Détection et localisation de particules de très hautes énergies en acoustique sous-marine.

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Nicolas Juennard

To cite this version:

Nicolas Juennard. Détection et localisation de particules de très hautes énergies en acoustique

sous-marine.. Traitement du signal et de l’image [eess.SP]. Université du Sud Toulon Var, 2007. Français.

�tel-00295026v2�

THÈSE

Présentéepar

Ni olas Juennard

pour obtenir

le gradede Do teur de l'Université du Sud Toulon Var

Mention Trés honorable

Équiped'a ueil :Laboratoire L2MP- Equipe Signaux etSystèmes É oleDo torale :USTV

Titre de lathèse:

Déte tion et lo alisation de parti ules de très hautes énergies

en a oustique sous-marine.

soutenue le10dé embre2007 devant lejury omposéde :

M. Régis Lengelle ProfesseurdesUniversités (UTT) Rapporteur.

M. Mi hel Guglielmi Ingénieurde re her he CNRS (IRCCYN) Rapporteur.

M. Jean-Ja ques Aubert ProfesseurdesUniversités (UDM) Examinateur.

M. Vin ent Bertin Chargé dere her he CNRS(CPPM) Examinateur.

M. ClaudeJauffret ProfesseurdesUniversités (USTV) Dire teur de thèse.

Jetienstoutd'abordàremer ierClaudeJauretpourm'avoirproposé esujetdethèse à la n de mon année de DEA. Son en adrement sans failles pendant toutes es années de thèse etnos nombreuses dis ussions m'ont aidé à sans esse me remettre en question, qualité fondamentale lorsquel'on faitde lare her he. Je luidois dem'avoir a ueillidans l'équipeSignauxetSystèmesoùj'aiputravaillersur ettethèse etsurbiend'autressujets passionnants. L'ambian e toujours haleureuse de l'équipe GESSY m'a permis de mener estravauxdansdes onditionsidéales.

Je tiensàremer iertoutparti ulièrementBernard Xerripoursonintuitionetses nom-breux onseils. Laqualité desonen adrement m'a parti ulièrement aidépour le hoix des orientations de ma re her he. Nos nombreuses dis ussions m'ont permis de mieux om-prendre les mystères du ltrage adapté et sont à l'origine de bon nombre des résultats obtenus dansles travauxdé rits dans et exposé.

Je remer ie également Claire Noël,Dire tri e del'entreprise Semanti TS d'avoir bien vouluêtre lepartenaire so io-é onomiquede ettethèse.

Je remer ie bien sûrégalement les membres de l'équipe GESSY, JeanBarrère, Bruno Borloz, Jean-François Cavassillas et Gilles Chabriel pour leur soutien et les nombreuses dis ussionsque nousavons puavoirdurant es quelquesannées.

Denombreusesdis ussionsave ValentinNiessduCPPMm'ont permisdemieux om-prendreetappréhender lesmé anismes physiquesà l'originedesphénomènesétudiésdans es travaux. Je lui suis re onnaissant d'avoir adapté le langage desphysi iens à elui des traiteurs dusignal. Je tiens également àleremer ier d'avoirassistéà masoutenan e.

Je suis re onnaissant à Régis Lengelle et Mi hel Guglielmid'avoir a epté d'être rap-porteurs dema thèse.Leurs ommentaires etleurs questions m'ont permisde larier ma réda tionetm'ont donné denouvellespistes deréexion.

Je remer ie également Jean-Ja ques Aubert et Vin ent Bertin, d'avoir fait l'honneur d'assister àmasoutenan e etd'avoirfait partide monjury dethèse.

