Recherches sur les intégrales de certaines équations fonctionnelles

A NNALES SCIENTIFIQUES DE L ’É.N.S.

G. K ^OENIGS

Recherches sur les intégrales de certaines équations fonctionnelles

Annales scientifiques de l’É.N.S. 3^e série, tome 1 (1884), p. 3-41 (supplément)

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RECHEKCIŒS SUH LES liNTÉGHÀLES

Ï)K

CERTAINES ÉUIATIONS FOîSCTIONNELLES ¹¹ ',

PAU M. G. KOENIGS,

r ï\ o F R s s F r n A L A F \ c r L T K r> i": s s c i K N c: E s D i"; iî i; s A N ç o N.

I N T R O D U C T I O N .

Dans le premiet' Mémoire que j'ai publié n n Bulletin des Sciences ma- /hémaliques sur le sujet q u i m'occupe, j'ai omis de citer les noms (le MM. Schrœder et K o r k i n e , qui m'avaient précédé dans cette voie : peut- être ne sont-ils pas les seuls; mais je dois, dès le début d u présent tra- v a i l , réparer cette omission involontaire, du m o i n s pour ceux dont les noms me sont connus.

Q u o i q u e , dans ses d e u x Mémoires (²) , M.^Schroeder aborde le sujet sous u n p o i n t de vue différent, du mien, néanmoins le premier théorème q u i sert de base à mes recherches (3) avait été donné par ce géomètre : je veux parler de la proposition qui énonce la condition nécessaire

pour q u ' u n point soit l i m i t e dans l'acception ordinaire du mot.

Le Mémoire ( ^ d e M. Korkine, publié en 1882, a pour objet u n e équa- t i o n traitée par Abel et q u i , si on pouvait la résoudre, donnerait immé- d i a t e m e n t la forme générale d e l à fonction itérative <?p(z) en fonction de/.» et de ^. En présence de l'impossibilité de trouver une solution, même

(1) Les principaux résultats conLenus dans lo présent Mémoire ont été présentés à l'Institut dans la séance du 8 décembre 1 8 8 4 -

(2) Uebcr unendiich 'vicie Âlgorit/imen mr Anfiôsfiin^ der Gleicliurîgen ^Mathemaiische Annalen^ t. iï); Ueber iterirte Fiinctionen (ibid., t. lit).

(3) Reclicrches fiiir les substitutions uniformes (Bulletin des Sciences mathématif{i{cs, 'A'' série, année i883).

( ^ ) Sur un problème d'interpolation (Bulletin des Sciences math ématicfues, année 1 8 8 2 ) .

S. 4 G. KOENTGS.

p a r t i c u l i è r e , de l'équation d'Abel, M. Korkine a recours a u développe- m e n t en série : l'identification de d e u x séries f o u r n i t des é q u a t i o n s linéaires à l'aide desquelles on peul de proche en proche calculer les coefficients.

Dans ses recherches, M. Schrœder avait rencontré u n e é q u a t i o n f o n c t i o n n e l l e , de l a q u e l l e on d é d u i t celle d'Abel en prenant les loga- r i t h m e s des deux membres. Résoudre l ' é q u a t i o n d'Abel ou celle de M. Schrœder, c'est donc au fond le même problème.

C'est à l'étude de cette dernière é q u a t i o n que M. ,1. Farkas a consacré t o u t récemment un Mémoire (¹) , inséré au Journal de Mathématiques.

Le résultat le plus saillant de ce Mémoire, c'est la condition d'ho- lomorphisme qu'a trouvée M. Farkas p o u r la s o l u t i o n de l'équation de AI. Schrœder dans le d o m a i n e d ' u n p o i n t l i m i t e .

Un caractère que j'ai essayé d ' i m p r i m e r à mes recherches, soit anté- rieures, soit actuelles, c'est la r é d u c t i o n au n o m b r e m i n i m u m néces- saire des diverses hypothèses q u i servent de base a u x travaux de mes prédécesseurs. Ceshypothèses p o r î e n t s o i t s u r la possibilité de certaines différentiations, soit sur l'existence de certaines limites.

Puisse-je ne pas me tromper en pensant avoir réussi à m o n t r e r que (-es hypothèses se r é d u i s e n t toutes à une seule, le fait de l'holomor- phisme en un point l i m i t e de la f o n c t i o n q u i figure d a n s la s u b s t i t u t i o n . M a i s j'ai pu aller plus l o i n , car il résulte de mes raisonnements que, sous cette seule c o n d i t i o n , l ' é q u a t i o n de M. Schrœder admet toujours u n e infinité de s o l u t i o n s h o l o m o r p h e s ou méromorphes en un p o i n t l i m i t e , et j ' a p p r e n d s a les d é d u i r e toutes de l'une d'elles B ( ^ ) , d o n t je d o n n e u n e expression.

Si l'on passe maintenant à l ' é q u a t i o n d'Abel, il en résulte que t o u t e solution de cette é q u a t i o n a d m e t une s i n g u l a r i t é essentielle au point l i m i t e ; u n e seule y a d m e t u n e s i n g u l a r i t é l o g a r i t h m i q u e , et c'est l o g B ( ^ ) à u n facteur constant près.

Il existe d'ailleurs une infinité d'équations f o n c t i o n n e l l e s auxquelles ma m é t h o d e s'étend et d a n s lesquelles la fonction B{z) permet de d o n n e r la s o l u t i o n générale u n e fois q u e l'on a u n e s o l u t i o n particu- lière : or j ' a p p r e n d s à former une telle solution.

(l) Sur les jonctions itératives {Journal de Mffthémnf.if/ifcs de M. Resal, mars 1 8 8 4 ) .

SUR LES INTÉGRALES DE CERTAINES ÉQUATIONS FONCTIONNELLES. S.:^)

Je devais naturellement rechercher ce q u i se passait dans le cas des groupes limites que j'ai définis dans m o n premier Mémoire, et j ' a i effectivement rencontré des résultats presque analogues, offrant u n e x e m p l e assez r e m a r q u a b l e de périodicité.

JTyi d o n n é quelques e-xemples; mais je n'ai pu les m u l t i p l i e r , de c r a i n t e d'allonger outre mesure ce Mémoire. Dans un travail u l t é r i e u r , j'en réunirai plusieurs p a r t i c u l i è r e m e n t intéressants, qui rattachent ces recherches à des théories classiques.

A v a n t de t e r m i n e r cette I n t r o d u c t i o n , je dois dire quelques mots sur la m é t h o d e que j'ai suivie. La nature même de la question exige l'em- ploi des théorèmes les plus g é n é r a u x de la théorie des fonctions. Je me suis p r i n c i p a l e m e n t inspiré d u beau Mémoire Sur les fonctions disconti- nues, q u e M. D a r b o u x a p u b l i e a u tome IV de la 2e série des Annales de l'École Normale.

U n e extension facile des résultats de ce Mémoire a u x quantités com- plexes a mis hors de doute à mes yeux la l é g i t i m i t é d u théorème sui- v a n t , q u i sert de base à t o u t mon travail :

Si la série

^ ( 3 ) -=.U^-\- Ui-^r / / 2 - + - - - • »

dont'chaque terme est une fonction holomorphe de z dans une région U du plan, est UNIFORMÉMENT convergente dans cette région, la somme ^ ( z ) de cette série est une fonction continue de z dans cette région.

En second lieu, si la série formée par les dérivées des termes de la pre- mière

-^ ( z ) •=. u^ 4- u\ + u^ + z/3 -4-. . .

est elle aussi L'NIFOHMKMENT convergente dans la région U, la fonction con- tinue < & / s ) quelle représente est la dérivée de la fonction <p { z ) , en sorte que la fonction y ( s ) est HOLOMORPHE dans toute la région U.

I. — Résultats antérieurs.

1. Je r a p p e l l e r a i d'abord en quelques mots les faits généraux que j'ai mis en évidence dans mon Mémoire précité, en les précisant et les c o m p l é t a n t un peu.

La suite des q u a n t i t é s a, a , , a ^ a ^ , ...,a^ ... est dite converger réguliè-

S. 6 G. KOENIGS.

rement vers u n e l i m i t e r , lorsqu'à t o u t nombre positif s, aussi petit que l'on voudra, il est possible d'en faire connaître un autre N5 assez grand pour que, sous la seule condition p^L Ne, on ait m o d ( a p — x} <; s.

Lorsque la série proposée n'offre pas ce caractère, mais que la suite qu'on en déduit en prenant les ternes de k en k le présente, je dis q u e la suite primitive converge périodiquement; k est la période.

