]es é]ectriques sont orientés de ]a même

façon, la polarisation induite dans le milieu est:

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ChaDitre 1 _{±g±Le_ non-linéaire : aspect fléorique et expérimentàl}

Où N est le nombre de dipôles électriques par unité de volume,ft la permittivité dans le vide.

Lasuscçptibihtéx(])s'exprimantdelamamièresuïvamte:

#(1, = Ëm

Les dipô]es é]ectriques osc].I]ant à la même fféquence œ rayoment dms ]e m].]jeu et mod.fient ainsi la propagation de l'onde lumineuse. Comme le déplacement électique s'exprime de la mamière suivante:

D - €oE + p

la constante diélectrique du milieu vaut 1+x(] ) et l'indice de réfi.action n:

(1.9)

Ïl = Æ€(1 +jrtiJ ) (I.1o)

La partie imaginaire de la susceptibilité, quant à elle, décrit les pertes dams le milieu. Les

parties réelles et imadnaires de la susceptibilité sont tracées sur la figure 1.4. En fonction de

la fféquence de l'onde lumineuse œ

n

Fréquence œ

Figure1.3.Partiesréellesetimaginairesdelasuscçptibilitéenfonctiondelafi.équencede

l'onde lunineuse autou de la fréquence de résonance f2 [4] .

Ceci décrit les propriétés linéaires usuelles d'un milieu diélectrique. En physique, la

dépendance ljnéaire d'me quantité en fonction d'une autre est presque toujours une

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ChaDitre 1 _{±±gu_e non-1inéaire : asDect fléorique et exDérimental}

cas présent, le déplacement des électrons peut être considéré linéaire avec le champ électrique lorsque ces déplacements sont petits. Lorsqu'ils deviement plus grands, la force de rappel devïent non linéaire en fonctjon de x de mamjère à contenir le mouvement des électrons au

voisinage de l'ion. Ceci est pris en compte dms le modèle du ressort mécanique par l'intemédiaire des temes amhamoniques €(2)x2+ Ë(3)x3+ ...dans l'équation (1.4). Lorsque ces

temes sont pris en compte, il n'existe plus de solution générale à cette équation. Cependant, dans la limite où ces termes sont suffisamment petits devant la composante hamonique, il est possible de trouver une solution par pertubation en effectuant ui développement de x(t) en puissances de l'amplitude du champ électrique. On obtient alors pour la polarisation du milieu

tel que décrite dans l'équation (1.3)

Dams cette expression, x(" représente la susceptibilité linéaire discutée précédemment et les

quantités x(2), %(3) ...., sont appelées susceptibilités non linéaires du milieu. Ces susceptibilités

non linéaires sont à l'oridne de nombreux phénomènes. Nous allons décrire dms la suite commmt une onde se propage dans des milieux possédant de telles propriétés.

1.5 Foimalisme et équation d'onde non-Iinéaire

Les phénomènes d'optique non linéaire peuvent être décrits par l'intemédiaire des équations

de Maxwell dont voici 1'expression dans un milieu dépourvu de charge libre [5] :

E5tF, =) = o

-v^-E(?,t,--gïtÈ(?,t,

_v.Ë(È,t)-o

(1.11)

-v^Ë(?,t,--#D(?,t,

Ë(F, £)est le champ électrique, Ë(F, £)est rexcitation magnétique, É(F, t) est le vecteur de

déplacement électrique,Ë(F, £) est 1 ' induction magnétique.

La réponse du milieu aux excitations Ë(P,£)et Ë(P,t)est domée par les relations

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ChaDitre 1 _{±g±±±e non-linéaire : aspect tiiéorique et expérimental}

B(?,t} = EOË(?,t} + È(r-,t) (I.12.a) È+(?, t) = uoÉ+(?, t) (i.12.b) En£risantlesdéveloppementshabituelscommepourlecasd'unmilieulinéaireetenposamtP

comme décrite dams l 'équation (1.3), on obtient l'équation d'onde non ljnéaire srivante :

-Ë^ Ë^Ë+Ë¥=-«o¥ (i.i3)

La différence entre l'équation obtenue en (1.13) et l'équation de Helmholtz pou m milieu

linéaire, réside dams le fàit que le second membre n'est plus nul, mais il est égal à un teme

a2#L

sc"rce-PoTÏ

1.6 Quelque§ effsts iion-Iinéaires

1.6.1 Génération de seconde harmonique

La génération de second hamonique (également appelée doublage de fféquence) est un processus d'optique hnéaire dms lequel des photons interagissent avec un matériau non-linéaire, et sont combinés pour fomer de nouveaux photons avec le double de la fi-équence, donc la moitié de la longueur d'onde des photons initiaux.