Remer iements -1

Table des matières 0

Introdu tion 5

1 Le signal a oustique et le bruit marin

Proto ole de simulations 9

1.1 Lesignal a oustique . . . 10

1.1.1 Modélisationissue del'appro he thermodynamique . . . 10

1.1.1.1 Cas général . . . 10

1.1.1.2 Etude en hamplointain . . . 12

1.1.2 Modélisationee tuée au CPPM- Modèle deNiess . . . 14

1.1.2.1 Contextedessimulations duCPPM . . . 14

1.1.2.2 Signala oustiqueproduitparune as adehadroniqueetsa propagation . . . 15

1.1.3 Déte tabilitéde la as ade d'énergie parun hydrophone . . . 24

1.1.3.1 Indi e dedéte tabilité . . . 25

1.1.3.2 Densité de probabilité de la distan e

R

d'une as ade dé-te table . . . 29

1.1.3.3 Fon tion derépartition dela distan e

R

d'une as ade dé-te table . . . 31

1.2 Lebruit marin . . . 34

1.2.1 Modélisationréelle . . . 34

1.2.2 Modélisationsynthétique . . . 37

1.3 Proto ole dessimulationsappliquées àladéte tion . . . 38

1.3.1 Paramètres de la as ade d'énergie etdessimulations. . . 39

1.3.2 Estimationdesmatri es devarian e ovarian e . . . 40

1.3.3 Génération dusignal a oustiquedéterministe . . . 40

1.3.3.1 Modèled'Askaryian . . . 40

1.3.3.2 Modèlede Niess . . . 41

1.3.4 Génération dusignal Antares aléatoire . . . 42

1.3.5 Miseen forme dubruit de mer . . . 43

1.3.5.1 Bruit demer issu d'enregistrements . . . 43

1.3.5.2 Bruit demer synthétique . . . 44

1.3.6 Notionde rapportsignal-à-bruit . . . 44

1.3.7 Lessignauxde test . . . 46

1.3.8 Testde déte tion . . . 47

1.3.10 Pré ision des ourbesCOR . . . 47

1.4 Con lusiondu hapitre . . . 48

2 Déte tion par rapport de vraisemblan e 50 2.1 Introdu tion . . . 50

2.2 Résumé . . . 50

2.3 Approximationpolynmiale dusignala oustique . . . 51

2.3.1 Quel ordrepour lepolynme?. . . 52

2.4 Casd'unbruit gaussien entré de varian e onnue et onstante . . . 53

2.4.1 Quellevaleur pour leseuil? . . . 54

2.4.2 Cal ulettra é des ourbesCOR théoriques . . . 55

2.4.2.1 Cal ul du seuilàpartirde lavaleur de

P

f a

. . . 55

2.4.2.2 Cal ul de

P

d

. . . 56

2.4.2.3 Résumé : . . . 57

2.5 Casd'unbruit gaussien entré de varian e in onnue et onstante . . . 59

2.5.1 Cal ulettra é des ourbesCOR théoriques . . . 61

2.5.1.1 Résumé : . . . 64

2.5.1.2 Véri ation par Monte-Carlo . . . 64

2.6 Casd'unbruit gaussiende matri e de varian e ovarian e estimée . . . 66

2.7 Déte tion ensituation réelle . . . 66

2.7.1 Casdu signala oustiqued'Askaryian. . . 67

2.7.1.1 Première distan e dedéte tion :

d = 100m

. . . 67

2.7.1.2 Se onde distan ede déte tion:

d = 200

m. . . 68

2.7.1.3 Interprétations desrésultats. . . 69

2.7.2 Casdu signala oustiquede Niess . . . 71

2.8 Con lusion. . . 74

3 Déte tion par le ltrage adapté et ses extensions 76 3.1 Introdu tion . . . 76

3.2 Résumé . . . 77

3.3 Lesignal a oustique,un signalaléatoire? . . . 78

3.4 Déte tion par analyselinéaire dis riminante [16℄. . . 80

3.4.1 Rappeldelathéorie dansle asde ladéte tion . . . 80

3.4.2 Appli ation au asAntares . . . 83

3.5 Leltrage adaptésto hastique FAS[3℄ . . . 86

3.5.1 Théorie . . . 86

3.5.1.1 Fon tionnelleasso iée . . . 88

3.5.2 Appli ation au asAntares . . . 88

3.6 Leltrage adaptésto hastique étenduFASE [3 ℄ . . . 90

3.6.1 Théorie . . . 90

3.6.1.1 Fon tionnelleutilisée. . . 91

3.6.1.2 Rapportde vraisemblan e dansle asgaussien . . . 91

3.6.2 Appli ation au asAntares . . . 92

3.6.2.1 Fon tionnelleutilisée. . . 93

3.6.3 Résultats expérimentaux . . . 94

3.6.3.1 Cas du bruitgaussien . . . 95

3.6.3.2 Cas du bruitréel . . . 95

3.7 Leltrage adaptésto hastique sous ontrainteFASC[3℄ . . . 98

3.7.1.1 Algorithme . . . 100

3.7.1.2 Fon tionnelleasso iée . . . 101

3.7.2 Appli ation au asAntares . . . 102

3.7.3 Résultats expérimentaux . . . 103

3.7.3.1 Re her he de lavaleur de

p

optimale . . . 103

3.8 Adaptation du FASCau asmultibruits :leFASCM . . . 104

3.8.1 Théorie . . . 105

3.8.1.1 Sous-espa e de dimension 1 . . . 106

3.8.1.2 Sous-espa e de dimension

p

. . . 106

3.8.1.3 Fon tionnelleasso iée . . . 107

3.8.2 Adaptation au asAntares. . . 108

3.8.2.1 Signal d'intérêt non entré . . . 109

3.8.3 Résultats expérimentaux . . . 110

3.9 Bilandesméthodesproposées : omparaison desrésultatsexpérimentaux . . 111

3.9.1 Casmono-bruit . . . 112

3.9.2 Casmulti-bruits . . . 115

3.10 Extensionsetperspe tives . . . 119

3.11 Con lusion. . . 121

4 Stru ture d'antenne et estimation de la traje toire 123 4.1 Introdu tion . . . 123

4.2 Résumé . . . 123

4.3 Estimationdestemps de retard . . . 124

4.3.1 Estimationdesdates d'arrivée dufront d'onde surunhydrophone . 124 4.3.1.1 Résultats expérimentaux . . . 126

4.3.2 Estimation de la diéren e du temps d'arrivée sur un ouple d'hy-drophone . . . 128

4.3.2.1 Des ription desdeuxméthodesd'estimation duTDOA . . 128

4.3.2.2 Les ontraintes liéesaux deuxméthodes . . . 129

4.3.2.3 Choix de laméthode d'estimation du TDOA . . . 131

4.4 Stru tured'antenne: proposition . . . 133

4.4.1 Contraintesphysiques . . . 133

4.5 Estimationde latraje toiredu neutrino . . . 135

4.5.1 Miseen équationdu TDOA . . . 135

4.5.2 Miseen équationde l'estimateur . . . 138

4.6 algorithme . . . 139

4.6.1 Stru ture . . . 139

4.6.2 Cal uldu pasde des ente . . . 139

4.6.3 Singularitéséventuelles de

Hess

M

(θ)

. . . 140

4.6.4 Traitement desangles . . . 140

4.6.5 Testd'a eptation . . . 140

4.7 Simulations etrésultats . . . 141

4.7.1 Initialisationetvaleursnumériques . . . 143

4.7.2

A

(0)

vrai

àl'intérieur de lastru ture de apteurs ZoneA . . . 145

4.7.2.1 Tousleshydrophonesdéte tent -

P

d

= 1

. . . 145

4.7.2.2 9 ouples déte tent -

P

d

= 0.75

. . . 147

4.7.3

A

(0)

vrai

àl'extérieur dela stru turede apteurs

ZoneB . . . 151

4.7.3.1 Tousleshydrophonesdéte tent -

P

d

= 1

. . . 151

4.7.3.2 9 ouples déte tent -

P

d

= 0.75

. . . 152 4.7.3.3 5 ouples déte tent -

P

d

= 0.416

. . . 155 4.7.4 Résumé etinterprétations . . . 157 4.8 Con lusion. . . 158 5 Simulation globale 160 5.1 Introdu tion . . . 160

5.2 Contextephysique dela simulation . . . 160

5.2.1 Lastru ture d'hydrophones . . . 160

5.2.2 La as ade d'énergie . . . 161

5.3 Proto ole etrésultatsexpérimentaux . . . 162

5.3.1 Validationdes élémentsdu système. . . 164

5.3.1.1 Modules dedéte tion . . . 164

5.3.1.2 Moduled'estimation du TDOA . . . 165

5.3.1.3 Moduled'estimation de latraje toire . . . 166

5.3.2 Simulation omplète . . . 168 5.3.2.1 Cas n

◦

1 :RSB=-45dB . . . 168 5.3.2.2 Cas n

◦

2 :RSB=-55dB. . . 171 5.4 Con lusionetextensions . . . 173

A Etude en hamp lointain du signald'Askaryian 178 B A propos de l'é hantillonnage 181 C Varian es et é arts-types du déte teur lassique dans le as d'un bruit gaussien entré de varian e onnue et onstante 182 D Cal ul de la loi de

1

σ

(

M

T

d

M

d

)

