Équations fonctionnelles de Mahler et applications aux suites p-régulières

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Équations fonctionnelles de Mahler et applications aux

suites p-régulières

Bernard Randé

To cite this version:

Bernard Randé. Équations fonctionnelles de Mahler et applications aux suites p-régulières. Mathé-matiques [math]. Université Bordeaux 1, 1992. Français. �tel-01183330�

\

T HESE

présentée

à

L'UNIVER,SITE BORDEAUX 1

POUR OBTENIR LE GRADE DE

OOCrEUR

SPECIALITE MATHEMATIQUES ET INFORMATIQUE

Bernard BANDE

EQUATIONS FONCTIONNELLES DE 1IABLER ET APPLICATIONS AUX SUITES p-REGUL!ERES

Soutenue le 25 septembre 1992, devant la Commission d'Examen:

MM. M. MENDES FRANCE J.-P. ALLOUCHE J.-M. DESHOUILLERS J.-P. ELLOY

A. VAN DER POORTEN G. RENAULT

M. WALD SCHMIDT

1992

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C'est dire si les lignes qui suivent auraient dû me demander de peine : et il faut que le plaisir que j'ai pris à les écrire ait été bien grand ,Jour qu'elles me paraissent si naturelles lorsque je les relis .

La chronologie étant le meilleur des diplomates en matière de préséance, je commencerai par ceux qui m'ont donné le goût des mathématiques, et celui de le transmettre : Mme larelle, CI élude Deschamps. Georges Flory ont beaucoup compté à cet égard. Ce serait plus que de l'ingratitude, ce serait de "inconséquence que d'oublier le rôle que jouent l'enseignement, et "enseignant, dans la construction des choix d'un jeune. Les classes préparatoires scientifiques en sont un exemple, suffisamment marquant pour que j'y aie exercé ensuite; grâce à ,'état d'esprit que j'y ai rencontré, au lycée Louis-le-Grand, à Paris, puis au lycée Clemenceau, à Nantes, grâce également à ceux qui, de plus haut, ont permis que je trouve les conditions optimales de travail: Mme Deleau, MM. E.Ramis, P.Legrand, Dablanc, P.Rttali, P.Deheuuels, Bernard-Brunet, j'ai pu mener ce travail, sinon à bien, du moins à son terme. Les collègues y ont été nombreux, qui m'ont stimulé ou aidé: R.Antetomaso) n.Warusfel, n. Tissier, D.Monasse. H.Pépin, D.Mollier,

d.L

Ruaud, J.Yebbou, n.Pommellet. J'aimerais y ajouter Jacques Boutigny et Laurence Scetbun, mes amis physicien et chimiste, dont la compréhension m'a été utile lors de périodes professionnelles ... chargées. Un. peu grâce à ces derniers, beaucoup grâce

à

eux-mêmes, mes élèves, tant à Paris qu'à Nantes, n'ont pas semblé devoir trop souffrir du temps que je ne leur consacrai pas : constatation seulement à

demi-rassurante, mais tout de même apaisantel

Un itinéraire intellectuel étant par essence multivoque, je n'aurai garde d'oublier tous ceux qui, à des titres et dans des cadres divers, m'ont éveillé l'esprit par la puissance de leurs idées., la beauté de leurs points de vue, la rigueur de leur pensée, ou bien tout simplement le charme de leurs propos. Je pense, parmi beaucoup d'autres. et sans préjuger de ceux qui sont cités ailleurs, à J.L Ouaert, à M.Cabanes, à Y.Duual, à G.Esposito, à mon ami Rached Mneimné.

L'ouverture d'esprit, je l'ai rencontrée aussi dans le monde universitaire, et accompagnée de quelles autres qualités 1 Non seulement au groupe de travail sur les automates finis, à Paris, mais aussi ici, à Bordeaux 1. L'accueil que j'y ai trouvé,

que la gentillesse existe là où règnent les qualités intellectuelles auxquelles on adhère le plu~ Michel Mendès France, président du jury, et Jean-Marc Deshouillers, devant qui j'ai l'honneur de soutenir cette thèse, en sont les vivants exemples. Et je ne sais qui remercier en premier lieu, des hommes ou des mathématiciens. Aussi, à travers eux, rendrai-je simplement hommage à tous ceux qui, depuis l'Université de Bordeaux l, ont aidé à la réalisatîon de ce travail.

Guy

lienault et Michel Waldschmidt ont eux aussi des noms si prestigie,.Jx que j'oserais à peine les écrire si je n'avais à leur égard un autre devoir ; ce n'est rien de parler de l'honneur qu'ils me font en acceptant de critiquer ce travail. " est plus délicat de présenter des excuses en guise de remerciements 1 Il est de bon ton, à l'heure actuelle, de mépriser le don qu'ont certains à travailler vite. Pourtant, voilà un défaut qu'il m'aurait été bien agréable de posséder, et qu'à coup sûr les deux rapporteurs que j'ai cités ont été dans l'obligation d'acquérir, à tel point que le délai dont ils ont disposé entre la réception d'un travail approximativement lisible, et la remise ultime du rapport, est certainement le seul mérite dont cette thèse puisse se prévaloir pour entrer dans le livre Guin....ess des records 1

Rlt'/uan der Poorten

a fait vingt mille kilomètres pour venir jusqu'ici ;

y

a-t-il une meilleure façon de faire constater ce que je dois à l'un des plus grands spécialistes mondiaux du sujet que j'aborde dans les pages qui suivent?

Si Jean-Pierre Elloy n'a fait que quatre cents kilomètres, depuis le laboratoire d'automatique de l'Ecole Centrale de Nantes, où j'ai rencontré tant d'amitiés et tant d'aide précieuse, il apporte avec lui le souffle vivant de l'informatique qui se fait et qui s'applique. Aussi, est-il un peu l'image de cet éclectisme qui me semble d'autant plus nécessaire qu'il est plus décrié, et que je suis fier de retrouver dans ce jury.

Je parlai tout à l'heure de l'atmosphère qui m'avait si vivement impressionné dans ce monde universitaire: Dévouement, compétence, disponibiliié, imagination, vigueur intellectuelle: voilà des qualités que l'on prend plaisir à y reconnaître, et que résume Jean-Paul Rllouche, sans qu'il s'y résume. Il peut sembler hautement funambulatoire de parler ainsi de celui qui, après tout, a dirigé votre travail pendant trois ans, et à qui vous devez

trop

pour que vous ne soyez pas soupçonné dans vos intentions. Que je prenne le risque de ce!> compliments est peut~être la meilleure preuve qu'ils les mérite. Mais puisque complimenter n'est pas remercier, je me contenterai de dire que seule l'amitié peut épuiser la gratitude que je lui dois.

celles qui m'ont permis de travailler, ou pl1JS profondément. qui m'en ont

é ..

mné le

goût? Outre qu'il me faudrait citer des noms qui l'ont déjà été, je sens, au moment de commencer, que cela est inutile, car il est des remerciements que cl. .... que instant de la vie rend superflus.

Les pliages de papiers l'ont été par les enfants, ou les adultes japonais. Par ailleurs, un mathématicien, Morse, il y a cinquante ans, s'intéressait à des géodésiques non fermées de certaines surfaces, tandis que Hardy, suivant Wedderburn, étudiait les propriétés analytiques des solutions d'une équation fonctionnelle.

Entre la transversalité et 10S ratons laveurs, il n'y a sans doute que des

contingences historiques (avec un petit h), ou le vif sentiment d'une urgence rationnelle. Dans ce dernier cas, il faut penser qu'il était partagé puisque, quelque temps après, on trouve, dans le domaine qui nous occupe, outre les tenants des cocottes en papier, des théoriciens des nombres, des informaticiens, des analystes, des physiciens, des algébristes,olJ des spécialistes des langages.

