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Contribution à l’étude de l’aptitude au formage
d’alliages de symétrie hexagonale
Jean-Jacques Fundenberger
To cite this version:
Jean-Jacques Fundenberger. Contribution à l’étude de l’aptitude au formage d’alliages de symétrie
hexagonale. Autre. Université Paul Verlaine - Metz, 1992. Français. �NNT : 1992METZ039S�.
�tel-01776005�
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----.-
INSTITUT
SUPERIEUR
DE GENIE
MECANIOUE
ET PRODUCTIQUE
-.--.-.
--É-CONTRIBUTION
A L'ETUDE
DE L'APTITUDE
AU FORMAGE
D'ALLIAGES
DE SYMETRIE
HEXAGONALE
PAR
Jean-Jacques
FUNDENBERGER
THESE
Soutdnue
le 15 janvier
1992
à IUFR MIM-Sciences
de
l'Université
de Metz,
en vue de I'obtention
du grade
de
Docteur
d'Université
- mention
:Sciences
de l'lngénieur
J U R Y
Professeur
à I'Université
de Metz
Professeur
à l'Uni.
de Leuven
(Belgique)
Directeur
de Recherches,
GPM2,
ENSPG,
St Martin
d'Heres
Professeur
à l'Université
de Metz
Docteur
habilité en Sciences
Physiques,
lnstitut
de Mécanique
-3S- Grenoble
Ingénieur
de Recherche
Centre
de Recherches
de Voreppe
S.A.
Professeur
à I'Université
de Metz
ggOogos I
llg et l
MM
F. WAGNER
P. VAN HOUTTE
G. CANOVA
Mme M.J.
PHILIPPE
MM
M. ARMINJON
B. CHENAL
C. ESLING
Directeur
de thèse
Rapporteur
Rapporteur
Examinateur
Examinateur
Examinateur
Examinateur
EgIESAIBE
Introduction
I) Les surfaces de charge
I - 1 ) D é f i n i t i o n . . .
I . 2 l M o d é l i s a t i o n d e s s u r f a c e s d e c h a r g e
T-z-Ll Les critères plastiques phénomènologiques
- T r e s c a
- V o n M l s e s . . .
- H i l t
- B u d i a n s k i . . .
-Gotoh
I - 2 - 2 ' ) L e s m o d è l e s p o l y c r i s t a l l i n s
I - 2 - 2 - t ' ) T a y l o r - B i s h o P - H i l I
a ) H y p o t h è s e s . . .
b) Description
de la méthode
c) Les modes de déformation à considérer
d) Dét,ermination des nrfl
e ) C a l c u l d e s M
f ) S e c t i o n s d a n s l a C . L . E ' P .
S ) L i m i t e s
Y 2 - 2 - 2 ) S t a t i q u e . . .
a ) H y p o t h è s e s . . .
b ) D e s c r i p t i o n m é t h o d e . . .
c ) L i n i t e s
I - 2 - 2 - 3 ' ) A u t o - c o h é r e n t
a ) H y p o t h è s e s . . .
b) Le modèIe auto-cohérent
c) Méthode de détermination
de ta CLEP
I - 3 ) D é t e r m i n a t i o n e x p é r l - m e n t a l e
I - 4 ) A p p l i c a t i o n
a u x c u b l q u e s
I - 4 - 1 ) S p é c i f l c i t é d u c u b i q u e . . . : . .T - 4 - 2 1 L e s m a t é r i a u x é t u d i é s
a ) M i c r o s t r u c t u r e
- . . .
3 0
b ) T e x t u r e
3 0
c ) P r o p r i é t é s m é c a n i q u e s
3 L
5
5
I
I
I
8
1 0
1 0
1 1
L 2
1.2
I 2
T 2
L 4
L 5
t 7
L 7
l-8
I 9
1 9
1 9
2 2
2 3
2 3
2 3
2 6
2 7
2 9
2 9
4 7 4 7 4 8 4 7I I ) A p p l l c a t i o n
a u x h e x a g o n a u x . . . .
I I - 1 )
S p é c i f i c i t é
d e s h e x a g o n a u x
I I - 1 - 1 )
L e g l i s s e m e n t
I I - 1 - 2 )
L e m a c l a g e
I I - 1 - 3 )
L e m a c l a g e h a u t e t e m p é r a t u r e
dans les alliages
de zl-rconium .
TI-21 Cholx des cisslons
et nodéIlsation
a ) C o e f f l c i e n t
d ' a n l s o t r o P i e
b) Evolution
de texture
{ .
-4 8
5 2
5 2
5 4
r r-2- r. )
:
rr-2-21
rr-2-31
L e z i r c o n i u m .
6 1
L a m i c r o s t r u c t u r e
6 1
L a L e x È u r e
. . .
6 1
L e s c o n d i t i o n s d e s i m u l a t i o n
6 1
L e s p r o p r i é t é s m é c a n i q u e s . . -
6 2
o i s c - u s s t o n . . .
6 2
L e s a l l i a g e s d e t i t a n e
L e s m i c r o s È r u c t u r e s . . .
L e s textures
L e s c o n d i t i o n s d e s i m u l a t i o n
L e s p r o p r i é t é s m é c a n i q u e s . . .
D i s c u s s i o n . . .
7 6
7 6
7 7
7 7
7 8
7 9
7 9
L e z i n c . .
- La microstructure - La texture - Les conditions d e s i m u l a t i o n - Les propriétés mécaniques - D i s c u s s i o n .I I I ) L e s c o u r b e s l i m i t e d e f o r m a g e . .
-I -I -I - L ) D é f i n i t i o n
III-2) Détermination expérimentale
I I I - 2 - L ) E s s a i s s l m u l a t i f s . . . a ) L e r e t r e i n t b ) L a t r a c t i o n P l a n e c ) L r e x P a n s i o n T I I - 2 - 2 1 D é p o u i l l e m e n t d e s e s s a i s I I I - 2 - 3 ) F a c t e u r s i n f l u e n Ç a n t l e s C L F a ) C o e f f i c i e n t d ' a n i s o t r o P i e b ) C o e f f i c i e n t d ' é c r o u i s s a g e c ) E P a i s s e u r m a t é r i a u c l ) V i t e s s e d e d é f o r m a t i o n e ) T a i l l e d e s g r i l l e s f ) T r a j e c t o i r e d e d é f o r m a t i o n . 1 . . . I I I - 3 ) C L F t h é o r i q u e s I I I - 3 - 1 ) L e c r i t è r e d e S w i f t . . . I I I - 3 - 2 ) L e c r i t è r e d e H i l l I I I - 3 - 3 ) A n a l y s e d e l a b i f u r c a t i o n I I I - 3 - 4 ) A p p r o c h e a v e c d é f a u t i n i t i a l . . . I I I - 3 - 4 - 1 ) C a s l s o t r o p e ( t " l a r c i n i a k e t a l . )
8 9
8 9
8 9
9 0
9 0
9 4
9 4
9 4
9 4
9 4
9 5
9 5
9 5
9 5
9 5
9 6
9 6
9 6
9 6
9 7
1 0 1
L 0 1
1 0 3
t07
1 L 1
1 1 1 ,
l I I - 3 - 4 - 2 )
C a s a n i s o t r o P e :
prise en compte de Ia texture
114
I I I - 4 )
R é s u l t a t s
1 1 6
C o n c l u s i o n
L 2 l
2--INTRODUCTION
p a r m i les métaux de symétrie hexagonafe certains p o s s è d e n t d e s c a r a c t é r i s t i q u e s s p é c i f i q u e s t r è s i n t é r e s s a n t e s . L e t i t a n e p a r e x e m p l e a l t i e f a i b l e d e n s i t é e t h a u t e r é s i s t a n c e m é c a n i q u e , c e q u i e n f a i t u n m a t é r i a u d e c h o i x p o u r I a c o n s t r u c t i o n a é r o n a u t i q u e . L e z i r c o n i u m t r o u v e d e s a p p l i c a t i o n s d a n s I ' i n d u s t r i e n u c t é a i r e d u f a i t d e s a f a i b l e s e c t i o n d e c a p t u r e d e s n e u t r o n s t h e r m i q u e s . L e z i n c d e p a r s a t r è s b o n n e r é s i s t a n c e à l a c o r r o s i o n e s t t r è s u t i f i s é d a n s I e b â t i m e n t . C e p e n d a n t p o u r e x p l o i t e r l e s p r o p r i é t é s f o r t i n t é r e s s a n t e s d e c e s m a t é r i a u x , i I f a u t 1 e s m e t t r e e n f o r m e . L e s d i f f i c u l t é s d r e m b o u t i s s a g e d u t i t a n e e t d u z i r c o n i u m o n t c o n d u i t l e s m é t a l l u r g i s t e s e t l e s m é c a n i c i e n s à s t i n t e r r o g e r s u r I a n a t u r e d e s m é c a n i s m e s m i s e n j e u l o r s d u f o r m a g e ' L e b u t d u p r é s e n t t r a v a i L e s t d e d é v e l o p p e r d e s o u È i l s f i a b l e s p o u r p r é v o i r e t c o m p r e n d r e I a f o r m a b i l i t é d e t ô l e s d l a l l i a g e s à s 1 ' m é t r i e h