−1/2

M

T

d

X

dans le as de l'hypothèse

H

0

183 E Dépendan e de

X

T

_Π

1

X

et

X

T

_X

185 F Indépendan ede

X

T

₍

I

N

− Π

1

)X

et

X

T

_Π

1

X

186 G Evolution des performan es de déte tion en fon tion de la distan e 187 G.1 Atténuation du bruit en fon tion de la distan e pour des performan es de déte tion onstantes . . . 188

G.2 Evolution du RSB en fon tion de la distan e pour des performan es de déte tion onstantes . . . 189

G.3 Véri ation desrésultats . . . 190

H Cal ul du rapport de vraisemblan e dans le as Antares 192 I Détail des al uls de l'estimateur de la traje toire du neutrino 195 I.1 Cal ulde

∇

θ

M (θ)

. . . 196

I.1.1 Cal ulde

∇

θ

S(θ)

. . . 196

I.2 Cal ulde

Hess

M

(θ)

. . . 197

I.3 Régionsde onan e . . . 197

I.3.2 Régionde onan epour

d = 2

:ellipse de onan e . . . 198

I.3.3 Bornede Cramer-Rao . . . 199

J Proto ole et simulations de la déte tion appliquée au as réel - Cas mo-nobruit 200 J.1 Paramètres des simulations . . . 201

J.2 Génération dusignal Antares . . . 202

J.3 Génération dubruit de mer . . . 203

J.4 Notionde rapportsignal àbruit. . . 204

J.5 Cal uldesmatri es de ovarian e . . . 204

J.6 Lessignauxde test . . . 204

J.7 Testde déte tion . . . 205

J.8 Cal uldes

P

d

et

P

f a

eta hage des ourbesCOR . . . 205

K Cal ul de l'inter orrélation de deux signaux ltrés par le FASE 206 K.1 Filtragepar leFASE . . . 206

K.2 Cal ulde l'inter orrélation . . . 207

Glossaire 209

Pourquoi les neutrinos?

La plupart de nos onnaissan es sur l'Univers proviennent de l'observation des

pho-tons. En astronomie, eux- ipossèdent de nombreux avantages :ils sont eneet produits

en grandnombre, sont éle triquement neutres, stables,fa iles à déte ter et leurs spe tres

ontiennentunemultituded'informations surlespropriétés himiquesetphysiquesdeleurs

sour es.Unin onvénient apparaît néanmoinslorsquel'onveutétudier ertainespartiesde

lagalaxieou ertainessour esd'énergiedetypeastrophysique: elles- isont omplètement

opaquesaux photons etl'étude dire te est impossible. Par exemple, les photons qui nous

arriventdusoleilproviennent desaphotosphère, etnondu oeurd'hydrogèneenfusionde

l'étoile.

Pour observerde tels phénomènes, less ientiques ontbesoin d'unobjetphysiquequi

soit éle triquement neutre, dont latraje toire ne soit pas ae tée par les hamps

magné-tiques et qui possèdent la propriété physique d'intera tion faible (leur permettant ainsi

depénétrerdansdesrégionsina essiblesauxphotons).Ces objets,dé rits parles

s ienti-quesdepuislesannées30,existentetsenommentlesneutrinos.D'après ertainsmodèles,

eux- i pourraient même porter23 %de l'énergiede l'univers. Enétudiant esparti ules,

ildevientdon possible d'obtenirdesinformationsuniquessur ertainsphénomènes

astro-physiques detrès hautes énergies.

Certaines sour es astrophysiques émettent naturellement des neutrinos : la fusion de

l'hydrogène, les réa tions dans le oeur des supernovas, et . De part leur propriété

d'in-tera tion faible, es parti ules très di ilement observables dire tement, les s ientiques

sontdon partisàlare her he de ni hesnaturellessus eptiblesd'êtreexploitéespour leur

observation.Ilapparaîtquel'eaudemerestunematièreassezdensepourquelesneutrinos

manifestent leur présen e en interagissant ave ertaines molé ules. Ce sont es

observa-tions quiont motivé ledéveloppement dutéles ope Antares (AstronomywithaNeutrino

Le télés ope Antares

Leprojetinternational Antaresadébutéen1996.Sonobje tifestla onstru tiond'un

téles ope à neutrinos situé dans un environnement marin à fortes profondeurs. Après de

nombreuses études surles propriétés requisesde l'eau de mer[22℄ [1℄,le site du téles ope

aété hoisien mer Méditerranée à40km au sud deToulon, en Fran e.

Intera tion des neutrinos ave la matière

Le neutrino a beau être la parti ule la plus abondante de l'univers (il y a environ un

milliard defois plus de neutrinos qued'atomes d'hydrogène, qui estpourtant l'élément le

plus répandu), l'attraper est pourtant loin d'être une hose aisée. Comme il n'a pas de

harge éle trique, il ne se lie pas ave d'autres parti ules hargées. Il n'est pas non plus

sensibleàl'intera tionnu léaireforte,quiassemblelesnu léonsauseindunoyauatomique.

Leneutrino agitsifaiblement ave lamatièrequ'elleluiest pratiquement transparente:il

pourrait traverser pendant mille années-lumièrede matière solideavant d'êtrearrêté.

Néanmoins, lorsque la matière est susamment dense, le neutrino peut heurter un

éle tron. Lerésultatde ette ollision estlagénérationd'unashde lumièreasso iéàune

onde ultra-sonore 1

. Un téles ope à neutrinos est onstitué d'unréseau tridimensionnel de

apteurs. Jusqu'àprésent, lare her he s'estfo alisée surladéte tion de l'onde lumineuse

issuede l'intera tion neutrino/éle tron (utilisationsde photo- apteurs).

Plusieurs téles opesont étédéveloppés:

⋆

Lepremierdéte teurest eluidula Baïkal, onstituéde8lignessupportantautotal 192photo- apteurs.Cetéles opeapermisd'établirlafaisabilitédel'expérien emais

estlimitéen profondeurà ause delanature dusite.

⋆

Le réseau Amanda, situé au ple sud, est basé sur un milieu onstitué de gla e et nonplus d'eaude mer,permettant ainsidegagner en profondeur.

⋆

Ledéte teurSuperKamiokande,estunegigantesque uved'eauentouréedetubes"à lumièreCherenkov"etestsituéeauJapon.Lespremiersrésultatsde etteexpérien e

ontmontréqueleuxdeneutrinos osmiqueestplusfaibleque eluiattenduparles

s ientiques.