Le phénomène est décrit dans le schéma de la figure (1.4.)

Figure 1.4. Schéma de principe du dédoublement de fi.équences

Contrairement à l'amplification laser, les phénomènes non linéaires ne sont en aucun cas des

résultats d'absorption ou d'émission d'un matériau. Les états excités décrits dans la figure 1.5 sontdesétatsimaginairesparlesquellespasseraientlesélectrons.Lesondesmisesenjeusont couplées par les suscçptibilités d'ordre deux du cristal en question.

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1.6.2 Génération de la somme de fréquences

La génération de seconde hamonique n'est qu'un cas particulier d'un processus plus général

qui est la somme de fféquences. Processus dans lequel deux ondes de fféquences respectives

Œi et ®2interagissent dans le milieu non linéaire pour générer une onde dont la fféqufflce

ûJ3 = ûJi+ ûi2 satisfait la relation de conservation de 1'énergie

Figure 1.5. Schéma de principe de la génération de la fi.équence somme dans un milieu

non linéaire d'ordre 2 1.6.3 Génération de la différence de fléquences

Le processus de dfférence de fféquences peut être utilisé pou obtenir une source cohérente

par différence de fféquences entre un laser à la pulsation ûLii et un laser à la pulsation Œ2 en

posmt œ|>aJ2 .

11 existe une différence importante entre la somme et la différence de fréquences: dams ce demier cas, pour chaque photon émis à ûD3, m photon de la fi.équence la plus élevée (par exempleûDi) est détniit et un photon à fi.équence plus basse (®2) est émis.

Figure 1.6. Schéma de principe de la génération de la fféquence différence dans un milieu

non-linéaire d'ordre 2

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1.6.4 Modélisation des phénomènes non-Iinéaire d'ordre 2

Tous les phénomènes vus précédemment dans ce chapitre peuvent être résumé à partri de

l'équation (1.3).

Soit E m champ électrique composé de deux champs monochromatique E] et E2 ayant des

Pulsations ûJ| et GL12 respectivement avec :

E(;,t) = Ei {;,t) + £2 (;,t) = Ei {;)exp -jŒit+ E2 (;)exp -j02t+ CC (1.14)

Sachant que la po]arisatiûn non hnéaire d'ordre 2 s'écrit comme suit :

F(?, t}= E®x{2} Ë2{?,±) (1.15)

EnrçplaçantlechampEparsonexpressiondel.équation(1.14)dansl'équation(1.15)puisen développant et en simplifiamt nous aboutissons 1'expression suivante :

p(2) = £o.r(2)(Eï2 exp(-j2û.ït) + E22 exp(-j2ûÙ2t) + cc + {1.16)

2Ei E2 exp -j(œit + ûJ2t) + CC +

2Ei E;exp -j(ûJit - ùJ2t) + CC +

2Ei E± + 2E2 E±

L'apparition de temes enexp(-j2oit) et exp(-j2œ2t) renvoient au phénomène de dédoublemŒt de fféquence étmt domé que les fféquences 2a)i et 2Œ2 n'étaient pas présents dans le champ initial. De même l'apparition du terme exp -j(ûiit+ ûD2t)renvoie au phénomène de somme de fi.équences. Et enfin un teme en exp-j(œit-ûJ2t), teme qui représente le phénomène de génération de la pulsation différence.

D'autre temes apparaissent, qui sont 2Eï EÏ + 2E2 E2* représentent l'onde à la fféquence

zéro. Des charges électriques sont concentrées sur les faces du cristal perpendiculaires à la direction de polarisation de l'onde de pompe. En résumé, un champ électrique statique est créé: c'est le principe de la rectification optique.

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1.7 Efficacité des effets non-Iinéaires

11 ne suffit pas d'avoii- un milieu non-linéaire pour voir des effets non-1inéaires apparaitre. 11

faut que certaines conditions concemant le milieu lui-même et la lumière le traversant soient

vérifiées.

1.7.1 L'accord de phase

Une des conditions les plus importantes devant être vérifiées, l'accord de phase entre la source de rayomement et les ondes générées. Un désaccord très £rible peut entrainer une très

forte baisse de l'efficacité des effets non linéaires obtenus, il y a divers moyens de réaliser cet accord de phase (biréffingence type 1 et 11, quasi accord de phase. . .). Nous verrons tout cela de mamière plus détaillée lors du chapitre 11.