2. Soit une fonction y ( s ) uniforme dans t o u t l ' i n t é r i e u r d ' u n e ré- gion R du plan, et jouissant de la propriété que, si z est i n t é r i e u r à cette région, il en est de même du point z^ = y(-s); si nous posons générale- m e n t y ( ^ ) ==Zt+^ les points de la suite

"•'9 ^ïf "^2? ^'3» • • ' î *-'p9 ' ' •

sont tous intérieurs à la région R.

Lorsque cette suite converge régulièrement vers u n e l i m i t e x, q u i n'est pas pour y { z ) u n point essentiel, on sait que^* est u n zéro de la fonction z — y ( ^ ) » qui doit vérifier l'inégalité m o d ç > ' ( ^ ) << i .

Réciproquement, soit x un zéro de la fonction z — y ( s ) q u i vérifie l'inégalité modo/(a?) <^ i; j'ai d é m o n t r é que le p o i n t x est le centre d'un cercle C^, à l ' i n t é r i e u r d u q u e l : i ° y ( 5 ) est h o l o m o r p h e ; 1° le mo- (Inle ^{f> v} ~ ^JL reste constamment inférieur à l'unité et diffère même de l'unité d'une quantité qui reste finie.

En appelcUit alors H une q u a n t i t é comprise entre o et ï , on peut ['oser

mod ? ^ ) — ^x ^ u ^ ^ j ILZl^ ^ il ^ j .

LG'S p o i n t s z, z^ z ^ , ..., Z p , . . . s'approchent d o n c sans cesse d u point .r, à mesure que leur indice a u g m e n t e , et, p u i s q u e tous ces points sont ainsi intérieurs au. cercle Ce, nous pourrons poser

^ ( Z ) -— .T ,, , ^ ( ^ l ) — ^ rr . ^ ( ^ f ) ) —— • "^c ï r

iriod ^_/—_ <; (-1 ou inod -^——— < H, . . ., mod -i-^i'-7—~^.- < je ; on en déduit

mod (s? — x) < Iï^ mod (^ -—- ./•) < W r, où r est le rayon du cercle Cy.

S U R LES I N T É G R A L E S DE CERTAINES ÉQL'ATIONS FONCTIONNELLES. S. 7

G!*, s é t a n t u n e q u a n t i t é positive aussi petite que l'on voudra, posons

^ê'H;

N5== partie entière de ———:;

^U

i l s u f l i r a d ' a v o i r /^Ng p o u r q u e le m o d u l e de Z p — x soit i n f é r i e u r à ï, ce q u i d é m o n t r e la convergence régulière de la suite z , z^ s.,, . . . . 3. Mais ce q u i précède nous c o n d u i t à une notion dont je ferai le p l u s grand usag'e dans ce t r a v a i l .

A p p e l o n s Fg un cercle de c e n t r e x et de rayon s, que je suppose inté- r i e u r à C^; il est clair qu'après Ng substitutions, quel que soit le p o i n t z d'où l'on est p a r t i , pourvu q u ' i l soit intérieur à C^? on tombera sur un p o i n t z^ c e r t a i n e m e n t i n t é r i e u r à Fç.

J ' a p p e l l e r a i généralement hauteur d'un point z, par rapport à un cercle tel q u e Fg, i n t é r i e u r à C^, le n o m b r e de substitutions nécessaire et suffisant p o u r c o n d u i r e du p o i n t z à un p o i n t i n t é r i e u r au cercle I\.

D'après cela, la p l u s grande h a u t e u r par r a p p o r t à un cercle d o n n e r a des points du cercle C^ est un nombre fini parfaitement déterminé. J'en ferai f r é q u e m m e n t usage.

Considérons u n e fonction 6 ( s ) holomorplie à l'intérieur du cercle 1^;

il e s t c l a i r q u e la fonction de z , $ [ y / ( ^ ) ] , sera holomorplie dans tout le cercle C^, p o u r v u que i soit au m o i n s égal a la h a u t e u r maximum des points du cercle Cy par r a p p o r t au cercle IV

On t r o u v e r a u n e a p p l i c a t i o n i m m é d i a t e de ces principes dans les l e m m e s p r é l i m i n a i r e s q u i v o n t suivre.

II. — Lemmes préliminaires.

4. LEMME I . — Soit f{z} une/onction de z holomorphe au point x et, de p l i ( S , nulle en ce point; on peut déterminer un nombre h assez grand pour que la série

•x>

^/[?.(^)]

/;

ait une valeur finie, ci soit uniformément convergente dans tout le cercle Cy.

S. 8 G. KOENÏGS.

Nous pouvons poser, en effet,

/ ( ^ ) = : ( . - ^ ) - 0 ( s ) ,

où 772 est un e n t i e r au moins égal à i, e l 9 [ z ) une fonction h o l o m o r p h e à l'intérieur d'un cercle Ce de centre x.

Soient 6 u n e q u a n t i t é à laquelle le m o d u l e de Q{z) reste inférieur d a n s le cercle CQ et h la h a u t e u r m a x i m u m p a r rapport à ce cercle des p o i n t s du cercle C^.. On prendra h = o si Qy n'est pas e x t é r i e u r à Co.

D'après ce qui précède, il s u f f i t q u e i"soit supérieur à À ou au m o i n s égal pour que la fonction Q[^i^)] soit h o l o m o r p h e dans tout le cercle C^.

et que l'on ait

mode[^.(^)]<e.

Prenons alors un nombre q au moins égal à A, nous a u r o n s

•» a;

V mocî /[ 9, ( z )] < eV rnod ( ^ —- x ^ ;

f! l!

nous savons aussi que mod(js,— x) < rIP' et, par conséquent,

00 00

^ mod/[cp,(^)] < @\ mod(^,- xy- < -^^ H^.

f/ 7

En faisant q=h, on reconnaît d'abord l'absolue convergence de la série

^/E?^)];

h

en s'arrêtant au terme d'indice ^ d a n s cette série et a p p e l a n t ^ le reste, l'inégalité précédente fait voir que

^^^T^^î^î

et, sans insister davantage, cette inégalité suffît p o u r é t a b l i r V unifor- mité de la convergence.

5. LEMME 11. — SoUTÇz) une fonction holomorphe au point x et, de plus, égale à l'unité en ce point; il est toujours possible de trouver un

S U R LES Î N T L G Î I A L E S DE CERTAINES ÉQUATIONS F O N C T I O N N E L L E S * S.C)

nombre g assez grand pour que le produit

00

IPM-')]

(lit une valeur finie, et même puisse être mis sous la forme

G ( ^ ) ^ [ > < \

la fonction G ( 3 ) étant holomorphe dans tout le cercle Cy, et la série en exponentielle uniformément convergente dans ce même cercle.

Nous p o u v o n s poser effectivement

F ( 3 ) = I - K ^ - . T ) - ^ ( ^ ;

l ' e x p o s a n t m est u n e n l i e r au moins égal à i et ^ ( ^ ) u n e fonction holo- morplie à l ' i n t é r i e u r d'un certain eercle C^. J'appelle g la h a u t e u r m a x i m u m des p o i n t s du cercle Cy par rapport au cercle C^, et W une q u a n t i t é à l a q u e l l e le module de ^ ( s ) reste inférieur à l'intérieur de son cercle d ' i ï o l o m o r p h i s m e C^.

Considérons le cercle r de centre x et de rayon /n7~; à T i n t é r i e u r d e ce cercle, le m o d u l e de la fonction ( z — x y1 1^ ^ } reste Inférieur à l ' u n i t é , ce q u i p r o u v e que chaque branche de la fonction

l o g [ i + ( ^ - . r ) - ^ ( ^ ) ]

est h o l o m o r p h e dans t o u t ce cercle r. rappellerai/^) la branche holo- morphe q u i s ' a n n u l e au p o i n t <r. En désignant alors par h la h a u t e u r m a x i m u m des points d u cercle Cy par r a p p o r t a u cercle r, il suffira d'a- voir ^'^A p o u r que la f o n c l i o n /[y/(s)'J soit holomorphe dans t o u t le cercle Q,., et, d'après le l e m m e précédent, la série

oo

][/[^)]

sera u n i f o r m é m e n t convergente dans tout ce cercle.