e x a g o n a l e . p o u r I r e m b o u t i s s e u r , l e s d e u x l i m i t e s d e 1 t é c o u l e m e n L p l a s t i q u e s o n t : I ' é t a t d e c o n t r a i n t e à a p p l i q u e r a f i n d e d é c l - e n c h e r c e t é c o u l e m e n t , - ] 1 é t a t d e d é f o r m a t i o n q u i c o n d u i t à t a s t r i c t i o n o u 1 a r u p t u r e . L e s c o u r b e s l i m i t e d ' é c o u l e m e n t p l a s t i q u e ( C L E P ) e t l e s c o u r b e s l i m i t e d e f o r m a g e ( C L F ) d é f i n i s s e n t c e s d e u x l i m i t e s . L e s C L F p e r m e t t e n t u n e é v a l u a t i o n d i r e c t e d e l a f o r m a b i l i t é d r u n e t ô I e , e l l e s c o n s t i t u e n t d o n c u n e x c e l l e n t i n d i c a t e u r d e l a c a p a c i t é a u f o r m a g e . L e s m é t a u x h e x a g o n a u x p r é s e n t e n t g é n é r a l e m e n t u n e a n i s o t r o p i e m a r q u é e q u i d o i t ê t r e p r i s e e n c o m p t e l o r s d u c a l - c u l d e s C L F . L a p r i s e e n c o m p t e d e I I a n i s o t r o p i e e s t f a i t e à t r a v e r s 1 e s c o u r b e s I i m i t e d ' é c o u l e m e n t p l a s t i q u e ( C L E P ) q u i d é c r i v e n t s o u s q u e l s é t a t s d e c o n t r a i n t e s l a d . é f o r m a t i o n p l a s t i q u e a p p a r a i t . L a d é t e r m i n a t i o n d e s C L E p s ' e f f e c t u e g r â c e à u n m o d è I e d e d é f o r m a t i o n p l a s t i q u e q u i t i e n t c o m p t e d e s m é c a n i s m e s m i c r o s c o p i q u e s d e d é f o r m a t i o n p l a s t i q u e e t d e l - a t e x t u r e c r i s t a l l o g r a p h i q u e . L e s d e r n i e r s d é v e t o p p e m e n t s e n m a t i è r e d t a n a l y s e d e t e x t u r e g a r a n t i s s e n t I a p o s i t i v i t é d e s f i g u r e s d e p Ô l e s r e c a l c u l é e s e t d e l a f o n c t i o n d e n s i t é d e s o r i e n t a t i o n s ( F D O ) . L e s o i n à a p p o r t e r à I a d é t e r m i n a t i o n d e 1 a t e x t u r e e s t m o t i v é p a r I ' i n f l u e n c e p r i m o r d i a l e q u I e l l e e x e r c e s u r L a f o r n a b i t i t é . p o u r accéder à la texture g l o b a l e d e I a t ô l e _ p a r e x e m p l e ' l a m e s u r e d e s f i g u r e s d e p ô I e s p a r d i f f r a c t i o n d e s r a y o n s X n o u s o b l i g e à f a i r e p l u s i e u r s m e s u r e s d a n s l - ' é P a i s s e u r . C h a g u e a l l i a g e p o s s è d e u n s y s t è m e d e g l i s s e m e n t p r é p o n d é r a n t q u i e s t d a n s l a p l u p a r t d e s c a s b i e n i d e n t i f i é . N é a n m o i n s p o u r a c c o m o d e r I a d é f o r m a t i o n p l a s t i q u e , I r i n t e r v e n t i o n d e s y s t è m e s s e c o n d a i r e s e s t n é c e s s a i r e - L e s d o n n é e s c o n c e r n a n t c e s s y s t è m e s s e c o n d a i r e s q u i p e u v e n t ê t r e d u g l i s s e m e n t o u d u m a c l a g e , s o n t s o u v e n t p a r t i e l l e s . L ' i d e n t i f i c a t i o n e n m i c r o s c o p i e é l e c t r o n i q u e à
' ' J
-t r a n s m i s s i o n e s t l o n g u e e t d i f f i c i l e . C e p e n d a n t l e s f r é q u e n c e s d ' a p p a r i t i o n d e s d i f f é r e n t s s y s t è m e s d e d é f o r m a t i o n o b s e r v é e s e n m i c r o s c o p i e , f o u r n i s s e n t u n p o i n t d e d é p a r t à I a m o d é l i s a t i o n . E n s e b a s a n t s u r l ' é v o l u t i o n d e t e x t u r e e t f e r e c a l c u l d u c o e f f i c i e n t d ' a n i s o t r o p i e e t d e I a l i m i t e é l a s t i q u e , l a m o d é l i s a t i o n p e r m e t d e c o m p r e n d r e f i n f l u e n c e d e s d i f f é r e n t s p a r a m è t r e s . D a n s u n e é t a p e u l t é r i e u r e I ' i n t r o d u c t i o n d e s C L E P d a n s l e s c o d e s d e c a l c u l p a r é I é m e n t s f i n i s p e r m e È d r i n t r o d u i r e I r a n i s o t r o p i e d a n s 1 e c o m p o r t e m e n t p l a s t i q u e -D a n s u n e p r e m i è r e p a r t i e , n o u s p r é s e n t e r o n s l a m o d é I i s a t i o n d e s c o u r b e s l i m i t e d ' é c o u l e m e n t p l a s t i q u e . L a d é t e r m i n a t i o n e x p é r i m e n t a l e d e s C L E P n ' e s t p a s a i s é e , c r e s t p o u r q u o i l a c o n f r o n t a t i o n d u m o d è l e e t d e I ' e x p é r i e n c e e s t b a s é e s u r d e s c a r a c t é r i s t i q u e s m é c a n i q u e s c l a s s i q u e s t e l l e s q u e l i m i t e é l a s t i q u e e t c o e f f i c i e n t d ' a n i s o t r o p i e . L a m a j e u r e p a r t i e d e l ' é t u d e e t d e s r é s u l t a t s t h é o r i q u e s c o n c e r n e 1 e m o d è l e d e T a y I o r - B i s h o p - H i I I . O n p r é s e n t e r a é g a l e m e n t q u e l q u e s r é s u l t a t s o b t e n u s a v e c u n m o d è l e s L a t i q u e e t u n m o d è l e a u t o - c o h é r e n t . D a n s l e c h a p i t r e I o n e x p o s e r a l a m é t h o d e d e c a l c u } d e s C L E P a p r è s u n r a p p e l t h é o r i q u e d e s m o d è I e s u t i l i s é s . U n e é t a p e p r é l i m i n a i r e c o n s i s t e à c a l c u l e r l e s C L E p d a n s I e c a s d e d e u x a l l i a g e s d ' a l u m i n i u m ( d e s y m é t r i e c u b i q u e ) d a n s I e b u t d e v a l i d e r l a d é m a r c h e e t d e m e t t r e e n é v i d e n c e l r i n f l u e n c e d e l a t e x t u r e s u r I e s C L E P e t s u r I a f o r m a b i l - i t é . D a n s I e c h a p i t r e I I . l e c a l c u l d e s C L E P a d a p t é e s à I a s y m é t r i e h e x a g o n a l e a é t é a p p t i q u é a u x a l l i a g e s d e z i r c o n i u m , d e t i t a n e e t d e z i n c . O n d i s c u t e r a d e I a v a l i d . i t é d e s r é s u l t a t s t h é o r i q u e s e n s ' a p p u y a n t s u r L e s v a l e u r s e x p é r i m e n t a l e s d u c o e f f i c i e n t d ' a n i s o t r o p i e e t d e l a l i m i t e é l a s t i q u e . E n f i n d a n s t e c h a p i t r e I I I , o n p r é s e n t e r a l a m é t h o d e q u e 1 ' o n p r é v o i t d ' u t i l i s e r p o u r c a l c u l e r l e s C L F e n t e n a n t c o m p t e d e l ' a n i s o t r o p i e p a r I ' i n t e r m é d i a i r e d e s C L E P . L e s C L F e x p é r i m e n t a l e s d e s q u a t r e a l l i a g e s é t u d i é s o n t é t é t r a c é e s - D a n s d e u x c a s , I e s C L F t h é o r i q u e s o n t é g a l e m e n t é t é d é t e r m i n é e s .
