Extraction des paramètres cosmologiques et des propriétés de l'énergie noire

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propriétés de l’énergie noire

Sebastian Linden

To cite this version:

Sebastian Linden. Extraction des paramètres cosmologiques et des propriétés de l’énergie noire.

Cos-mologie et astrophysique extra-galactique [astro-ph.CO]. Université de Provence - Aix-Marseille I,

2010. Français. �tel-00473183v4�

Extra tion des paramètres osmologiques

et des propriétés de l'énergie noire

Thèse présentée par

Sebastian Linden

pour obtenirle grade de

Do teur de l'Université de Proven e

Spé ialité: Physique Théorique, Cosmologie.

Soutenuepubliquementle19avril2010,devantlejury omposédesMM.:

Aurélien Barrau LPSC (Grenoble)

Alain Blan hard LATT (Toulouse)

PierStefano Corasaniti LUTH (Paris)

Jean-Paul Kneib LAM (Marseille)

Christian Marinoni CPT (Marseille)

André Tilquin CPPM (Marseille)

Jean-Mar Virey ( Dire teur dethèse )

Rapporteurs:

Préfa e

C

e manus rit est onstitué de deux parties. Dans la première partie on expose les faits théoriques et observationnels qui établissent le modèle

osmo-logique standard, dit modèle

ΛCDM

, après avoir développé quelques étapes historiquesqui ymenèrent.On détaille lesdiversessondes osmologiquesetles

problèmes liésàladétermination de lanature dela omposantein onnue,dite

`énergienoire'.Onpasseensuite,dansladeuxièmepartie,ausujetdemontravail

dethèse,àsavoirl'extra tiondesparamètres osmologiquesetdespropriétesde

l'énergienoire.Onytrouvel'ensembledesrésultatsquej'aipuobteniràpropos

desquestions on ernant :

1. les risques d'introdu tion de biais ausés par l'utilisation d'une appro he

purement inématique à l'étudede la osmologie,

2. la validitédu paramétrage de l'équation d'état de l'énergienoire de

Che-vallier,Polarski, etLinder,et

3. les eets d'une évolution en redshift de la magnitude apparente des

Su-pernovae detype Ia.

Les résultats 2. et 3. ont aussi été publiés sous les référen es Linden & Virey

(2008),Phys.Rev.D,78,023526,etLindenetal.(2009),A&A,506,1095-1105,

respe tivement.

J'aipuee tuermontravailsousladire tiondeJean-Mar Vireyàquij'adresse

mes remer iements les plus haleureux. Mon travail etmon séjour à Marseille

ont éténan éspar desboursesdere her he de la`Gottlieb Daimler-und Karl

Benz-Stiftung',de l'o e allemand d'é hanges universitaires (DAAD),et de la

Notes

1.Aproposdesindi es etdela onventiondesommation: Lesindi es

gre s

{α, β, γ, · · · }

prennent les valeurs

{0, 1, 2, 3}

. I i, `

0

' designe la oordon-néetemporelle

x

0

,et`

1, 2, 3

'désignentlestrois oordonnéesspatiales

x

1

_{, x}

2

_{, x}

3

.

Quandné essaire,letriplet



x

1

, x

2

_{, x}

3

seradésigné par letrive teur position,

~r

,et nousaurons

~v := ˙~r

le trive teur de vitesse. Nous allons aussi nous servir duve teur positionunitaire

~n := ~r/|~r|

.

Onutilisela onventiondesommationd'Einstein, 'estàdirequel'onsommera

sur toutes les paires d'indi es sans que le symbole de sommation,

P

,

n'appa-raisseexpli itement. Soitpar exemple :



P

µρ

µσ

=

3

P

µ=0

P

µρ

µσ

, 

a

ii

=

3

P

i=1

a

ii

.

Lesindi es latins

{a, b, c, . . . , i, j, k, . . . }

prennent des valeursselon le ontexte oùils apparaissent.Aussi:



˙

{}

désigne la dérivée de

{}

par rapportau temps propre

τ = x

0

_/c

,



{}

···

··· ,µ

désigne la dérivée partiellede

{}

···

···

par rapportà

x

µ

,et 

{}

···

···;µ

désigne ladérivée ovariante de

{}

···

···

par rapportà

x

µ

.

2.Notations parti ulières: Nousemploierons lesnotations suivantes :



≡

exprime une identité, 

:=

exprime une dénition, et 

!

=

exprime une égalitéimposée(une ondition).

3.A proposdes gures: Laplupartdesguresontétédessinéesave

ORI-GINPRO8

etMATHEMATICA

,

sauf ertainesguresextraitesdire tement

d'arti les, et les Figures 1.4, 2.4, 2.5 (droite), 2.7 et 2.8, qui ont été dessinées

ave SMARTDRAW2008

et/ouGIMP

.

4.Suivant un bel usage je présente l'année où j'ai ni e manus rit de façon

ryptée. 2

1. Lequatrain surlapremièrepageestattribué au élèbre mathémati ienetpoèteperse

OmarKhayyâm(

†

1132).Monteil (2004,p. 78) endonne latradu tion suivante: Heureux eluiquisaisresterunhommelibre,etsaitse ontenterdessimplesdonsdeDieu,quiretient

haquejoursonsouepeuàpeu:boireetaimersansfrein,n'est- epas, ela,vivre?

Préfa e iii

Notes v

I Cosmologie 1

1 Brève histoire de la osmologie 5

1.1 La démysti ation du Monde . . . 5

1.2 La modélisation duMonde . . . 7

1.3 L'universnewtonien . . . 10

2 Le modèlestandard 15 2.1 Les basesthéoriques . . . 15

2.1.1 Lamétrique deRobertson-Walker . . . 17

2.1.2 La inématique desuniversRobertson-Walker . . . 18

2.1.3 Ladynamiquedes univers Robertson-Walker . . . 23

2.2 Les modèles deFriedmann . . . 28

2.3 Les sondesobservationnelles . . . 31

2.3.1 L'é helle de distan e . . . 31

2.3.2 Supernovae . . . 35

2.3.3 Fonddius osmologique . . . 40

2.3.4 Os illationsa oustiques desbaryons . . . 45

2.4 Valeursdes paramètres osmologiques . . . 46

2.4.1 Lemodèle

ΛCDM

. . . 46

2.4.2 Lesparamètres de densitéetdel'énergie noire. . . 49

2.4.3 Ladynamiquede l'énergie noire . . . 51

2.4.4 Résultatsave SNe+

R

+

A

. . . 51

2.5 La dégénéres en e géométrique . . . 54

3 Modèles pourl'énergie noire 59 3.1 La Constante Cosmologique . . . 59

3.2 L'énergie du vide . . . 60

3.3 Modèles deQuintessen e . . . 61

3.3.1 Lesmodèles `tra ker' . . . 63

3.3.2 Lesmodèles `thawing' et`freezing' . . . 64

3.4.1 Modèlede Lemaître,Tolman, etBondi . . . 66

3.4.2 Problème demoyenne, et`ba krea tion' . . . 67

3.4.3 Test duPrin ipe Cosmologique . . . 68

3.5 Modi ationsde laRelativité Générale . . . 68

3.6 Eetsastrophysiques . . . 71

3.7 Paramétrage del'énergie noire. . . 71

3.7.1 Paramétrage deChevallier,Polarski,et Linder. . . 71

3.7.2 Paramétrage dutype `step' . . . 75

II Extra tion des paramètres osmologiques 79 4 Cosmographie 83 4.1 Paramètres osmographiques . . . 84 4.2 Dépendan e demodèle . . . 85 4.3 Risquede biais . . . 89 4.4 Résumé . . . 91 5 Test du paramétrage CPL 93 5.1 Signi ation desparamètres CPL . . . 93

5.2 Stratégie del'analyse . . . 94

5.3 Illustration duproblème . . . 97

5.4 L'espa edes paramètres

(z

t

, Γ)

. . . 99

5.4.1 Lesmodèles ave

w

i

= 0

et

w

f

= −1

. . . 99

5.4.2 Lesmodèles ave

w

i

= −0.8

et

w

f

= −1

. . . 103

5.5 L'espa edes paramètres

(w

i

, w

f

)

. . . 104

5.6 Confusionave desmodèles

w

x

= const.