1.7.2 Source LASER

La ]umjère inadiant le mi]].eu doit être assez jntense pou pouvojr vojr des phénomènes non linéaires apparaiti-e. L'intensité du champ électrique excitateur ne doit pas être négligeable devant le champ intra-atomique tel que E = 10ïï V/m. Un Laser impulsionnel peut répondre à ces critères

1.7.3 Les matériaux uti]isés

Les caractéristiques du mjlieu jouent un très grand rôle dans l'efficacjté des effets non linéaires obtenus. Parmi les paramètres les plus importamts :

• Non centro-symétrie du milieu (phémomènes non linéaire du deuxième orire) :

il est intéressamt de signaler à ce point que seuls les matériaux non centro-symétriques possèdent une non linéarité d'ordre deux. Pour les milieux crista]lins,

la théorie des groupes pemet de classer les cristaux en 32 classes qui dépendent de ce

qu'on appelle ]a symétrie de groupe ponctuel du cristal. Une fois les éléments *]k(2)

déteminés, il est possible de trouver les combinaisons de polarisation pour le fàisceau

pompe incjdent et le fàisceau créé à la fi-équence double. La symétiie d'inversion est

une propriété de symétrie vérifiée par les cristaux centro-symétriques appartenant à 11 des 32 classes cristallines. Pour ces milieux qui possèdent un centre d'inversion, la susceptibilité non-linéaire du second ordre est nulle, donc la réponse non-linéaire du deuxième ordre d'un matériau centro-symétrique est rigoureusememt nulle

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• Des coefficients non linéaires liés au tenseur de susceptibilité et au coefficient

non linéaire effectif tr:;}) élevés : pou une direction de propagation et de

polarisation bjen déteminées, une va]eur effective du coefficient d[.Lnotée deff, peut être définje afin d'estimer l'efficacité relative des processus non linéaires du deuxième

ordre. Le calcul du coefficient effectif pour chaque classe de cristal a été présenté par Mdrinter en 1965 [6,7]. n montre ainsï que, pom la classe de cristaux 3m dans le cas

d'une polarisation de type 1

def f = d3i stn © - d22 CoS © stn 3q}

Pour le cas d'une polarisation de type 11

deff = d22 COS ©2 . CoS3p

(1.17)

(1.18)

La valeu de dgff a un impact directe sur l'efficacité des phénomènes non linéaire d'ordre 2

• Une fenêtre de transparence étendue dans le domaine d'application • Un seuil dedommage laserélevé

• Des bonnes stabilités chimiques, thermiques et mécaniques • Une croissance cristalline aisée

1.8 Types de milieux

1.8.1 Milieux isotrope§

Les propriétés optiques d'un milieu isotrope (par exemple les milieux amoiphes tels que le

verre) sont toujours les mêmes, quelle que soit la direction de propagation des rayons lumineux qui le traversent. Le vecteur déplacement électrique D est parallèle au champ

électrique appliqué E, quel]e que soit l'orientation de ce champ. n existe une relation de

proportiomalité entre le champ appliqué et la polarisation induite dms le matériau par ce champ quj est domé par l'équation (1.1) u précédemment daiis ce chpitre. Dans le cas d'ui

cristal isotrope, la suscçptibilité x est un scalaire.

L'induction D devïent alors :

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£rest la constante diélectrique du matériau telle que

8r-1+x _(1.2)

Ces aristaux n'ont qu'un seul indice de réfi.action optique n. Leur ellipsoi.de des indices est une sphère, pour laquelle il existe une infinité d'axes propres égaux. Les trois directions

cristallographiques sont équivalentes et orthogonales. n s'agit des groupes cubiques, où les

composamtes diélectiques sont toutes égales (£x= £y= €z= €)

Pami les mi]ieux isotropes, on peut citer les cristaux aymt une structure cubjque

Figure 1.7 : Exemple de structure cristalline isoti.ope cubique

1.8.2 Milieux anisotropes

L'existence des milieux amisotropes a été mise en évidence en 1669, par Erasme Bartholin qui

observa un dédoublement d'objets regardés à travers un cristal de calcite (ou spath d'Islmde).Le plus souvent, un cristal présente une structure géométrique avec des surfaces plames et des angles qui se répètent. Dans un milieu homogène anisotrope, la densité de

courant J. et la densité de charge sont nulles. En présence d'anisotropie, la polarisation induite par le champ E n'est plus parallèle à celui-ci. Elle se décompose alors selon les axes du

système en fonction des coordomées j du champ [8]: Pi - €oEj xijEj

(1.20)

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Ég!±î_non-linéaire : as_Dect fléoriciue et exDérimental

#£jest le tenseur de susceptibilité électrique.

Nous avons Eo[1 +¥£j] = [E£j] (1.21)

De même, le vecteur de déplacement électrique D n'est plus parallèle au champ E. n existe

àlors me relation tensorielle entre les deux gramdeurs :D = [€]E

Où[€]estletenseupemittivitéoutenseudiélectrique.C'estuntenseurderang2.