1

En touterigueur, devraient être onsidérés plusieurs typesde réa tionssuivant le type de neutrino ren ontré (neutrino-éle tron,neutrino-muonouneutrinon-tau),maistoutes esréa tionsproduisant une

Le téles ope Antares est omplémentaire duprojetAmanda.Eneet,unsystèmebasé

sur un milieu marin est plus exible, même si le bruit de fond est plus important. Ce

système s'arti ule autour de plusieurs lignes immergées à une profondeur de 2350m. Le

volume ouvert par les lignes sera à terme de l'ordre du kilomètre ube. Sur es lignes

seront disposés des déte teurs de photons (photo-déte teurs), ainsi que des hydrophones

apablesde déte terlesignala oustique issude laréa tionneutrino/éle tron.

L'obje tif prin ipal de ette thèse est de proposer plusieurs appro hes, lassiques et

originales,pourappréhender leproblèmedeladéte tiond'unsignala oustiquegénérépar

une as ade d'énergie après propagation dansun milieu marin. L'exposé se fo alisera sur

les méthodes et proto oles mis en jeu et essayera autant que possible d'en proposer des

extensionspourdefuturesétudes.Plusieursmodèlesdesignauxetdebruitsserontétudiées

etlesrésultats illustréspar dessimulations àpartir dedonnées réelles et/ousimulées.

Lese ondobje tifde ettethèseestd'étudierleproblèmed'estimation delapositiondela

as aded'énergieetdelatraje toireduneutrino orrespondant grâ eàunréseau

d'hydro-phones.L'exposésevoudralàen oreassezgénéraletseraarti uléautourdelades ription

d'uneméthode d'estimation lassique,touten proposant d'autres orientations pour la

ré-solutionde e problème.

Organisation du manus rit de thèse

C'estautourde esignala oustique,appelédanslasuite signalAntares,ques'arti ule

lesujet de ettethèse. Le premier hapitre est onsa ré àl'étude théorique et

expérimen-tale de elui- i. Ce hapitre revêt un aspe t hronologique. En eet, les informations sur

le signala oustique noussont fourniespar les physi iens etles diérents modèles étudiés

nousont été fournis toutau long de ette thèse. Le premier modèle étudié est unmodèle

théorique basésurles travauxduphysi ienrusse G.A.Askariyan[8 ℄,tandis quele se ond

est basé sur une appro he expérimentale basé sur les travaux de V. Niess [23 ℄ au CPPM

de Marseille. Ces modèles ont aboutit a un modèle analytique du signal a oustiquedont

ertains paramètres sont des variables aléatoires. Le signal Antares sera don représenté

par unsignal aléatoire.

Baséesurlesdonnéesissuesdeshydrophones(réellesousimulées),l'étuded'unsystème

de déte tion du signal a oustique noyé dans le bruit ambiant ( onstitué du bruit de mer

etéventuellement de divers bruitsbiologiques/humains), feral'objetdes hapitres2 et3.

Le hapitre 2traited'uneméthodedite " lassique"de déte tion. Celle- iest baséesur

deprobabilitédesvariablesaléatoiresmisesenjeu.Plusieurs situationsserontétudiées, du

assimple de lavarian e onnue et onstanteau as plusgénéral de varian e in onnue et

variable. Le as dit "réel", pour lequel les matri es de varian e/ ovarian e des pro essus

mis en jeusont estiméesexpérimentalement seraégalement traité.

Le hapitre 3 dé rit également d'autres méthodes de déte tions. Celles- i sont basées

sur une appro he totalement sto hastique des signaux mis en jeu, par le biais de leurs

momentsd'ordre1et2(i.e.parlebiaisdeleursespéran esetdeleursmatri esdevarian e

ovarian e). Lesméthodesétudiéessont basées surlanotionde ltreadapté sto hastique.

Plusieurs extensionsseront dé ritesetleurs performan es évaluées.

Le asditmulti-bruits,danslequellebruitdemerambiantn'est plusleseulàperturberle

signala oustiqueestégalement abordé. Eneet,l'é osystèmemarin oul'a tivitéhumaine

(bateaux, sonars, et .) génèrent dessignaux sus eptibles de perturber le déte teur. Pour

s'aran hir de es nouvelles ontraintes, on étudiera une méthode de déte tion basée sur

uneextensiondultrageadaptésto hastiqueetquitiendra omptede esnouveauxbruits,

par lebiaisde leurs matri esde varian e ovarian e.

Lesperforman es de ha unedesméthodesétudiéespré édemment seront omparéesdans

un as dit "semi-réel", dans lequel le bruit de mer est un bruit réel issu de ampagne de

mesure ee tuées en Méditerranée et le signal a oustique est généré synthétiquement à

partirdestravauxee tués auCPPM.

Dans le dernier hapitre de ette thèse, nous nous intéresseront à l'estimation de la

traje toire d'un neutrino dont on aura déte té la présen e. Nous supposerons pour ela

disposer d'un déte teur apable de réagir au passage d'une de es parti ules. Après une

étuded'observabilité,nousendéduironsunepremièrear hite turesimplede apteursnous

permettant d'estimer la traje toire de la parti ule. Cette estimation est basée sur la

mi-nimisation en puissan e d'un ritère basé sur les diéren es de temps d'arrivée sur les

Le signal a oustique et le bruit marin

Proto ole de simulations

Le but de e hapitreest desefamiliariser ave lesignala oustiqueissu de la ollision

d'unneutrino etd'unéle tron en milieu marin.La physique etla modélisationde e

phé-nomèneont donné lieu àde nombreusesétudes etpubli ations[8℄ [14 ℄ [20 ℄.

La génération d'unetelleonde a oustiquemet en jeu plusieurs mé anismes physiques.

Au plus bas de l'é helle, l'intera tion du neutrino ave les atomes du milieu est dé rite

par laphysique desintera tions faibles. Le neutrino possédant unemasse trèsfaible, pour

que le signal sonore soit déte table sur des distan es de l'ordre du kilomètre, il faut que

sonénergiesoit trèsimportante,de l'ordrede

10

18

eV.Néanmoins, esénergies n'étant pas

a essiblesaux her heurssurdessystèmesa tuelstels queles granda élérateursde

par-ti ules (énergiede l'ordrede

10

12

eV),l'intera tion du neutrino ave les molé ulesde l'eau

demeraétéextrapoléeàpartirdesrésultats onnus auxplusfaiblesénergies.Ce

ompor-tement onduit au développement d'une gerbe (ou as ade) de parti ules se ondaires. Le

volumed'eau ontenant ette as adeestionisé,etilenrésulteuné hauementlo alave

générationde l'onde a oustiquepar un phénomène dedilatation- ompression.

Danslasuitede e hapitre,deuxmodélisationsdusignala oustiqueserontprésentées.