M a i n t e n a n t on p e u t toujours prendre ¥ assez grand pour que le cercle r ne soit pas extérieur au cercle C^, c'esl-à-dire que l'on peut

Ann.de l ' R c . Normale. 3" Série. Tome I. ^ . 2

S. Î O G. KOENÏGS.

t o u j o u r s supposer h^g\ alors, p o u r v u que ^//, on p o u r r a t o u j o u r s poser

F[^(^]:=:^^)i,

la fonction f\^t[^z)\ é t a n t h o l o m o r p h e dans t o u t le cercle (^, c o m m e il a été d i t , et de là

00 w ^./'.' '?'• '3 ) 1

JJF^,^);!-^

h

ou l'on a déjà vu q u e la série exponentielle est u n i f o r m é m e n t conver- g e n t e .

h — 1

Du reste, le p r o d u i t "n"F[y^(^)j = G ( z ) est é v i d e m m e n t h o l o m o r p h c

8

dans t o u t le cercle C,c, en sorte q u e l'on a f i n a l e m e n t

w - S / r ^ ' ^ i ]J.F[cp,(^)]:=G(^)^-

s

ce q u i d é m o n t r e la proposition énoncée-

6. Je vais compléter cette proposition par la démonstration d'une inégalité q u i me sera u t i l e .

Conservons les notations précédentes, et envisageons le produit

^ 2/'w^n7

IjF[cp,(.0]=^

p

où les nombres p et q sont u n i q u e m e n t s o u m i s a u x conditions

q->p^h,

Si nous m e t t o n s la fonction/'(^) sous la forme [z — ^ j ^ ô i z ) comme dînis la démonstration du l e m m e I, en r e p r e n a n t aussi les n o i a l i o n s q u e nous y avions adoptées, nous a u r o n s

//

Y mod /[ ^ ( 5 )] < e [m od ( z^ " •- j' )///- -h mocl ( z,,.,, i — x )/ / ( -}•-.,. 4-1 nod ( ^ •— ,z-)//' j {)

SUR LES I N T É G R A L E S DE CERTAINES ÉQUATIONS FONCTIONNELLES, S. I I

ou encore

//

v-^y m o d / [ ^ . ( ^ ) | < e[(H/^J/•)^{/ / ^}-^- (IP-¹-¹ r)^¹^-. . . — (.IP//-)^], /'

ci, a fortiori,

^ - ^ f.m'/

\ m o d / [ ^ ) ] < - — — ^ H ^

^agajjf 1 ——' AA /'

o u , p u i s q u e H << t ,

^ 6 /''/ m

> inod/[c?,(^)]<-^-^.

/'

On r e m a r q u e r a m a i n t e n a n t que l'on a toujours ino(Î6^< e¹¹¹^¹",

c'est-à-dire, i c i ,

V H.-».

ïnod]JF[^K^)]<<(?l-l l w. /'

A i n s i , quels q u e soient p et q^>p, p o u r v u qu'ils soient supérieurs a A, on peut t o u j o u r s trouver u n e q u a n t i t é indépendante de p et de q,

(]

finie, à l a q u e l l e le m o d u l e de l~|F[y,(5)] reste inférieur.

Cette r e m a r q u e trouve u n e application dans la démonstration dup

troisième l e m m e q u i suit :

7. LEMME 111. — La série y ^{€ r r}- est uniformément convergente dans

.lÎKBE^ Cl--^

u

font le cercle (^.

La fonction y ( s ) peut toujours se meltre sous la forme

^ ( 3 ) :-; ./• -h- ( 3 ~ - .v)^{œ} [i -h ^—^Y'1^—'^

ou la fonction '/?(s — .r) est h o l o m o r p h e dans tout le cercle C^; m est un entier au moins égal à i .

S. 12 (;. KOENIGS.

Posons, p o u r abréger,

j — j - =. Ç, .,;/•— ,r ==: Sy, cp^.r) = ^

nous Irouvons

Y __ -y ^ [" , y / i i ( Y \'\

^ ^ i — a c^ [ i -t- ^. Y) ( ;/ ) j.

La fonction i + Ç ^ ï ^ s ) est précisément d a n s les c o n d i t i o n s de la fonction F ( ^ ) d u lemme II. Son l o g a r i t h m e , je v e u x dire celui q u i a d m e t le p o i n t x p o u r zéro de l ' o r d r e m, est h o l o m o r p h e à l ' i n t é r i e u r d ' u n cercle T, et pour t o u t e s les valeurs de i supérieures ou égales à la h a u t e u r m a x i m u m h des p o i n t s d u cercle C^; par r a p p o r t au cercie F, on peut écrire

i+îr^)^^,

où A ( ^ ) est u n e f o n c t i o n de Ç holomorphe dans t o u t le cercle C^,, o î , par s u i t e ,

t^^a^e^,

d'où, par diflerentiation,

_tl^^(0[,+ç,)/(çj:|.

c ( ^ /

Or la fonction î + Ç X ' ( Ç ) est, elle aussi, dans les c o n d i t i o n s de la fonction F ( ^ ) d u lemme II, en sorte q u e l'on p o u r r a poser encore

i+^/(^)=-^);

la fonction ^-(Ç/) est u n e fonction de Ç h o l o m o r p h e d a n s t o u t le cercle C^., p o u r v u que l ' i n d i c e i soit au m o i n s égal a u n n o m b r e d é t e r - m i n é h' q u i est lui-même au moins égal à A.

Supposons, en conséquence, que î'soit s u p é r i e u r non s e u l e m e n t a //, mais encore qu'il soit au m o i n s égal à h''. Nous aurons tout: d ' a b o r d

(K, d'c, dt,.'-i U-h'

d'C, ~ d'Ç^ d'C

Je ne me préoccupe que du premier facteur.

En v e r l u de l ' i d e n t i t é

^^^^^t_i ^k±i

d\u' dt^, <,^ " * " d'C^

SUR LES INTÉGRALES DE CERTÀLNES ÉQUATIONS FONCTIONNELLES. S. ! 3

_jy

et de la valeur précédemment trouvée p o u r ——•, nous a u r o n s

Cl^i

d'^

di.i,'

i — ï i ~ l

^ ^^i ^ ^c^')

: a^^'e /t' x e hl

M a i s , d'après l'inégalité établie dernièrement au n° 6, on p e u t t r o u v e r deux quantités finies indépendantes de i et auxquelles les

/ i / - 1 2 ^{À (} '^ ) ^ [j- c ^ )

m o d u l e s d e e ^ et de e ^ll restent respectivement inférieurs pour si grand q u e soit i\ appelons alors A le produit de ces deux quantités, et désignons par £/ une q u a n t i t é i m a g i n a i r e convenable dépendant de i, el dont le m o d u l e sera i n f é r i e u r à l ' u n i t é ; nous pourrons poser

/ .-i / — i

S A i ^ , ^ î i ( ^ )

e l1' X e /i' r=A^,

d'où

,^_ A d^

^"-"^ ~•cÏta^i

et enfin

V ^ / _ A ^ ' V a ^ Z^Ï'~^ ~d^ L ^

h' h'

oo

La série V(^Q est évidemment u n i f o r m é m e n t convergente dans tout ii

le cercle C^, p u i s q u e m o d o <; i .

Le t r o i s i è m e l e m m e est démontré par cela même, sans qu'il soit nécessaire d'insister.

ÎIÏ. — Définition de certaines fonctions holomorphes.

8. Ces trois l e m m e s suffisent p o u r d é m o n t r e r les théorèmes suivants q u i servent de base à t o u t le reste d u Mémoire :

THÉORÈME I. — Sij\z} est une fonction de z holomorphe au point x et nulle en ce point, on peut trouver un nombre À assez grand pour que la

S . î 4

série

G. KOENIGS.

î^/[.,(-.

représente une fonction holomorphe dans tout le cercle C,,..

Reprenons les notations employées dans la d é m o n s t r a t i o n du iemme I. En v e r l u de ce l e m m e , la série )• /[9/(s)] représente u n e

ii

fonction finie et continue dans le cercle C^. Si la série des dérivées est, elle aussi, u n i f o r m é m e n t convergente d a n s t o u t le cercle C,., il en résulte q u e la fonction finie et continue définie p r é c é d e m m e n t sera, en o u i r e , m o n o t o n e et, par conséquent, h o l o m o r p h e dans t o u t le cercle Cy.

Tout revient donc à d é m o n t r e r la convergence u n i f o r m e d a n s t o u t le cercle C^. de la série

Y^/'L?/(^1 ^—^—'

h

La fonction f ' ( z ) est h o l o m o r p h e d a n s le m ê m e cercle de centre x q u e la f o n c t i o n / ( ^ ) ; il en résulte i m m é d i a t e m e n t q u e / ' [ y / ( s ) | sera hotomorphe dans tout le cercle C,., p o u r v u q u e ï soit au m o i n s égal à h. Appelons A une q u a n t i t é à l a q u e l l e le m o d u l e def^z) reste infé- rieur dans le cercle d ' h o l o m o r p h i s m e de celte fonction. On a u r a , p o u r v u toujours que iïh,

mod /'/[cp/•(^}_| < A , d'où

Y ,\ niod --Alj^JJ. < A > mod —4—-.. ^d /T ^ (^z ) 1 i Y . d ^ f i z }

/ j ( { z ' z-j dz h h

Or, d'après le lemme III, la série du second m e m b r e , dont les termes correspondent chacun à chacun a u x termes de celle du premier membre, est u n i f o r m é m e n t convergente. On peut donc en conclure la même chose pour la série du premier membre, et le théorème est a i n s i d é m o n t r é .