Quelle que soit la symétrie,€£,. est toujours dïagonahsable dams un repère spatial orthogonal, appelérepèrecristàllophysique.LesvaleurspropresdecetenseurSont£jr,€,,£z.

Grâce à ce repère on passe d'un tenseur diélectrique de 9 élémeiits, a m tenseur diélectrique de 3 éléments diagonaux coinme suit :

(1.22)

Au sein du trièdre cristallophysique (X, y, Z), Ia direction de propagation d'une onde est

décriteparlesangles(©,¢).Parlasuite,nousutiliseronstoujourscerepère.

Z

Figure1.8.DéfinitiondurepèrecristallophysiqueX,Y,Zetdesanglesassociés[9].

Pou tme direction de propagation domée k, il existe deux vàleus d'indice J?, donc deux valeus de Æ{Jî). Aux de" valeurs de Æ¢) coHespondent deux directions pn.vi]égiées potm le vecteur D, notées D'et D", peipendiculaires à k et orthogonales entre elles, qui correspondent

aux directions suivamt lesquelles me onde plane se propage sans défomation dams le milieu.

Ces directions sont les "lignes neutres" du matériau pour une direction domée du vecteur

d'onde.Lemilieupossèdeainsideuxplansdepolarisationorthogonaux.Lavitessed'unrayon

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1uminetK dépend donc de la direction iritiale de ce rayon. La surface d'onde est alors un

empsoïde, dit E//zPsoj.de cJes z.#c7z.ces. Celle-ci pemnet de camctériser les lfgnes neutres du

matériau et de construire géométriquement les vecteurs D'et D' '

-g-.--,.,-,--,----,-x.*¥

r+

Figure 1.9. Ellipsoi.de des indices dans m milieu amisotrope [9]

L'empsoïde des inŒces est la surface décrite par ]'ensemble des pojnts M te]s que :

D

" = 7LÏF

Onpeutréécrirecetteéquationenladécomposamtsulesdifférentescoordonnées(x,y,z)de

l'espace :

Ë+Ï+£= 1 (1.24,

valeursdesdemiaKessontlesindicesprincipai]xducristal,notés#„JÇ.vet#z.

L'intersection du plm d'onde avec l'ellipso.i.de est une ellipse dont les aKes correspondent am dirœtions des lignes neutres. Les vàleurs des indces de réfraction pou chaque vecteur D'et D"sont les longuems des demi-axes de l'ellipse et sont notés n' et n", comme l'illustre la figure 1.9. Dams le cas général, les indices des lignes neutres n' et n" ne sont pas égaux aux

indicesprincipaux#jg,#pet#z.LorsquelevecteHd'ondeestpaŒ.allèleàl'mdesaxesdurçpère,

par exemple à l'axe z, ]e plan d'onde et par conséquent l'empse d'intersection sont contenus dans le plan perpendiculaire au vecteur d'onde, c'est-à-dire ici le plan (x,y).

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11 existe cependant deux cas particuliers pemettant de diviser les milieux anisotropes en deux catégories : les milieux biaxes et les milieux uniaxes.

1.8.2.1 Milieux Uniaxes

Ces milieux possèdent un axe optique et deux indices optiques différents n'et n' '. Les surfaces d'indices de réfiaction foment des ellipsoïdes de révolution, dont deux des trois axes

principauxsontégaux.Lescomposantesdiélectriquessuiventalorslesrelations:€]Ç=£yet€y± € . Par convention, 1'axe cristallophysique Z est confondu avec l'axe optique

Z

Le plam principal est le plan contenant à la fois l'axe optique et le vecteur de propagation de

l'onde qui traverse le milieu étudié. Les axes principaux sont les axes diélectriques ou cristallophysiques de ces cristaux (X, y, Z).

Deux types d'ondes sont ainsi définis :

• l'onde ordinaire est polarisée perpendiculairement au plan principal, dont rindice est noté # . Elle se propage à vitesse constmte dans le matériau telle que Vo = £

071o

• l'onde extraordinaire est polarisée dans le plan principal, dont l'indce est noté # . Sa

Ét

vitesse varie en fonction de l'angle 0, entre la direction de propagation de cette onde et

l'axe optique.