et

ΛCDM

. . . 105

5.7 Stabilité desrésultats. . . 107

5.8 Résumé . . . 107

6 Evolution des magnitudes des Supernovae 109 6.1 Motivationde l'étude. . . 109 6.1.1 Eetsintrinsèques . . . 110 6.1.2 Sous-populations . . . 111 6.1.3 Eetsextrinsèques . . . 111 6.2 Paramétrages de l'eet . . . 112 6.3 Données réelles . . . 113 6.3.1 Contraindre l'évolution . . . 113 6.3.2 Diagramme deHubble . . . 117 6.4 Données simulées . . . 119 6.4.1 Illustration duproblème . . . 120 6.4.2 Déte tabilité . . . 121 6.4.3 Risquede biais . . . 126 6.5 Dangerosité . . . 127 7 Con lusions 131

Appendi es 134

A Traitement de données 135

A.1 Distribution de

χ

2

. . . 135

A.2 Testde qualité del'ajustement . . . 137

A.3 Degré de onan e . . . 138

A.4 Matri ede Fisher . . . 140

B E hantillon prospe tif des SNe 143 Registres 147 Bibliographie . . . 147

Table desgures . . . 157

Listedestableaux . . . 159

Indexdesauteurs . . . 161

Brève histoire de la osmologie

Depuis

que lepremier des hommes y eûtposéson regard,les beautés

in-ouïes du iel ontinuent à fas iner l'observateur terrestre. Alors que tous les

phénomènes onstituant sonenvironnement dire t, sur terre, furent dès le

dé-but de sonpar ours de l'histoire à la portée de sessens etde sa manipulation,

les espa es inniment lointains du iel, remplis d'objets mystérieux de toutes

sortes, du puissant soleil à la lune hangeante, passant par les planètes et les

étoiles lantes, jusqu'aux étoiles les plus brillantes et à ette bande brumeuse

répandue sur l'intégralité du iel; es espa es éternels et divins devaient pour

l'homme resterun mystère in ompréhensible. Or, le iel était lelieu de

proje -tionsspirituelleset ommençaensuiteàêtrepeuplédesDieuxlespluspuissants

des ulturesan iennes.

1.1 La démysti ation du Monde

On ne s'étonne guère de trouver des des riptions du iel et de ses a teurs,

i.e.lesoleil, la lune, etles étoiles, parmi les touspremiers do uments é rits et

÷uvres d'artisanat. Il est inutile de vouloir faire le ré it des observations

é-lestesdetoutesles ulturesan iennes,onse ontentera i idemontrerlefameux

`disque éleste de Nebra', Figure 1.1, qui suivant Maraszek (2009) représente

le plus an ien do ument on ret des observations du iel jamais retrouvé,

da-tant d'environ 1600 avant l'ère de Jésus-Christ. Le disque montre un mélange

d'observations astronomiques(àsavoir lapleinelune, lanouvelle lune,les

équi-noxesetlespléiades),etd'élémentsartistiques(étoiles)etmythiques(lebateau

desoleil) ( f.Maraszek 2009).L'invention del'é riture par l'homme marqua la

n de l'époque où toute transmissionde onnaissan e et d'histoire devait faire

appel àlatransmission orale quiétait soumiseà desmanipulations introduites

in ons iemment (ou bien ons iemment) par les narrateurs. 2

Vinrent ensuite,

1. OurShangri-La,Knoper(2004).

2. Onvapourtants'aper evoirdanslasuitedel'histoirequemêmeainsilesmanipulations

nesontpointex lues. Onévoquei iledogmedel'universstri tementstatique,invariableet

éternelau-delàdelasphèrede lalune,promupendantdes siè lesparl'église hrétiennedu

Figure1.1:Photographiedudisque élestedeNebra,trouvéàNebraenSaxe-Anhalt

(Allemagne).

en Mésopotamie au deuxième millénaire avant Jésus-Christ, les débuts d'une

observation du iel plus pré ise et une roissan e umulée du savoir. C'est à

ette époque là que l'astronomie fut lapremière `s ien e' à être ex er ée à un

niveau onsidérablemt rigoureux ( f. par exempleLindberg1992).

L'émergen e d'uneobservation plusa ruedu iel etladé ouverte des

régulari-tésetdu`bien or hestré',etpasseulementdesmouvementsdansle ielmaisde

tousphénomènes naturels(telsquela hutelibre), permirent auxan iens gre s

depousserenavantle on eptdu` osmos', equiengre indiquele`bonordre'

ou `l'ordre de l'univers' (Robert2009). C'est i i, dansle on ept d'`ordre', que

setrouvelegrand ontrasteave lesper eptionsdumondedel'èremystique,où

ledéroulement des hoses etlasurviede l'homme étaientà partentièresoumis

àlavolontédesDieux,dontleshumeurs étaient supposéesinuençablespardes

a tes de bonne volonté de l'homme, maisrestèrent par dénition imprévisibles

etarbritaires.C'estdon leplusgrand dessu èsdespremierssavantsde notre

ulture d'avoir tiré l'homme de ette in ons ien ede soi-même, et de lui avoir

démontré sa apa ité à prendre son destin entre ses propres mains. Le haos

et l'anar hie des Dieux de l'ère mystique furent rempla é par un regard sur

le monde qui soulignait la ompréhensibilité des hoses. Cette ompréhension

pouvait notamment s'ee tuer grâ e à la pensée, mais surtout par des études

méti uleusesdu déroulement desphénomènes, and'en extrairelesrègles

aux-quelles es derniers sont soumis. A titre d'exemple, itons la prédi tion par

Thales de Milet d'une é lipse en l'an 585 avant Jésus-Christ, qui est devenu

légendaire grâ eà etexploit ex eptionnelqui futvite onnu (àl'époque)dans

lemondeentier,selonLindberg(1992). Laprévisibilitémontrait avanttoutque

ledestin mêmedu sipuissantsoleil,signe defor edivine, estsoumisauxrégles

non négo iables du `bon-ordre' de l'univers, et qui plus est, peut être ompris

par l'homme.

Il faut i i exprimer des doutes sur la apa ité de Thales à prédire une é lipse

ave les moyens d'observations réduits dont il disposait. Néanmoins ette

gendemontrebien e quenousvoulionssouligner dans ette première se tion :

quel'idée de larégularité et de la prédi tibilité du déroulement des hoses est

née vers 600 avant Jésus-Christ, ets'in rustera par la suite dans la pensée de

l'homme ( f.Kuhn2001).

1.2 La modélisation du Monde et le rle de la

géomé-trie

Commeonavudanslase tionpré édente,le on eptdu osmosausensd'un

univers`ordonné'plutt que haotiqueétait présent danslapenséedes ultures

d'Europe dès les premiers savants gre s. Alors que les modèles osmologiques

de Platon et d'Aristote restaient, du point de vue d'un osmologue

`moder-ne',très simplistes, onyretrouve ependant des ara téristiquesremarquables.

ChezPlaton on s'aperçoitnotamment qu'il onstruisit son osmosà partir des

prin ipes géométriques. Il onstruisità partir dutriangle lesuniques inq orps

tridimensionnelsauxsurfa eségales(polyèdresréguliers,Figure1.2),etles

iden-tiait ave les quatre éléments : le Feu (le tétraèdre), la Terre (le ube), l'Air

(l'o taèdre), l'Eau (l'i osaèdre), etle Cosmos entier (le dodé aèdre). Ainsi, les

élémentsdeviennent hangeables omme lesont les polyèdres, qui euxpeuvent

être omposés etdé omposés en triangle et/oud'autres polyèdres.En outre, il

dé ritl'univers ommeunesphèreautourdelaterre (unesphèreelle-même)sur

laquellesontxéeslesétoilesetoùsedépla entlesplanètes, lalune,etlesoleil.

La ontribution majeure d'Aristote à la osmologie, si on tente i i de réduire

sa osmologieen unephrase,est unedé ompositionde lasphère élesteen une

région inférieure, sous la lune, eten une région supérieure, au-delà de la lune,

ausujet delaquelle ilresta dogmatique sursonéternité et immobilité:

Le orps éleste est inaugmentable, inaltérable, impassible, éternel

enn. 3

Ce i inuen era la philosophie o identale pendant deux millénaires. Aristote

défendait ettesuppositiondestati itééternelleparl'absen e omplète

d'obser-vation desmouvements danslarégion supérieure:

Le sens le onrme aussi : jamais dans le passé, selon la tradition

et lamémoire, on n'avude transmutation dans ledernier iel tout

entier nidansau unede sesparties popres. 4

I i,Aristotesemble ependant entreren onitave saphilosophienaturelle :il

avaitpostuléquetouslesmouvementsfussentlinéairesettemporaires,etqueles

hoses fussentaltérableset orruptibles. Ainsi,ave Aristote,sinousobservons

dansle iel d'éternels dépla ements ir ulaires et uniformes, e i vient du fait

quele iel est onstitué d'autre hose quedesquatreélémentsterrestres :ilest

faitd'une inquième essen e,qu'Aristote nommaitl'`éther' 5

.