Lepremiermodèleestbasésurlestravauxduphysi ienrusseGurgenAshotovi hAskariyan

duP.N. Lebedev Physi al Institute [9 ℄ qui montreque l'onde a oustiqueest orre tement

dé riteàl'é hellemésos opiqueen onsidérantuneappro hethermodynamique.Lesétudes

etsimulationsee tuéesparValentinNiessauCPPMdeMarseille[23 ℄aboutirontause ond

modèle. Il est à noter que es simulations informatiques lourdes sont désormais possibles

1.1 Le signal a oustique

1.1.1 Modélisation issue de l'appro he thermodynamique

1.1.1.1 Cas général

Les al uls suivant sont basés sur les travaux du physi ien russe G.A. Askaryian [9℄

datant de 1979.Les notationsutilisées dans e hapitressontregroupéessur lagure1.1.

L'origine du repère est hoisie au entre de la as ade d'énergie. Le point de l'espa e

r

c

représentelapositiond'unéventuelhydrophonequi apteral'ondesonoregénéréepar ette

dépositiond'énergie.

q

e

q

c

r

c

r

e

Z

e

x

y

z

Z

c

Fig. 1.1 Radiationa oustiquede la as ade d'énergie( oordonnées ylindriques)

Si l'on onsidère une appro he thermodynamique, l'équation dé rivant la propagation

d'uneonde a oustiquegénérée par untel phénomène dansunmilieu aquatique est :

∆P −

_C

1

₂

s

∂

2

P

∂t

2

= −

α

C

p

∂

2

q(r, t)

∂t

2

(1.1)

P (r

c

, t)

représente la valeur de la pression a oustique et

q(r, t)

la densité d'énergie. Ces quantitéssont évaluéesàunpoint

r

c

etàuninstant

t

.

C

s

estla élérité dusondansl'eau,

α

le oe ient d'expansionthermique, et

C

p

la apa ité thermiquedumilieu.

La solutionde ette équationestdonnée parl'intégrale de Kir hho:

P (r

c

, t) =

α

4πC

p

Z

Ω

1

|r

e

− r

c

|

∂

2

∂t

2

q(r

e

, t −

|r

e

− r

c

|

C

s

)

d

V

(1.2)

où

Ω

représentel'intégralité del'espa e (

Ω =

R

3

dansle asde oordonnées artésiennes).

L'expansionde la as ade d'énergiesefaitdansuntemps del'ordre de

τ

h

≈ 10

−8

_s

.Ce

temps est beau oup plus ourt que la durée ee tive de l'onde a oustique (

τ

s

≈ 10

−5

s

). Onpeutdon physiquement fairel'hypothèse suivantesurladéposition del'énergie

q

:

∂q(r, t)

∂t

= q(r)δ(t)

(1.3)

Simplionsl'équation 1.2en yinje tant l'équation pré édente etenposant

ρ = |r

e

− r

c

|

:

P (r

c

, t) =

α

4πC

p

Z

Ω

1

ρ

q(r

e

)

∂

∂t

δ



t −

ρ

C

s



d

V

(1.4)

=

α

4πC

p

∂

∂t

Z

Ω

1

ρ

q(r

e

) δ



t −

_C

ρ

s



d

V

(1.5)

Simplionsen ore etteexpression enplaçant l'originedurepèreau point

r

c

.L'expression dela pressiona oustiquedevient don :

P (r

c

, t) =

α

4πC

p

∂

∂t

Z

R

3

1

p

x

2

e

+ y

e

2

+ z

e

2

q(r

e

) δ

t −

p

x

2

e

+ y

2

e

+ z

2

e

C

s

!

d

x

e

d

y

e

d

z

e

(1.6)

Au vu de ette expression, il paraît intéressant de passer à un système de oordonnées

sphériques, dé ritsurlagure1.2.

q

j

r

c

r

e

x

y

z

r

Fig.1.2 Passage aux oordonnées sphériques

Pour ela,nousavonsbesoinde al ulerledéterminantduja obien

J

c→s

du hangement de repère artésien

−→

ylindrique. Le ja obien

J

s→c

= J

c→s

−1

de hangement de repère inverse ylindrique

−→

artésien est fa ileà al uler. Il sut ensuited'utiliser lerésultat det

(J

−1

s→c

) =

det

(J

1

s→c

)

.

Nousavons:

J

_s→c

=









cos(ϕ) cos(θ) −ρ cos(ϕ) sin(θ) −ρ sin(ϕ) cos(θ)

cos(ϕ) sin(θ)

ρ cos(ϕ) cos(θ)

_{−ρ sin(ϕ) sin(θ)}

sin(ϕ)

0

ρ cos(ϕ)









(1.7)

Son déterminant est

det(J

_s→c

) = ρ

2

cos(ϕ)

(1.8) Enposant

r

e

=















ρcos(ϕ)cos(θ)

ρcos(ϕ)sin(θ)

ρsin(ϕ)

(1.9)

etenutilisant lerésultat pré édent, onen déduitl'expression delapressiona oustiqueen

oordonnées sphériques:

P (r

c

, t) =

α

4πC

p

∂

∂t

Z

2π

0

Z

π

0

ρ q(r

e

) cos(ϕ)

d

θ

d

ϕ

(1.10)

Sil'on pose

ρ = C

s

t

, e qui implique

dR = C

s

dt

, on peut simplier l'équation 1.10 eton obtient :

P (r

c

, t) =

α

4πC

p

C

s

∂

∂ρ

Z

2π

0

Z

π

0

q(r

e

) ρ cos(ϕ)

d

θ

d

ϕ

(1.11)

Le lieu de l'intégrationest lasurfa e d'une sphère entrée au point

r

c

(grâ e au

1

er

han-gement de variable)etde diamètre

ρ = C

s

t

.

Nous avons obtenu i i l'équation du hamp de pression a oustique reçu sur un apteur

positionné en

r

c

àl'instant

t

.

1.1.1.2 Etude en hamplointain

L'expression du hamp de pression a oustique ne tient pour l'instant pas ompte de

l'atténuationdueaumilieumarin,nides ara téristiquesdestransdu teursd'é oute.Nous

allons maintenant onsidérer que l'on utilise des transdu teurs ayant une bande passante

susamment élevéeetqueladistan edudéte teuràla as adeest

ρ ≪ L(f)

,où

L(f )

est lalongueur d'absorption dusonà lafréquen e

f

.