Dans un milieu uniaxe, 1e tenseur diélectrique devient alors :

(1.25) Pou une onde se propageant dans une direction donnée avec un amgleGde l'axe Ûptique, l'indjce de réfaction extraordinaire associé a cette onde est domée par la relation suivante :

#+ÏÏ¥

La biréffingence peut être positive, si n"est parallèle à l'axe optique, no<neou négative, Si

n"estperpendiculaireàl'axeoptique,no>ne

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1.8.2.2 Milieux Biaxes

Ces milieux possèdent deux axes optiques et trois indices optiques distincts (n'> n"> n"'). L'ellipsoïde d'indices n'est plus de révolution. De même, les composantes diélectriques de ces matériaux sont toutes différentes (€r ± £y ± £z).ce qui implique que le tenseu diélectrique

devÉŒt tel que décrit dams (1.22).

Les systèmes de symétrie satisfrisant ces conditions comportent des miroirs ou des axes 2, soient les systèmes orthorhombique, monoclinique et triclinique. Par analûgie avec les cristam

uniames, 1a biiiéfiingence des cristaux biaxes peut êŒ positive, lorsque l'indice maximum n' suit la direction de la bissectrice de l'mgle aigtL entre les deux axes optiques ou négative; lorsque n'est confondu avec la bissectrice de l'mgle obtus, entre les deux axes optiques.

Pour un milieu biaxe l'indice extraordinaire dépend de G et de p contrairement au milieu

uriaKe. Hëxagænæ* Teüag®næf üniË#Îa! ær*Sü gg « 8æ Ûægaü=+¢ 3rir#Hmgffi£Ê

Figure 1.10 : Tableau regroupant différemtes structures de matériaux, les classant selon leur anisotropie et leurs tenseurs diélectriques

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1.9 Conclusion

Au terme de ce chpitre, nous avons expliqué brièvement ce que sont un milieu optique

linéaire et non linéaire, 1eus propriétés principales et leurs caractéristiques. Nous avons également exposé l'origine des non linéarités. 11 s'est avéré que ce phénomène est dû à la

fomation des dipôles électriques et leurs oscillations à la fréquence de la source lumineuse inadiant le milieu, à condition que le faisceau lumineux en question soit assez intense. Nous avons détemiiné à partir des équations de Maxwell l'équation d'onde non- linéaire et mis en évidence l'apparition d'un nouveau teme source renvoyant à la non linéarité. Egalement, au cours de ce chapitre, ceriains phénomène non linéaires d'ordre 2 en l'occurrence, la génération de la seconde hamonique, la somme de fi.équence, la différence de fréquence et la rectification optique, ont été abordé. En effet, certaines conditions doivent être respectées pou que l'efficacité des phénomènes non hnéajres naturellement frible soit plus importante.

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Chapitre 11 :

Modélisation de

l'accord de phase

dans les matériaux

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11.1. Introduction

Pamj les conditions à respecter vues dans le chapitre 1 concemant l'obtention des effets non-linéaires pou une intensité non négligeable et pou une efficacité optimale, 1a condition d'accord de phase eiitre ]es ondes générées. En effet, un frible désaccord peut réduire

drastiquement 1'intensité de l'effet non linéaire qu'on a voulu générer à la base.

Le chapitre 11 de ce inémoire sera consacré à la modélisation de l'accord de phase dans les matériaux anisotropes. Nous expliciterons ]es différentes équations que supporte le modèle en question.

II.2.Accûri de phase

ll.2.1.Inteipréatation de l'accord de phas€

Nous avons souligné lors du chapitre précédent que l'accord de phase est une condition nécessaire pour obtenir des interactions non linéaires d'ordre deux efficaces, dans le cas de la génération de la seconde hamonique par exemple, supposons qu'une onde monochromatique

de pulsation Œ se propage dams le milieu non linéaire tel que :

E--Eoe-ikîeitùt

L'onde incidente de pulsation cÙ se propage dans le milieu possédant un vecteu d'onde k tel

que:Æi=±etunevïtessedephaseï7w=;=_C C

E11e génère sur son passage une onde réponse de pulsation œ qui se propage à la même vitesse de phase. Cela donne l'onde totale de pulsation Œ se propageant dans ]e milieu. Su son passage, l'onde incidente génère aussi une onde de pulsation 2Œ comme vu dans le précédent chapitre dans l'équation (1.13). En développamt le teime source nous obtenons une onde

produite ayant une pulsation 2 œ et un vecteur d'onde k2 = ÏÎË se propageant avec la vitesse

C

de phase Üw = ±. A cause du phénomène de dispersion, on a généràlement 7t2®± ÏiŒ et donc des vitesses différentes pou l'onde incidente et pour 1'onde de fféquence double. Cela signifie que l'onde de fféquence double est en avance ou en retard par rapport à 1'onde qui lui dome naissance, il y a un désaccord de phase entre ces deux ondes, qui empêche

l'interférence constructive entre 1'onde de pulsation 2 Œ créée en un point et celle arrivant en