3. Aristote(1984,I,3,270a).Tradu tionsuivantFréreux&DeGandt(1992).

4. Ibid.

Figure1.2:Les inq orpsplatoniques.

Le niveau toujours plus élevé de lamathématique gre queetnotamment de la

géométrie permit aux auteurs gre s, dans les siè les suivants, des al uls des

distan es nous séparant de la lune et du soleil, du diamètre de la terre, ainsi

que desprévisions du dépla ement des objets élestes. Les gre s pouvaient

ap-paremment aussiproter d'una èsauxbasesdedonnéesobservationnellesdes

Babyloniens, e quimena Hipparqueà ombiner es onnaissan es( f. Toomer

1970-1978, vol. 15, p. 205). Il fut ainsi le premier à exiger un a ord

numé-rique entre desmodèles géométriques etles observations, fait qui révolutionna

l'astronomiegre que( f.Lindberg1992).Lesrésultats, ependant,dépendaient

fortement des suppositions de modèle. Ce `modèle osmologique' provoqua de

vives dis ussions parmis les osmologues gre s ( f. Furley 1987) qui devaient

nalement rejeter les modèles hélio entriques à ause de l'absen e apparente

d'une parallaxe annuelle. Vers la n de l'époque hellénique, Claude Ptolémée

(vers150 après Jésus-Christ) pouvait seréférerausavoira umulédesauteurs

gre s etbabyloniens de plus de inq siè les, dont il donna un résumé exhaustif

etqu'il amalgama dans sonsystème épi y loïdal desmouvements des planètes

( f. Toomer1984).

Alors qu'en Europe le progrès s ientique s'arrêtait quasiment pendant les

siè lesduMoyen Age,à auseprin ipalement dudogmatismed'uneéglise

hré-tienne dominant toutlese teurdel'édu ation et ayant pro lamél'univers

éter-nel et géo entrique omme le seul et vrai modèle du osmos, e n'était pas le

as auMoyen Orient. Des auteurs ommeAbu Ds ha'farAl-Khwârizmi, Umar

Al-Hayyâm,etOmarKhayyâm( f.Jaoui he 2000),ne fondaient passeulement

l'algèbre en donnant des solutions analytiques et géométriques aux équations

jusqu'au troisième degré, mais ontribuaient surtout à la théoriedes parallèles

1988; Jaoui he 2000). Nous n'essayerons pas de donner i i un résumé du

dé-veloppement des géométries non-eu lidiennes, mais nousnous ontenterons de

souligner l'importan e des travaux des mathémati iens de pays d'islam sur le

postulat des parallèles pour les travaux de Lobat hevski (1829) et de Bolyai

(1832),quidonneront naissan e àlagéométrie desespa es ourbes, etpar e i

àlathéorierelativiste de lagravitation.

Quandl'église hrétiennearrivaitàsupprimerlapenséeinnovante,le on ept

gé-néraldu osmosbienréglésurvé ut ependant.Grandestlenombredes÷uvres

traitant de lastru ture soupçonnéeêtre géométrique de l'univers. Un desplus

fameux et radi al exemple en est l'illustration de la `Bible Moralisée', ÷uvre

réligieuse datant du treizième siè le, où gure un Dieu qui doit se munir d'un

ompaspourpouvoiraboutiràla réationdumonde,Figure1.3.Onyexprime

don l'idée que Dieu le tout puissant est, lui-même, soumis aux loisde la

géo-métrie.

Dansune époqueextraordinaire de l'histoire d'Europe, le dogmedu iel

in or-ruptibledevaitnalement édersapla e àlas ien emoderne.Un despremiers

àvéritablements'opposerà everdi tens'appuyantsurdesfaitsobservablesest

Galilée(1610)endé ouvrantleslunesdeJupiteretplustardlesta hesduSoleil

etlesphasesdeVenus(Galilée1613),maisildutrenon erà ettedé ouverte( f.

Matarasso-Gervais1988,pourunedis ussion).Maisauxvuesdesévénementsde

l'an1604 lemondedesétoiles xesvuparl'églisefut inévitablement ondamné

à tomber.Cette année là, Kepler dé ouvrit une Stella Nova,dont il dé rivitle

phénomène ( f. Kepler 1606), eten tira des on lusions révolutionnaires. Déjà

sonmentor Ty ho Brahé avait observé etdé rit une StellaNova (Brahé 1573),

maisilfutplusprudent dansl'interprétationdesesdonnéesqueKepler. 6

Làoù

Brahén'osa guèrepronon er que :

Lama hinedu ieln'estpasun orpsduretimpénétrableremplide

sphères réelles omme ela a été ru jusqu'à présent par la plupart

des gens,

tradu tion suivant Lerner (1989), Kepler alla plus loin et on lut à partir de

l'ensembledesesdonnéesobservationnellesetde ellesdesonmentorlemodèle

hélio entrique, auparavant spé ulé par Coperni (1543), et fortement soutenu

par l'observation des phases de Venus par Galilée (1613). Dans e modèle, les

planètesne ir ulentpasseulementlibrementetle ieln'estpointin orruptible,

maisla terre sera privée de sapla e au entre de l'univers et tournera omme

les autres planètes autour du soleil sur des orbites elliptiques. Aujourd'hui, on

parlesouvent de eprin ipe,que:Laterre nesetrouvepasàun point préféré

dans l'univers, omme le Prin ipe de Coperni . Ce fut le début de la s ien e

moderne, qui quatre-vingt ansplus tard vit sa première véritable apogée ave

la mé anique de Isaa Newton (1686), qui, en ombinaison ave sa loi de la

gravitation universelle, donna une expli ationde esmouvements orbitaux.

6. Notonsque laSN observée par Ty hoBraheen 1572 a étédémontréefaire partie de

la lasse deSNeditesde`typeIa'(notammentparRuiz-Lapuenteetal. 2004; Krauseetal.

Figure1.3: `Dieul'ar hite tedumonde' ommeillustrédanslaBibleMoralisée(Bib

1220-1230).

1.3 L'univers newtonien

Passant aux notations mathématiques, l'équation newtonienne du hamp

gravitationnel s'é rit sous laformede l'équationde Poisson:

Φ (~r, t)

_,ii

= 4πGρ (~r, t) ,

(1.1)

où

ρ

désigneladensitédematièregravitationnelle (i.e.ladensitédemasse gra-vitationnelle),

~r

est le ve teur position dans un espa e eu lidien de dimension trois,et

t

estletempsuniverseldelamé anique lassique.

Φ

estappeléle poten-tiel gravitationnel. Supposons une boule de matière de masse gravitationnelle

M

etde rayon

R

,nousobtenons de l'éq.(1.1) lafor e gravitationnelle agissant sur une parti ule de masseinertielle

m

sur lasurfa e de la boule. En vertu de l'axiomedynamiquedelamé aniquenewtonienneonendéduitunea élération

radiale:

¨

à la surfa e de la boule. La loi de gravitation universelle de Newton,

prédi-sant que toutes masses attirent toutes autres masses, né essite l'eondrement

de ette distribution de matière nie. Et elle ferade même de toute autre

dis-tributiondematière, arilest lairquel'éq.(1.1)nepermetununiversstatique

(

Φ (~r, t)= Φ

0

=

const.

) que si

ρ (~r, t) ≡ 0

partout. Alorsqu'il était déjà établi à l'époque, omme on a vu, que les objets élestes n'étaient point éternels mais

soumisaux hangements ommelesontlesobjetsterrestres,riennefaisait roire

quel'universensoi pourraitêtresoumisàuneévolution temporelle.Poursortir

du problème de l'eondrement gravitationnel sans pourtant perdre la validité

de laloi de lagravitation, il fallaitalors postuler l'universinni.

Malheureuse-ment, plusieurs problèmes se posent au sujet de l'universinni dans lathéorie

newtonienne.