I) Les courbes li:uites d'écoulement plastique I - 1 ) D é f i n i t i o n E n c h a r g e m e n t u n i a x i a l , I ' é c o u l e m e n t p l a s t i q u e s u r v i e n t l o r s q u e l a c o n t r a i n t e a t t e i n t u n e v a r e u r s e u i l a p p e r é e r i m i t e é r a s t i q u e . P o u r d e s c h a r g e m e n t s p l u s c o m p t e x e s , o n d é f i n i t u n e s u r f a c e q u i r e p r é s e n t e l e s é t a t s d e c o n e r a i n t e p o u r l e s q u e l s I a I i m i t e é l a s t i q u e e s t a t t e i n t e . C e t t e c o u r b e l i m i t e d t é c o u l e m e n t p l a s t i q u e ( C L E P ) e s t c a r a c t é r i s é e p a r u n e f o n c t i o n s e u i l : D a n s l a s u i t e o n f e r a l t h y p o t h è s e q u e 1 e s m a t é r i a u x é t u d i é s o n t u n c o m p o r t e m e n t p l a s t i q u e i n d é p e n d a n t d e I a p r e s s i o n h y d r o s t a t i q u e . c e c i r e v i e n t à d i r e q u e I a f o n c t i o n s e u i l n e d é p e n d q u e d u d é v i a t e u r S i i d u t e n s e u r d e s c o n t r a i n t e s : f ( S r + ) = 0 . L J
( r - 2 )
L a C L E P e s t d o n c u n e s u r f a c e d a n s I ' e s p a c e d e s c o n t r a i n t e s d é v i a t o r i q u e s d e d , i m e n s i o n 5 . P o u r d e s r a i s o n s d e c o m m o d i t é d e l e c t u r e , o n t r a c e d e s r e p r é s e n t a t i o n s b i d i m e n s i o n e l l e s d e s C L E P . o n d i s t i n g u e h a b i t u e l l e m e n t 2 t y p e s d e r e p r é s e n t a t i o n s p l a n e s [ 1 ] . l 2 l e t [ 3 ] : - I e s c o u P e s ( s e c t i o n s ) - I e s P r o j e c t i o n s L a f i g u r e I - 1 , e s t u n e r e p r é s e n t a t i o n s c h é m a t i q u e t r i d i m e n s i o n n e l l e d e I a d i f f é r e n c e e n t r e u n e s e c t i o n e t u n e p r o j e c t i o n d e l a C L E P ' O n n o t e r a q u e l e s d i r e c t i o n s d e d é f o r m a t i o n c l a n s I e C a s d ' u n e S e C t i o n n e S o n t p a s f o r C é m e n t c o n t e n u e s d a n s l e p l a n d e c o u p e . u n s o u s - e s p a c e s e r a a p p e l é f e r m é s i I a s e c t i o n e t p r o j e c t i o n c o r n c i d e n t d a n s c e s o u s - e s p a c e d r a p r è s I a d é f i n i t i o n d o n n é e p a r c a n o v a [ 2 ] . D a n s c e c a s i n c r é m e n t d e d é f o r m a t i o n e t i n c r é m e n t d e c o n t r a i n t e s o n t c o n t e n u s d a n s l e s o u s - e s p a c e . U n e r e p r é s e n t a t i o n p a r t i c u l i è r e t r è s u t i l i s é e e s t l a s e c t i o n q u i p a s s e p a r t r o r i g i n e e t q u i e s t p e r p e n d i c u l a i r e à I a p r e m i è r e t r i s s e c t r i c e ' O n I a n o m m e l a s e c t i o n d a n s l - e P I a n æ . f ( o i j ) : 0 . o ù o i i d é s i g n e f e t e n s e u r d e s c o n t r a i n t e s '( r - 1 )
t a l o i d e S c h m i d , l e P r i n c i P e
p r o p r i é t é s :
e s t l e p o t e n t i e l
P l a s t i q u e c e
P o u r d e s m a t é r i a u x o b é i s s a n È à p e r m e t d ' é t a b l i r d r i m p o r t a n t e s - Ia fonction s e u i ] du travail maxlmum q u i s e t r a d u i t P a r( r _ 3 )
D r + ê s t n o r m a l à I aL )f e s r e l a t i o n s : D i j
i
#
q u i m o n t r e n t q u e f e v e c t e u r v i t e s s e d e d é f o r m a t i o n p l a s t i q u e C L E P .att'-=-+
proFcuon
sccton
q
-l-
o2
e n t r e u n e s e c t i o n
M i s è s ( c Y l i n d r e d , a p r è s t 5 l . F i g . I - 1 :F i g . r - 3 :
R e p r é s e n t a t i o n c i r c u l a i r e ) e t I l l u s t r a t i o n s c h é m a t i q u e d e I a d j f f é r e n c e à i " t t . P r o j e c t i o n d e I a C L E P ' t 2 - J o é o m e t r i q u e d e s c r i L è r e s d e à à - i i " " . â ( P r i s m e h e x a g o n a l )R o
--\[Zo'
I t l u s t r a t i o n
d e I r e f f e t
d e I ' é c r o u i s s a g e i s o t r o p e
i i é ; ; ; ; i ; s a s e
c i n é m a t i q u e s u r r a c L E P '
F i g . I - 2 2 - t _et de
- Ia CLEP est convexe. D e m ê m e q u ' e n t r a c t i o n u n i a x i a l e l a l i m i t e d é f o r m a t i o n p l a s t i q u e , l a C L E P e s t m o d i f i é e d i f f é r e n t s t y p e s d ' é c r o u i s s a g e ( v o i r f i g . I - 2 1 - é c r o u i s s a g e i s o t r o p e : l a C L E P s e 1 ' o r i g i n e . - é c r o u i s s a g e c i n é m a t i q u e : l a c o n t r a i n t e s s a n s c h a n g e r n i d e f o r m e n i d e n o n l i n é a i r e ) é l a s t i q u e é v o l u e a u c o u r s d e I a p a r I t é c r o u i s s a ç J e . O n d i s t i n g u e d i l a t e u n i f o r m é m e n t P a r r a P P o r t à C L E P s e d é P l a c e d a n s 1 ' e s P a c e d e s d i m e n s i o n . ( i I p e u t ê t r e l i n é a i r e o u a t t e i n t u n e v a l e u r e s t é 9 a 1 à I a d e m i -d e T r e s c a P e u t -d o n c
p r é c é d e n t s
- T r e s c a I I y a p l a s t i f i c a t i o n d è s q u e l e c i s a i l l e m e n t m a x i m a l c r i t i q u e . D ' a p r è s f e c e r c l e d e M o h r , I e c i s a i l l e m e n t m a x i m a l d i f f é r e n c e d e s c o n t r a i n t e s p r i n c i p a l e s e x t r ê m e s . L e c r i t è r e s I é c r i r e :avec
ec
u n i a x i a l e
E n r é é c r i v a n t : *p - é c r o u i s s a g e m i x t e : c r e s t u n e c o m b i n a i s o n d e s d e u x é c r o u i s s a g e I - 2 1 M o d é I i s a t i o n I - 2 - I ) L e s c r i t è r e s p l a s t i q u e s ( p h é n o m è n o l o g i q u e s ) S u p 0 1 - I n f 6 i = 2 r O ( 1 - 4 ) o ù o 1 e t o i s o n t l e s c o n t r a i n t e s p r i n c i p a l e s d u t e n s e u r o ' D a n s l t e s p a c e d e s c o n t r a i n t e s p r i n c i p a l e s , I a C L E P a s s o c i é e a u c r i t è r e d e T r e s c a e s t u n p r i s m e h e x a g o n a l r é g u l i e r d o n t l t a x e e s t l a p r e m i è r e t r i s s e c t r i c e ( v o i r f i g . I - 3 ) . - Von Mises v o n M i s e s d é f i n i t u n c r i t è r e i s o t r o p e i n d é p e n d a n t d e t a p r e s s i o n h y d r o s t a t i g u e ç n r i s ' é c r i t e n f o n c t i o n d u s e c o n d i n v a r i a n t J 2 :, z = * '
( r - 5 )
'l o Z - - à Sij Sij o ù S 1 i r e p r é s e n t e l e d é v i a t e u r d e s c o n t r a i n t e s k : * V J Y \ o ù R p r e p r é s e n t e l a l i m i t e d ' é I a s t i c i t é e n t r a c t i o n( r - 6 )
+r/
Or* Oz
2 6 a
F i g . I - 4 : D e s c r i p t i o n d e I a s u r f a c e p a r D u d z i n s k i 1 2 3 ) . d t é c o u l e m e n t d ' a p r è s B u d i a n s k i c i t é F i g . I - 5 : D é f i n i t i o n d e t a C L E P p a r u n e n s e r n b l e d e p l a n s t a n g e n t s t 9 l D é f i n i t i o n s e c È i o n d edu
l a
v e c t e u r U s e r v a n t
C L E P , d ' a p r è s P .
à I a c o n s t r u c E i o n d ' u n e
V a n H o u t t e t 9 l .