SUR LES I N T É G R A L E S DE CERTÀLNES ÉQUATIONS F O N C T I O N N E L L E S . S. 1 5 9. THÉORÈME II. — Si F { z ) est holomorphe au point x, et si de plus la fonction est égale à F unité en ce point, il est possible de trouver un nombre g- assez grand pour que la fonction représentée par le produit

n ³⁷ ^^

soit holomorphe dans tout le cercle C^..

J'adopterai les notations du lemme II. En vertu de ce lemme, nous avons

i,/[?;(^)i IJF^^)]^^)^

s

Or, d'après le théorème précédent, la série en exponentielle est h o l o m o r p h e dans t o u t le cercle G,.; il en est de même, du reste, de la fonction G ( s ) , et, par suite, le théorème est d é m o n t r é .

Le cas particulier suivant est particulièrement intéressant, et c'est môme l u i qui a provoqué mes recherches.

10. THÉORÈME III. — La limite du rapport ïp--^^^ est holomorphe dans tout le cercle C^..

En a d o p t a n t les n o t a t i o n s du n° 7, ce rapport peut s'écrire p-i

^ - ^ ^n,, ..., ^

- ^-1T[i4-Sfï,(^)].

^ - a^ at^ a^ ^ ^ il1

Lorsque l'est n u moins égal à À, on p e u t écrire i 4-"<^(Ç/) == e^, o u ^ f c : , ) est une f o n c t i o n de *( holomorphe dans tout le cercle C^,, et l'on a ^

^j'^t^^: ²¹⁶¹ .

a'' " ' a'1 a

Pour/? intîni, la série en exponentielle tend vers une fonction u > { z ) lioloniorphe dans tout le cercle G.,, et par conséquent

,/, ( .-)_-_r_ _ ^(_îln^o(=).

nm ^'^)p ~ ['f'W

S . l 6 G. KOENÏGS.

J'appellerai B(-s) cette fonction de ^, en sorte q u e B(,)^^^r:,f,co(.),

IV. — Propriétés de la fonction B ( ^ ) .

11. On remarquera d'abord que la fonction B(-s) a d m e t p o u r zéros ceux de y/t(^) — oc qui sont i n t é r i e u r s au cercle C^., et avec le même degré de multiplicité.

En particulier :

Le point limite x est un zéro simple de la fonction B(-s).

12. La fonction l}{z) j o u i t encore d ' u n e autre propriété i m p o r t a n t e ; de l ' i d e n t i t é

^iîlirhz-f — L S/dMillz-^

r/^1 a a"

on tire en effet, en passant à la l i m i t e ,

33(^^B[^)].

La fonction B ( ^ ) est d o n c une solution de l ' é q u a t i o n

(S) E[^)]=cS(^

ou E(,s) est u n e fonction inconnue e t c une constante.

Dans le cas actuel, la solution est d o n n é e par les d é t e r m i n a t i o n s Z . ( z ' ) == B ( s ) , c == a\ nous représenterons cette s o l u t i o n par le symbole i B ( » , a | .

Il est clair que, g é n é r a l e m e n t , si J 5 , c ! représente u n e s o l u t i o n do l ' é q u a t i o n (S), il en est de même des symboles JS^,^!, | a S , c j , où //

est u n entier positif ou négatif et a u n e constante. A i n s i , on d é d u i t de la s o l u t i o n précédente le type s u i v a n t

S<B(^):r^|.

q u i contient une double i n f i n i t é de solutions de l'équation (S). Celles p o u r lesquelles n est positif sont bolonnorphes dans t o u t le cercle C^.;

SUR LES INTÉGRALES DE CERTAINES ÉQUATIONS FONCTIONNELLES. S. î 7

si n est négatif, elles sont méromorphes dans ce cercle, et n o t a m m e n t au p o i n t x. Dans tous les cas, / ^ i n d i q u e l'ordre du point x, soit comme zéro, soit comme pôle de la fonction.

13. La proposition réciproque suivante mettra en évidence l'impor- t a n c e de la fonction B ( s ) dans cette question.

THÉORÈME IV. — Toute solution de Véquation (S) qui est holomorphe ou înéromorphe au point x ne diffère que par un facteur constant d'une puis- sance entière positive ou négative de la fonction B(-s).

Il suffît de d é m o n t r e r le cas de l'holomorphisme. Remarquons d'a- bord q u e de l'équation (S) on déduit

acc?,^)]:^^), et, pour z == ,r, il en résulte

( i - c Q S ^ ^ o .

11 est impossible que, pour toute valeur entière et positive de i, on

^;t i _ c¹ == o, car il faudrait q u e c fût égal à i ; il en résulterait a[cp,(.5)]=s(^),

cl, p o u r l'infini,

3(^) = S(^) == const.

Il faut donc que S(;r) soit nul, c'est-à-dire que toute solution de l'équa- tion (S) qui est holomorphe au point x s'y annule. J'ajoute que cette fonction est déterminée si l'on se donne l'ordre n de son zéro x. Soit, en effet,

S(z)^(^—xYl^(z),

où ^f ' z ) est holomorphe et non nul au point x\ on aura a[y(^):]^[cp(^)-^]/ lcF[cp(^)]=c<î>(^).(^-^)/^

d'où

[^^^\\^(z)]=c^{z);

|_ Z — X J

en faisant tendre z vers x, on trouve

c=:[y(^)r==^;

Ann. de l'Éc. Normale. 3e Série. Tome î . ^ - ^

S. 1 8 G. KOKNÎGS.

en r e m p l a ç a n t alors c p a r sa v a l e u r , i l vient

[^) -.r]'/<ï>|^(;] - a ^ ^ ) : on en déduit

^ / ( 3 ) - - ^ J ^ 3 > [ y / ( ^ ) J .^rt^E^)

^^j"-[..-,]-

ou encore

< Î > [ ^ ( . 3 ) ] - S ( ^ .

Faisons c r o î t r e /' i n d é f i n i m e n t , n o u s trouvons a la l i m i t e

[ B ( ^ ) ]/ ^< ^ ( „ ^ ) - " = ^ S ( 3 ) ,

r-e qui démontre le théorème dans le cas de rholomorphisme.

Le cas du méromorphisme se traite de même, et l'on t r o u v e le même résultat, sauf le signe de /;.

I/équalion (S) n'est aiiire que celle de .M. Schrœder, cl, d'après ce qui précède, les seules solutions de c e t t e é q u a t i o n qui soient holo- morplies ou méromorpli-es au poini x s o n t c o n l e n u c s d a n s le lype gé- néral

;^al:î^^)]^/M:?^/(•<>l^/^î

< l ' a i l l e u r s ces s o l u t i o n s s o n t toutes h o l o m o r p h e s ou m é r o m o r p h e s d a n s t o u t le cercle C,., c o m m e je l'ai déjà e x p l i q u é .

I i. C o n s i d é r o n s a c i u e l l e m e n t l ' é q u a l i o n d ' A b e l

< A j ^ E ? * ^ ) ] ••-^i - t " S ( ^ ) .

Si dans l ' é q u a l i o n (S) on p r e n d les l o g a r i l i s m e s des d e u x m e î u b r e s et q u ' o n divise e n s u i t e par lo^c, u n t o m b e sur l ' é q u a l i o n f A ) .

Il en r é s u l t e q u e l ' é q u a l i o n (PALel ne p e u t avoir a u c u n e s o l u t i o n ho- l o m o r [ ) h e ni m é r o m o r p h e en x^ et ([u'ellc en a d m e t u n e , et u n e seule, pour l a q u e l l e ce p o i n t esl, u n p o i n t l o g a r i t h m i q u e ^ a s a v o i r

l°^l£i.

jogy(,.r)'

15. 11 reste à m o n t r e r m a i n t e n a n t c o m m e n t on p o u r r a t r o u v e r à l'aide de la f o n c t i o n B ( . s ) l a solution générale de l ' é q u a t i o n ( S ) et de l ' é q u a t i o n ( A ) dans le cercle C<...