Le paradoxe d'Olbers : Dans le modèle de l'univers inni, où les étoiles

sontréparties dansl'espa e demanièrehomogène, 7

on peut onstruire le

para-doxe suivant qui a été formulé par l'astronome et physi ien Heinri h Wilhelm

Matthäus Olbers (1823) : Si les étoiles sont distribuées de manière homogène,

etsil'universestinni,nedevrait-onpasdans haquedire tiondu ielvoirune

étoile, plus au moins éloignée? Mais si, dans haque dire tion on devrait voir

uneétoile, pourquoile iel est-il noirla nuit?

Soit

n = dN/dV

la densité moyenne d'étoiles dans un univers homogène et inni, et soit

L

la luminosité moyenne de es étoiles. Le ux

F

i

, mesuré sur la terre, venant de l'étoile

i

se trouvant à la distan e

r

de ette dernière, est

F

i

= L

i

/ 4πr

2

.Considérantdessphères on entriques derayon

r

autourdela terrenoustrouvons leux:

dF =

_4πr

L

2

dN = nLdr,

(1.3)

provenant d'une ou he ned'étoilessetrouvant entre

r

et

r + dr

et de volume

dV = 4πr

2

dr

, f. Figure1.4. I i,

dN = ndV

est lenombre d'étoilesdans ette ou he.Sinousprenonsen omptelalumièreenprovenan edetouteslesétoiles

situéesentrelaterre etune distan e

r

max

,noustrouvonsque:

F (r

max

) = nL

r

_Z

max

0

dr = nLr

max

,

(1.4)

estleux intégralde toutes les étoiles àdistan e

r

i

< r

max

de laterre, omme onlemesurerasurterre.Cependant,lavaleurde

r

max

estbornéeparl'argument suivant :Prenons ommerayon moyen desétoiles,que l'onimagine distribuées

de manière équidistante, la valeur

R

s

. C'est à dire nous attribuons à haque étoile la surfa e appararente

A

i

= πR

2

s

. Les

dN = n4πr

2

_dr

étoiles dans la

7. Cequieneetpeutêtrevu ommeune onséquen eduPrin ipedeCoperni .Selon e

dernier,laterre nesetrouvepas àun endroitpréférer dansl'univers.Delàilnerestequ'à

postulerqu'il n'existe pas depoint préféré dans l'univers, e qui impliquel'homogénéité et

l'isotropiespatialedel'univers, f. Beisbart&Jung(2006) pourlerapportentrelePrin ipe

Figure1.4:Fine lou he

r + dr

autourdelaterre.

ou he ne à distan e

r

de la terre, dénie auparavant, vont don ouvrir la surfa e ee tive :

A

i

dN

A

= n

4π

2

_R

2

s

r

2

dr

4πr

2

,

(1.5)

de lasurfa e delasphère

r

.

r

max

sera alors donné par la onditionque:

(A

i

dN ) /A

= 1,

!

(1.6)

signiant une ouverture omplète du iel. Toutes étoiles étant éloignées plus

que

r

max

seront invisibles delaterre, ar a héesderrièreslesétoilesde premier plan. Del'éq.(1.6)nousobtenons évidemment :

nπR

_s

2

r

max

Z

0

dr

=

!

1

⇔

r

max

=

1

nπR

2

s

(1.7)

la profondeur maximale de vision,

r

max

, dans un univers newtonien statique, d'âge etd'extensionspatiale innie.

Insérant l'éq.(1.7)danséq.(1.4)noustrouvonsdon :

F(r

max

) = nLr

max

=

L

πR

2

s

le ux intégral mesuré sur la terre. Nous nous aper evons que

L/ πR

2

s

est

en eet laluminosité surfa ique d'une étoile, et don que laluminosité du iel

de nuit devrait être aussi grande que la luminosité surfa ique d'une étoile. Ce

résultat est onnu sousle nomde `paradoxed'Olbers',alors que Olbersn'était

paslepremieràleformuler( f.Harrison1990,etréféren es itées).Leparadoxe

nefut résoluqu'ave les moyensde la osmologie moderne.Car,premièrement,

danslemodèlemodernel'universestd'âgenietlalumièreémisepardesobjets

très lointains n'a pas en ore pu arriver sur terre. Et, deuxièmement, l'univers

est soumis à une expansion globale depuis le big bang. Cette expansion ause

un dé alage spe tral vers le rouge de la luminosité, et on observe en eet que

dans la région spe trale éle tromagnétique de plusieurs m, le iel n'est point

noir mais brillant omme le jour. Il s'agit i i du fond dius osmologique que

l'ondis uteradanslase tion2.3.3.Cependant,sionsemetdansle ontextede

lathéorienewtonienne etdemande quel'universsoit statiqueetéternel,etque

lamatière soit distribuée de manièrehomogène, leparadoxe d'Olbersné essite

qu'ilsoitni;ornousavonsvuquel'universstatiqueetnin'estpaspermispar

ladynamique, f.éq.(1.2) . L'univers newtonienn'est don pas onsistant.Mais

les étudesde ette dynamiqueont amené l'idée de l'existen ed'une Constan e

Cosmologique.

La non- onvergen e de la for e gravitationnelle : Neumann (1874) et

Seeliger(1895)ontdemontrélanon- onvergen edelafor egravitationnelledans

ununiversinni àdensitédemasse onstante, quandonledé ritpar lathéorie

newtonienne.Ontrouveunedis ussiondel'argumentationetdudéveloppement

de l'idée hez Goenner et al. (1999), f. aussi la dis ussion de Pauli (1921).

En bref, la for e gravitationnelle ex er ée sur une parti ule de masse par une

distribution de masse innie n'est pas dénie. Il faut alors demander que la

densitédemasse onvergeverszéroplusviteque

1/r

2

,andegarderlavalidité

de la théorie newtonienne. Dans ette solution, l'univers `inni' devient don

ee tivementni, arladensitédemasseestquasimentzéroàpartird'un ertain

rayon.Mais,suivant l'argumentation de Einstein(1917), on doitremarquer :

daÿ ein mit endli her kinetis her Energie begabter Himmelskörper

das räumli h Unendli he unter Überwindungder Newtons hen

An-ziehungskräfte errei hen kann. Dieser Fall muss na h der

statisti-s hen Me hanik solange immer wieder eintreten, als die gesamte

Energie des Sternsystems genügend groÿ ist, um  auf einen

ein-zigen Himmelskörper übertragen  diesemdie Reise ins Unendli he

zu gestatten, von wel hererniezurü kkehren kann. 8

End'autres termes:l'univers`se viderait'.

Comme autre solution du problème de la non- onvergen e de la for e

gravita-tionnelle,Seeliger (1896)a proposéde rempla er lepotentielnewtonien par un

8. qu'un orps éleste disposant d'une énergie inétique nie, peut, en fran hissant les

for esnewtoniennesattra tives,s'enfuirversl'innispatial.Selonlamé aniquestatistique e

asdevra ontinueràsereproduiretantquel'énergietotaledusystèmedesétoiles,sitransmise

àunseul orps éleste,permetà edernierlevoyageversl'inni,d'oùilnereviendrajamais.

potentieldutype :

Φ (r) ∝ −

e

−

√

λr

r

,

(1.9)

où

λ

est une onstante. On peut montrer que ette modi ation du potentiel revientà une simplemodi ationde l'éq.(1.1):

Φ (~r, t)

_,ii

+ λΦ (~r, t) = 4πGρ (~r, t) ,

(1.10) qui a été donnée par Einstein (1917). De l'éq.(1.10) on déduit fa ilement que

l'univers statique, ara térisé par

Φ (~r, t) = Φ

0

= const.

,devient possible si la relation :

Φ

0

=

4πGρ

0

λ

,

(1.11)

est vériée. Dans ette solution, la matière est distribuée de manière

homo-gène dansl'espa e inni,et sadensité est onstante dansl'espa e et le temps,

ρ (~r, t)

=

ρ

0

= const.

Ainsi, l'univers n'aura pas de entre omme 'est le as si l'on postuleladiminution de ladensité de massevers zéro àdistan es innies.

Cettemodi ationdel'équationdePoissonétaitlepointdedépartpourEinstein

quandilintroduisitlaConstanteCosmologiquedanslaRelativitéGénérale,que

Le modèle standard. Théories et

observations

La

osmologieentradanssonèredevéritabledis iplines ientiqueave la formulationdelaRelativitéGénéraleparEinstein(1915a).Aprèsavoir onrmé

la validité de sa théorie sur les é helles du système solaire ave la prédi tion

exa te de l'avan e du périhélie de Mer ure (Einstein 1915b) et de la déexion

de la lumière dans le hamp gravitationnel du soleil (qui ependant ne sera

onrméequ'en 1919,voir Dyson etal. (1920)), Einstein passa tout de suite à

l'appli ation deses équations du hampgravitationnel à la osmologie.