Plaçons-nous maintenant dans le as du hamp lointain, i.e. le signal a oustique est

apté par un hydrophone à une grande distan e de la as ade d'énergie. Dans e as de

gure, le signal a oustique subit un ltrage fréquentiel ara téristique du milieu marin.

latransforméede Fourier del'équation1.2. Dansledomainefréquentiel, l'expressionde la

pressiona oustiqueest :

P

w

= iw

α

4πC

p

χ(w)

Z

Ω

1

|r

e

− r

c

|

q(r

e

) e

i

w

Cs

|r

e

−r

c

|

d

V

(1.12)

Dans e as pré is, il est intéressant d'utiliser un système de oordonnées ylindriques

( f. gure 1.3), en eet, la multipli ité de ette intégrale sera réduite ar la distribution

d'énergie

q(r

e

)

dansla as adeestàsymétrieaxiale.Noussupposeronségalementque ette distributionpeuts'é rire:

q(Z

e

, r

e

) =

1

2π

N

X

k=1

A

k

(Z

e

)e

−r

e

/λ

k

(Z

e

)

(1.13)

R

C

z

y

x

R

e

r

c

r

e

q

c

q

e

Fig.1.3 Radiationa oustique delagerbe (vue dedessuset oordonnées ylindriques)

Le al ulmenéen annexe Anousindique l'expressiondu hamp depression

s

Askaryian :

s

Askaryian

(r

c

, t) = i

α

4π

2

_C

p

Z

_∞

−∞

Z

_∞

0

w

χ(w)

r

c

√

γ

N

X

k=0

A

k

(Z

e

)λ

2

_k

(Z

e

)

(1 + β

2

k

)

3/2

e

iw(T

0

−t)

d

Z

e

d

w

(1.14) ave

γ = 1 +

(Z

c

−Z

e

)

2

r

2

c

,

T

0

=

r

c

√

γ

C

s

et

β

2

k

=



w

C

s



_{2 λ}

2

k

γ

.

Nous avons ainsi al ulél'expression de lapression a oustiquereçue par le apteur

si-tuéau point

r

c

à l'instant t.Pour une expression de

χ(w)

donnée, il est don possible de oder etterelationande al ulernumériquementl'alluredusignalsonorereçuauniveau

reçuparun apteursituéà100mdela as aded'énergiepourunneutrinod'énergie

10

18

eV.

0

10

20

30

40

50

60

70

−20

−10

0

10

20

30

40

Allure du signal Askaryia pour une distance de 100m

Temps relatif (

µ

s)

Amplitude du signal acoustique (mPa)

50

100

150

200

−10

0

10

20

30

40

50

Fréquences (kHz)

Amplitude (dB)

Spectre du signal Askaryia pour une distance de 100m

Fig.1.4Allureetspe tre fréquentieldumodèlethermo-dynamiqued'Askaryianpour un apteur situé àune distan ede 100m.

L'algorithme fourni par Askaryian limite volontairement la bande passante à 50kHz. Ne

disposantpasd'autremodèlederéféren eà estadedel'étude,nousavonsdé idédegarder

ette bande passantepour toutes lessimulations utilisant emodèle.

Remarque : Cemodèle du signalAntares était leseul disponible au début de e travail

dethèse.Il estbasésurungrandnombred'hypothèsesetd'approximations,maisapermis

d'avoir unepremière idée del'allure dusignalà déte ter.

1.1.2 Modélisation ee tuée au CPPM - Modèle de Niess

LestravauxmenésparValentinNiessauCPPMdeMarseillede2002 à2005ontabouti

àunnouveaumodèledusignalAntaresbasésurdessimulationsphysiquesetsurunmodèle

depropagationpluspré isetadaptéausiteAntares.Pour emodèle,nousadmettonsquela

physiquedesparti ulesélémentairesmiseenjeuparlesneutrinos onsidérésdetrèshautes

énergies(del'ordre de

10

20

eV)reste biendé ritedansle adre duModèleStandard.

1.1.2.1 Contexte des simulations du CPPM

Cemodèleestbasésurdessimulationsutilisantles odesGEANT4.Ceux- ipermettent

de simulerun grandnombrede pro essusde parti uleslibres, non ratta hées àun atome,

de as ades :

 Les as adeshadroniques ompa tes,de longueur ee tive environ 10m.

 Les as adesditeséle tromagnétiques,pouvants'étendresurdes entainesde mètres

pour une énergiede

10

20

eV.

Les o urren es relatives de es deux types d'évènements sont déli ates à déterminer a

priori, arellesdépendentnotammentdela ompositionensaveurdesneutrinos

(neutrino-éle tron, neutrino-tauouneutrino-muon). Par ailleurs,dansle asdetrès hautesénergies,

apparait uneet ditLPM(formalisé par Migdal[2 ℄)ae tant lapartie éle tromagnétique

des as ades, et introduisant une élongation du dépt d'énergie etun omportement

for-tement aléatoire. Aussi, est-il proposé de onsidérer es deux types d'évènements omme

des signaux physiques distin ts. Dans tous les travaux de ette thèse, seules les as ades

hadroniques ompa tesont étéprises en ompte.

1.1.2.2 Signala oustique produit par une as ade hadronique et sa

propaga-tion

Dansl'étudequisuit,lesignala oustiqueestprisàunedistan ede100mdela as ade

d'énergie. C'est la distan e laplus faible disponible parmi toutes les simulations fournies

par leCPPM.

Dépendan e en énergie

Nousallons étudier i i larelation entre l'énergie de la as ade et l'amplitude des signaux

a oustiques orrespondant, pour diérentes altitudes

z

le long de la as ade. Les trois énergies disponibles dansles  hiers de simulationsCPPM sont onsidérées :1,10 et100

EeV.Ontra e surlagure1.5pour haquevaleur del'énergie,les valeursdesamplitudes

0

20

40

60

80

100

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Energie (Eev)

Valeur maximale normalisée

du champs de pression

Fig.1.5Dépendan een énergiede l'amplitudedessignauxprisàdiérentespositions le longde la as ade

La ourbe obtenue estquasiment une droite,on peutdon on lure àune dépendan e

linéaireentreénergiedela as adeetamplitudedusignala oustique.L'énergiesetraduira

don unsimple oe ient danslemodèle quenoussommes entrain de onstruire.

Atténuation radiale

Lorsde sapropagation, lesignal subitdeux typesd'atténuation.La première,appelée

at-ténuationradiale orrespondàuneatténuationenpuissan edusignal(ouenamplitude)et

estdire tementproportionnelleàlarépartitiondel'énergiedusignalsurlasurfa edufront

d'onde.La se ondedépendde lanaturedu milieutraversé etmodiespe tre etamplitude

dusignal.