Une suite reconnue par automate peut être envisagée comme un mot infini d'un langage, point fixe d'unE: substitution ; comme une suite dont certaines sous-suites forment un enseinble fini; enfin, comme la suite des coefficients d'une série entière, ou d'une série formelle, vérifiant une équation que l'on appellera ici de Mahler, répondant ainsi à un usage presque constitué, et à la nécessité de rendre hommage à celui qui, il y a un demi-siècle, avait déjà beaucoup dit à ce sujet.

Les suites automatiques ont été l'objet de nombreux travaux ; elles disparaissent dans ce travail derrière la notion de suite p-régulière, elle -même subsumée dans les solutions d'équations de Mahler. Il est vrai que le risque de toute généralisation est de faire disparaître la multiplicité des approches, pour n'en retenir qu'une qui motive la généralisation. Mais qui ne risque rien n'a rien Pourquoi un mathématicien veut-il étudier les suites automatiques? Pour, en premier lieu, disposer de nouveaux objets ; il convient alors de mesurer leur degré de nouveau\é, par les propriétés qu'ils supportent, propriétés qui peuvent être, pour employer une comparaison que l'on pardonnera, phénotypique ou génotypique.

Lorsque Morse inventait la suite qui prit ultérieurement son nom (accolé à

celui de Thue), il cherchait un individu, susceptible de l'aider à const,·uire un Objet donné; il suffit de consulter les exemples donnés en [1] pour constater qu'il n'y a pas beaucoup de mathématiciens, ou d'informaticiens théoriciens, qui n'auraient avantage, pour illustrer leur propos, à suivre l'exemple de Morse.

Pourtant, ce n'est pas dans cette perspective que nous travaillerons ; nous préfèrerons partir de l'interrogation suivante: étant donné un renseignement "standard" sur une suite Rutomatique (ou p-régulière), que peut-on dire de la suite?

Les théoriciens des nombres connaissent bien cette situation : des résultats d'approximation diophantienne conduisent à montrer qu'un nombre est, soit

nombre le forçait, soit à la banalité, soit à l'étrangeté. De façon analogue, nous aimerions constater qu'une suile p-régulière est, soit très banale (associée à une fraction rationnelle), soit assez étrarig,~.

Une façon de ;.~esurer ce comportement global de la famille ries suites p-régulières (ou de leur généralisation ) est donc d'obtenir un renseignement du style : si la suite est assez banale, elle l'esl énormément. En réalité, nous ne raisonnerons jamais directement sur les_o suites elles-mêmes, mais toujOl:rs sur leurs séries génératrices. Pour simplifier, nous appellerons série régulière la série génératrice d'une suite (p-) régulière.

Se pose alors la question du cadre formel ; il s'agit du domaine dans lequel la suite prend ses valeurs. En ce qui concerne les suites automatiques, le choix est limité : à l'origine, c'est {O,1}, :lU encore le corps à deux éléments, pour des

raisons que l'on comprend aisément ; néanmoins, dés qu'il s'agit de la transcendance des valeurs prises par la série, il ne peut plus s'agir que d'ur, sous-corps d~!

cr: ,

ou, si l'on veut, d'un corps valué et complet.

Les mêmfJs possibilités s'ouvrent aux séries régulières ; en réalité, une suite u, régulière - c'est là l'intérêt de la notion- peut prendre ses valeurs dans n'importe quel anneau: sa définition nous dit seulement que (dans le cas de la 2-régularité) le module engendré par:

u(n) ,11(2n) ,u{2n+ 1) ,ur 4n), ... ,u(4n+3) ,u(8n), ...

est de type fini. Le cadre formel correspondant sera donc A((X)), qui présente l'avantage d'être un corps si A en est un. Ce sera aussi le cadre formel utilisé pour tout ce qui concerne les équations de Mahler ; prati4uement, A sera noethérien, souvent intègre de surplus, et finalement, pour ne rien cacher, un corps.

Les sous-anneaux de A((X)) stables par la substitution de X2 à X nous serviront d'anneaux de base ; tant qu'il s'agit de suites régulières, A[X] et A(X) suffisent. En vue de la généralisalion entreprise, nous aborderons l'étude de ces sous-anneaux, baptisés mahlériens. Le chapitre 2 établit un certain nombre de résultas algébriques sur ces structures.

Dans ce même chapitre, nous énonçons un théorème d'existence de solutions à des équations linéaires de Mahler; ce théorème est insuffisant, et voici pourquoi: supposons que l'on ait établi un résultat de nature algébrique par des méthodes analytiques, en supposant A

= [.

Ce rés<.Jltat porte alors sur des fonctions méromorphes dans le disque unité. Pour l'appliquer aux séries formelles, il est nécessaire de disposer d'une bijection bien comprise avec les solutions dans

cr:

C [X]]. Or, c'est ce que n'établit pas le théorème cité. Néanmoins, l8nt que l'en reste dans le cadre des fonctions régulières. en 0, le transfert s'effectue agréablement.

Le chapitre 3 reste de nature algébrique : il aborde essentiellement la question de la caractérisation des séries p-régulières, et quelques problèmes 'connexes, qui sont l'objet de travaux de P.Dumas.

Le chapitre 4, de nature analytique, se fixe pour objet de montrer qu'une solution d'éQ'Jation linéaire de Mahler, à coefficients dans 11: (x), est soit une

associe au problème scalaire d'ordre n un problème m8triciel d'ordre un, et on établît, par des méthodes élémentaires de prolongement analytique, que • si le vecteur inconnu admet un point régulier sur le cercle, il est à coefficient~

fractions rationnelles ; il s'agit ensuite de montrer que, si tous les poinis du cercle unité sont singuliers pour le vecteur, alors ils le sont pour toutes les composantes. C'est dans cette étape qU8 réside la difficulté. On litilise ?.fors un résultat connu sur les singularités des soluticls d'équations algébriques, résultat qui, faute de références, est établi en annexe.

Le chapitre 5 s'occupe d'hypertranscendance ; le résultat général conjecturé, précisé dans les questions in fine, est hors de portée des méthodes utilisées, cpi permettent néanmoins de répondre à une conjectlJre de Rubel, et de donner quelques exemples d'équations algébriques de Mahler dont les solutions non rationnelles sont hypertranscendantes. Il faut noter que de nombreuses études ont été menées sur l'hypertranscendance de solutions d'équations fonctionnelles ( par exemple [7], [11]). La principale difficulté, dans notre cas, réside en ceci que le changement de variable naturel x ;: et ne conserve pas le corps des fractions rationnellesl

Le chapitre 6 est de nature essentiellement formelle, et a été écrit en vue de décortiquer, pC'Jt-être, la situation évoquée dans le chapitre 5 dans le cas général des équations d'ordre n. On obtient nëanmoins un résultat, éventuellement inattendu, qui nermet d'affirmer que, par exemple,une série régulière à coefficients complexes satisfait un équation algébrique de Mahler à

coefficients entiers.

Le chapitre 7, s'inspirant de l'idée que de telles suites sont "soit très banales, soit assez étranges", est motivé par une conjecture de Loxton et van der Poorten généralisant un résultat de Cobham ; ce dernier affirme qu'une suite, reconnue par un 2-autom3te et un 3-automate, est ultimement périodique. Le résultat obtenu dans ce chapitre ne porte en fait que sur les équations d'ordre un.

Autant que possible, les notations et conventions sont spécifiées au fur et à

mesure de leur emploi. Néanmoins, certaines constantes de notation sont rappelées ici.

Les anneaux considérés sont toujours unifères ; A désigne un ::nneau commutatif, qui pourra êtie un corps. En revanche, K désignera nécessairement un corps.