F i g . I - 6 :D a n s I r e s p a c e d e s c o n t r a i n t e s p r i n c i p a l e s , l a C L E P a s s o c i é e a u c r i t è r e d e V o n M i s è s e s t u n c y l i n d r e d r a x e I a p r e m i è r e t r i s s e c t r i c e ( v o i r f i g ' I - 3 ) ' C e c r i t è r e a I r a v a n t a g e d t a v o i r u n e e x p r e s s i o n a n a l y t i q u e s i m p l e , p a r c o n t r e I a r e s t r i c t i o n a u x m a t é r i a u x i s o t r o p e s , a i n s i q u e l - a n o n p r i s e e n c o m p t e d e I t e f f e t B a u s c h i n g e r I i m i t e n t s o n u t i l i s a t i o n . - H i I I E n 1 9 4 g H i I l p r o p o s e u n c r i t è r e a n i s o t r o p e b a s é s u r u n e f o r m e q u a d r a t i q u e ' q u i n r e s t p a s i n f l u e n c é p a r u n e p r e s s i o n h y d r o s t a t i q u e e t q u i s e r é d u i t a u c r i t è r e d e V o n l , l j - s e s d a n s I e c a s i s o t r o p e . D a n s l e s a x e s p r i n c i p a u x d t a n i s o t r o p i e c e c r i t è r e s r é c r i t : 2 - . 2 2 2 2 ? 1 : F ( 6 v v - 6 z z ' ) ' + G ( o z z - o x x ) + H ( o x x - G y y ) ' * 2 L o y z + 2 M o z x + z N o x y
-( r - 7 )
C e c r i t è r e c o r r e s p o n d e n f a i t a u c r i t è r e d e V o n M i s e s " a n i s o t r o p i s é " e t a p p l i q u é a u c a s p a r t i c u l i e r d e f a s y m é t r i e o r t h o t r o p e q u e l r o n r e n c o n È r e d a n s l e s t ô l e s m i n c e s t a m i n é e s p a r e x e m p l e . D e n o m b r e u x a u t e u r s o n t m o n t r é q u e c e c r i t è r e p r é s e n t e " d e g r a v e s l a c u n e s " [ 4 ] . E n 1 9 ? 9 i l p r o p o s e u n n o u v e a u c r i t è r e p o u r p a l i e r a u c o m p o r t e m e n t " a n o r m a . l - " c e r t a i n s a l l i a g e s q u i p r é s e n t e n t d e s c o e f f i c j - e n t s d ' a n i s o t r o p i e f a i b l e s . n o u v e a u c r i t è r e s ' é c r i t ( d a n s l e s a x e s p r i n c i p a u x d ' a n i s o t r o p i e ) :s m : F ( S z - S 3 ) m
+ c ( s 2 - s r ) m + H ( s 3 - s 1 ) m
( r - 8 )
T o u t e f o i s
1 a f o r m e q u a d r a t i q u e
s u b s i s t e
e t
l i m i t e
I e c r i t è r e
a u x m a t é r i a u x
i n s e n s i b f e s a u s i g n e d e I a c o n t r a i n t e
( e f f e t Bauschinger) . On, peut tenir
c o m p t e
d e c e t e f f e t
e n a j o u t a n t
a u c r i t è r e
d e H i l l
u n e f o r m e l i n é a i r e
q u i p e r m e t
d ' a v o i r u n e c o n t r a i n t e d i f f é r e n t e e n t r a c t i o n e t e n c o m p r e s s i o n p a r e x e m p l e t 5 l
-de - Budianski a p r o p o s é u n e f o n c t i o n p a r a m é t r é e a d a p t é e à t r a n s v e r s e s o l l i c i È é s d a n s u n p l a n ( v o i r f i g . I - 4 )s 1 + s 2
2 s o
s t - s z
, e- " s
m a t é r i a u x à a n i s o t r o P i e d e sf p ( v ) c o s ( v )
f p ( v ) s i n ( v )
( r - 9 )
S p e t S s l e s c o n t r a i n t e s
d ' é c o u l e m e n t e n e x p a n s i o n é q u i b i a x é e e t e n
a v e c :
c i s a i l l e m e n t r e s p e c t i v e m e n tf p ( v ) I e r a y o n p o l a i r e d l u n p o i n t d e l a C L E P
v I ' a n g l e p o l a i r e .
- G o t o h t 6 l
a p r o p o s é u n e f o n c t i o n p o l y n ô m i a 1 e 4 l . t 4 i è m e d e g r é :
4 4 ? 2 ? . i 4
o= : c1o;* + czoi*oyy + ctol*oiy
+ c+o**oly + csoyy
2 ) 2 4
+ oiy (c6ol* + c?o**oyy + ceoiy) + cto*,
(i-l-o)
o ù l e s a x e s x e t y c o r r e s p o n d e n t a v e c 1 e s a x e s p r i n c i p a u x d r a n i s o t r o p i e , e t l e s c o e f f i c i e n t s C 1 à C 9 s o n t d é t e r m i n é s à p a r t i r d r e s s a i s s i m p l e s . L a m o t i v a t i o n d e G o t o h e s t b a s é e s u r l a c o n s t a t a t i o n q u e I e c r i t è r e d e H i l l ( 1 - 9 4 8 ) n e p e r m e t t a i t p a s d e p r é v o i r I a f o r m a t i o n d e p l u s d e 4 c o r n e s l o r s d r u n e s s a i d t e m b o u t i s s a g e d e c o u p e l l e . O r c e r t a i n s a l l i a g e s p r é s e n t e n t l o r s d e c e t e s s a i 6 o u 8 c o r n e s . D e p l u s G o t o h s o u l i g n e q u e m ê m e s i l e c r i t è r e d e H i l l p r é d i t d e f a Ç o n s a t i s f a i s a n t e I e c o e f f i c i e n t d ' a n i s o t r o p i e r ( û , ) , l e s v a r i a t i o n s d e I a l - i m i t e é l a s t i q u e c a l c u l é e s n e s u i v e n t p a s l e s v a l - e u r s m e s u r é e s .
.l 't
-I - 2 - 2 ) L e s m o d è I e s p o l y c r i s t a l l i n s L e s c r i t è r e s p h é n o m è n o l o g ' i q u e s , s ' i l s d o n n e n t d e s r é s u l t a È s c o h é r e n t s d a n s c e r t a i n s c a s , p è c h e n t p a r c o n t r e e n c e q u i c o n c e r n e I a p r i s e e n c o m p t e d e s p h é n o m è n e s p h y s i q u e s . L e p a s s a g e d e s p h é n o m è n e s m i c r o s c o p i q u e s a u x p r o p r i é t é s m a c r o s c o p i q u e s e s t r é a f i s é q r â c e à d e s m o d è I e s d e d é f o r m a t i o n p l a s t i q u e . D a n s I a s u i g e n o u s n o u s i n t e r e s s e r o n s p l u s p a r t i c u l i è r e m e n t a u m o d è l e d e T a y l o r B i s h o p -H i I l , m a i s a u s s i a u x m o d è I e s s t a t i q u e e t a u t o - c o h é r e n t s .
r - 2 - 2 - t ) T a y l o r - B i s h o p - H i l l
l 7 J , t 8 l
a ) L e s h y p o t h è s e s L e s h y p o t h è s e s d e c e t y p e d e m o d è I e s o n t : - L a d é f o r m a t i o n p l a s t i q u e e s t r é a l i s é e p a r g l i s s e m e n t e t é v e n t u e l l e m e n t p a r m a c l a g e . L a l o i d e S c h m i d d i c t e à p a r t i r d e q u e l l e c o n t r a i n t e u n s y s t è m e d e v i e n t a c t i f . - La déformation q u e s u b i t c h a q u e g r a i n e s t i d e n t i q u e à c e l l e q u e s u b i t I e p o l y c r i s t a l . - L a s é l e c t i o n d a n s u n g r a i n ( 5 d a n s I e f a i t à I ' a i d e d ' u n c r i t è r e de a â q de I a d é f o r m a t i - o n t o t a l e m e n t i m p o s é e n ' e s t j u s t i f i é e q u e d a n s I e c a s o ù l r i n t e r a c t i o n e n t r e l e s g r a i n s e s t f o r t e . O r l o r s q u e I a f o r m e d e s g r a i n s n ' e s t p l u s é q u i a x e , m a i s t r è s a l l o n g é e ( p a r t r é f i l a g e p a r e x e m p l e ) o u t r è s a p l a t i e ( p a r l a m i n a g e p a r e x e m p l e ) , I I interaction e n t r e l e s g r a i n s e s t n é g l i g e a b l e s u r u n e c o m p o s a n t e o u d e u x c o m p o s a n t e s d e d é f o r m a t i o n r e s p e c t i v e m e n t . O n p a r l e a l o r s d e t h é o r i e d e d é f o r m a t i o n p a r t i e l l e m e n L i m p o s é e ( D P I ) . b ) D e s c r i p t i o n d e I a m é t h o d e L a m é t h o d e p o u r c a f c u l e r l e s C L E P à p a r t i r d ' u n m o d è I e d e T a y l o r a d é j à é t é I a r g e m e n t t r a i t é d a n s I a l i t t é r a t u r e l 2 l , t 3 l , t 9 l , [ 1 0 ] ' [ 1 1 ] e t l L 2 l . U n m o d è I e d e T a y l o r - B i s h o p - H i l l p e r m e t d e c a l c u l e r p o u r u n g r a i n d ' o r i e n L a t i o n g I e f a c L e u r d e T a y l o r M ( g r g ) c o r r e s p o n d a n t à u n t e n s e u r O è O é f o r m a t i o n E ( q ) :M(s,q)Ë.q=>lï"l
s : 1 Y ^ I e s l i s s e m e n t o t r : - e q t a c o m b i n a i s o n d e s s y s t è m e s d e d é f o r m a t i o n a c t i f s d e I a d é f o r m a t i o n t o t a l e m e n t i m p o s é e D . T . I . ) s e m i n i m u m d ' é n e r g i e d e d é f o r m a t i o n . L r h y p o t h è s e d es u r l e s y s t è m e s