SIÏH LES I N T É G R A L E S DE CERTAINES ÉQUATIONS F O N C T I O N N E L L E S . S . I C )

Le q u o t i e n t clé d e u x s o l u t i o n s de r é q u a l i o n ( S ) , ou la différence de d e u x s o l u t i o n s de l ' é q u a t i o n ( A ) , est u n e s o l u t i o n de l ' é q u a t i o n

( P ) 3 [ c p ( 3 ) ] ^ - 3 ( 3 ) ;

et r é c i p r o q u e m e n t , si l'on représente par X ( ' z} F i n l é g r a l e générale de l ' é q u a t i o n (P), les expressions

^ ) 4 - X ( ^ ) , B(.-)xX(.-)

r e p r é s e n t e n t les Intégrales générales des é q u a t i o n s d ' A b e l el de M. Schrœder.

T o u t r e v i e n t d o n c a t r o u v e r X ( ^ ) . On p e u t t o u j o u r s prendre X ( s ) sous la f o r m e Q[b(z}~\, où û est une f o n c l i o n qu'il f a u d r a déterminer.

On a u r a

X [ c p ( ^ ] = ^ ^ ^ ( ^ ] j - = : û [ ^ ( - - ) + i ] , •

el, p u i s q u e X ( s ) est l'intégrale générale de l'équation (P), il faudra avoir

û[^)+i]^û[^)],

c'est-à-dire que l'on devra p r e n d r e p o u r iî une fonction périodique q u e l c o n q u e , d o n t la période sera l ' u n i t é .

Ce résultat coïncide e n t i è r e m e n t avec celui o b t e n u par M. Korkine, q u a n d 11 a démontré que l'intégrale générale de l'équation d'Aboi pou- vait se d é d u i r e d ' u n e solution particulière de cette équation. La con- naissance de la fonction B ( ^ ) , et par suite de b[z}, permet ainsi de d o n n e r e x p l i c i t e m e n t les intégrales des équations de M. Schrœder et d ' A b e l .

V. — Exemples.

16. Je vais d o n n e r des exemples destinés à éclaircir les considéra- [ions précédentes.

D a n s son M é m o i r e déjà cité, Abel a considéré le cas de y ( ^ ) = = ^ , sans spécifier la n a t u r e de la constante ^. C'est cel exemple que je vais irai ter en premier l i e u .

Les p o i n t s racines de l'équation ^-~ z == o peuvent seuls être des p o i n t s l i m i t e s à convergence régulière; on a û / ( s ) = ^-\ Si ^ est su- p é r i e u r a i , on trouve que z = o est seul un p o i n t l i m i t e , et encore,

S* 20 G. KOENÎGS.

pourvu que p. suit entier. J ' e x c l u e donc ce cas, et je supposerai que p.<^i. Alors, sauf-s = = o q u e je r e j e t t e , tous les points racines sont des points l i m i t e s , car, dans ce cas, ç/(.r) == p. <; i. Je d i s t i n g u e r a i d e u x cas, suivant que y. sera commensurable ou n o n .

17. Soit d'abord a ^ ⁿ- << i ; on obtient toutes les racines en fai-

1 m

sant varier r de o à {m — n — x ) dans l'expression

Ït'T: ---—/'

( r ) x~=:-e ⁾ⁿ-^fl.

Posons z = p e ^ avec o < ; 0 < ; 2 7 r ; les m valeurs de la f o n c t i o n z^

sont comprises dans la formule générale

. ,, ' < f O { J - - ) - 2 T C — ^

( 2 ) ^e ^{v /}"^/,

où s doit varier de o à 772 — i . R e m a r q u o n s que c h a q u e b r a n c h e est caractérisée par une valeur de s à l ' i n t é r i e u r de t o u t contour s i m p l e ne r e n f e r m a n t pris l'orig-ine. Une de ces branches prend en x la va- leur x : c'est celle-là q u e nous considérerons et que nousa ppellerons y(s).

On trouve que, si le point x est celui qui est donné par la for- mule ( i ) , il faut prendre s == r; en conséquence,

lfO[J.-+-2TT '-}

^ ( Z ) =p!^ \ [ /<

Cette fonction est hobmorphe à l ' i n t é r i e u r du cercle C, de r a y o n i, q u i a ^ p o u r centre. D'ailleurs, comme on vérifie que Op. H- 2n ^r- est t o u j o u r s compris entre o et 2n, en posant rf{z) == z^ == ?, ^'°i avec o -< 9^ << 27ï, on aura

?i -=^', Oi.-==: 0;j.—?^ -^, d'où

^ ( Z ) = ^ = p^, ff^/,, p^ •r= pE^, 0^ = 0^^ + J^.-'L- ( I — j^ ) ; //è —• tt

et p o u r p infini, on trouve ^==1, ^==--^~î-, c'est-à-dire z^=x.

fiî, —— n,

Cherchons maintenant B f ^ ) , c'est-à-dire la l i m i t e de î^-^-^l^.

ij.^

SUR LES INTÉGRALES DE CERTAINES ÉQUATIONS FONCTIONNELLES. S. 2 1

A p p e l o n s p ' le logarithme arithmétique de p, et posons

\ m — îi j

nous aurons

î/^l———f = ^ (^- !)== ^ f o ^ + ^ +../)

^ ^

^ \

•

y

et, pour/.? infini, pf t e n d a n t vers zéro,

B(z)=^^

A l'intérieur du cercle C, toutes les brandies du logarithme de r

sont holomorphes; appelons log^ celle de ces branches qui s'annule en x, nous aurons

Z , . 2 T T / ' \

I O ^ ~ -=.^ 4- l 0 —————— --=^;

0 .r ' \ m — n

d o n c

B ( s ) = ^ I o § - - ^ -

On a d'ailleurs

B(,)^..^-H.(o.-^)]=^[p^z(o^^)]=,B(^B > ( ^ 1 ; r--:.x; p ^ -^ ^ i v ^

c'est-à-dire

Bl:^)]^^)!^).

On remarquera la nécessité d'introduire x en dénominateur dans le signe l o g a r i t h m i q u e .

La solution log;3, trouvée par Abel, s'obtient en faisant r =. o, elle correspond au cas de . r = = i , elle est holomorphe dans le cercle de rayon i qui a son c e n t r e au point i; mais celle solution n'est pas la seule, et il y en a (m — n — 1} autres ayant chacune leur cercle d'ho- l o m o r p h i s m e , et relatives chacune a un point limite et à une branche d i f f é r e n t e de ^'.

18. Ces résultats se conservent dans le cas de ^ i n c o m m e n s u r a b l e ; on t r o u v e même alors une infinité de points limites et de fonctions B(-s).

Les points l i m i t e s sont tous sur le cercler, de rayon i , q u i a pour centre l ' o r i g i n e ; on les o b t i e n t tous, en effet, en attribuant à k toutes les va-

S - 2 2 G. KOENIGS.

leurs entières de — co à 4-03 dans l'expression îi^J—

{ i ) .z- =e 1 - i-1- ;

on voit même que, si A est un point q u e l c o n q u e du cercle F, il cxisie u n o i n f i n i t é de points racines d o n t la distance au p o i n t A est m o i n d r e q u ' u n e q u a n t i t é £ aussi petite q u ' o n v o u d r a .

Toutes les d é t e r m i n a t i o n s de z^ sont données par la f o r m u l e

pp.^(OîJ.-(~2'n://^)

où h d o i t v a r i e r de — 30 à +03 par valeurs entières.

Si z reste compris à l'intérieur d ' u n c o n t o u r s i m p l e ne c o n t e n a n t pas l'origine, c h a q u e branche de ^^J- est h o l o m o r p h e et se t r o u v e caracté- risée par u n e valeur de À. Q u e l l e est la b r a n c h e q u i , au p o i n t .:r, p r e n d la valeur xi

A p p e l o n s g la partie entière de —— et v la p a r t i e f r a c t i o n n a i r e ;i [x l ' a r g u m e n t de x compris entre o et 2n est 2w, en sorte q u ' i l f a u d r a avoir, ). élant un e n t i e r convenable,

ou

2 7T\' . p. 4- 2 TC II p. ~ZZ 2 TCV -4- 9. \T:

v (A -4- h ;j. == \» -4- A

o u , en remplaçant v p a r —^L- ~ g ,

/,•+ x _ ^ + ^ - - ^ / ^

Comme ^ est incommensurable, il f a u t avoir h •==: g, h 4- À - o- = o ; on aura donc

y ( ^ ) :^plle^(Op--+-W).

Soient^ la partie entière deg^ et v ' I a p a r t i e f r a c t i o n n a i r e ; on p e u t écrire

y ( ^ ) ^r-pt-'-e^0^4-2^^.