2.1 Les bases théoriques

C'est dans l'appli ation osmologique de sa nouvelle théorie que Einstein

(1917) ompléta ses équations par l'introdu tion d'un terme

Λ

, qu'il motiva ainsi:

Wir können nämli h auf derlinken Seite derFeldglei hung den mit

einer vorläug unbekannten universellen Konstante

Λ

multiplizier-ten Fundamentaltensor

g

µν

hinzufügen, ohne dass dadur h die all-gemeine Kovarianz zerstört wird.

1

Leséquations du hampgravitationnel d'Einstein prennent alorsla forme:

R

µν

−

1

2

R + Λg

µν

= κT

µν

.

(2.1) I i, on retrouve les quantités géométriques

R

µν

et

R

qui sont, respe tivement, letenseur de Ri i etle s alaire de Ri i,qui sont des ontra tions du tenseur

de Riemann.

R

µν

et

R

sont données par le tenseur métrique

g

µν

(x

α

₎

(et ses

deux premières dérivées) de l'espa e pseudo-Riemannien en quatredimensions

que l'on a l'habitude de désigner l'`espa e-temps'. Nous appliquons la

signa-ture

(− + ++)

à la métrique. La partie gau he est souvent dé rite omme le 1. Caronpeutsurle tégau hedel'équationdu hampgravitationnelajouterletenseur

fondamental

g

µν

,multipliéave une onstanteuniverselle

Λ

présentementin onnue,sansque e inebrisela ovarian egénérale.

tenseur d'Einstein, noté

G

µν

.Sur le tédroit, on a

T

µν

le tenseur énergie im-pulsion de lamatière. Il est une fon tion du tenseur métrique et des variables

d'état du système physique onsidéré, et peut être interprété omme lasour e

du hamp géométrique. Par e que le tenseur d'Einstein satisfait l'identité de

Bian hi,

G

µν

;ν

= 0

,letenseur énergie impulsiondelamatièresatisfait automa-tiquement larelation de ontinuité d'énergie et d'impulsion :

T

µν

;ν

≡ 0.

(2.2)

La premièreloi delathermodynamiqueestdon une loidérivée dansla

Relati-vitéGénérale, f.Neugebauer (1980) pour une dis ussion.On aaussi:

κ :=

8πG

c

4

= 2.073 · 10

−43

s

2

m kg

,

(2.3)

la onstante gravitationnelle d'Einstein. Le terme

Λ

que Einstein nommait le `Kosmologis hesGlied' adepuis étédésigné ommelaConstanteCosmologique.

Leséqs.(2.1) onstituentunsystème ouplédedixéquationsdiérentielles

non-linéairespour letenseur métrique,

g

µν

,eton aurabesoin d'hypothèses simpli- atri es pour arriver à en trouver dessolutions analytiques, f. Stephani et al.

(2003) pour un résumédessolutions analytiques.

1.Une lasse de simpli ations est onstituée desdéveloppements perturbatifs

delathéorie,oùonsuppose onnuelamétrique`defond'del'espa e-temps,

g

¯

µν

, etoùl'ontraiteensuitelesperturbationsentantquedesu tuationsfaiblesdu

hampgravitationnel :

g

µν

= ¯

g

µν

+ h

µν

+ O(h

2

),

(2.4) ou

h = h

µ

µ

est la tra e de la u tuation. Par exemple, si

g

¯

µν

= η

µν

, où

η

µν

estlamétriquede Minkowski,on obtient lalinéarisationde laRelativité

Géné-rale quiestparti ulièrement utiledanslare her he desondesgravitationnelles,

f. Sathyaprakash & S hutz (2009). On pourra aussi traiter des anisotropies

de l'espa e-temps osmologiques omme déviationsde lamétrique F

riedmann-Robertson-Walker,éq.(2.8) i-dessous.

2. On peut aussi imposer des symétries géométriques (stati ité, stationnarité,

sphéri ité,symétrieaxiale...)pourobtenirlessolutionsdu hampgravitationnel.

L'expressiongéométriquedetellessymétriesestl'existen ed'un hampve toriel

ξ

µ

,dit deKilling, qui satisfaitla ondition :

ξ

µ;ν

+ ξ

ν;µ

= 0,

(2.5)

désignée ommeétantl'équationdeKilling(1892), f.aussiMisneretal.(1973).

On s'aperçoit que l'existen e d'un ve teur Killing du genre espa e orrespond

à une symétrie spatiale (translation/rotation) et que l'existen e d'un ve teur

Killing du genretemps implique unesolution stationnaire. Un espa e

Rieman-niende dimension

N

peutdisposerd'un nombremaximale

n =

1

2

N (N + 1)

de ve teursdeKilling.Unespa e-tempsdisposantdunombremaximaldeve teurs

de Killing,

n = 10

, estsuivant Weinberg(1972) appelé unespa e-temps de sy-métrie maximale.

3.En e qui on ernel'appli ation deséquationsdu hampgravitationnelpour

une distribution de masse-énergie (

T

µν

) donnée, on aura ensuite, au-delà des

suppositionsdetype2.,besoind'hypothèsessurla ompositionetladynamique

delamatière qui estnotamment en odée dans l'équationd'état :

p = p(ρ, T ),

(2.6)

quilielapression

p

àladensité

ρ

etàlatempérature

T

delamatière onsidérée. Pourbeau oupd'appli ationsonpeutnégligerla ontributiondelatempérature.

Des matières dont la densité et la pression satisfont une telle relation simple,

p = p (ρ)

,sontappeléesdesuidesbarotropiques.Pour nombredematièresune équationd'étatpolytropique

p = Kρ

Γ

,où

K

et

Γ

sont onstants,estappropriée. Cependant, pour des modèles simples on peut en général établir une relation

linéaire:

p = wρc

2

,

(2.7)

entre densitéetpression.Ontrouve par exemple

w = 1/3

pour delaradiation, et

w = 0

pour delamatière non-relativiste.

2.1.1 La métrique de Robertson-Walker

L'hypothèse géométriquedont onseserthabituellementpour onstruire des

modèles osmologiques en Relativité Générale est le Prin ipe Cosmologique. Il

enexisteplusieursformulations, f.Beisbart&Jung(2006)pourunedis ussion,

maisnousavons adoptélasuivante :

Le prin ipe osmologique

Il n'existe pas de point préféré dans l'univers. A haque point et à

haque moment l'univers est identique dans haque dire tion

d'ob-servation.

OnnotetoutdesuitequelePrin ipeCosmologiquen'estpasvraisurde`petites'

é helles. Unseul regard autourde nous,mais aussiau iel no turneobservable

à l'÷ilnu,nous montrera quenotre environnement est loin d'être isotrope. Le

Prin ipe Cosmologique est justié omme étant le résultat d'un pro essus de

moyenne surde trèsgrandes é hellesetpar l'observationdu fonddius

osmo-logique quasi-isotrope, f.se tion 2.3.3. La question des é helles pour ee tuer

lamoyenne a toujours étéun point de débat, f. se tion 3.4. Une onséquen e

immédiatedel'isotropie en haquepoint ommepostuléedanslePrin ipe

Cos-mologiqueest l'homogénéité de l'univers. Il a étémontré par Robertson (1935,

1936a,b) etWalker (1936),quel'unique métrique orrespondant aux symétries

exigéesparlePrin ipeCosmologiquepeutêtreexpriméedelafaçonsuivante: 2

ds

2

_{= −c}

2

dτ

2

+ a

2

(τ )

h

dχ

2

+ f

2

(χ)



dθ

2

+ (sin θ)

2

dφ

2

i

,

(2.8) 2. Eneet,l'éq.(2.8)avaitététrouvéparFriedmann(1922),d'oùlefaitquelesmodèles

dynamiquesdes univers dé rits par ette métriqueportent son nom. Pourtant, l'obtention

rigoureusede etteéquationàpartirdessymétriesimposéesayantétéeé tuéeparRobertson

etWalker,onadé idéd'appelerlamétrique elledeFriedmann,RobertsonetWalker(FRW),

ouseulementdeRobertsonetWalker.Selonlespréféren eshistoriquesonlatrouveaussisous

où

τ

est le temps osmologique,

χ

la distan e omobile,

θ

l'angle polaire de la sphère bidimensionnel, et

φ

l'azimut de la sphère bidimensionnel.

a (τ )

est appelélefa teur d'é helle del'univers. Ona

f (χ)

donné par:

f (χ) =











1

√

−k

sin χ

√

−k

, k = +1;

χ

, k = 0;

1

√

k

sinh



χ

√

k



_{, k = −1,}

(2.9)

où

k

est appellé `indi e de ourbure'. On peut en eet dériver la métrique 3

éq.(2.8) à partir des équations de Killing, éq.(2.5) , f. Islam(2002). Où la

mé-trique de Robertson etWalkern'est pas né essairement desymétrie maximale,

le Prin ipe Cosmologique impose néanmoins queles surfa es

τ = const.

soient de symétrie maximale.Ondé ompose lamétriquede façon suivante:

ds

2

_{= −c}

2

dτ

2

+

(3)

g

ab

(x

µ

) = −c

2

dτ

2

+ a

2

(τ ) [dχ

2

+ f

2

(χ) dΩ

2

],

(2.10)

où

(3)

g

_ab

désigne lamétriquedu sous-espa etridimensionnel

dτ = 0

de l'espa e-temps, etoù l'angle solideélémentaire estdéni par

dΩ

2

_{:= dθ}

2

_{+ (sin θ)}

2

_dφ

2

.