I a d é f o r m a t i o n é q u i v a l e n t e
Ë r r Ë r ,
f -- ' 1 . -- .( r - l _ 1 )
L e t r a v a i l p l - a s t i q u e P a r u n i t é ^ o W : T " M E O -d e v o l u m e p o u r c e g r a i n e s t d o n n é p a r : a v e c T c l a s i s s i o n c r i t i q u e d u c r i s t a l s u p p o s é e é g a l e
(t-]-2',)
p o u r tous les systèmes de
g l i s s e m e n t . D r o ù e n m o y e n n a n t s u r I ' e n s e m b l e d u p o l y c r i s t a f :
T = T c ï
Ë . o
( r - 1 3 )
L e t r a v a i l p l a s t i q u e m o y e n s u r l e p o l y c r i s t a l p e u t é g a l e m e n t s e c a l c u f e r d e I a m a n i è r e s u i v a n t e : w : F : . . \ . . " - t I - 1 1( r - 1 - 4 )
( r - 1 5 )
( r - 1 6 )
a v e c : E r . r L Jsi -r
I e
1 e
L e n s e u r d e s d é f o r m a t i o n s
d é v i a t e u r d u t e n s e u r d e s c o n t r a i n t e s
s 2 e x p r e s s i o n s d u t r a v a i l p l a s t i q u e : M t r Ë 9 d ' o ù e n é g a l a n t E i i S i + = l-e Îc C e t t e é g a l i t é e s t l a b a s e d e I a m é t h o d e . L e s c o m p o s a n t e s S 1 i d u d é v i a t e u r d e s c o n t r a i n t e s s o n t l e s i n c o n n u e s . L a m é t h o d e c o n s i s t e à c a ] c u l e r l e s f a c t e u r s d e T a y l o r m o y e n s l . p o u r d i f f é r e n t s m o d e s d e d é f o r m a t i o n E i i. En fait c h a q u e L - ) a s s o c i a t i o n E i i , M d é f i n i t u n p l a n t a n g e n t à l a s u r f a c e d e c h a r g e , e n m u l t i p l i a n t c e s p l a n s t a n g e n t o n c o n s t r u i t I a C L E P c o r r u n e é t a n t I r e n v e l o p p e i n t é r i e u r e ( v o i r f i g . I - 5 ) . L a p o n d é r a t i o n d e s f a c t e u r s d e T a y l o r p a r l a t e x t u r e e s t b a s é e s u r I r h y p o t h è s e q u e l a d i s t r i b u t i o n d . e s f a c t e u r s d e T a y l o r e n f o n c t i o n d e s o r i e n t a t i o n s p e u t s e d é v e l o p p e r s u r l a b a s e ' d e s f o n c t i o n s h a r m o n i q u e s s p h é r i g u e s g é n é r a 1 i s é e s [ 1 3 ] , c r e s t à d i r e :M ( e , e ) : t L > n f l t c l
r f l t s l
I m nI a d i s t r i b u t i o n
d e s f a c t e u r s d e T a y l o r e s t a l o r s t o t a l e m e n t c a r a c t é r i s é e p a r l e s
c o e f f i c i e n t "
n f l t U l , e t I e c a l c u l d e s q u a n t i t é s m o y e n n e s e s t a t o r s t r è s a i s é c a r
I a
F D O e s t
é g a l e m e n t d é v e l o p p é e s u r
l a
b a s e d e s
f o n c t i o n s
h a r m o n i q u e s
s p h é r i q u e s .
l ' 2-L e t e n s e u r d e s d é f o r m a t i o n s
conduit à un nombre très éIevé de q u e I r a n i s o t r o p i e n e d é p e n d q u e
théorème qui permet de réduire le
c ) L e s m o d e s d e d é f o r m a t i o n à c o n s i d é r e r
E p o s s è d e 5 c o m p o s a n t e s i n d é p e n d a n t e s , c e q u i
m o d e s d e d é f o r m a t i o n d i s t i n c t s . E n c o n s i d é r a n t
d e l a t e x t u r e , v a n H o u t t e [ 9 ] a é n o n c é u n nombre de modes de déformation.
T h é o r è m e : S i u n é c h a n t i l l o n a n i s o t r o p e p o s s è d e u n a x e 2 ( a u m o i n s ) , a l o r s c e t a x e e s t u n e d i r e c t i o n p r i n c i p a l e c o i . n c i d e a v e c ' u n e d i r e c t i o n p r i n c i p a l e d e c o n t r a i n t e . de de s y m e t r i e d ' o r d r e d é f o r m a t i o n s ' i I P o u r d e s t ô I e s , l r a x e X 3 e s t d i r e c t i o n p r i n c i p a l e g u i e n t r a i n e q u e x 3 e s t a u s s i u n e d i r e c t i o n p r i n c i p a l e q u e : 8 2 3 = E 1 3 : 0 . E n f a i t o n u t i t i s e p o u r g é n é r e r l e s t e n s e u r s d e I a f o r m e :
IeT, o
o ]
rl
l ^ e P
I 0 E 2 z
0
I
l - l
t o o Ë5'J
et axe de symetrier ce d e d é f o r m a t i o n e t d o n c f a c t e u r s d e T a y l o r r d e s C a r e n v e r t u d u t h é o r è m e é n o n c é p a r V a n H o u t L e , e t c o m m e d a n s l e c a s d e s t ô l e s f ' a x e 3 e s t u n e d i r e c t i o n p r i n c i p a l e d e c o n t r a i n t e , l - e s t e n s e u r s g u i o P o s s è d e n t u n e c o m p o s a n t e E t Z n o n n u l f e s o n t d é d u i t s d e s t e n s e u r s d i a g o n a u x E i . p a r u n e r o t a t i o n d ' a n g l e y a u t o u r d e I r a x e 3 . L e s c o e f f i c i e n t s n f l t A l s u b i s s e n t l a m ê m e r o t a t i o n ( e n l e s m u l t i p l i a n t p a r l e s f o n c t i o n s h a r m o n i q u e s s p h é r i q u e s d e l - a r o t a t i o n l y a u t o u r d e I r a x e 3 ) ' o n c o m p l è t e a i n s i l - e s m o d e s d e d é f o r m a t i o n s e r a p p o r t a n t à I a m i s e e n f o r m e . P o u r I e c a l c u l n u m é r i q u e o n c o n s t r u i t 3 f a m i l l e s d e t e n s e u r s :I
1
0
0
1
0
0
0
- O r . I0
- ,,!",,
]
i,l 0
il
0 < q t < 0 . 5
0
- ( 1 - 9 2 )
0
< 9 2 < 0 . 5
[ - q s
o
|
0 - ( l - q s )
r 0 0
0 < q 3 < 0 . 5
P o u r a s s u r e r u n e r é s o l u t i o n
a c c e p t a b l e , I e s f a c t e u r s d e c o n t r a c t i o n
Q i p r e n n e n t
l e s v a l e u r s d i s c r è t e s s u i v a n t e s : 0 , 0 . 1 , 0 . 2 , 0 . 2 9 r 0 . 3 ? ' 0 . 4 4 t 0 . 5 .
d ) D é t e r m i n a t i o n d e s c o e f f i c i e n t s mlmn
N o u s e x a m i n e r o n s d e u x a p p r o c h e s d u p r o b l è m e d e l a d é t e r m i n a t i o n
f f < O l :
u n e m é t h o d e d e s m o i n d r e s c a r r é s , e t u n e a u t r e u t i l i s a n t
d e s f o n c r i o n s t f l ( v )
[ 1 0 ] , [ 1 3 1 r t 1 4 ] .
* Moindres carrés d e s c o e f f i c i e n t s I ' o r t h o g o n a f i t é T a y l o r p o u r u n f a c t e u r d e c o n t r a c t i o n q e t u n e I e f a c t e u r d e T a y l o r M ( 9 ' 9 i ) p o u r u n n o m b r e N S o i t M ' ( q , g ) o r i e n t a t i o n S d r o r i e n t a t i o n s M ' ( q , g ) dérive Ns
Z-r l e f a c t e u r d e . O n c o n n a l t S i . S o i t= I L f
"'flrcl
l - m nb'f rsl
f o n c t i o n s h a r m o n i q u e s méthode des moindres1 r e x p r e s s i o n s u i v a n t e ( r - 1 7 ) s p h é r i q u e s . L e s i n c o n n u e s c a r r é s c o n s i s t e à c h e r c h e r s o i t m i n i m u m :
e n u t i l i s a n t
l e f o r m a l i s m e
s o n t l e s c o e f f i c i e n t s n r f l t C )
l e s c o e f f i c i e n t s
* Ï * rql ters
N .r,t ( ) * i l M ( q , S i ) - M ' ( e , 9 i )^1-J
t
T
"r[rru,err-,Lr
t
i : L d e s D A que a v e c v r i l e p o i d s d e I ' o r i e n t a t i o n 9 i e n r e m p l a Ç a n t 1 4 ' ( q r 9 ) o n o b t i e n t : N2 : man1mum
( q )- t
Inlt ral rln toi)
: minimum
( r - 1 8 )
( r - 1 9 )
( r - 2 0 )
\
rfl rvir I
)
( r - 2 1 )
rfl rsi)
( r - 2 2 ' , )
E I I ,
l - m n
2
l
O np a r r a p p o r t a m f i n '
( - t - , (' i I ri," (si) lM tq, sil
L t
r , t
m nn'fl rrl
'1*,",1]
= o
l m nE n d é v e l o p p a n t :
N n r n rI " i
r i , " ( v 1 ) r ' l ( e , 9 i )
i : 1 N=
I ' i
. i - 1r f l ' ' r v i l
n f t e l
N n r n r) . w i T 1 ' ' " ( e 1 l l , t ( 9 , 9 1 )
?i=l-= t r t
l m n nnm r ( q )
NS w *
/ J t . i - 1r f i ' ' t s i l
d ' o ù :t t r n f l r e l
" i : Ï ' ' = " T i ' '
l m n
( r - 2 3 )
a v e c :
m r r n n r n N m l n l m n
o î , ï ' " = I *i ri"' (ei) tf'toi)
( r - 2 4 )
I - 1 e t m t n f N m t n t
" i , "
=
L " i
t i , " ( s i l l a ( e , 9 1 )
( r - 2 s ,
i : 1
L e s c o e f f i c i e n t s
* l t t C l
s o n t s o l u t i o n d u s y s t è m e l i n é a i r e
( I - 2 3 1 . L ' i n c o n v é n i e n t
d e l a m é t h o d e r é s i d e d a n s l - e g r a n d n o m b r e d ' o p é r a t i o n s d e c a l c u l s .