S 1 ^ 4 - î / 5 i , alors o < $^ 4-27rv'< 27r, e t ^ é t a n t l ' a r g u m e n t de o ( s ) compris e n t r e o et an-, on peut écrire

c p ( ^ ) == pi ^\ p^ == p|^ Oi =r Op. 4- 2 TT/;

? r n LES I N T É G R A L E S DE CERTAINES ÉQUATIONS F O N C T I O N N E L L E S . S . - . > ' 5 d\)Ù

^ ( ;: ) ~= o^ e^f, p^ =- ?;A/\ Q/, =- 0;j^ -4- -i^~ ( i — ^' )

c4, poni1 ^ infini,

. 2 7 Î V '

î un ^p ( ^ ) == 6" l ^ == J-',

el le reste connue plus liaul.

T o u t d é p e n d d o n c de la somme [î + V \ or n o u s avons

g- ;J. =: ^•/ + '/, ——— = ^ -r- v :

l — ^J.

donc

/ À- \ 'J.Â- , k , ,

^ -\- '/ := ————— —— ') U. —— —————— —— W .= —— À- 4- —————— —— ^ = ^' —— A- -S- V ( t "-- [J. 1 ,

\ î —— ^ / k î —— ^ k J —— ;J.

c/esi-à-dire que

^./ -^ ^. -„ /•, '/ = ^ ( i — u. ) ;

donc

[A -}- '// ;:-:-: [). + '^ —— [1^ "=1 l —— ( f —— ^JL ) ( 1 —— ' / ) "< I .

A i n s i [oui p o l n l racine est l i m i t e , même dans le cas de [î incommen- s u r a b l e . 11 est m ô m e r e m a r q u a b l e q u e tous ces points limites en n o m b r e i n f i n i soient tous sur le cercle F de rayon î , ainsi que je l'ai déjà ex- p l i q u e .

19. Dans l o u s les cas, que [L soit c o m m e n s u r a b l e ou non, en dési- g n a n t par x u n p o i n t l i m i t e , la fonction B ( s ) a p o u r expression x log ^ on lo°-³ a u n f a c t e u r constant près. Cette f o n c t i o n est holomorphe

0 x

d a n s le cercle de r a y o n î et de centre x, et c'est une solution de l'équa- t i o n f o n c t i o n n e l l e

S ( ^ ) =: [ l S ( 3 ) .

On en d é d u i t p o u r 6 ( ^ ) , à u n e constante additive près, log ?lo^

lo^

S. 2 4 C. KOENIGS.

d'où, pour l'expression générale de la solution de l'équation fonction- nelle,

/ioglog-\

1 «X/ | , ..y Q l ——————— 1 X l O g - ,

\ logp- / D^

où Q ( ^ ) représenle une fonction périodique dont k période est l'unité.

20. Le second exemple q u e je veux citer, c'est celui des s u b s t i t u - tions linéaires. Un des p o i n t s doubles est limite pour la s u b s t i t u t i o n [ z , ( p Ç z ) ], l'autre pour la substitution inverse.

Si l'on ne savait que toute s u b s t i t u t i o n linéaire peut être définie par le s y m b o l e | z, z J, où l'on a

.— ____, ..y./ f» ___ ,-yJ

x et x ' é t a n t les points doubles, notre méthode générale n o u s l'appren- drait. On trouve, en etret, q u e B ( ^ ) est ici é^al à ^r—'-7 à un f a c t e u r

'" -U —— iV

constant près, et, comme ( p^f{ x ' ) = K , l'équation précédente e x p r i m e j u s t e m e n t la propriété

B f ^ ) ] = ^ ) B ( ^ ) ;

mais ce qu'il est permis d'ajouter, c'est que les solutions de l ' é q u a t i o n f o n c t i o n n e l l e

2[^)]===cS(^),

qui sont holomorphcs ou méromorphes en x et x ' , ne diHerent q u e par un facteur constant d'une puissance entière de ^ ~ '^r; encore faut- il que c soit une puissance entière de K. Pour toute autre valeur de c, les solutions admettent nécessairement en x et x ' des singularités essentielles. Tel est le cas, par exemple, de c= i; on retombe alors sur des considérations d'origine récente, mais qui sont bien connues.

VI. — Extension des propositions précédentes.

21. Les propriétés de la fonction B(;s) sont susceptibles d'extension au cas d'équations fonctionnelles plus générales que les équations (S) et (A). •

SUR LES LVŒCJULES DE CERTAINES ÉQUATIONS F O N C T I O N N E L L E S . S . 2 ^

Le premier t h é o r è m e nous apprend que la série

^)^-y/[^(3):i

0

d é F i n i t u n e fonction holornorphe dans tout le cercle C^., p o u r v u que f{z} soit aussi h o l o m o r p h e dans ce cercle el s'annule au p o i n t s . Or

la f o n c t i o n ^ ( ^ ) a i n s i d é f i n i e j o u i l é v i d e m m e n t d e l à propriété

% ( ^ ] : = F ( 3 ) + / ( 3 ) ;

c'est donc une solution de l'équation fonctionnelle

m) S [ ^ ( 3 ) ] ^ S ( ^ ) + / ( ^ ) .

La d i f f é r e n c e de deux s o l u t i o n s de celle é q u a t i o n étant une solution de l ' é q u a t i o n

( P ) S[^)]=S(^

q u i n ' a d m e t , d a n s le cercle C,c, a u c u n e solution holornorphe ni méro- m o r p h e ; on v o i t q u e l ' é q u a l i o n (N), où f{z) est donné, n'admet pas d ' a u t r e s o l u t i o n q u e ^ ( s ) h o l o r n o r p h e dans le cercle C^; a u c u n e solu- Sion n'est méromorplie dans ce cercle.

Enfin la connaissance de la fonction b { z ) nous donne l'expression de l'intégrale générale de l'équation (N), à savoir

. f ( ^ ) + û [ & ( ^ ) ] ,

où i ï [ z ) est u n e fonction périodique dont la période est l'unité.

22. Prenons maintenant la fonction g [ z ) holomorphe dans tout le cercle C^ et-égale à l'unité au p o i n t x\ le p r o d u i t

&'(5)=n^^

représente, d'après le théorème II, une fonction holomorphe dans tout le cercle Q,.. On reconnaît d'ailleurs que cette fonction est une solution

Aiin, de l'Éc. Normale. 38 Série. Tome I. " S. 4

S. 20 G. KOENÎGS.

de l ' é q u a t i o n fonctionnelle

i^) s [ < p ( 3 , ] ^ — , a ( , ) .

^ \ ^ i

Le rapport de d e u x solutions de l ' é q u a t i o n (N') est une s o l u t i o n de l'équation (P) : de là les mêmes conséquences que précédemment.

L'équalion ( N ' ) n ' a d m e t , dans le cercle C^ a u c u n e solution méro- morphe, elle a d m e t une seule s o l u t i o n holoinorphe dans ce cercle,

^(s), et l'expression de l'intégrale générale sera

(;^l(^ⁱ²[^):^

où S ï ( z ) est u n e fonction périodique dont la période est F u m i é . 23. Prenons» par exemple, ^ ' z j = = i'—,..a l • o» '. / (-f i \ i11^ avec a-^^^x}. La fonc-

f'['fi(3)]

tion ^ { z ) : : TT-•-^l-^f'—"-!, qui est liolomorpiteilans tout le cercle C^., est

('va'- ^ .

0

la dérivée d ' u n e fonction 5 ( ^ ) liolomorpiie dans ce même cercle; dis- posons de la constante pour que .'if^) s'annule au point x.

La formule

ff[?(^J--^/f^iï^) nous donne

c'est-à-dire

^l:?^}]^ )-- ^.!)/(^,

5 [ ^ ( z ••)}•:.::. a^(z).

En se reportant au théorème IV, il faut donc que Q ( z ) ne diffère de B{z) que par u n facteur constant

5(.3)-:-cg:^)

o u , eu égard à l'expression de B f s ) ,

w-^^p.^^

on remarquera que, pour z == x, w [ z ) est n u l : donc la dérivée d u se- cond membre se r é d u i t à C pour z == oc.

SUR LES INTÉGRALES DE CERTAINES ÉQUATIONS FONCTIONNELLES. 8.27

M a i n t e n a n t , comme c;(^) == s , il en résulte q u e C == î , et, par suite, . a

on a

5^)-iî(^

w

d'où

d ' o ù , enfin,

^(^=W(^);

B'(.)=n

R e m a r q u o n s tout de s u i t e que, si l'on envisage l'expression î^i-L:—^', sa dérivée s'exprime par le p r o d u i t

J^^M^I.

il a

o

a la limite, î^^—^ a bien pour v a l e u r B ( s ) , mais en résulte-t-il né-

00

cessairernent que B'(^) ait pour limite le p r o d u i t IJ^⁹^^ C'est ce

0

q u ' o n ne p o u v a i t a d m e t t r e a priori. Mais cela résulte des théorèmes généraux que j ' a i démontrés, en sorte que le développement en pro- d u i t de B ' ( ^ ) , que l'on p o u v a i t seulement pressentir, se trouve rigou- reusement établi.