Pour une distan e

d

,l'atténuation radialeest notée

g

L

(d)

etnedépend quede ladistan e

0

2000

4000

6000

8000

10000

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Distance (m)

Amplitude du champ de pression (Pa)

Fig.1.6 Atténuation radialede l'amplitude dusignal a oustique

Un modèle de ette atténuation a été étudié par J.C. Learned [14 ℄ et onduit à la

relationsuivante:

1

g

L

(d)

= d

1

2

.



1 +



d

d

1



n



_2n

1

.



1 +



d

d

2



n



_n

1

(1.15)

L'amplitude dé roît omme la ra ine de la distan e pour des petites distan es de la

as- ade (inférieures à une distan e

d

1

xée, e qui orrespond au hamp pro he). Pour de plusgrandes distan es(supérieures à

d

1

etinférieuresàune distan e

d

2

xée),elle dé roît plutten

1/d

à ausedelapertedeshautesfréquen esetatteintune valeur asymptotique en

f rm[o]−−/d

2

en hamplointain(distan essupérieureà

d

2

).

Pour lesintervallesdedistan e quinousintéressent (del'ordre dukm),les paramètres

optimaux ont été évalués empiriquement à

d

1

= 4000

m,

d

2

= 10000

m et

n = 1

. Pour es valeurs, on superpose sur la gure 1.7la ourbe déduite des simulations et elle issue du

0

1000

2000

3000

4000

5000

−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

Distance (m)

Atténuation en amplitude du champ de pression (dB)

Atténuation issue des simulations

Modèle d’atténuation

Fig. 1.7 Validation du modèlede Learned

Les ourbes sont superposées, et le modèle est don validé pour et intervalle de

dis-tan es. Néanmoins, dansle as qui nous intéresse, une distan e maximale de 10000m est

bientrop importante. En eet,dansle adredu téles ope de 1km

3

,la distan emaximale

serait plutt de l'ordre de 500 ou 1000m. Pour es dimensions, l'atténuation radiale est

représentéesur lagure1.8.

100

150

200

250

300

350

400

450

500

−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

Distance (m)

Atténuation en amplitude du champ de pression (dB)

Fig. 1.8 Validationdu modèlede Learned desdimensionsde l'ordre dukm

Dans et intervalle, le terme prépondérant pour des distan es omprises entre

d

1

et

ramenerà uneformulationplus simpledu oe ient d'atténuationradial :

1

g

L

(d)

=

s

d



1 +

d

d

1



(1.16) ave

d

1

=1000m.

Atténuation due au milieu marin

Lesignala oustiquesubitégalementuneatténuationfréquentielledueàlanaturedumilieu

marinlors desapropagation.Celle- i est ara tériséepar unltrede fon tiondetransfert

H

d

dont l'expressionestde laforme :

H

d

(f ) = 10

−

α(f )d

20

(1.17)

La synthèse des travaux ee tués par François et Garrison [7℄ et par Liebermann [18℄

onduisent au oe ient d'absorption omplexe suivant :

α(f ) = A

1

P

1

f

1

jω

ω

1

+ jω

+ A

2

P

2

f

2

jω

ω

2

+ jω

+ A

3

p

3

(

ω

2π

)

2

(1.18)

ave pour dépendan edesparamètres :















P

1

= 1

[

Pa

]

P

2

= 1 − 1.37.10

−4

P + 6.2.10

−9

P

2

[

Pa

]

P

3

= 1 − 3.83.10

−4

P + 4.9.10

−10

P

2

[

Pa

]















A

1

= 8.86.10

0.78pH−5

/C

s

A

2

= 21.44S(1 + 0.0025.T )/C

s

A

3

= 4.937.10

−4

− 2.59.10

−5

T + 9.11.10

−7

T

2

− 1.5.10

−8

T

3

(

f

1

= 2.8(S/35)

0.5

.10

4−1245/(T +273.15)

[

kHz

]

f

2

= 8.17.10

8−1990/(T +273.15)

/(1 + 0.0018(S − 35)) [

kHz

]

Lepremierterme orrespondàla ontributiondel'absorptiondel'a ideborique,lese ond

àla ontribution dusulfatede magnésiumetledernieràla ontribution del'eaupure.

P

1

,

P

2

et

P

3

représentent des pressions,

A

1

,

A

2

et

A

3

sont des oe ients sans unités et

f

1

et

f

2

sontlesfréquen esderelaxationasso iéesàl'a ideboriqueetausulfatedemagnésium.

Dans les expressions pré édentes, la température

T

est exprimée en degrés Celsius, la pression

P

en dé i-bar, la salinité

S

en PSU et la vitesse du son

C

s

en m/s. Ave es unités, le oe ient d'atténuation est exprimé en dB/km. Pour la mer Méditerranée, les

valeurssuivantessont utilisées :

⋆

unetempérature de fondde

13.2

o

C.

⋆

unesalinitéde 38.5 PSU.

⋆

unevitessedu sonde 1520 m/s.

⋆

unpH de8.2.

Danslasuite, nousnoterons :

h

d

(t) =

TF

−1

_[H

d

(f )]

(1.19)

oùTF représente l'opérationde transforméede Fourier.

Signal a oustique reçu par un hydrophone

Nouspouvonsmaintenant onstruireunmodèlepourlesignala oustique.Nousavonsdéjà

vuquel'amplitude de elui- iest dire tement proportionnelleà l'énergie

E

de la as ade. Notremodèlepeutdon semettresouslaforme :

s

Niess

(t, d, E) = k.E.g

L

(d).

Re

(h

d

∗ s

0

) (t)

(1.20)

ave :

⋆ k

est un oe ient né essaireà l'homogénéité de la formule, déterminé numérique-ment àpartirdes simulations disponibles.

⋆ E

estl'énergie dela as ade.

⋆ g

L

(d)

est l'atténuation radiale dusignalpour unedistan e

d

.

⋆

Re

(x)

représente lapartie réelledu omplexe

x

.

⋆ h

d

est le ltre temportel ara térisant l'atténuation du milieu marin pour une dis-tan e

d

.

⋆ s

0

(t)

représente le signala oustique pris à la distan e minimale disponible dansles simulations, notée

d

min .

Ilfautremarquerque ettemodélisationn'estvalablequepourdesdistan es

d > d

min

.Les

simulationsdisponiblespour etteétude ont xé ettevaleur à:

d

min

= 100

m

La gure 1.9 représente l'allure de e modèle de signal a oustique pour des distan e à la

as ade de100 et500m, une énergie

E = 10

19

eV etune longueur transverse

L

ef f

= 10

m. Onpeutremarquerqu'aprèsunepropagationde500m, lesignala subituneforte

atténua-tionen amplitude,ainsiqu'un ltragefréquentieldu typepasse bas.