* E n c o n s i d é r a n t l e s p r o p r i é t é s d r o r t h o g o n a l i t é d . e s f o n c t i o n s T 1 m . C ' e s t l a m é t h o d e q u i a é t é u t i f i s é e d a n s I e p r é s e n t t r a v a i l . o n m u l t i p l i e l - e s d e u x m e m b r e s d e I ' e x p r e s s i o n ( I - 1 6 ) p a r t f l - f S l , f e c o m p l e x ec o n j u g u é
a e r f l t s ) d ' o ù :
M ' ( e , e ) rf i " ' * r s l : t r , : n f l t c l r f l t s l t f l t ' ' t v l
. : - 2 6 1
t m n e n t e n a n t c o m p È e d e I a r e l a t i o n d ' o r t h o g o n a l i t é d e s f o n c t i o n s T l * e t e n i n t é g r a n t l a r e l a t i o n G - 2 6 1 s u r I ' e n s e n i b l e d e s o r i e n t a t i o n s , o n o b t i e n t : m n ( 2 1 + 1 ) f*ii", tol
g O n c o n n a i t l a v a l e u r d e M ' ( q r g ) e n N p o i n g 5 9 i : M ( q ' g i ) n n . ( 2 1 + 1 ) N n . **i"'tcl
S i| , '
e ) C a l c u l d e s f a c t e u r s d e T a y l o r m o y e n s . L e c a l c u l O e f r - r e v i e n t à t e n i r c o m p t e d e I ' a n i s o t r o p i e m a c r o s c o p i q u e i n d u i t e p a r I a t e x t u r e c r i s t a l l o g r a p h i q u e .
( r - 2 9 1
o ù f ( S ) d é s i g n e I a f o n c t i o n d e d e n s i t é d e s o r i e n t a t i o n s c r i s t a l l o g r a p h i q u e s ( F D O ) . A I ' a i d e d u f o r m a l i s m e d e s f o n c t i o n s h a r m o n i q u e s s p h é r i q u e s ' I e c a l c u l d u f a c t e u r d e T a y l o r m o y e n e s t a i s é e n u t i l i s a n t l e s c o e f f i c i e n t s C f l d e l r a n a l y s e d e t e x t u r e :*f" tol cïn
Ï ' t q l : L
t t Æ
( r - 3 0 )
m np o u r chaque mode de déformation c a r a c t é r i s é p a r q , o n c a l c u l e r a I e f a c t e u r d e T a y l o r m o y e n q u i r e p r é s e n t e u n p l a n t a n g e n t à l a C L E P . I l - e s t c l a i r q u e
I ' e x p r e s s i o n ( I - 3 0 ) e s t u n e f o r m u l a t i o n g é n é r a l e q u i s u p p o s e g u e l e s coefficient" *f* et CÏul se rapportent à un d.éveloppement en séries du facteur de
T a y l o r e t d e ] a F D o s u r d e s b a s e s q u i s o i e n t a d a p t é e s à r a s y m é t r i e c r i s t a l r i n e ' f ) S e c t i o n s d a n s I a C . L . E . P . p o u r d e s r a i s o n s d e c o m m o d i t é d e r e p r é s e n t a t i o n , o n g é n è r e d e s s e c t i o n s b i d i m e n s i o n n e l l e s à t r a v e r s I ' e s p a c e d e s c o n t r a i n t e s . O n s e f i x e u n e d i r e c t i o n U d a n s I l e s p a c e d e s c o n t r a i n t e s p o u r l a q u e l l e o n c h e r c h e l r i n t e r s e c t i o n a v e c I a C . L . E . p . . p a r l - e c h o i x d e s d i f f é r e n t e s d i r e c t i o n s U o n s é l e c t i o n n e ] a s e c t i o n q u e 1 ' o n d é s i r e r e p r é s e n t . e r . P r a t i q u e m e n t o n e x p r i m e U d a n s u n e b a s e d e v e c t e u r s u n i t a i r e s o " r o y e t f e c h o i x d e c e t t e b a s e f i x e l a s e c t i o n : o x ( 1 r 0 r o , o , 0 , o )
o y ( 0 , 1 , o , o r 0 , o )
a v e c c o n u n e c o n v e n t i o n d r é c r i t u r e ( o 1 1 r o 2 2 t 6 3 3 r o 1 3 r c 2 3 r 6 1 2 1 N f i m p o r t e q u e l é t a t d e c o n t r a i n t e o d a n s l a s e c t i o n ( r J 1 1 t 6 2 2 1 s r é c r i t c o n u n e c o m b i n a i s o n ] i n é a i r e d e o x e t o y : o : o o x + F c y . S o i t e n c o o r d o n n é e s p o l a i r e s : o = o p U ( I - 3 1 ) e t u - c o s ( | ) o x + s i n t l l o t ( I - 3 2 ) L a g u e s t i o n p o s é e e s t d e s a v o i r à p a r t i r d e q u e l n i v e a u d e c o n t r a i n t e o p o n a t t e i n t I a l i m i t e é I a s t i q u e p o u r u n e d i r e c È i o n U d o n n é e . fM ( q ) : JM(q,s) r(s) ds
d YD ' a p r è s 1 ' é q u a t i o n ( I - 1 5 ) :
( r - 3 3 )
E n e x p r i m a n t U n o n p l u s s o u s f o r m e d e v e c t e u r m a i s s o u s f o r m e t e n s o r i e l l e . 1 -1 - M d t o ù( r - 3 4 )
-
o i j
t i i
o p u i i Ê i i
M : - " = - " g t E é q u i 1 E é q u io ^ =
-v
u i j ( É i j / É e q , r 1 )
e t l a l i m i t e e s t a t t e i n t e p o u r o e : M i n t o ' t Ë i i / Ê 5 n r r i ) 1 e n s e l i m i t a n t a u x c a s p o s i t i f s : 0 < u i i . t Ë i i / Ê 5 q u i ) C e q u i p e r m e t d e c o n s t r u i r e l a s e c t i o n d e f a C L E P e n f a i s a n t v a r i e r Y d e 0 à 2 n . S ) L i m i t e s . L e m o d è I e d e T a y l o r - B i s h o P - H i l l : - n e p e r m e t p a s d e s i m u t e r L a t r a n s i t i o n é l a s t o - p l a s t i q u e . - n e s a t i s f a i t p a s l e s c o n d i t i o n s d r é q u i l i b r e ' - l a p r i s e e n c o m p t e d e f t é c r o u i s s a g e n r e s t p a s a i s é e '- présente une bonne adéquation avec Ie formal-isme des harmoniques s p h é r i q u e s u t i l i s é d a n s I ' a n a l y s e d e t e x t u r e , c e q u i f a c i l i t e l a p r i s e e n c o m p t e
d e I ' a n i s o t r o p i e i n d u i t e p a r I a t e x t u r e .
- Les calculs r e l a t i f s à I a p r i s e e n c o m p t e d e l a t e x t u r e s o n t t r è s r a p i d e s c a r t o u t e I a p a r t i e m o d é l i s a t i o n p l a s t i q u e e s t p r é c a l c u l é e .
F 2 - 2 - 2 ) S t a t i q u e a ) H y p o t h è s e s L e s h y p o t h è s e s d e b a s e d u m o d è I e u t i l i s é s o n t : - la déformation plastique a l i e u p a r g l i s s e m e n t e t m a c l a g e . - Ia containte g u e s u b i t I e m o n o c r i s t a l e s t é g a l e à I a c o n t r a i n t e d a n s l e p o l y c r i s t a l .