VII. — Des groupes circulaires limites.

24. Les points l i m i t e s à convergence régulière ne sont pas les seuls points limites q u ' i l y ait lieu de considérer. J'en ai défini d'autres dans mon premier travail, et, à l e u r égard, je vais rappeler rapidement les résultats que j'ai obtenus, ainsi que je l'ai fait au début pour le cas de la convergence régulière.

Appelons E/c l'équation z — ( p / , { z ) = o; supposons que XQ soit une r a c i n e de l'équation E/^ et qu'elle ne vérifie a u c u n e équation E^, où l'on a u r a i t /c'^/L La q u a n t i t é oc^ est dite alors appartenir à l'indice/c. Les quantités.T(>, .r,, x^, . . . , ^^,, où l'on pose généralement r^:== y (.z^. < ) ,

S. 2 8 G. KOENÎGS.

appartiennent toutes à l'indice 7c, et elles soni permulées c i r c u l a i r e m e n i par la substitution [ ^ , y ( s ) [ . Leur ensemble c o n s t i t u e un groupe cir- culaire de k racines.

25. Posons généralement

di -=. ^\Xi') et a -==. ci^ci^ a.^. . . cif,.,^ ;

si la conJition m o d a < ^ i est vérifiée, le groupe est un groupe circu- laire limite. Voici ce que j e veux dire par l à .

Tout point x,_ du groupe est alors le centre d ' u n cercle C/, à l'inté- rieur duquel : i° y ( s ) est h o l o m o r p h e ; 2° le module du q u o t i e n t

^—_ reste i n f é r i e u r à u n e q u a n t i t é II/ comprise entre o cl r . Il en résulte q u e le p o i n t x^ est un p o i n t l i m i t e à convergence régulière pour la. s u b s t i t u t i o n . ^ , y ^ , ( z ) | ; le cercle C/ n'est a u t r e que le cercle que j'ai appelé Qy dans les numéros précédents.

M a i n t e n a n t , considérons une seconde série de cercles C^. ainsi définis.

Le cercle (^. est concentrique et i n t é r i e u r au, cercle C/; si l'on p a r t d ' u n p o i n t z intérieur a C^., les p o i n t s y ( ^ ) , ç ^ f ^ ) » /' p ^ {z' ) ^ • • • » î/.-i {z} sont tous intérieurs : le premier au cercle C^, le second au cercle C/..,i^, . . . , le dernier au cercle C/^r

Si n o u s p a r t o n s alors du p o i n t ^ i n t é r i e u r à C/, I c s p o i n i s ^ , ^,..., z/ç^

sauteront d ' u n cercle C au cercle s u i v a n t , après q u o i l'on reviendra avec z/f dans le cercle C\ 'et à u n e distance de ^ m o i n d r e que la dis- tance précédente d e - s à x^ Les p o i n t s s / . i , , . . . , ^-/^i e f f e c t u e r o n t les mêmes sauts que p r é c é d e m m e n t , s e u l e m e n t on remarquera que z;;^j sera p l u s près du point .r/..,-/ que ne l ' é t a i t le point zj. En conti- n u a n t I n d é f i n i m e n t les s u b s t i t u t i o n s , on v o i t ce qui va a r r i v e r ' : les points /s, z/^ .^A, . . . iront sans cesse en se r a p p r o c h a n t de Xi et a u r o n t ce point pour l i m i t e ; les p o i n t s z^ z ^ „.,,./,., ^i+^/., . . . a u r o n t , au c o n t r a i r e , p o u r l i m i t e ^+.,, et généralement les points zj, zj.^ f^Zj^j^ ..., 0117 </:, a u r o n t pour l i m i t e le point ^/+/, où i -+" / doit être r é d u i t s u i v a n t le m o d u l e A, et mêjïie iront sans cesse en se r a p p r o c h a n t de ce p o i n t à mesure que leur indice a u g m e n t e r a . Cela m o n t r e d o n c que la s u i t e

SUR LES INTÉGRALES DE CERTAINES ÉQUATIONS FONCTIONNELLES. S.2()

converge p é r i o d i q u e m e n t vers c h a c u n des points do groupe circulaire l i m i t e .

J'ai démontré, d a n s mon premier Mémoire, que ce cas é t a i t le plus général où l'on eût une convergence p é r i o d i q u e vers un point l i m i t e qui ne fût pas u n p o i n t singulier essentiel de y ( ^ ) . Rien ne s'op- pose d'ailleurs à ce que l'infini et un pôle fassent partie d ' u n pareil groupe, car il se peut que l'infini soit un point l i m i t e à convergence régulière, pourvu que l'infini soit un pôle de <p(-^). Je n'ai pas t r a i t é le cas de l ' i n f i n i dans mes recherches actuelles, mais on voit assez quelles modifications il f a u d r a i t a p p o r t e r , sans que j'aie cru nécessaire d'y in- sister.

26. Je me propose de chercher ce que devient la fonction B ( ^ ) , qui a joué un rôle si i m p o r t a n t dans les numéros précédents, lorsqu'on se p l a c e dans l'hypothèse d'une convergence périodique.

VIII. — Les fonctions lil^).

Le t h é o r è m e III nous a p p r e n d que la limite d u rapport

? / ^ ( ^ ) — — ^

a^

est h o l o m o r p h e dans tout le cercle C,. J'appellerai ^(^) celte limite.

Le p o i n t x, est un zéro simple de cette fonction, et, de plus, elle vé- rifie l ' é q u a t i o n

(i) ^•[?Â-(^)]=^iM^);

mais la f o n c t i o n ^-(s) n ' é t a n t plus définie hors du cercle Q, on ne p e u t p l u s rien dire de ^-[?(^)] lorsque s est intérieur à ce cercle. Toute- fois il existe e n t r e d e u x fonctions iPe), consécutives une relation impor- t a n t e q u i sert de clef à cette théorie.

Prenons le point ^ dans le cercle C, ; le point y y ( ^ ) , o û y < Â : , sera intérieur au cercle C^, en sorte que la fonction ^4vD?/(⁵)] est holo- m o r p h e dans tout le cercle C,. On a d'ailleurs

„ r .. / - M — 1 ; m ^ ^•/ (- g^ """" x^^j '

^ r-y L?y ( ^ )J -= nni —————————,_a^

S.3o c. KOENIGS.

et, en formant le quotient

f^phj^)] —^-H

Cl'P

? / r p ( ^ ) — ^ /

d o n i la l i m i t e est^^7-^^5 o» voit q u e l'on a

'Ub,(^) î

'^^JM^ - lirn ^^(^"l - ^/.

-1^ (,.)- --- —,^^-_^——,

or nous avons

yÂ7^?y(^)]——^.4-y __ ,Î.L^^P) ~ ^^[5^

VA-^ ( ^ ) — ^->/ ^A./, — ^i.

et, pour p i n f i n i , c'est-à-dire p o u r ^ ^ ^., nous trouvons la limite î^^^ï^^+i)...?^.^-,-^ i),

c'est-à-dire que

(< À ) ^/-i-./ [?y ( ^ )] —- ^/ ^ / 1 -i . . . a, ,.,y ..„ i •i(',, ( ,G ).

Cette é q u a t i o n est légitime p o u r t o u s les points s i n î é r i e u r s au cercle C.

et quel q u e soif 7, p o u r v u q u e y < / c . En p a r t i c u l i e r , p o u r / == i ,

( 3 ) ^ / , , l ^ ( ^ ) ] = a , . H ^ • ( ^ ) .

Si l'on faisait, a u contraire j =~ k, on retrouverait l ' é q u a t i o n ( 1 1 . 27. Appelons donc/(s) u n e fonction q u i coïncide a v e c ^ o f ^ ) d a n s t o u l le cercle Co, avec ^ , { z ) d a n s le cercle Co . .., avec ^^{z) dans le cercle C/,^1. Cette fonction j o u i r a de la propriété que le q u o t i e n t ^^•^l!

restera constant dans le cercle C',, s e u l e m e n t cette valeur constante sera a, pour le cercle C,, a, pour le cercle C^, . . . , c'est-à-dire q u ' e l l e changera d'un cercle à l ' a u t r e .