On al ule ensuitelestenseurs de Riemann etde Ri i de e sous-espa e:

(3)

R

abcd

= −

k

a

2

_{(τ )}



₍₃₎

g

_ac

(3)

g

_bd

₋

(3)

g

_ab

(3)

g

_cd



,

(3)

R

ab

= −

k

a

2

_{(τ )}

(3)

g

_ab

,

(2.11)

pours'aper evoirqu'ils'agiti id'uneversiontridimensionnelledufameux

Theo-rema Egregium de Carl Friedri h Gauss(1827).

k/a

2

estainsi identié omme

la ourbure gaussienne de l'espa e tridimensionnel. On va appeler les espa es

tridimensionnels de ourbure positive (

k = +1

) `espa es fermés', les espa es tridimensionnels de ourbure négative (

k = −1

) `espa es ouverts', et `espa es plats' lesespa estridimensionnels ave

k = 0

.

2.1.2 La inématique des univers Robertson-Walker

Lespropriétés géométriquesdesespa e-tempsdutype RobertsonetWalker

sont bien onnues, et sont dis utées dans les livres standards de la Relativité

Générale etde laCosmologie.Voir par exempleWeinberg (1972); Misner etal.

(1973); Rindler (2001); Sexl & Urbandke (2002). On se ontentera i i de

no-ter seulement qu'ave la métrique de Robertson etWalker on peut déterminer

la géométrie lo ale de l'univers grâ e à la seule supposition de la validité

ap-proximative du Prin ipe Cosmologique, mais que l'ar élémentaire éq.(2.8) ne

prédétermine paslatopologieglobale de l'univers.

Ilestpossiblede onstruireplusieurs distan esphysiquesàpartirdeladistan e

omobile

χ

,àsavoir1.ladistan epropre,

r

,2.ladistan elumineuse,

d

L

,et3.la distan eangulaire,

d

A

.Il sembleutiled'introduirei ilanotiondudé alage vers le rouge osmologique,

z

,quel'on va par la suite désigner par leterme anglais 3. Nousnotonsqueparunabusdelangageilesthabitueld'appelerl'élémentd'ar donné

`( osmologi al) redshift'.Nousfaisonsréféren eà lalittérature orrespondante,

f. i-dessus,etintroduisonssansen donnerlajusti ation:

z :=

λ

0

λ

e

− 1 =

a

0

a

e

− 1,

(2.12)

le redshift d'un signal émis au moment

τ

e

et inter epté au moment

τ

0

. I i,

λ

i

(a

i

)

estlavaleurde lalongueurd'onded'unsignaléle tromagnétique(lavaleur dufa teur d'é helle de l'univers)mesurée au moment osmologique

i ∈ (e, 0)

. La distan e propre : Il est évident de l'ar élémentaire éq.(2.8)que la

dis-tan e`physique'aumoment

τ

c

= const.

entredeuxobjetsde distan e omobile

χ

c

estdonné par :

l =

Z

dτ =dθ=dφ=0

ds =

χ

c

Z

0

p

a

c

2

dχ = a

c

χ

c

,

(2.13)

où

a

c

= a (τ

c

)

. Malheureusement, par onstru tion,

l

n'est pas ladistan e `ob-servable', ar lairementelledésigneladistan ephysiqueentrelaterreetl'objet

`en emomentmême'oùnousobservonsl'objet,alorsque equenousobservons

enréalité quand nous`observons le iel'sontdes signauxà vitessede

propaga-tionnie,etnousnevoyonsdon paslesobjetstelsqu'ilssontmaintenant,mais

beletbientelsqu'ilsétaient lorsque essignauxfurentémis.Pourlades ription

de la propagation de la lumière il vaut don mieux introduire une distan e de

type 'surfa e',

r

, telle que la surfa e d'une sphère de rayon

r

soit donnée par larelation habituelle

A = 4πr

2

.On trouve pour lasurfa e de la boule à rayon

omobile

χ

c

= const.

:

A =

Z Z

dτ =dχ=0

q

a

c

4

f

4

(χ

c

) (sin θ)

2

dθdφ = 4πa

c

2

f

2

(χ

c

) ,

(2.14)

etdon la distan ere her hée :

r

c

(χ) := a

c

f (χ

c

) .

(2.15)

La distan e lumineuse: Soitun objetdeluminosité

L

àdistan e

r

0

(χ)

de laterre.Ontrouve queleux

F

mesurésur terre estdonné par :

F =

_{4π(1 + z)}

L

₂

_r

0

2

(χ)

,

(2.16)

arlaluminosité ne diminue passeulement ommel'inverse du arré de la

dis-tan e omme dans un espa e eu lidien, f. éq.(1.3) , mais aussi par un fa teur

a

0

/a

e

= (1 + z)

prenanten omptel'expansionde l'universdepuisl'émissiondu signal.Unautrefa teur

(1 + z)

vientdel'eet deDopplerdel'objets'éloignant de nous à ause de l'expansion de l'univers.

4

On est don mené à dénir la

distan elumineuse :

d

L

(χ, z) := (1 + z) r

0

(χ),

(2.17) 4. Au sens stri t, parler d'une `expansion' ou des objets `s'éloignant' est en e moment

an demaintenir ladénition usuelle:

F =

L

4πd

L

2

.

(2.18)

La distan e lumineuse peutêtre expriméeen termede

z

seul. Un al ultrivial nousdonne :

χ (z) =

c

a

0

z

Z

0

d˜

z

H (˜

z)

,

(2.19)

où ona introduit lafon tion deHubble :

H(z) :=

˙a

a

,

(2.20)

eten vertudeséqs.(2.15) et(2.17) nousobtenons ensuite:

d

L

(z) = (1 + z)a

0

f





c

a

0

z

Z

0

d˜

z

H (˜

z)





.

(2.21)

La distan e angulaire : Grâ e à la dénition éq.(2.15) , la surfa e d'une

sphère de rayon omobile

χ

e

est

4πa

2

e

f

2

(χ

e

)

.Elle sous-tendun angle solide de

4π

ensonpoint entral.En onséquen e,unobjetlumineuxdediamètre

D

situé à ladistan e

r

e

= a

e

f (χ

e

)

sous-tendra l'anglesolide :

Θ =

D

r

e

=:

D

d

A

.

(2.22)

Clairement,

r

e

désigne lerayonaumoment del'émissiondelalumièreetest, en vertu de l'éq.(2.12) , donné par

r

e

= r

0

/ (1 + z)

.On déduit alors de l'éq.(2.22) ladistan e angulaire ommeétant :

d

A

=

r

0

(1 + z)

.

(2.23)

Lesdeux distan es

d

L

et

d

A

sont par onséquent liées par larelation:

d

L

d

A

(1 + z)

2

= 1,

(2.24)

quel'on a l'habituded'appeler relationde dualitédesdistan es osmologiques.