- la loi de comportement du monocristal e s t d u t y p e : f - s l 1 / m
î " t s r : i n l - l
( r - 3 s )
L'o,J
o ù S désigne I ' o r i e n t a t i o n d u g r a i n . E n a d o p t a n t u n e l o i d e c o m p o r t e m e n t v i s c o p l a s t i q u e , I e n o m b r e d e s y s t è m e s d e d é f o r m a t i o n a c t i f s n ' e s t p a s t i m i t é à u n s e u l c o n u n e d a n s I e c a s d u m o d è I e d e S a c h s . L ' h y p o t h è s e q u e f r é t a t d e c o n t r a i n t e d . a n s c h a q u e g r a i n e s t I ' é t a t d e c o n t r a i n t e m a c r o s c o p i q u e i m p l i q u e q u e I e s c o n d i t i o n s d ' é q u i l i b r e s o i e n t s a t i s f a i t e s . L a c o m p a t i b i l i t é a u x j o i n t s d e g r a i n s n r e s t p a s a s s u r é e p a r c e m o d è l e . b ) D e s c r i p t i o n d e I a m é t h o d e [ 1 6 ] E n p l a s t i c i t é c l a s s i q u e r l t i n c r é m e n t d e d é f o r m a t i o n d é r i v e d r u n p o t e n t i e l p l a s t i q u e h :c r r i i : i l JL
L ) t b i j( r - 3 6 )
S i l e p o t e n t i e l p l a s t i q u e e s t i d e n t i f i a b l e à l a s u r f a c e d ' é c o u l e m e n t , 1 ' é q u a t i o n ( I - 3 6 ) i m p l i q u e q u e l e v e c t e u r i n c r é m e n t d e d é f o r m a t i o n e s t p e r p e n d i c u l a i r e à I a s u r f a c e d e c h a r g e s e l o n l e p r i n c i p e d u t r a v a i l m a x i m a l . L e m o n o c r i s t a l s u i t u n e l o i d e c o m p o r t e m e n t v i s c o p l a s t i q u e :i" tsr = io sen,r",
ldt'*
l'"1
E n é c r i t u r e
v e c t o r i e l l e
à 5 d i m e n s i o n s [15] et en
Schmid:
t 1( r - 3 7 )
introduisant le tenseur de
l s
l r l m
l m i s i
l '
t - - lï ' " ls l : î o s e n
t * l s i l _ 7 1 ; 7 *
( r - 3 8 )
l.'oJ
L a p u i s s a n c e p l a s t i g u e p o u r u n m o n o c r i s t a l s ' é c r i t , l o r s q u r o n s r a f f r a n c h i t d u f a c t e u r s g n 1 m s , is 1 ) , o s oÈ ( g , s ) = 2t" is
( r - 3 9 )
S o -! ' I ( g , S ) = L C e q u i n o u s p e r m e t d e c o n s t r u i r e u n e f o n c È i o n p o t e n t i e l p l a s t i q u e : mr ( s ) = * * '
û i ( g , s )
q u i v é r i f i e :"
ô r ( s )
" l
ô s j
P o u r u n g r a i n , I e v e c t e u r v i t e s s e d e d é f o r m a t i o n s t é c r i t :
l*;,n,
,rlt*t
[ ' : ] " *
( r - 4 0 )
( r - 4 1 )
( r - 4 2 ' , )
e i ( 9 ) : L m 1 (9 ) Y 5 ( 9 )
( r - 4 3 )
* D a n s L e c a s d t u n m o n o c r i s t a f : E n n o r m a n t I e v e c t e u r v i t e s s e d e d é f o r m a t i o n : o o : f - s " lë i Ë i = .I lt *l isl : 1
( r - 4 4 1
] : I [ S ) e n r e m p l a ç a n t y s s e l o n ( I - 3 5 ) d a n s 1 ' e x p r e s s i o n ( I - 4 4 ) o n o b t i e n t u n e r e l a t i o n e n t r e l - e v e ô t e u r d é f o r m a t i o n e t I e v e c t e u r c o n t r a i n t e . P o u r c o n s t r u i r e u n e s e c t i o n d e I a C L E P , o n s e f i x e u n e d i r e c t i o n d e c o n t r a i n t e d a n s l a s e c t i o n d é s i r é e , c e q u i r é d u i t l e n o m b r e d ' i n c o n n u e s à u n e s e u l e ( I ) , I e m o d u l e d u v e c t e u r c o n t r a i n t e .S * : I c o s ( c )
S y : À s i n ( a )
e n i n t r o d u i s a n t
S x e t S y d a n s l ' é q u a t i o n
d e I a n o r m e d u v e c t e u r d é f o r m a t i o n :
; [ .
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q d o n c u n etl
Lu'
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L :
On applique fa même démarche
. I ' e n s e m b l e d u p o l y c r i s t a l : - f
t ; = f e i t s l d g : I f
L J - - - ls
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c o s t a l + r Ç s i n ( o )
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o n e n t i r e :( r - 4 6 )
e s t i n c o n n u ,
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O n o b t i e n t S o i t : é q u a t i o n d a n s 1lmicos
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['3]"*
S * j * D a n s l e c a s d ' u n p o l y c r i s t a l : L e c a l c u l d ' u n e s e c t i o n d o n n e :q u e dans Ie cas du monocristal, e n i n t é g r a n t s u r
*l tsl ys (s) ds
( r - 4 7 |
( r - 4 8 )
( r - 4 9 )
dg
O n e n d é d u i t À :
À :
I
- m / 2 Y c ) L i m i t e s L e n o n r e s p e c t d e s c o n d i t i o n s d e c o m p a t i b i l i t é e s t a c c e n t u é p a r l a I o i d e c o m p o r t e m e n t e n p u i s s a n c e d u m o n o c r i s t a l , c e q u i s i g n i f i e d e f o r t e s i n c o m p a t i b i l - i t é s a u x j o i n t s d e g r a i n s , c e q u i n l e s L p a s r é a l i s t e . L a d é m a r c h e p r é s e n t é e n e p e r m e t d e c o n s t r u i r e g u ' u n e s e c t i o n d e l a C L E P , p o u r d é f i n i r c o m p l è t e m e n t ( o u a v e c u n e c e r t a i n e r é s o l u t i o n ) I a s u r f a c e d e c h a r g e , i I f a u d r a i t c a l c u l e r u n c e r t a i n n o m b r e d e s e c t i o n s c e q u i c o n d u i t à d e s t e m p s d e c a l c u l - t r è s s u p é r i e u r s à c e u x n é c e s s a i r e à L a m o d é I i s a t i o n d e t y p e T a y l o r .. s
" \
l-;
[.:]
c o s ( d , )" i r
t o r
l 1 / *
L *l rer ro
q dg( r - 5 1 )
I / mI - 2 - 2 - 3 1 A u t o - c o h é r e n t a ) H y p o t h è s e s L r a p p r o c h e a u t o - c o h é r e n t e v i s c o p l a s t i q u e q u e n o u s a v o n s u t i l i s é d a n s l e p r é s e n t t r a v a i l a é t é d é c r i t e p a r M o l i n a r i e t c o - a u t e u r s [ 1 7 ] ' [ 1 8 ] . L e s h y p o t h è s e s d e b a s e s d u m o d è l e u t i l i s é s o n t : - le monocristal s u i t u n e l o i d e c o m p o r t e m e n t v i s c o p l a s t i q u e - I e m i l i e u e s t i n f i n i
- Ia déformation est uniforme dans 1e grain
- I a l o i d ' i n t e r a c t i o n e s t i s s u e d u p r o b l è m e d e ] r i n c l u s i o n d a n s u n m i l i e u h o m o g è n e é q u i v a l e n t . - I r i n f l u e n c e d i r e c t e d e s v o i s i n s n ' e s t p a s p r i s e e n c o m p t e b ) L e m o d è l e a u t o - c o h é r e n t L a r e l a t i o n c o n t r a i n t e - c i s a i l ] e m e n t m i c r o s c o p i q u e e s t u n e l o i v i s c o p l a s t i q u e : a v e c : T s l a c i s s i o n r é d u i t e a p p l i q u é e s u r I e s y s t è m e d e g l i s s e m e n t s . S t i u n e c o n t r a i n t e c r i t i q u e d e r é f é r e n c e c o r r e s p o n d a n t a u c i s a i l l e m e n t T ; . f f " c i s a i l l e m e n t p l a s t i q u e s u r I e s y s t è m e s .
D a n s u n r e p è r e m a c r o s c o p i q u e t e t e n s e u r d e d é f o r m a t i o n D i j s ' é c r i t :
m'": lÊl
S I S I1o
Lr'J
D i j
t . i i T "
s
( r - s 2 )
( r - 5 3 )
a v e c :
. S . S . S S D ; O i * D i f I i L )s
r Ï :
T
-
( I - s 4 )
où ns et 5s désignent
respectivement
la normale au plan de glissement
et Ia
d i r e c t i o n
d e g l i s s e m e n t d u s y s t è m e d e g l i s s e m e n t s .