La fonction f{z) ne sera pas, à p r o p r e m e n t p a r l e r , u n e s o l u t i o n de l ' é q u a t i o n

( , S ) E[cp(.3)]"..:cE(^).

SUR LES INTÉGRALES DE CERTAINES ÉQUATIONS FONCTIONNELLES. S.3l

Proposons-nous alors le problème p r é l i m i n a i r e suivant :

Trouver l'expression générale d'une fonction 2(:;) holomorphe ou mé- romorphe en tous les points du groupe et qui, dans chaque cercle C^ , jouisse de la propriété que le quotient ^^{? V}^^J soit constant, cette valeur

^ [ Z )

constante powant d'ailleurs varier d'un cercle à l3 autre.

Prenons un cercle C', concentrique et intérieur à C,., tel que, si l'on part d'un point z intérieur à Cp les pohils ^ , , ^3, . . . , z^^ soient respec- t i v e m e n t intérieurs aux cercles C^, C^.,,, .. ., C^;^p on aura

3[ ^ ^ - ) aJ^)]-) ^(^l _ .

3(..)"~ - ^ a[^)] - ^À-^{1 5} • • •⁵ a[^^)] "" ⁱ^~~^i!

où les À sont les diverses valeurs de ces quotients constants dans chacun des cercles C^.

On en tire

^•(^l-) , . .

——^/^T—— ——- Â O Â I . . . Â ^ _ i ,

en recommençant le tour, on trouverait

^Cîiîlf}]--) ) ' ;

"aT^yr"" ° ""'^

d^où a[^;,(-3)]==(À/À,...^o^E(^)

el çénéralement

a[^(^)]=(Xo>-l...^-l)p3(^).

Donc t o u t e fonction S(s) q u i j o u i t de la propriété que ^ ^ ^ soit constant dans chaque cercle C,-est une solution de l'équation

3 [ c p / , ^ ) ] = c S ( ^ ) .

Les seules solutions holomorphes ou méromorphes en œ, sont com- prises dans le symbole

\^[^iW,^\,

ou a, est une constante arbitraire el n un entier positif ou négatif.

S.3-2 G. KOENÏGS.

En conséquence, la fonction cherchée S(.s) doit coïncider Avec ^[^(^OP" dans le cercle C^,,

Avec ^[^iC^)]^ dans le cercle C\, Avec ^[1)1^(^)1^ dans le cercle €3,

Maintenant, on remarquera qu'il faudra avoir 'ÀO >' i • . . A/,... i -= a^o r= ci¹¹ ^ -= a".. . ., ce qui exigera que

HQ ~=~- n^ ~=z fi^—-^ . . . = : / / „ ;

(în sorte qae :

Tous les points du groupe sont des zéros ou des pôles du même ordre de la fonction S (-s).

11 est d ' a i l l e u r s facile d'avoir l'expression des constantes \ en fonc- tion des constantes a : r e m a r q u o n s , en effet, q u e

^ / 4 - l S ^ V ^ [ ? ( ^ ) ] ^

^"""O^^ï)^^

et, comme ^-.n [<F(^)] == a, ii^-(^),

^ ^ a'i.

a/

ÎX. ~ Les fonctions B ( ^ ) .

28. Nous pouvons m a i n t e n a n t résoudre le problème q u i consiste à chercher les solutions les p l u s générales de l ' é q u a t i o n (S) q u i sont holomorphcs ou niéromorplies a u x points du g r o u p e ; il suffit, en effet, de déterminer les constantes a par la c o n d i t i o n que toutes les con- stantes \i d e v i e n n e n t égales. On aura, en appelant \ l e u r v a l e u r com- m u n e ,

^_^=...^«;,,=^,;,,^,

d'où

——— x ____ p À 3 Â^-1

^ — ^ ^ / p ^—y-o^Tp ^ ^ ^ . ^ - r - ^ ? - • ^ ^-1 -•= ^ -.„——^—^

o "o ^i "o '^1 (^a ^u a' i • • • alc-•^.

SUR LES I N T É G R A L E S DE CERTAINES ÉQUATIONS FONCTIONNELLES. S. 3 3

e t , en outre,

"1 /l ————— /y •/ /-. H ,-, /; _____ /y HA — a^ a ^ . . . cî ^ ^ — a .

[..a q u a n t i t é c/.o f i g u r e en f a c t e u r c o m m u n , et la faire égale à i revient a m u l t i p l i e r S(.s) p a r u n e c o n s t a n t e . Supposons, en outre, n = i ; il est, c l a i r q u e , p o u r repasser a u cas de n q u e l c o n q u e , il suffira d'élever les c o n s t a n t e s a et les f o n c t i o n s i j l / ( s ) à la puissance n., c'est-à-dire de [) r e n d r e la p u i s s a n c e ^ieme de E ( ^ ) .

Prenons d o n c p o u r ). u n e racine de l ' é q u a t i o n b i n ô m e

)/= a,

nous a p p e l l e r o n s B ( ^ ) u n e fonction de z qui coïncidera Avec — il^o(^) dans le cercle C/o,

cio

Avec —— i ^ i ( ^ ) dans le cercle C'i,

Ct^Cl i ) /

Avec ——-———-iiL/(^) dans le cercle C-,'

a ^ a ^ . . .^•-i - 'v / / ?

)/,,--i

Avec ————— ^v,..-! (;0 clans le cercle C / . . .

^ 0 ^ 1 . . .^--2 1 • '

Cette f o n c t i o n , l i o l o n i o r p h e . en chaque p o i n t du g r o u p e , satisfera à r é q u î i t i o n

B [ - p ( ^ ] = r : A B ( 3 ) ;

ce sera d o n c une s o l u t i o n de l ' é q u a t i o n

( S ) S [ < . ( . . ^ ) ] = C S ( , 3 ) .

P u i s q u e À a d m e t k d é t e r m i n a t i o n s , on aura k systèmes de con- s t a n t e s a, et p a r s u i t e Je fonctions B ( s ) ; mais il faut remarquer que d a n s l ' u n q u e l c o n q u e des cercles C,-lcs rapports de ces k fonctions sont c o n s t a n t s .

P o u r avoir m a i n t e n a n t le type général des s o l u t i o n s de l'équation (S) qui sont h o l o m o r p h e s ou m é r o m o r p h e s en c h a q u e point d u groupe, il.

s u f f i t de faire

S ( ^ ) ^ a o [ B ( ^ ) ] ^ c^V\

où. Oo est une constante et n un entier positif ou négatif.

--/////. d<- l'r.,c. Nurni. 3e Surif. Tome î. b . Q

S. 3-4 (,î. KOEiNIGS.

29. L'équation cTAbel admet encore la s o l u t i o n / / • , ^ „^{1 0}^^B( ^ )

loi-rX

el tous les résultats précédents subsistent. L'essentiel était d'obtenir la fonction B ( s ) .

X. —- Exemple.

30. Je donnerai encore un exemple qui ne sera que la c o n t i n u a t i o n de celui que j'ai développé au § V. Pour ne pas trop m'étendre, je me restreindrai au cas de [j. commensurable. On a

y ( G ) - = ^ et, ^,(z)=.^^

les racines a p p a r t e n a n t a l'indice p sont données par la f o r m u l e géné-

rale /.•

où k doit prendre une valeur entière comprise e n t r e o el m^— n¹', dif- férente de ...-^,-^---^ (p' désigne l ' u r j l t é ou l'un quelconque des divi- seurs de p), sans quoi l'on a u r a i t aussi des racines a p p a r t e n a n t à des indices i n f é r i e u r s a p .

Un raisonnement que j ' a i présenté ailleurs {ⁱ) conduit à l'expression s u i v a n t e pour le nombre des points a p p a r t e n a n t à l'indice/?

/ /^; ./.'., \ / II r_ \

')bp = [m'' — ^ m11 -i- ^ itt^' — . . . / — [n? — ^ i^ 4- >j ri'11' — .../,,

où a, b, c, . . . sont les diviseurs premiers de/?.

Soit XQ, x^ . . . , <r^.j un groupe de p racines; on a

?^i) p^-^) p^.'^^). • .^'(.^-.-i) = ;^< i ;

f1) Sur une généralisation du tileorèmo de Fermât, et ses rapports avec la théorie géné- rale des substitutions uniformes (Bufl. des Se. mat/i., 1884^). Je profite de cette occasion pour réparer l'omission que j'ai faite, en oubliant d'associer le nom de M. Kantor a ceux de MM. Lucas et Picquct dans nies citations; j'aurais pu citer encore M. Pellet, qui a, lui aussi, présente une Note aux Comptes rendus sur cette généralisation.