La notation X fait toujours allusion à un cadre de séries formelles, tandis que x désigne "argument d"une function. Ainsi, n::: (X) est le corps des fŒctions rationnelles à coefficients dans [:. tandis que

C

(x) désigne le corps des fonctions fractions rationnelles sur

C.

Mm,p(A)

désigne ;e module des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans A. L'algèbre

Mm,m(A)

sera souvent aussi notée

Mm(A).

L'o~érateur ~p de Mahl,gr, défini au chapitre 2, sera souvent 'loté

Il,

tout au moins lorsque 0 la èonfusion sur p ne sera pas possible. !...·usage t i: \ (OU j'autre

notation obéit

à

des motifs typogr'?phiques. On dësigne par p _.l entier, non

nécessairement premier, mais supérieur ou égal à 2.

L~9fBre sur KfXo, ... ,Xn], qùi en fait esi uh préordre, utilisé dans le chapitre 5, est celui qui es.t défini dans ('annexe 2.

_...

.

On désigne par 0 un connexe 6,üyert dans [;', Ce pourra être le disque unité Ô ; en revanche, Ô qesigne nécessai,fement le disque Lmité:"

Ce chapitre a pour but de p0ser, dans un cas simple, les prohlématiques qui seront abordées dans un cadre plus général dans la suite. L'intérêt de cette démarche est évident: le forniaJisme est réduit au minimum, les calculs se font sans grande difficulté, et les résultats s'obtiennent

à

moindre coùt. Les inconvénients sont moins apparents, mais ré~ls; le principal est celui de laisser prévoir des généralisations dont le lecteur sera le plus souvent frustré. Par exemple, la transcendance dei' solutions de certaines équations fonctionnelles (paragraphe 4) ne sera obtenue dans un cadre plus général qu'au prix d'une restriction sur le corps de base (chapitre 4).

Le paragraphe 1 préfigure une partie des résultats du chapitre 2. Les paragraphes 2 et

3

introduisent des techniques réutilisées dans les chapitres

2

et

8.

Le paragraphe

4,

outre le chapitre

4,

anticipe les notions introduites dans le chapitre

5.

Dans tout ce chapitre, A désigne un a.nneau commutatif unitaire et :ntègre; f{ désigne un corps algébriquement dos contenant

.4 ..

Comme d'habitude,

A((X))

désigne l'anneau des séries formelles de la forme

"L;::-=

a/;.Xk, où (a/; )kEZ est une famille d'éléments de A

nuls pour J.~ assez petit. Si

A

est un corps,

A((X))

est aussi un corps. On Ilote p un ent.ier supérieur ou égal

à

2.

1.

Solutions d'une équation fonctionnelle dans

A((X».

Soit b un élément de

A((X)).

On désigïle par (1) l'équation fonctionnelle:

(1)

f(X)

=

b(X)f(){P).

dont l'inconnue

f

est dans A((X)). On supp08e b

=1

o.

Proposition

1.1. Posons {3

=

'l'ale!»~,

et

b(X)

=

X.Bb1(X).

(a)

L'équacion

(1)

admet

une

solution F non nulle si, et seulement si : p - 1 divise f3 et b}(O) = l.

(b) Supposons les hypothèses du

(a)

vérifiées. L'ensemhle des solu tions de

(1)

est un

A-module, en,gendré par:

le produit infini convergeant pour la topologie canonique de A((X)).

Preuve:

Soit June solutioa non nulle de (1), de valuation n. On pose:

f(X)

=

X

n

il

(X),

avec

il

(0)

i=

O.

Nécessairement: Xnh(X) = Xf3_{X pn h(X}P_)b}(X).

D'où: 17(1-p) = /i et .fI(S) = fdXP)hdX). D'où encore, puisque .fI(O)

i=

0: bdO) = l. Il reste il dherminer l'enscl11hlc dE'S solutions de :

Nécessairement: Comme

JI

(X pi + 1) , - ; .fI (0), on a : )- +00 J

II

bl(X1,k) , - 7 'P1(X), 'P1(X) E A.[[X]], et fl(X) = f1(0)'PI(X). J-+oo /;"",0

Montrons qu'effectivement la suite

Oli.""o

LI

(XPk )))';::0 converge vers un élément de

A[[X]]

de valuation nulle, ce qui complèteJét le résultat. Si l'on note p)(X) le terme g~néral de cette suite, on a : Pj+l (X) - Pj(X) = [b1 (XPi+ 1 ) - l]Pj(X). Or :

val[b

_{l (}Xpi+1) _ 1] ~ pj+l. Donc: P)+l - p) , - 7 0, et Pj , - t ~"'l, avec 'Pl (0) = 1.

)-+=

) - + 0 0 2. Un cas particulier.

Dans l'équatio!"! (1), supposons

à

présent que b E A,(X). On peut, grâ.ce

à

l'étude précédente, supposer que

tral"b)

= 0 et que

b(O)

= 1. Plongeons

A

dans un corps J{ algébriquement clos, et posons:

b(X) =

TI

(1 - a:x)m(a),

o:E J\"

où m : J{* ~ Z est une fonction

à

support fini. Cherchons

f

S0US la forme :

f(X)

=

TI

(1 - a:X)~(O:), aEJ,"

Proposition 1.2.

Soit, A

un anneau

inti>gre,

dont la caractéristique ne

divise

pas

p. Soit:

f(X) =

il

(1 - aX)"dol,

nEA\{O}

un élément de A(X). Alors:

Pren"ue :

f(XP)=

Il

(l-aX)'P(oP).

oEA\{O}

Dans K, clôture algébrique de

A,

le polynôme yP - 1 admet p racines distinctes. Notons !lIeur ensemble, et désignons par S un système de représentants de

JO;"

ID..

Cet ensemble est donc en bijection avec J{* par:

Il vient alors : f(XP) =

II

(1 - aXP)"'(o) =

il

(1 - j3P_X P)'P({JP) oEl{" fiES =

il

II

(1 -

j3i.J.,'X)",«{3wlP) t3ESwEn =

II

(1 -

aX)"'(OP). crE!\""

Proposition 1.3.

Soit

A.

un anneau

intègre

dont la caractéristique ne

divise pas p, K

un

corps algébriquement clos contenant A,

b un élément

de

A(X),

de la forme:

b(X) =

TI

(1 - aXyn(o).

CfE go

Pour qu'il existe une solution

J,

110n

nulle, appartenant

à A(X),

de

l'équa.tion :

f(X)

=

b(X)f(XP),

il faut et

il

suffit

qu'il existe une application

'P,

de

J(*

dans

Z, à support fini, telle que:

Prcu:nc :

Dans X(X), cette {"(lllin!lcnc(' résulte immédiatement de la proposit.ion 1.2, et du fa.it que

f

est nécessairement de ndllatioll nulle.

Reste ft vérifier qllC, s"il exis, (' Ulle solntioll non 11ulle g dans 1; (X), il existe une solution

non nulle

f

dans A(X). Soit:

+=

c.p ::::::

II

b(Xl'k ),

k==O

qui est un élément de

A.[[.\"]].

D'après la propositioll 1.1, on a : cp = og,

011

(I a.ppar;ient

à

K.

y

Donc: cp E I~T'{)

n

AUX]]. Il cn ré'stllte que cp appartient

à

.4(X) grâce, par exemple,

à

la caractérisation de Halllœl des éléments de A[[X]J qui sont daus A(X).

Interprétation.

On peut identifier Ull (~kmcllt

f

de I\"(X), de valuation nulle et tel que f(O) = 1, à la

famille (CP(O))oE!'·.; ("est-il-dire

à

un élément de ;;L(1,'"). Cette identification transforme la loi x en la loi

+.