Nousallonsmaintenant remonter dansl'histoire audébutde la osmologie

mo-dernepour motiverl'introdu tion de equ'on appelle aujourd'huila

osmogra-phie, soit l'appro he purement inématique à la osmologie. Nous avons déjà

ren ontré le début théorique de la osmologie moderne en itant le papier de

Einstein (1917), page 15. Ce que l'on peutin ontestablement appeler le début

observationneldela osmologiemodernesontlesrésultatsdeEdwinHubblesur

les vitesses de ré ession (

v

r

) et distan es (

r

) des nébuleuses extra-gala tiques (i.e. galaxies), qui montrent une relation linéaire entre

v

r

et

r

. Nous avons

0 400 800 1200 r e s id u a ls / [ k m / s ] distance / [Mpc] v it e s s e / [ k m / s ] -0,001 0,000 0,001 0,002 0,003 0,004 r e d s h if t z 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 -400 0 400

Figure2.1:Re onstru tiondudiagrammeoriginaldeHubbleave lesvaleursduTab.

1 de Hubble (1929). Nous avons en bas ajouté la dispersion statistique des vitesses

autourdumeilleur tlinéaire(lignenoire,éq.(2.26)).

re onstruit le diagramme de Hubble (1929) sur la Figure 2.1, où sont

repré-sentées lesvitesses de ré ession des nébuleuses enfon tion deleurs distan es. 5

L'apparente relationlinéaire entrelesvitesses etlesdistan esavaitétéprise en

omptepar un terme

v

r

∝ r

dansl'expression:

v

r

= Kr + X cos α cos δ + Y sin α cos δ + Z sin δ,

(2.25) oùles termes

X

,

Y

,et

Z

tiennent ompte dumouvement propre dusoleil dans lavoiela tée. Hubbletrouvait:

K = (465 ± 50)

(km/s)

_Mpc

,

(2.26)

où1Mp =

10

6

_{pc ≈ 3.26 · 10}

6

années lumière, f. éq.(2.67) .La relation :

v

r

∝ r,

(2.27)

est depuis onnue omme la loi de Hubble. Développons le fa teur d'é helle,

éq.(2.12) , pour des petites diéren es de temps osmologiques

∆τ

(équivalent 5. I i,lesdistan esdesnébuleusesavaientétééstiméespardes éphéides, f.se tion2.3.1.

aux petites distan es

∆χ

par

c∆τ = ∆χ

quand on traite la propagation de la lumière):

a (∆τ ) = a

0

+ ˙a|

₀

∆τ + O ∆τ

2

,

(2.28) etrappelons nousque:

˙r = ˙af (∆χ) = ˙a∆χ + O ∆χ

2

.

(2.29) Nousobtenons ensuite:

1 + z =

a

0

a

= 1 +

1

c

˙r + O



[ ˙r/c]

2



,

(2.30) relation quipeutêtre ré ritesous forme:

v

r

= cz,

(2.31)

où

v

r

:= ˙r

.L'éq.(2.31)donnepourdepetitesdistan es osmologiqueslarelation entrelavitesse osmologique deré ession etleredshift osmologique desobjets

observés. Nous avons surlaFigure 2.1représentésurl'axe droit desordonnées

les valeurs de

z

, orrespondant en vertu de l'éq.(2.31) aux vitesses gurant le longde l'axe gau he desordonnées. Onvoitqu'en eet leredshift estde l'orde

10

−3

pour esobjets,etqu'à esdistan esde quelquesMp lesdistan es

r

,

d

L

, et

d

A

sont pratiquement les mêmes. Combinant la loi de Hubble et l'éq.(2.31) on peutalors é rire :

d

L

≈ r =

c

K

z.

(2.32)

On a i i trouvé i i le premier terme d'un développement en

z

de la distan e lumineuse

d

L

de l'éq.(2.21). Il a été montré dans la littérature (Visser 2004) que le développement de l'éq.(2.21) aux ordres supérieurs en

z

peut être é rit omme :

d

L

dv

(z) =

c

H

0

z



1 +

1

2

[1 − q

0

]z −

1

6



1 − q

0

− 3q

0

2

+ j

0



z

2

+

+

1

24



2 − 2q

0

− 15q

0

2

− 15q

0

3

+ 5j

0

+ 10q

0

j

0

+ s

0

+

2kc

2

(1 + 3q

0

)

H

₀

2

a

2

₀



z

3

+

+ O z

4



.

(2.33)

où l'indi e `dv' désigne `développement' pour distinguer ette expression de la

distan elumineuse exa tede l'éq.(2.21) .Aussi,

k

estl'indi e de ourbure,eton a introduitles paramètres suivants:

le param`etre de Hubble : H

0

= H (z)





0

:=

˙a

a









0

,

(2.34a)

le param`etre de d´ec´el´eration : q

0

= q(z)





0

:=

−1

H

¨

a

˙a









0

,

(2.34b)

le

`jerk'

: j

0

= j(z)





0

:=

1

H

2

...

a

˙a









0

,

(2.34 )

le

`snap'

: s

0

= s(z)





0

:=

1

H

3

....

a

˙a









0

.

(2.34d)

I i,

H

estlafon tiondeHubbleintroduit i-dessus( f.éq.(2.20) ),etonidentie alors

K = H

0

.

On souligne que jusqu'i i on n'a du faire au une supposition sur le ontenu

physique de l'univers et sa dynamique. Les équations du type de l'éq.(2.33)

permettent d'extraire des propriétés purement géométriquesde l'espa e-temps

etainsi de notre univers (pro he) par des mesures du redshift etdes distan es

d'objets, equiaujourd'huiestappeléun`mapping' del'histoired'expansionde

l'univers, ouaussi` osmographie'.Latoutepremière extra tiond'unparamètre

osmologique, elle du paramètre

H

0

par Edwin Hubble, a été faite par ette appro heenvertudel'éq.(2.32) ,quiaétéparlasuitel'appro hedominante

pen-dant les premières dé ennies dela osmologiemoderne. Kirshner (2003) donne

un résumé de l'estimation des paramètres

H

0

et

q

0

.Les redshifts a essibles à etteépoquelànedemandaientpasuneappro heplusrigoureuse,etles

impré i-sionsdesobservations osmologiques étaient largement supérieures auxerreurs

introduites par des approximations de type éq.(2.33) . 6

La osmographie (au

deuxième ordre) fut la prin ipale appro he avant que Mattig (1958) ne donne

une solution exa te de l'éq.(2.21) pour le as

Λ = 0

, et montre omment les erreursintroduites varient selonle modèledynamique du osmos, argumentant

qu'elles deviendront non-négligeables à partir de ertaines valeursdu redshift.

On reviendra à la question de la validité de l'appro he inématique dans le

hapitre 4 de e manus ritde thèse.

2.1.3 La dynamique des univers Robertson-Walker

Uneautre onséquen e duPrin ipeCosmologiqueseraune ontraintesurla

forme du tenseur énergie impulsion de la matière osmique. Supposons

l'exis-ten ed'un hampve toriel

u

µ

satisfaisant

u

µ

_u

µ

= −c

2

(quireprésentera le qua-drive teurvitessedelamatière osmique).Onpeutmontrerque haqueve teur,

A

β

,et haquetenseur de rangdeux,

B

µν

,peutêtredé omposéen termedeses

proje tions:

A

β

= a

β

+ au

β

/c

2

,

(2.35)

B

µν

= bu

µ

u

ν

/c

2

+ b

µ

u

ν

/c

2

+ ¯b

µ

u

ν

c

2

+ b

µν

,

par rapportàladire tion désignéepar

u

α

,où:

h

α

β

:= δ

α

β

+ u

α

u

β

/c

2

,

(2.36) estletenseur deproje tion.Ainsi, leve teur

a

α

_{= h}

α

β

A

β

seralaproje tion du quadrive teur

A

β

dansl'espa eorthogonalà

u

α

,et

a = −u

α

A

α

_/c

saproje tion dans la dire tion de

u

α

. On a aussi déni les proje tions

b = u

µ

u

ν

B

µν

,

b

µ

₌

−h

µ

ν

B

νσ

u

σ

,

¯b

µ

_{= −h}

µ

ν

B

νσ

u

ν

,et

b

µν

_{= h}

µ

σ

h

ν

ρ

B

σρ

,quisontdans haqueindi e orthogonales au quadrive teur vitesse. L'isotropie du système au repos de la

matière,imposéeparlePrin ipeCosmologique,né essitequetouteslesvariables

d'étatdusystèmeetleursgradientssontproportonielsà

u

α

.Lestenseursderang

6. Onnote pourl'éq.(2.26) lafortediéren eentrelavaleurestiméeparHubbleet elle

quel'onmesureaujourd'hui.Leprojetprin ipalduHubbleSpa eTeles op(HST)donneune

deux tels quele tenseur énergie impulsionde lamatière osmologique,

T

µν

, ne

peuventêtrequeproportionels autenseur deproje tionet auproduitdyadique

duquadrive teurvitesseave lui-même.Onobtientdon queseulsdestenseurs

d'énergie impulsionde laforme :

T

µν

= Ξh

µν

+ Πu

µ

u

ν

/c

2

,

(2.37) où

Ξ

et

Π

sont des onstantes, sont permis par le Prin ipe Cosmologique ( f. Neugebauer 1980). Ave

h

µν

_{= g}

µν

_{+ u}

µ

_u

ν

_/c

2

on re onnait toute de suite le

tenseur énergie impulsion d'un uide, et on déduit ainsi que la matière d'un

universsatisfaisant lePrin ipe Cosmologiquedoit êtredé ritpar le tenseur :

T

µν

= (ρc

2

+ p)u

µ

u

ν

+ pg

µν

.