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CLhai)itre 11 _{MQdLé_1_isation de l 'accoi.d de phase daiu les matériaux anisotroDes}

ce point après avoir été créée un peu plus en ainont. Plus exactement, à partir de l'entrée, le déphasage enti-e ces deux ondes augmente jusqu'à atteindre n où l'interférence est

destructive (en ce point, l'intensjté de l'onde de fréquence double est nulle), puis continue

d'augmenter jusqu'à atteindre 2Œ où l'interférence est constructive (en ce point, l'onde de fréquencedoubleauneintensitémaD[imale).Pujslesinterférencesdiminuentjusqu'àcequele déphasage atteigne 3 7i, puis raugmentent alors jusqu'à un déphasage de 4 7[...etc. Ch peut

interprétercelacommelefaitqu'audébutrondeincidentecèdedel'énergiepourcréer1'onde de fréquence double, qui une fois créée, cède à son tou de l'énergie à l'onde incidente et ainsi de suite. Ce déphasage a un impact direct su Fjntensité du frisceau lumineux à 2 ft). Pour mettre en évidence cet impact, nous supposons que ]e rayon incident se propage selon l'axe oz

et nous nous mettons dans le cas d'une oi]dg a enve]oppe lentement variable (SEWA :Slowly

EvolvingwaveApproximation)[10].

Nous obtenons à partir de cette approximation 1'équation suivante :

±=#Aîexp(-iAkz)

dz (11.2)

Où:

4i : Enveloppe du champ incident

A2 :Enveloppe du champ rayomé a la pulsation ûJ2 = 2 Œ AÆ:Déphasageentrel'ondeincidenteetl'onderayomée

Dans le cas de la génération de seconde hamonique Ak = Æ2 -2Æi

En intégrant et en simplifiant l'équation (11.2) on aboutira à l'équation de l'enveloppe de l'onde rayonnée en fonction de z suivante

.a,zJY(2,g-j¥

27L2CAk

AÎsin±

11 est clair que l'amplitude de l'enveloppe est à son maximum pour Ak = 0 et décroit très vite

dès que sa valeur augmente.n faudrait que la vitesse de phase des ondes incidente et celle des

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ondes doublée soit la même. Nous aurions alors m accord de phase. Cela est réalisable de diverses manières.

11.2.2 Méflodes de réalisation de l'accord de phase 1 La binéffingence

La condition d'accord de phase peut être satis£rite via la biréffingence d'm certain nombre de cristaux, en effet la plupart des matériaux non centro-symétriques ayant un j¥(2) sont également biréfiingents. La biréffingence cffactérise l 'évolution de 1'indice de réfi.action avec la direction de propagation et de polarisation exù.aordinaire ou ordinaire de I'onde, désignée respectivement par les ïndïces e et o.

Cette propriété est intimement reliée aux caractéristiques cristallographiques du cristal. Par ûexemple, un système cub£que est optiquement jsotrope et iie présente pas de bjréfirigence. Dans un cristal uniaxe (trigonal, tétragonal ou hexagonal) positif (ne>noJ ou négatif (ne< nb), la condition d'accord de phase impose des directions de propagation et de polarisation particulières pour les ondes en interaction. n existe alors deux types d'accords :

-Letype1,pourlequellesdeuxondesincidentescoupléesontlamêmepolarisation

-Le type 11, pour lequel les deux ondes incidentes couplées ont des polarisations perpendicülaires.

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FigureH.1.Types1et11d'accorddephasepourlagénérationdelasecondehamonique[9].

n est important de noter que cet accord de phase peut être réalisé en jouant soit sur l'angle d'accord de phase, soit sur la température du cristal.

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ChaDitre 11 _{Modélisation de l'accord de Dhase dans les matériaux anisotroDes} • Le quasi-accord de phase

11 est généralement réàlisé dans un cristal ferroélectrique. La technique consiste à inverser l'm des axes cristamns, le plus souvent l'axe c, périodjquement le long de la propagation des ondes. Cette inversion revient à modifier le signe du coefficient non-1inéaire. Elle peut donc compemser le désaccord de phase (AÆ:;É 0). Techniquement, il suffit pou inverser le signe du coefficient ncm-1inéaire d'altemer périodiquement le signe de la polarisation spontanée du

cristal ferroélectique.

Figure 11.2. Quasi accord de phase [11]

11 existe plusieurs techniques pour implmter une structure périodique dans un cristal ferroélectrique [9]. Pami les plus connues sïgnàlons :

- l'inversion périodique de la polarisation spontanée durant la croissance cristalline selon la méthode de Czochralski,

- l'application d'm fort champ électrique à travers m masque lithographique déposé à la suiface du cristal.