Considérons alors l'application:

Elle arrive en fait dans Z(!'·"l. Si, en effet, CI' et (\'1' n'appa~·tiennent pas au support de cp,

noté supp(

cp),

on Cl : cp( 0') - cp( 0'1') =

O.

Il

en résulte que

le

support

de

\.li (cp)

est inclus

dans:

svpp( cp ) U

{.1:

E J..:*, x]i E sUPP(

cp)}.

Ce

dernier ensemble est é,'idemment fini. La proposition

2 n

'15 dit alors que Im(\.lI)

coïncide avec l'ensemble des fractions de la forme

!t~~\\.

Nous aIlL' ''', ',dier cet ensemble

de plus près.

3. Un sous monoïde de

(A.[X]\{O},

x). Dans ce paragraphe, A. est un corps.

L'ensemble des éléments de .4(X), image de

f

f-t

K;:p\,

est évidemment un sous-groupe de A.(X)\ {O}. Nous allons nous limiter

à

l'étude des éléments de

A.rX]

qui sont dans ce sous-groupe: leur ensemble forme un sous-monoïde de

A[XJ\{O},

noté

J'v!p,

Lemme. Soient h, k deux éléments de A[X]. premiers cntre eux. Alors I1(Xl'), k(Xl') sont aussi premiers entre' eux.

Preuve :

Cela résulte immédiatement dC' l'égalité de Bezout.

Remarque.

Ce résultnt serait ('11('01'(' \'Tai dans le cas cl 'un anneau fact.oriel

A.

Soit en effet

B

le

corps nes fractions de

A;

lt(.\:J') et ~'(XP) sont premiers entre eux dans

BlX].

Mais

cont(h)

=

cont(h(Xl')), c07lf(k)

=

cont(k(.\1')). Donc, d'après Gauss, h(Xl') et k(X1')

. sont. premiers ent.re eux dans

A[X].

Proposition 1.4. Soit b E A[X], l'a/(h) = O. Pour que b appartiem)e

il

Ml" il faut et il suffit CjU 'iJ existe h, de valuatioIJ n1llle, appartenant à

AlX]'

tcl que:

Preuve:

b( X) = ft (X l' ) .

h(X)

Un sens étant évident, supposons b dans Ml"

On

peut

écl. ... ·e :

r f(Xl')

b(-",,{) = j(X) , avec

f

E A[X], valU) = 0,

f(O)

= 1.

h

Posons j =

k'

avec pgcd(

li,

k) = l. On a donc:

b(X)h(X)k(X)') = k(X)h(XP).

Il en résulte que k(X") divise k(X)h(Xl'), donc (lemme), que k(XP) divise k(X). Ceci

. k . 1 ' 1 'l:)

lmpose . = 1, pUlS e l'esu tat.

Posons alors h(X) = [1oEI\·.(l- aX)'P(o), et déterminons une condition nécessaire et suffisante pour que h(X) divise h(Xl'), ce qui équivaut, d'après la proposition 1.3,

à:

(3)

Vo E ]{*, <p(0):S; <p(oP).

Il est commode de mettre sur I{* la relation de préordre :

o

-<

(3 si et seulement si '3k E N,

La condition (3) s'exprime alors en disant que <p est croissante.

Lemme. Soit n E N*. Posons n = pm q, avec pgcd(p, q) = l, et m. E N. Il existe un couple

(k,l) de N x N, avec 1> k. tel que:

1_ k d()

p = p mo Tl.

De plus, le plus petit couple (k, 1) (pour l'ordre lexicographique habituel sur N2 ) vérifiant ces propriétés est défini par:

/.: = 117; 1 = m

+

w, où ,",' est J'ordre de ]Y dalls ((Z/qZ)"', x).

Pre1tve :

Le couple indiqué convient. On a en effet: pW

==

1 mod(q), et donc: pw+m

==

pm mod(n).

Soit réciproquement un couple

(k, 1)

qui convient. On a :

donc k ;::: m. Si de plus 1.. :::: rn, on o:Jtient :

pl-k _ 1

==

a

mod(q), donc l - l..~

;:::

w.

Dans ces conditions, le procédé pour déterminer si

h(X)

divise

h(XP)

est le suivant:

• k

SOlt 0' tel que

!.p(

0')

:2:

1; on a donc, pour tout kEN,

c.p(

O'P ) ;::: l.

Il en résulte que la suite (o,pk

)k~O

ne peut être injective, et que 0' est une fé\.cine de l'unité.

D'après le lemme, si n est J'ordre de o. on a la situation suivante, la notation "x _ y"

signifiant LLX

-<

y" :

c;.

l

o(p

La partie fermée du graphe correspond aux éléments équivalents. La condition cherchée est donc la croissance de la fonction r..p sur la partie initiale du graphe, et sa constance sur la partie fermée.

Illustration

1.

Cherchons l'élément h de

qX],

de plus petit degré, tel que h(X) divise h(X2), et qui

soit divisible par (X - .i)(X - i)2(X

+

1). On dispose du diagramme suivant

(1.) -1

0)

Le polynôme cherché est:

Illustration

2.

Cherchons les polynômes irréductibles

h

de

Q[X}

tels que

h(X)

divise

h(XP); h

est nécessairement un polynôme cyclotomique

tPn.

Premiercas: pgcd(n,p)=I=l.

Soit a une ra.cine primitive n-ième de 1. Alors aP _{n'est pas racine primitive n-ième de 1 :}

donc CÏ>n(){) ne di,,;se pas CÏ>n(XP).

Deuxième cas : pgcd(n,p)

==

1.

-Si a est racine de

tP n,

aP _{est aussi racine de q>}

_n.

_{Comme les racines de q> n sont simples,}

on en déduit que

CÏ>n(X)

divise

<pn(XP).

On montrerait. de façon analogue que les polynômes

h

de

Q[X]

tels que

h(X)

divise

h(XP)

sont de la forme:

Nq

II II

CÏ>pmq(X). pgcd(p,q)::=l m=O

nelles.

Introduction. Ivlulticlegré d'uu élé'I1lent d(' .-1[X/li01. Nous mettons sur f'!,,+l l'ordre sninwt

. pour 11 = 0, c'est l'ordre usuel,

. nous disons qUE' (Po,' .. ,]),,) est plus petit. que (qo,' '. ,qn) si ou bien Pn

<

qn, ou bien

Pn = 'ln et (Plll'" ,]>H-I) est plus petit que (qo,'" ,qn-l).

Nous étendons ensuite cct ordrE'

à

N(N) , considéré comme réunion croissante des Nn+l, pour n décriv'\.nt N. On obtient alors un bon ordre sur N(l\l) .

Soit alors P un élément de A[XdiEN, identifié à la famille (Po )oENfN) de ses coefficients dans la base (Xa )oEWN). Ici x(n) désignE' X~)O X~lj ... X~n, lorsque a désigne (ao, al,' .. , an).

Définition.

Soit P

E

A[1

~LHjj

P

=1=

O. On appelle multidf?gré cIe P l'élément deg(P) égal

à :

Exemple.

Le multiclegré de

X

3

X

O

+

Xi

xg +

x~ est (3,0,0, 1).

Proposition 1.5.

Soit

A un corps, (bo,' .. , bn ) une famille

d'éléments

non

11u1s de

A(X),

de \'aluatioll nulle, t.els que 1>i(O) = 1, et

ai

solution de

Si

la famille

(B

o,'" ,an) est algébriQuement

li.ée sur A(X), elle est

multiplica.tivement

liée

SUI'

.4(X).

Pre1we :

Soit P E A(X)[YÜ,· ..