(2.38) I i,

p

et

ρ

désignent toujours les hampsde pressionetdedensitéde lamatière onstituant le ontenu de l'univers. L'éq.(2.37) impose que dans les surfa es

τ = τ

0

= const.

de l'espa e-temps, dénissant les espa es tridimensionels au reposdu ontenu masse-énergie del'univers,

ρ

et

p

prennent les mêmesvaleurs partout :

p (τ

0

) = p

0

et

ρ (τ

0

) = ρ

0

.

Les équations de Friedmann

Insérantl'éq.(2.38)etl'ar élémentaireéq.(2.8)dansleséqs.(2.1),onobtient

deuxéquations diérentiellesd'ordre deuxpour lefa teur d'é helle

a (τ )

:

2

¨

a

ac

2

+

˙a

2

a

2

_c

2

+

k

a

2

− Λ = −

8πG

c

4

p,

(2.39a)

˙a

2

a

2

_c

2

+

k

a

2

−

Λ

3

=

8πG

3c

2

ρ,

(2.39b)

qui sont onnues sous le nom d'équations de Friedmann, en l'honneur des

tra-vaux de Friedmann (1922), voir note 2 en bas de la page 17. En soustrayant

l'éq.(2.39b) del'éq.(2.39a) onobtient larelation :

¨

a

a

= −

4πG

3



ρ +

3p

c

2



+

1

3

Λc

2

_,

(2.39 )

que l'on peut ensuite omparer à son équivalent newtonien, l'éq.(1.2) . Nous

voyonsapparaître àdroite unnouveau terme qui esttypiquepourlaRelativité

Générale :la pression

p

,qui grâ e àl'équivalen e de masseetd'énergie ontri-buera au hamp géométrique. Nous nous aper evons aussi de l'apparition du

terme

Λ

,qui dans la Relativité Générale apparaît omme un terme générique des équations des hamps éq.(2.1) ,

7

alors qu'il fallait lemettre à lamain dans

l'équation de Poisson dela théorienewtonienne, éq.(1.10) . Onnoteque

ρ

et

p

, 7. Ilestgénériquedanslesensque

G

µν

= R

µν

−

1

2

g

µν

R+Λg

µν

estletenseurleplusgénéral quisatisfaitles onditionsd'être onstruitex lusivementàpartirdutenseurdeRiemannetde

lamétrique,d'êtrelinéaireen

R

µν

,d'êtrederangdeuxetsymétrique,etd'êtrededivergen e nulle.Cf. par exempleladis ussion élégantede Pauli (1921), oudeMisner etal. (1973) et

quipourtoutematière onnueprennentdesvaleurspositives,nepeuvent auser

qu'une dérivée se onde négative du fa teur d'é helle, etdon qu'une expansion

dé élérée de l'univers. Alors que pour le moment le hoix du signe de

Λ

est arbitraire (la nature de e terme, 'est à dire les raisons physiques pour son

existen e étant entièrement in onnues rien ne pourrait nous imposer un signe

quel onque), on s'aperçoit qu'une ontribution

Λ > 0

aurait deseets gravita-tionnelsinverses par rapport auxeetsde lamatière`ordinaire'.

Supposonsununiversremplideplusieurs omposants,

ρ =

P ρ

i

,ave une équa-tiond'état simple,

p

i

= w

i

ρ

i

c

2

, f.éq.(2.45) , etnousobtenons del'éq.(2.39 ) :

¨

a

a

= −

4πG

3

X

(ρ

i

[1 + 3w

i

]) +

1

3

Λc

2

_,

(2.40) quis'annulesi :

Λ =

4πG

c

2

X

i

ρ

i

(1 + 3w

i

) .

(2.41)

Pour le as

w

i

= 0

(soit le as de la matière non-relativiste) nous obtenons la valeur :

Λ

E

:= 4πGρ/c

2

,

(2.42)

que nous avons déjà ren ontrée dans la théorie newtonienne, quand nous

mo-dions l'équation de Poisson an d'obtenir un univers statique et inni, f.

éq.(1.10) .Nousavonsnotamment

Λ

E

= λΦ

0

/c

2

.Remarquonsaussique l'indi e

de ourbure,

k

, n'intervient pas dans l'éq.(2.40). On trouve i i la raison pour laquelle Einstein (1917) introduisait la Constante Cosmologique. Grâ e à ses

propriétéstoutàfaitex eptionnelles,seuleune ontribution

Λ > 0

peutassurer lastati ité de l'univers dans le ontexte de la Relativité Générale. Cependant,

pour que l'univers soit statique nous devons aussi demander que

˙a

s'annule, et nous établissons à partir de l'éq.(2.39b) que l'univers statique est alors de

ourbureGaussienne positive :

k

a

2

= Λ

E

.

(2.43)

Cettesolution osmologique parti ulièreest appelée l'universd'Einstein.

Alors que e n'était point la motivation d'Einstein d'introduire e terme, on

s'aperçoit dans l'éq.(2.40) qu'ave une Constante Cosmologiqe

Λ > Λ

E

on ob-tientunea élérationpositive dufa teurd'é helle,faitquenousdis uteronsave

plus de détails dans la se tion 2.2. Nous reviendrons dans le hapitre 3 sur la

Constante Cosmologique etdis uteronsles problèmes queposent sonexisten e

etsavaleur.

Contenu de l'univers

C'est maintenant que l'on doit faire des suppositions sur la nature et la

omposition duuide osmologique. L'éq.(2.2) donne :

I i,

H

estlafon tiondeHubbledénieauparavant(éq.(2.20) ).Sinoussupposons maintenantquele ontenumasse-énergiedel'universobéitàuneéquationd'état

simple :

p = wρc

2

,

(2.45)

nousobtenons alors :

ρ (a) = ρ

0

exp





−3

ln a

Z

ln a

0

[1 + w (˜

a)] d ln ˜

a





,

(2.46)

où

ρ

0

= ρ (a = a

0

)

,etoù

w

est une fon tion du fa teur d'é helle et par onsé-quent une fon tion du temps osmologique

τ

. Pour le as où

w = const.

on obtient :

ρ (a) =

 a

a

0



−3(1+w)

.

(2.47)

Nousobtenons notamment pour de lamatière non-relativiste,

w

M

= 0

:

ρ

M

= ρ

0

M

 a

a

0



₋₃

,

(2.48) etpour delaradiation,

w

R

=

1

3

:

ρ

R

= ρ

0

R

 a

a

0



₋₄

.

(2.49)

Nousintroduisonsaussilavitesseduson,

c

s

:

c

s

2

:=

dp

dρ

,

(2.50)

d'où, ave l'éq.(2.44),ilrésultepour desuides barotropiques:

˙

w = −3H (1 + w)



(

c

s

c

)

2

_{− w}



_.

(2.51)

Nous remarquons que l'on a alors

w = const.

si et seulement si

wc

2

_{= c}

s

2

ou

si

w = −1

. Nous notons aussi, que si l'on ex lut le as

w < −1

et suppose seulement que

(c

s

/c)

2

_{> 0}

,l'éq.(2.51)donne :

˙

w < 3Hw (1 + w) .

(2.52)

Des modèles osmologiques ave une ontribution

w < −1

sont appellés les modèles `fantmes' et exhibent des propriétés intéressantes, f. se tion 3.7.1.

Nousreviendrons àlarelation éq.(2.52)danslase tion 3.3.2.

Les paramètres osmologiques de densité

Suivant l'éq.(2.39b)noustrouvonsquedansununiverssansConstante

Cos-mologique, l'univers estplat (

k = 0

) si ladensitéglobale de l'univers,

ρ

,prend lavaleur :

ρ

c

=

3H

2