E n i n t r o d u i s a n t
I e
d é v i a t e u r
d u t e n s e u r
d e s c o n t r a l n t e s
S i j
e È I a
l o i
v i s c o p l a s t i q u e
o n o b t i e n t I ' e x p r e s s i o n d e I a l o i d e c o m p o r t e m e n t n o n l i n é a i r e
d u
-:l _ s ^ ' L I o S q - t l
A u n t e n s e u r d é f i n i t p a r : A p 1 6 p ( D ) =
t * ( c - l f p )
( r - s s )
( r - 5 5 )
I a r o t a t i o n d u Ie comportement( r - 5 7 )
D u r a n t l a d é f o r m a t . i o n a i p e u t é v o l u e r p o u r r e n d r e c o m p t e d e I r é c r o u i s s a g e à t r a v e r s u n e m a t r i c e d ! é c r o u i s s a g e H s r :" ? = . s s r ' y r
' o L "r
s .
r i l
é v o l u e é g a l e m e n t a u c o u r s d e 1 a d é f o r m a t i o n à c a u s e d e
r e s e a u .
F i n a l e m e n t p a r i n v e r s i o n d e I a r e l a t i o n
( I - 5 5 ) e t e n c o n s i d é r a n t
t a n g e n t , l a l o i d e c o m p o r t e m e n t lo c a l e s ' é c r i t :
S : A ( D ) : D + s o ( D )
, ]
- 1 klmn a v e c :e t :
L e t e n s e u r d e s h y d r o s t a t i q u e : o = A ( D ) : D a v e c : p l a I l e G d é f i n i t p a r I t é q u a t i o n ( I - 5 4 ) r é é c r i t e ' D i j : G i i ( S ) c o n t r a i n t e s o s ' o b t i e n t e n a j o u t a n t u n+ s o ( D ) + p r
p r e s s i o n h y d r o s t a t i q u e t e n s e u r i d e n t i t é terme de( r - s 8 )
p r e s s a o n L e s q u a n t i t é s À e t S o n e s o n t p a s u n i f o r m e s , p a r t i e u n i f o r m e e t u n e p a r t i e q u i r e p r é s e n t e A = A o +  g o 3 g o o l g o a v e c A o e t S o o l e s q u a n t i t é s u n i f o r m e s e t  ,È o u t e f o i s o n l - e s d é c o m P o s e e n u n e
I e s f l - u c t u a t i o n s l o c a l e s s o i t :
( r - s 9 )
S o l e s v a r i a t i o n s I o c a l e s . O n s u p p o s e d r a u t r e p a r È q u e :T : n o E - + s o o
où Ao et Soo sont fonctions
oe
E-( r - 6 0 )
= 0 appliquées à ( I - 5 8 ) e n t e n a n t c o m p t e N a v i e r s u i v a n t e s : L e s é q u a t i o n s d e ( I - 5 9 ) , o n d 1 é q u i l i b r e : o i j , j + o b t i e n t l e s é q u a t i o n s f , - I de. o ^ i o ù l e s f i c t i v e s j k l v k , l j -q u a n t i t é s
P , i
f , - I+ f 1 : o
p e u v e n t ê t r e
c o n s i d é r é e s c o m m e d e s
( r - 6 1 )
f o r c e s
v o l u m i q u e s
L I i n c o m p r e s s i b i l i t é d o n n e : L x t : v k r k : o o ù L g l d é s i g n e l e g r a d i e n t d e v i t e s s e s . L e s é q u a t i o n s ( I - 5 1 ) e t ( I - 6 2 ) p e u v e n t ê t r e r é s o l u e s G r e e n q u i t r a d u i s e n t I ' e f f e t a u p o i n t M d ' u n c h a n g e m e n t L a s o l u t i o n e s t u n e é q u a t i o n s ' é c r i v a n t : a v e c : - nm}loTt =
S i o n n é g l i g e d r i n t e r a c t i o n G - l r r r 4 r r r J - + * G . i L . J f . ' \ -- i t e n d v e r s z é r oD k r +
) d x( r - r ' ) d 3 r
+ G m j , n i ) a v e c G 1 i l e s q u a n d l a d i s t a n c e e n t r e( t - 6 2 1
g r â c e a u x f o n c t i o n s d e s u r v e n u e n u n P o i n t t ' I ' .( r - 6 3 )
( r - 6 4 )
f o n c t i o n s d e G r e e n . l e s g r a i n s g e t g 'oTi :
E i i
+
I.ifli
vs ! , ] re'
i [Âii*,.
' ] o "
f (
=+ ll fF.-,.
" s l l '
J L v g '
v d Y o ù I ' : 1 / 4 ( G - i - - i * - g g , O n n o t e r a q u e l ; f r i j a u g m e n t e . E n d i s c r é t i s a n t l e p o l y c r i s t a l e n u n n o n i b r e f i n i d e g r a i n s c o n t r a i n t e e s t s u p p o s é e u n i f o r m e , o n p e u t é c r i r e : d a n s l e s q u e l s l a Di i + t . T T * r | . " * , . - T * ,
' . L / - t
6 l Y I ' i n f l u e n c e d e s v o i s i n s s u i v a n t e :- oir*n (Dnm
- o *",
]
( r - 6 s )
( m o d è I e à 1 s i t e ) , o n a b o u t i t à } a f o r m u l e( r _ 6 6 )
l a f o r m e d e s g r a i n s c a r g r a i n . L r a p p r o c h e a u t o-s S - T =
( f - 1 + A o ) : t o 9 - 6 - )
o ù l e t e n s e u r I - t i e n t c o m p t e d e ] r i n t e r a c t i o n d t e à c r e s t t e r é s u l t a t d ' u n e i n t é g r a l e s u r l e v o l u m e d u c o h é r e n t e c o n s i s t e à c a l c u l e r À o d e m a n i è r e à a s s u r e r :< s > = T
< D > : î
a v e c < > l a v a l e u r m o y e n n e v o l u m i q u e s u r I e p o l y c r i s t a l '
( r - 6 7 )
O n r é s o u d a i n s i l e p r o b l è m e q u i c o n s i s t e à c h e r c h e r t e g r a d i e n t d e d é p l a c e m e n t
I o c a l e t l e g r a d i e n t d e s c o n t r a i n t e s l o c a L c o n n a i s s a n t L e t e n s e u r g r a d i e n t d e
d é p l a c e m e n t m a c r o s c o p i q u e .
c) Méthode de détermination de l-a CLEP
O n c a l c u l e L e s t e n s e u r s d e c o n t r a i n t e s m i c r o s c o p i q u e s a s s o c i é s à c h a q u e g r a i n p o u r d i f f é r e n t s d e m o d e d e d é f o r m a t . i o n m a c r o s c o p i q u e d a n s l e c a s d ' u n p o l y c r i s t a l c o n s t i t u é d e n g r a i n s o r i e n t é s a l é a t o i r e m e n t . L a p r i s e e n c o m p t e d e l a t e x t u r e d e t 1 é c h a n t i l l o n s e f e r a e n p o n d é r a n t f e s t e n s e u r s d e c o n t r a i n t e s p a r I a v a l e u r d e I a F D O . L e c a l c u l - d e 1 a m o y e n n e p o n d é r é e p a r I a F D O d e s t e n s e u r s d e c o n t r a i n t e s l o c a l e s p e r m e t d e d é t e r m i n e r l e t e n s e u r d e s c o n t r a i n t e s m a c r o s c o p i q u e q u i e s t r e p r é s e n t é p a r u n p o i n t s u r l a C L E P . C h a q u e m o d e d e d é f o r m a t i o n m a c r o s c o p i q u e d o n n e d o n c u n p o i n t s u r l a C L E P . P o u r c o n s t r u i r e u n e C L E P i l f a u t d o n c b a l a y e r l ' e n s e m b l e d e s m o d e s d e d é f o r m a t i o n s u s c e p t i b l e s d ' i n t e r v e n i r l o r s d u f o r m a g e d ' u n e t ô f e . C e l a r e p r é s e n t e u n t e m p s d e c a l c u l a s s e z c o n s é q u e n t , c t e s t p o u r q u o i n o u s n o u s s o r n m e s l i m i t é a u x 2 1 m o d e s d e d é f o r m a t i o n s d é j à u t i l i s é s a v e c I e m o d è I e d e T a y l o r . E n i m p o s a n t l a d é f o r m a t i o n , l e s c o n t r a i n t e s v o n t ê t r e l a r é p o n s e d u m a t é r i a u à I a s o l l i c i t a t i o n , c e l a s i g n i f i e q u ' o n n e c o n t r ô I e p a s l a d i r e c t i o n c h o i s i e d a n s I r e s p a c e d e s c o n t r a i n t e s . L a c o n s t r u c t i o n d e s e c t i o n s p a r t i c u t i è r e s d a n s I a C L E P e s t d o n c p r a t i q u e m e n t i m p o s s i b l e . U n e s o l u t i o n s e r a i t d e f a i r e p a s s e r u n e c o u r b e a n a l y t i q u e à t r a v e r s l e s p o i n t s c a l c u L é s . V a n H o u t t e t 3 l a p r o p o s é u n e e x p r e s s i o n a n a l y t i q u e d e l a C L E P c a l c u f é e à p a r t i r d ' u n m o d è I e d e T a y l o r ' d a n s I e b u t d ' i n t r o d u i r e I ' a n i s o t r o p i e p l a s t i q u e d a n s u n c o d e d e c a l c u l p a r é I é m e n t s f i n i s .