,l'Tl]

un polyn6me non nul, de multidegré minimal, tel que

Posons

P(Y

o,' .. , }'~I) = _{2:o ENn+l}

Pa(X)Yo-,

et [)

=

deg(P).

Il

n'est pas restrictif de supposer que ]J6

=

l. On a donc: I:aErJn+l

]JoBo(X)oo ...

Bn(X)Otl

-=

0,

t "

t·""

(Yl')8('FP)OO 8("·1')0:-0

e par consequen , L....oaENn+1 Po.'\. o.'\. ... n''\. f i ~- •

D'où: 2:aEWn+1 pQ(X1')bo(X)GO, .. bn(X)OnBo(X)Qo ...

8

n

(Xy>n

= Q.

3.nnn1e d011<.'

(B

_{o,' ..} ,8'1)' et est toujours à coefficients dans A(X).

Il

en résulte que

le

polynôme Q6P -

Q,

qui anulllc (00 , . . . ,BI!}' et est. de II1ult.idegré strictement. plus petit que

8, est le polynôme nul. D'où: .

Il existe

0',

différc'nt de 8, tel que Po =1= 0 : sinon, l'un des

Bi

est nul Ün obtient ainsi:

Il en résulte, en posant /-Li = ai --

Oi :

et donc (d'après l'unicité dans la proposit.ion

l.1) :

Donc

OO(X)IIO ... On(X)/I"

E .4(.\").

T'uisque (fla, ... ,flll) =1= (0, ... ,0), le résultat est démontré.

Corollaire.

Soit

A.

un corps de caractéristique ne divisant pas p,

b

un élément non n1 -1 de

A.(X),

de valuation nulle, tel que

b(O)

= l, et

B

une solution non nulle, dans

A.«(X)),

de

l'équation:

B(XP) ~ b(X )O(X).

Si

e

est algébrique sur .4(X), alors

e

E .4(.'\).

Preuve:

D'après la proposition 1.5, B(X)'! E A(X), pour un fl =1= O. Posons 'INX) = B(X)Jl. On a

alors:

v'(

XP)

=

b( X)/l

'I/,(X) _ .

Posons alors b(X) = I1a-Eg.

(1 -

0'.\")"*\'),

'I/{X)

=

I1CiE/('

(1 -

aX)'P(a-).

D'après l'étude du paragraphe 2, on a ;

Va E

1\*,

flm(a)

=

cp(aP ) - <p(a), et donc:

Soit alors

f3

E ]{*;

fi

admet pll+1 racines pn+l-ièmes. Comme supp( <p) est fini, il existe n

n+l . n+l

Il en résult.f' que :

v'(X) = ),(X)/I, OÙ À E K(X),

et. clone qu<" :

fJ(X) = wÀ(X), OÙ wf.'.

=

1.

Finalement:

e

E I{(X).

Mais (J E A((X)). Il en résulte que () E A(X)

(4.

la fin de la preuve de la proposition 1.3).

Remarque.

Le corollaire peut s'int.erpr(.ter de

Ih

façon suivant.e: l'cxien,qion A(X)( fi) e.~t une extension tran,qcendanie pure rie A(X).

Ce chapitre est consacré aux ~quations de tvIahler linéaires.

Ce

sont des équations fouctionnelles exprimélnt ml<' dépendancc lill~aire entre j(X), l(XP),' .. l j(XP" ), où j est

une série formelle.

La structure adaptée

à

ceUe étude est. celle "'cl 'algèbre p-mahlérier:ll1e", c'est-à-dire d'une algèbre de séries formelles stable par la su1_{)stitution de}

_XP

_à

_{X. Le théorème principal} du paragraphe 1, (théorème 1), caractérise les sous-corps de A.(X), (ici, A. est un corps), qui sont p·mahlériens. Outre les "évidents", (c'est-à-dire les

A(X

d_{)), on en découvre une}

nouvelle race: ceux engendrés par

X

d

₊

fo,

_où

EP- 1 = l. Ils sont bien entendu étroitement liés aux polynômes de Tchebychev.

En ce qui concerne les sous-algèbres p-mnhlériennes de

A[X),

la situation est. loin d'être aussi limpide: il semble qu'il y en nit d'exotiques. Les résultats obtenus dans cette direction sont très partiels: celn résulte de la difficulté

à

décrire les sous-algèbres de

A[X].

Les résultats obtenus sont valables en caractéristique ne divisant pas p.

Le paragraphe 2 étudie le cas simple des équations de Mahler linéaires sur l'anneau de base. Le cas d'un anneau intègre est éyident (proposition 2); dans le cas général, on se ramène aisément à l'étude des solutions de va.luation plus grande que 1 : elles sont toutes annulées par un élément non nul de A (théorème 2). ,

Lorsque l'on peut exprimer

j(XP")

en fonction de

j(X),··· ,f(Xl'n-l),

on dit que l'équation de ~l'lahlel' est. résoluble

à

gauche. Cette situation est agréable pour l'étude globale de l'ensemble

AI

LJl(B)

des solutions de telles équations, sous réserve de supposer

B

nœthérienne (proposition 5).

A1Ll'(B)

est en effet une B-algèbre (théorème

3).

Les résultats de ce genre s'apparentent

à

ceux concernant les entiers algébriques. La situation actuelle diffère de la précédente en ce qu'il n'y a pas de relation "universelle" de liaison, du type Cayley-Hamilton.

On étudie un cas particulier: un polynôme de

A[X]

(A. est un corps), vérifie une équation de Mahler résoluble

à

gauche sur

A[X],

équation dont on mesure la taille (proposition 6). Le cas des corps finis

A

de caractéristique p est simple:

,M LJl(A[X])

est l'anneau des entiers algébriques de

A[[X]]

sur

A[X]

(proposition 8).

De façon générale, on constate que la. caractéristique p transforme une équation de Malller en une équation plut.ôt algébrique, tandis que le cas général conduit

à.

des situations plutôt transcendante3.

Lorsqu'au contraire c'est j(X) qui s'exprime

à

l'aide de j(Xl'),· .. , f(XP"), l'équation est dite résoluble

à

droite. Cette fois, c'est l'étude d'une équation donnée qui est favorisée. Les propositions 11 et 12 donnent des résultats d'existence et d'unicité dans cette direction. La difficulté provient. en réalité du fait que

A((X))

n'est pas fermée: la présence de

l

conduit, par itération,

à

des conditions de compatibilit.é parfois lourdes

à

exprimer.

On étudie le cas particulier où

f

E A[X], A étant un corps : la différence entre les équations résolubles

à

droite et celles résolubles

à

gauche, apparaît clairement (proposition 10). Le cas où les coefficients de l'équation sont dans

A.(X)

cumule les avantages des deux points de vue: cette situation sera donc favorisée dans la suite.

1. Soit p un entier sllpérif'ur ou égal il 2, et

A

un anneau commutatif et unitaire:

Con-, ') l ' · f Il"''\' + 00 "\.' 7 1 ' ffi· d 4 ' ( )

sidf'rons A((.\ ), anneau (e~ senes orme cs w-oo a".. a coc CICllts ans., ou a" nEZ est une suite nullf' pour 17 assez petit. Si A est un corps, A((X)) est aussi un corps. Dans

A((X)), on dispose dE' l'app;:catiol1 111" notèe pIns rnpidcment p, substitution de XP

à

X :

,I :

.1((X)) -+ A(X))

5(X) r-; 5(X"). On fi donc:

(1) VS E A((X)) [11(5)J(X) = S(fL(X)).

Cette applicatioIl fi est U11 endomorphisme de A-algèbre, comme on le voit aisément grâ.ce

à (1). Si S(X) = I:~: anX", on a donc:

+co

[,,(5)](X) =

'2:::a1/X1111.

- 0 0

Il

en résulte que Il est injective. Son image n'est autre que

A((X1

1 ) ) .