1 Utilîsation des cristaux photoniques :

Une conversion de fféquence efficace s'obtient, en utilisant une valeur élevée de #2 avec une condition d'accord de phase vérifiée. Cçpendant, dans certains matériaux, les semi-conducteurs llI-V par exemple, où on peut trouver des coefficients non linéaires très élèves, mais la condition d'accord de phase par biréfirigfflce est impossible, car cette biréfiirigence ne peut pas compenser la djspersion des indices de réflaction. C'est là qu'apparaît l'intérêt des cristaux photoniques. Nous àllons voir que la structuration de la matière pemet de réaliser artificiellement l'accord de phase.

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Mo_déüsation de l'accord de _rihase dans les matériauK anisotroDes Matériau isotrope Accord ar biréfrin Milieu uniaxB Cr,-tique Milieu BiaxK=s Non critique 5tructuration périodique de la matière

CrÊtiqt+e : Seton leE aqgle€ 0 et ¢

Non Critique : selon b teinpérat`r€ T

Tvpe 1 5L_es d€Üx phot"s ifKide«s

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Tirpe fl : les deux phoœns i":idems

Polarl3ésdem.nièr€gthqgon3f.

FigureH.3.schémarésumantlesméthodesderéalisationdelaconditiond'accorddephase dams les différents types de matériaux

Au cous de ce mémoire, on ne s'intéressera qu'à la réalisation de l'accord de phase par biréfiingence.

11.3 ModelisatÉon mathématique de I'accoiid de phase

Dans ce mémoire nous étudierons la réalisation de l'accord de phase dans différents matériaux pou l'obtention de phénomènes non linéaires, 4 matériaux qui ont des structures différentes. On détem£nera ]es angles thêta et ]es températures T qui pemiettemt d'avori m accord de phase dans les matériaux uniaxes Œiobates de Lithium, Béta-Borate de Barium), et les angles thêta (0) et phi (p) pour les matériaux biaKes (Titanyl phosphate de potassium, Yittriun

Ckoborate de càlcium), et ce pou les phénomènes de génération de seconde hamonique et

générat£on de la fréquence somme. IL3.1 Milieux uniaxes

11.3.1.1 Niobate de Lithium (LN)

Le Niobate de Lithium est un matériau ayant une très grande importance dans le domaine des grides d'onde optiques. C'est un diélectrique artificiel qui n'exjste pas dans la nature. Découvert en 1 949, le Niobate de Lithium a été synthétisé sous fome de monocristal et étudié en détail chez Bell Laboratories.il en a résulté pas moins de 5 articles en 1966 sur la structure et les propriétés du matériau. C'est un cristal ayant me structtme trigonal [ 12] .

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ChaDitre 11 _{M_Qdélisation de l'accoi.d de _Dhase dam les matériaux anisotroDes}

• Equations de sellmeier

Le Niobate de Lithium est un cristal uniaxe négatif dont les indices ordinaire et extraordinaire

sont domés par les équations de Sellmeier suivamtes (0.4mii < À < 3.05Hm, 0°C<r<500°C)

[13'14]: n3 = 4.9048 + 2.1429 x 1o-8(r2 -885o6.25)

+

+

• Génération de seconde harmonique (Type l)

Pour les milieux uniaxes, on calcule G et la température pou les longueus d'onde ou les

équations de Sellmeier sont valides.

Soit :

Ak = k2 - 2ki

Avec

ki=Ë¥stk2=2%

C

En remplaçant (11.7) dans (11.6) et en simplifiamt on obtient :

Ak-=%(n2m-nŒ)

(11.7)

(H.8)

Pou avoir un accord de phase AÆ = 0 soït n2. -Ji„ = 0. Pou cela nous devons exploïter la biréffingence du Niobate de Lithium.

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MQ£délisation de 1 'accord de Dhase dans les matériaux anisotroDes

En utilisant l'équation vue dans le chapitre 1 définissant l'indice pour 1'onde extraordinaire en

f____ .... ^,T^.` i COS2G . Sin20

--- ~---` -.-. '.ît3(O) n3(Â/2,r) ' ti3(A/2,T}

Œ 7i3 (À/2, 7) et 7i3(À/2, 7') sont donnés directement par les équations de Sellmeier, et dans le cas de la génération de seconde hamonique de type 1, on pose : 7i3(O)= 7i3(À, r), étant

donné que pour ]e cas du TYPE 1 nous avons de" ondes ordinaires qui doment une onde extraordinaire ; o+o=e

En développamt et sjmplifiant 1'équation (1.24) nous aboutissons la fomule domamt 0

suivamte :

•= =T::__ i==== =

-Ainsi, pou chaque longueur d'onde À et pour chaque température T nous pouvons déterminer l'angle 0 pou lequel l'accord de phase est réàlisé.