Définition.

Soit B une sous:A-algèbre

de

A((X)).

B est dite p-malJ1érienne lorsqu'elle

est stable

par fJ..

Lorsque

B

est

en outre

un

corps, on parlera

de

corps p-malllérien.

Exemples.

Exemple 1 A[X], A(X), A[[X]J. A((X)) sont p-mahlériennes.

Exemple 2: Soit q un entier relatif. Les A-algèbres

A.[Xq}, A(Xq)

sont p-mahlériennes.

Si

q est un entier naturel, il en est de même de A[[Xqll et A((Xq)),

Exem.ple J: Soit. plus généralement, P un élément de A[X]

tel

que P(XF) soit un

polynôme en P. Pë.r récurrence sur 11, P(Xp") est encore un polynôme en P.

Il

en résulte

que A[PJ et A(P) sont p-mahlériennes. Si en outre P est de valuation 0, A[[P]] est elle a.usi p-mall1érienne.

Illustration

Soit p un nombre premier,

A

=

'il/pZ,

et

P

un élément de

A[XJ.

Puisque P(XP) = P(X)P, A[PJ et A( P) sont p-mahlériennes. De façon générale, toute sous-algèbre de

.4.((X))

est p-mahlérienne.

En caractéristique nulle, la portée de la généralisation obtenue en passant de l'exemple 2

à

l'exemple 3 est mesurée par la proposition 1, qui repose sur le lemme suivant:

Lemme. Soit A un

anneau

intègre, de caractéristique

ne

divisant pas p, et P un élément

de

A[X]

tel que

P(XP)

soit

un

polynôme en P. Il existe alors (a, b)

E

..4.

2 _et

_q

_{E N*}

_tels

que:

Preuve:

Soit q = deg(P). Raisonnons par l'absurde en supposant que P n'est pas d~ la forme indiquée. On a donc q ~

2.

Soit Tl = rna:r{ J:

E [1,

q -

1],

ak

#-

O}

où les ai sont les

coefficients de

P;

11 est bien défini, puisque (al,'" , aq_l)

#-

(0). De plus, Tl E [:, q - IJ.

Ecrivons donc: _n P(X) = aqXq

+

L

akXk k=O et donc: _n

P(XP)

=

a

q )[1,q

+

L

akXPk .

k=O

On sait qu'il existe Q E

A[Y]

tel que:

(2)

P(XP) = Q(P(X))

En particulier on peut écrire:

deg(P(XP))

=

pq = deg(Q 0 P)

=

p deg(Q),

la dernière égalité car

A

est intègre. D'où:

p

deg

Q

=

p

et

Q(}/")

=

L

bkyk, bp

#-

O.

k=O

L' égali té (2) se réé cri t ainsi :

n p

"\.-pq '"" .., .. pk '""

b

(p(X")\k

aq_'\.. +L-ak-'l. =,L.; k ) .

1.:=0 /;==0

À

gauche, le coefficient de X(p-l)q+n est nul, puisque pq

>

(p - l)q

+

n

>

pn.

Si, de plus,

k

E

[O,p

-1], on a:

deg(P(Xl)

~

(p - l)q

<

(p - l)q

+

n.

Le coefficient de X(p-l)q+n dans le membrE. de droite est donc (na~-lanbp, et ce terme est non nul. D'où la contradiction.

Proposition 2.1.

Soit A

un

corps,

de

caractéristique ne divisant pas p, et B une

sous-A-algèbre

de

A[X], p-mahlérienne, engendrée

par un

polynôme P. Il existe alors

un

entier

na.turel

q tel que :

Preuve:

On peut ecnre B = A[P], et II(P) E B. Donc Jl(P) est un polynôme en P, et par conséquent (lemme) :

PtS) = aX4

+

b.

Il est alors clair (si a ='= 0) que il = A[Xq]. Si a = 0, B = A.

Étudions ft présent plus complNcmcnt le ca.s d'un sous-corps p-mahlérien de A(X), lorsque A est un corps. Soit y une fraction rationnelle, écrite sous forme irréductible

'f = ~, y

=f

O. On pose: deg y = dcg 1/' - dfg B. Bien entendu, si cp = ;:' on aura aussi:

deg y = dcg 1/'] - df.g (JI. Soit par ailleurs P un polynôme tel que: cp =

pk

yl , où yI est

une fraction rationnelle dont le l1111l)~raJeur 1/'1 et le dénomina.t.eur

al

ne sont pas divisibles par

P.

On note alors: 1.. = t'p(~"!). CeUe notation ne suppose pas

P

irréductible.

Pour exprimer que 0 est pôle cl 'une fraction rationnelle y, on not.era : y( Q) = 00.

L~mme

1.

Soient A.

un corps. y E

A.(1")\{O},

et

P

E

A(X)\{O}.

Si

deg P

>

0, on a:

deg(y 0 P) = deg cp x deg P. Preuve:

Posons: y = ~, avec 7}.' =

2:::Z=ü

Ok l"k, a"

=f

O.

Posons aussi

P

= ~, où

R, S

E

A[X].

On

a:

Si k

i=

n, on a :

deg(Rksn-k) = k deg R

+

(n -. k) deg S

<

n deg R.

Donc

n

deg\~ akR/.:sn-/.:) ::::: deg Rn,

!.-=o et :

R

R

deg '1jJ( 5 ) =

n

deg S = deg '1jJ

x

deg

P.

De

meme,

R

dég B( S ) = deg B x deg P.

Donc:

Lemme 2. Soient P E A( X), où A est un corps dont la caractéristique ne divise pas p, 0'

E

A\

{a},

et v

=

vn(f/·(P)). où 11(X) = X - Cl. Alors, si

11

1

=

X -

O'P, on a: Vn) (P) = v.

Preuve .'

On peu: écrire: P(XP) = (X -

oy

Pl (X), et 0' n'est ni pôle, ni zéro de Pl.

n

n'est pas ~estrictif de supposer

A

algébriquement clos. Soit donc w une des p racines p-ièmes de 1 dans

A.

On a:

Les polynômes ( ....

'.J.:. -

0) sont premiers entre eux deux

à

deux. Donc :

P(XI') =

II

(wX - 0

r'

.S(X) = (XP -

apr

S(X).

wP=l

Il

CD résult.e que 5 E A(XI') : S(X)

=

SI(XP).

D'où:

P(X) = (X -

exIT' SI

(X).

Si

51

(O'P) =

0,

on a :

5(0)

=

0

et clone

(X -

0

r+

1 divise

P(XP),

ce qui n'est pas. De

même,

exP

n'est pas pôle de

51.

Donc:

Lemrne 3. Soient

A

un corps de caractéristique ne divisant pas p et

B

un sous-corps p-mahlérien de .4.(X), contenant strictement A. Il existe e E Z et

Q

E A[X], a.vec deg

Q >

e,

( Q(X))

tels que B = A

-xe .

Preuve:

D'après le théorème de Luroth, il existe P E .4(X) tel que B

=

A(P). On a P

1:

A. Supposons

deg P

~ 0 :

P

= Cl

+

Pl, avec deg Pl ::; -1 et Cl E A. On a encore B =

A(

A),

et

deg Pl

2:

1.

11

l'.\::i:.t donc pas restrictif de supposer: deg P

'2':

1

et, en outre, que Pest normalisé.

Puisque Jl(P) E B, il existe <p E .4(Y), telle que: f1(P)

=

<.p(P).

On a. alors d'après le lemme l : deg

<pep)

==

deg cp x deg P.

Comme deg Jl(P) = p deg P, on obtient: p = deg <p.

Plongeons A dans nne clôt.ure algébrique J{, dans laquplle nous supposerons, par l'absurde,

que

P

adrnet un pôle différent de

O.

Soit 0' un tel pôle, de multiplicité maximale.

On

peut

écrire:

P = (X -

O')-d

R,

où R(ex)

i=

0,

R(G')

i=

00, et d>

O.

Ln l·k . (X _a)-dn

Si

~(Y)

=

L;:~::l:'k,

avec 11. - m = P, a71

b

m

i=

0, on obtient: Jl(P)

=

(X-o)

dmRl,

avec RI(a)

:f:

0, RICo:)

:f:

00

Donc, si Il = X - (\

!'n{tt{P)) = d(rn - n) = -dp.

D'après le lemme

2,

on a :

Or dp

>

d : ceci est une contraùictioll. Finalement, il existe ( E

Z.

tel que:

P(X) =

.~c

Q(X),

Q

E

A.[X], Q(O)

#-

0,

deg

Q >

c.

Remarquons que

la

condition deg

Q

>

e n'a d'intérêt que si

e

E

N

Ces lemmes permd.tcnt. d'alléger

la

ùémonstration qui suit, et pour laquelle je SUIS

largement rcdcvé1 blc il Richard Antetomaso.

Théorème 2.1.

Soient A. un corps de caractéristique ne divj,c;ant pa.s p, B un sous-corps p-maJl1érien de A(X). Alors:

- ou bien il existe dEN tel que B = A(Xd),

- ou bien il existe ri E N* et t: E A tel que t:p- 1 = 1, tels que B

=

A(Xd

+

{d)'

Preuve:

Nous pouvons supposer qüe

P

n'appartient pas

à

A.

Nous appuyant sur le lemme 3, écrivons B = A(P), avec P(X) =

~~:;),

Q

Ë A[X], Q(O)

=1

0, et. deg

Q

>

e. On suppose P normalisé.

En particulier, il existe t.p E .1(1') telle que: P(XP) = t.p(P(X)). Posons t.p

=

~, où

N, D E

..1[1'),

et où N et D sont premiers entre eux.

Supposons, par l'abcurde, que D n'est pas dans A. Soit J.: une extension algébriquement close de A, et 0' une racine de D. Alors 0' n'est pas racine de N.

L'équation Q(:r) -

ct.T

e _{=.0 admet 'Clans}

_11."

_{une solution non nulle. En effet:}

e

>

0 ==? deg[Q(X) -

ctxe]

2:

1 et Q(O)

=1

0,

e

:5

0 ==? deg[);-eQ(X) -

ct]

2:

1. 0

On a donc, si (3 est une telle solution:

QJ~)

-=

P({3)

=

a.

Donc

D(P{iJ))

=

D(a) =

O.

Ceci contredit l'égalité: P(Xl')D(P(X)) = N(P(X)).

Il en résulte qu'en réalité t.p est un polynôme.

Premier cas: e

<

O.

On peut écrire:

P(X

1') =

t.p(P(X)),

cp E

A[Y], P

E

A[X].

Nous avons vu (lemme précédant la proposition 2.1) que ceci entraîne que P(X)

=

X d

+

À, et donc que A(P) =

A(Xd

. Second cas: e

>

O.

On écrit: P(X) =

~~=-e

ÀkXk, avec Àd = 1, d> 0

>

-c.

Supposons, par l'absurde, qu'il existe 1.- E [1, d - IJ tel que )..k

i-

0, et posons:

P( "\') vd \ Vq d ( "\,-q--l)

Ji

==.1.

+

Aq_1. 7110.1. , avec

mod (Xq- 1 _{) désignant. ici: 1710d (Vect( X}

J )jSq-I ). On a ainsi: P(XP)

==

XPd

+

_{ÀqXpq mod Xp(q-l).}

q

E [l,d-l],

Àq

i-

0,

Par ailleurs, si <pey) = a1'1-1'

+ ...

+

ao, on obtient: <p(P(X)

==

Q.pP(X)P mod Xd(p-l),

Or

d(p -

1) :;

p( q -

1) si et seulement si

p( q -

(f:)

2::

]J -

d,

ce qui est réalisé, puisque

p(q-d)2::p?p-d.

Donc:

En particulier, puisqnc (p - l)d

+

q

i=

pq et (p - l)d + q - 1

2::

p( q - 1) : àp = 1

et

PÀq = O.

Ceci est une contn:ldiction.

On a donc: P(X) =

X

d

₊

_Ào

+ ..

₊

_{).._eX-e.}

_{Le raisonnement précédent, appliqué}

à

Xd

_PC

_l),

_{nous montre que P est de la forme X}d

₊

)'Q

+

éX-e, avec é

i=

O. Il n'est

évidemment pas restrictif de supposer qyre )..0

=

O.

Dans ces conditions, l'égalité: P(XP) =

<p(P(X» s'écrit encore: •

"'(.-pd "'(--pc (~,-d v'-C)P

.1.

+.::.'\.

=0.1'_1.

+'::''1.

+···+ao.

Supposons,' par l'absurde,

d

i-

e. Quitte

à

changer

X

en _~, on peut supposer

d

>

e. On

a alors:

Donc ap-l = O. Puis:

( vd

+

'V-e)P (vd V-e)p-'2 _ (vd "\.--e\p

al'

.'1.

[_'1.

+

ap -2.1.

+

é.1.

+ ... +

00

=

a_p .'1.

+

é ... 1. )

Or

(p -

2)d

<

(p -

l)d - e, puisque d

>

e. On obtient donc:

Finalement, appé

=

O.

On obtient alors une contradiction (puisque al'

i-

0). On a,

à

présent: P(X) = Xd

₊

_éX-d

. L'èxamen des termes de degré pd et -pd

dans l'égalité: P(XP) = <p(P(X» nous conduit aux relations: al'

=

1; a_1'61' = é, soit: .::1'-1

=

l.

En résumé: B = A(Xd

+

_fer),

_avec

Montrons qlH', réciproquement., un tel corps est p-mahlérien. Soit, dans K, w une ra.cine ~ 2 . r 21' carrée de e. On R (lolle : v,,: = [ ==;.- f = [ = w . Soi t

Pd

X) = X

+ {.

On a

-/' E 1'[

X

l' W)I'] l'T

X

w PdX1_{') =.\}

+

_'''p

₌

_{w (-;-)}

+

_(-;7

₌

_{w p( -}

+

_'v), .L " " . L W . L

01\

T

₁

,P")

E

I\"[1"]

est défini par: TrO-

+

+)

= yI'

+

).!p (relation

dt •

11ebychev).

Il vient alors: Pj(XP) = ( ... "')Tp(~Pl(X)).

Cette relat.ion s'écrit Cl1COrf' : P j(Xl') =

2:j=o

OjPj(X)J, Q'j E K.

La falnille ((Pj(X))i)j étant échelollllée en degrés, on en déduit qu'en réalité les o'j sont dans A..

Finalement: P1(XP) = y(Pj(X)), où y E A.[Y]. Alors Pj(XPd) = 'P(Pl(Xd

»),

ce qui

pernlPt de conclme, car P(X) = P₁(Xd_).

Il

reste

à

vé'rificr que .4(X,I

+

.;d) lH' peut c;tre de

la

forme

A(XI), 1

E 1\1*. Dans le cas

. . vi _ N(.\:d+f;r) '~(l, . 1 .

contraIre . . L - l}(.\:d+-f-,r) ' RH.C 011111e.). 1= d(dcg N - deg D) ::::: d(u - 5). Posons:

J\T(

,.-d

é)

]

7\'

("V)

J\ .L

+

Jï:d = .... y.". '1 .L ,

D(x

d

+ ....