• Génémtions de seconde harmonique (Type ll)

Comme pou le cas de la génération de seconde hamonique de type 1, nous commençons

depuis l'équation (11.6), cependant, pour le type 11, 1es deux ondes incidentes entrant dans le

processus de génération de seconde hamonjque sont polarisées perpendiculairement tel

que l'équation (H.6) devient :

Œ.7lo(À) û,.ne(8À)

CC

En posant AÆ = 0 et en simplifiant on aboutit à l'équation suivante :

±(no(Â,r)+ne(g,a,r))=ne(G,Â/2,r)

(H.10)

(11.11)

Dans ce cas, il est impossible de trouver de solution pour s directement nous ne pouvons pas la déteminer de façon analytique, mais seulement pas une méthode numérique.

En utilisant l'équation (1.24) et en remplaçant dans 1'équation (11.11) nous aboutissons alors à

la fomule suivamte :

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MQ£d_élisation de l'accord de phase daiu les matériaux anisotroDes

ÎËË¥ + ËË¥

ti3(J,7') . îi3(1,T)

m;i.--..u (11.12) • Génération de la somme de flréquence {Type l)

Dans le cas de la génération de la somme de fféquence, nous supposons que deux ondes de

Pu]sations tiji et ûLi2 et de longueurs d'ondes Ài et À2 respectivement interaÈssent pour prodrire une onde de fféquence ûJ3 = Œi + fü2 et de longueur d'ondeÀ3, le désaccord de

phase est exprimé alors de la manière suivante :

Ak = k3 -{ki + k2) --®===±±± -(=1:=±:±± + ±±Î=±±±:) (I|.|2}

Pou le cas de l'accord de phase AÆ = 0:

±ne(h3,T,8)=±no{hi,T)+±2no(h2iT)

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(11.13)

En remplaçamt la vàleur de 7ie(O) à l'ajde de l'équation (1.24) et en simplifiant nous

déteminons amalytiquement la valeur de 0 pou chaque valeu de Ài, de À2 et de T grâce à la

relation suivante :

---.--. [-E--Ë-- -" --u

(11.14)

• Génération de la somme de fréquence (Type ll}

La génération de la somme de fi.équence de type 11, les ondes incidentes ont des polarisations perpendiculaires, cn démarrant de l'équation (11.12) et en supposant que l'onde a la loiigueur d'onde À2 est cel]e polarisé selon l'onde extraordinaire, nous aboutissons à l'équation suivante :

±necÀ3,T,8) = ±no{hi.T) + ±no(h2,T, e) (II.15)

Comme dans le cas de la génération de seconde hamonique de Type 11, l'équation ne peut être résolue analytiquement, mais seule une méthode numérique peut déteminer l'angle

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ChaDitre 11 _{Modélisation de l'accord de i]hase dans les matériaux anisotroDes}

fJréalisant l'accord de phase, en développant l'équation (11.15) à l'aide de l'équation (1.24) nous obtenons l'équation suivante :

±.no{hllT)+±2l cos2(8) ËÏËiÊÏ cos2(9) ï,3(À3.7`) 11.3.1.2 Béta-Borate de Baryum (880)

Le béta-borate de baryum a été découvert em 1984 par un groupe de chercheurs chinois sous la direction du professeu Chumgtiam Chen à l'institut de recherche de la structme de la matière a Fujian, Academiasinica Œuzhou,PRC) [ 15]. Ce matériau a été cultivé grâce à une technique à partir d'une masse fondue à haute température contenant le bore, le baiymi et les oxydes de natrim a T900 °C [16,17].

• Equations de sellmeier

Le béta-borate de baryuin est un cristal uniaKe négatif, ses indices de réfi.actions ordinaire et

extraordinaire sont régit par les équations de de Sellmeier suivante (à T=20°C, 0.4Hm < À <

2.2Lm) [18,19] : no=

ne=

Ces équations sont valables pour une température de 20°C. Les ind£ces 7ioet Îte pour une

température T donnée sont càlculés via la forinule suivante :

no(À,r)=n2o+(r-20)¥

Avec G-19.3007.10-6 ,H ±34.9683.10-6 ,R=À2/ [À2-(0.0652)2]

(11.19)

Pour 1'indice de réfraction de 1'onde extraordinaire 7ie 1'équation (H.19) reste inchangée

seules les coefficients G,H et R deviennent

G= 141.421.10-6, H=110.8630.|0-6 R= À2/ [*z -( o.o73o)z]