;d) = .\"ld6

DdX),

Nj(O)=J

0,

Dl

(.0)

=J

O. _ vd(b-I_') NI (.\") SOl't ,.,-21

=

N\{X)

Il

vient: Xl - ./l. Dd.\") , _ .1. - D

I( . \ " ) ' Ceci est une contradiction, puisque

lE N*.

Coronaire

1. Sous les hypothèses du théorème 2 .. 1, 011 suppose que de plus B contient

un polynôme non const.ant. A.lors

il

existe cl E N*, tel qt~e .' B

=

A(Xd).

Pre'uve .'

Il

suffit de montrer que, si d E

N* ,

A(Xd

₊

_fa)

_{ne contientpa.s de polynôme non constant.}

Supposons au contraiœ que

Q

soit un tel polynôme, appartena:nt

à.

A(X

d

₊

_fer).

_Reprenant

la fin de la démonstration du théorème 1, on

écrit;

avec cette fois:

deg

Q = d(l/ - 6),

N}(O)

i

0,

Dl(O)

i

O. D _one. .

QC ,.-)

vdeg Q - NI(X) . t t d' t'

Corollaire 2. Soit A un corps de caractéristique ne divisant, pas p, et B une sous-algèbre

de

A.[X],

p-mahlérienne. Le corps des fractions de

B

est de la forme

A(X

d ).

Pre'uve :

On rema.rque que le corps des fractions de

B

est encore p-ma.hlérien.

II faut être bien conscient du fait que ceci ne nous donue en fait que peu de ren-seignements sur

B.

Le problème de la détermination de

B

reste posé. Voici un exemple particulièrement. typique. Soit P E

A[X]

tel que P(X) divise P(Xl')

(cf

chapitre 1), et :

B::::: A

EB

A.P .

Il

est clair que

n

est une sous-algèbre p-mahlérienne de

A[);,"1,

dont le corps des fractions contient

-X;

=

X.

Ce corps est donc égal

à

A(X).

Une id~e pOUl' ét.udier

B

pourrait être de déterminer les idéaux de

A[X]

inclus dans

B.

Définition : Extensions l>-mahlérienlles.

Soient

Al

C

A

2 deux sous-A-algèbres

p-mal11ériennes de A((X)). On dit alors CJue .12 est une extension p-mahlérienne de Al'

L'application Il est un endomorphisme de l'a.nneau A2' mais pas, en général, de la

A

1

-algèbre

A

2 ; ce n'en est qu'un semi-endomorphisme.

2. Équations de Mahler linéaires

Définition.

Soit A un anneau commutatif et unitaire, soient

B

une sous-A-algèbre

p-mahlérienne Je

A((X)),

et

f

un élément de

A((X).

Dn dit que

f

vérifie une p-équation linéaire de ]\l1nh1er sur

B

s'il existe n dans N, et une famille non nulle

(b

o, ... ,

b

n ) E Bn+l,

tels que:

(3)

En

d'autres termes,

f

est annulé par:

b

71f-Ln

+ ... +

blf-L

+

boid,

qui est une application

A-linéaire. L'ensemble des solutions de (3) forme un A,-module, (mais pas un B-module en général).

Le cas où B ::::: A et où A, est intègre, est particulièrement simple:

Proposition 2.2.

Soit A un anneau intègre. Si B = A, l'ensemble des solutions de

(3)

est, inclus dans A. Preuve:

(*)

Chacun des A-modules est stélblc par Il. Si don(' };'l df.compositiol1 dl'

f

sur Cf'tte somme directe est :

f

= (I

+

9

+

h,

chacune df's composantes a. 9 ct il vèrifip (3). Or, si g:f. 0, la famille' (g,JI(g),,,. ,pn(g)) est échelonnée en degrés: elle est donc lihre sur A. DOliC 9 =

O.

De m€-me, la famille (h,lt(Il),··· ,p"(h)) est, si Il =1= O. écbclollllt>e cu \'aluat.ions. Donc Il

=

0, et

f

=

o.

Corollaire. Sous )('s h,1ïwflJèscs de la j)J'()]>()sit.iol1 2, J'e11semb1(' des solutions de (3) est:

n

{D}

Sl

L

_b"

:f.

_0, k=ll n A 81

L

_{li" = O.} 1.-=0

RcrnaTque " La décomposition (*) précédente permet de ramener l'étude d'uue équation mahlérienne il la recherche sé-pnrée des solutions dans

A,

clans .~

AI

.Z·

J - c'est ~l-dire dans

XA[X] -

et déU1S

XA[[X]l.

Étudions à présent le cas où A n'est pas for~ément int.ègre.

Théorème 2.2. Soit

f

E

XA[[X]],

solution de J'équation (3).

Il

existe alors Cl' E

A\{O}

tel que of

=

o.

PrC1/.ve :

On raisonne par récurence sur n.

- Si n = 0, l'équation se résume à : bof = _{0, avec bo} =1=

o.

- Supposons donc le résultat Hai pour des équations d'ordre:::; n - l.

premler cas:

30.

E

A.\{O}

t~l que:

'buü

=

0

et

3i

E [Ln]

b,o

f=.

O.

Ivlultipliant (3) par 0, on obtient : L;~l bio.pi(f) = O.

Soit g =

/lU);

g vérifie alors une équation de Mahler d'ordre:::; n - l.

Donc:

313

E

A\{O}

/3g

= O. Soit

f.1(!3f)

= O. Mais f1 est injective. Donc

/3f

= O.

deuxième cas: '11'0'

E

A \

{O} ;

boO' =

0

==?

Vi

t:

[l,

n)

bjo

=

O.

Supposant f

:f.

0, posons f(X) = L~m akXk, avec am =1= O.

On obtient bOOm

=

0, et donc b1am = ...

=

bnrtm =

O.

Posons: f(X) =

a

lll

xm

+

g(X).

Il

yient :

L~o bjfli(g)

=

0, et donc, de même: bO(l111+1

=

O.

Comme bo est nécessairement non nul dans ce cas (prendre 0' ~ 1), 'le résultat est

démontré.

Remarque: La démonstration précédente, (ou bien un examen direct), prouve que, si b_o

n'est pas diviseur de 0, alors / = O. Autrement dit, dans ce cas, si g E A((X)) est solution de (3), alors g E

A.

Exemples.

Exemple 1 Soit A = Zj6Z et .f E A![X]] solution de

Alors

f

E

A.

La réciproquC' est. claire.

Exemple'

2:

Soit 04= ZjGZ, et

f

E A((X]], solution de

2.f(X)

+

3/(X

2) =

O.

Cette égalité équivaut

à 2f(X) ::::: 3f(X

2) = 0, soit

f

=

O.

La proposiÙon ci-dessous montre que, dans certains cas, on peut sans restriction sup-poser que

A

est nœthérien.

Proposition 2.3. Soit.f E A((X)) solution de :

(3) ~~~obif-1,i(f) =0, où (bo,'" ,bn ) E An+1.

On suppose que les coefficients de

f

sont dans un ensemble fini. Il existe alors un

sous-ann~au

Al

de A, nœthérien, tel que

JE

A1((X), et tel que

Vi

E [0,17],

bi

E Al.

Preuve:

Soit

A

2 le sous-anneau de

A

engendré par 1;

A

2 est, soit fini, soit égal

à

Z. Donc

A

2 est un

anneaunœthérien. Ilsuffitdeconsiclérer: Al =A2[b

_o,'"

,bn,ao',··· ,akJ,où{aO,'"

,ad

est l'ensemble des coefficients de

J. '

Exemples: La proposition 2.3 s'applique lorsque

f

est un polynôme, mais aussi lorsque

f

est la série génératrice d'une suite a.utoma.tique.

La proposition 2.4, plus technique, permet de préciser la recherche des solutions de l'équation

(3).