0

20

40

60

80

−2

0

2

4

6

8

10

12

Allure du signal acoustique

pour une distance de 100m

Temps relatif (

µ

s)

Amplitude (mPa)

0

20

40

60

80

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Allure du signal acoustique

pour une distance de 500m

Temps relatif (

µ

s)

Amplitude (mPa)

0

100

200

300

400

500

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

Fréquences (kHz)

Amplitude (dB)

Spectre du signal acoustique

pour une distance de 100m

0

100

200

300

400

500

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

Fréquences (kHz)

Amplitude (dB)

Spectre du signal acoustique

pour une distance de 500m

Fig. 1.9  Allure du signal a oustique pour plusieurs distan es à la as ade - Modèle de Niess

Allure du front d'onde

Il est important de s'intéresser maintenant à l'allure du front d'onde portant les signaux

a oustiques.On représente sur la gure1.10 les temps de retard des signaux a oustiques

pour diérentesaltitudes lelongde l'axe de la as ade.On représenteégalement pour les

0

0.2

0.4

0.6

0.8

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50

Temps de retard par rapport

au temps d’origine de la cascade (

µ

s)

Altitude z le long de l’axe de la cascade (m)

Energie = 10Eev

0

0.1

0.2

0.3

0.4

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50

Valeur du champ de pression (Pa)

Altitude z le long de l’axe de la cascade (m)

Energie = 10Eev

Fig. 1.10 Alluredu front d'onde dessignauxa oustiques générés par la as ade

Il apparaît que le front d'onde est quasiment plan, tous les signaux a oustiques ont

don la même phase etse dépla ent dans le milieu marin à la même vitesse. Néanmoins,

l'amplitude de es même signauxpour diérentesvaleursde

z

n'est pas onstante.

L'idéemaintenant estdemodéliser etteatténuationenaltitudeparunmodèlesimplebasé

surune gaussienne.Considéronsla fon tion:

g

z

(z) = e

−

1

2

(

z−µ

σ

)

2

(1.21)

Nousprendrons pour

µ

la valeurexpérimentale de

z

laquellel'amplitude du signal a ous-tiqueest maximale.La valeurde

σ

aété empiriquement estimée à 2.Onsuperpose surla gure 1.11 le oe ient d'atténuation en altitude

z

déduite des simulations CPPM et la ourbe de

g

z

pour les paramètres pré édents.

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50

60

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Altitude z le long de la cascade (m)

Coefficient d’amplitude du champ de pression (Pa)

Atténuation réelle

Modèle gaussien

Fig.1.11 Atténuation de l'amplitudedu signala oustiquesuivantl'altitude

z

Ces ourbessont trèspro hes,etlafon tion d'atténuation

g

z

(z)

peutdon êtreutilisée dans ette modélisation.

Néanmoins, dans une première appro he, et an de diminuer le nombre de variables,

nous onsidéreronsun prolen amplitude onstant quellequesoit laposition

z

lelongde la as ade.La valeurde etteamplitudesera elle orrespondantau maximumdelagure

1.10. Elle orrespondà une altitude:

z

opt

= 6.52

m

Atténuation du front d'onde

L'atténuation en puissan e que subit le signal en fon tion de la distan e par ourue

d

est due à la ontribution de deux termes du modèle pré édent : le oe ient d'atténuation

radiale, noté

g

L

(d)

, et l'atténuation due au ltrage fréquentiel

H

d

(f )

. Il est intéressant à e stade de l'étude de tra er en fon tion de ladistan e de propagation

d

l'atténuation en puissan e (exprimée en dB)subie par le signal. Cette ourbe est représentée surla gure

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0

5

10

15

20

25

30

35

Distance de propagation (m)

Atténuation en puissance (dB)

Fig. 1.12  Atténuation en puissan e subie par le signal en fon tion de la distan e de propagation.

1.1.3 Déte tabilité de la as ade d'énergie par un hydrophone

Nous appelons i i évènement l'apparition d'une as ade d'énergie générant un signal

a oustique. Intéressons nous maintenant à la répartition statistique de es évènements

dansl'espa e.Nous avonsdéjà vuque ladépositiond'énergie de la as ade sefaitle long

d'un segment de longueur

L

ef f

. D'après la gure 1.10, le front d'onde se propage dans une dire tion quasi orthogonale à la as ade. Dans la suite de ette étude, nous allons

fairel'hypothèseque ette propagationestparfaitement orthogonaleàl'axede la as ade.

Considéronsdansl'espa e une as ade d'énergie ara térisée par :

⋆ L

ef f

:Longueure a e de la as ade.

⋆ ~r

:Position du entre

C

de la as ade.

⋆ ~u

:Ve teur unitaire d'orientation de la as ade.

⋆ d

max

:Extension maximale dufront d'onde.

Considéronségalement un hydrophone lo alisé au point

r

~

H

, esinformations sont regrou-pées surlagure1.13.

Cascade d’énergie

Y

X

Z

O

Hydrophone

U

Rc

R

H

Rc - R

H

C

Propagation du

front d’onde

Fig.1.13Représentationdansl'espa edelapropagationdusignala oustiqueissu d'une as ade d'énergie.L'hydrophone est lo aliséà laposition

r

~

H

.

1.1.3.1 Indi ede déte tabilité

Introduisonsl'indi e de déte tabilité 1

∆

.Celui- i vaut 1 silefront d'onderen ontre l'hy-drophoneau oursde sapropagation, 0 sinon.Sonexpression peutdon s'é rire:

∆ (~u, ~r, ~

r

H

) =

(

1

si

|~r − ~

r

H

|

2

_{− (~r.~u)}

2

≤ d

2

max

et

| (~r − ~

r

H

) .~u| ≤

L

ef f

2

0

sinon (1.22)

Elle dépend de l'orientation

~u

de la as ade, de la position

~r

du entre de la as ade et

~r

H

de l'hydrophone dansl'espa e.Sil'on hange l'origine durepère au point déni par le apteur,l'expression devientindépendante de

r

~

H

ets'é rit :

∆ (~u, ~r) =

(

1

si

|~r|

2

_{− (~r.~u)}

2

≤ d

2

max

et

|~r.~u| ≤

L

ef f

2

0

sinon (1.23)

ave lesnotations dela gure1.14. 1

Ilestimportant deremarquerquel'assertion"unsignalest déte table"n'impliquepasl'assertion " e signalseradéte té".

Cascade d’énergie

Y

X

Z

H

Hydrophone

U

C

Propagation du

front d’onde

r

ö

è

d

Fig. 1.14Représentation de la as ade d'énergie danslerepèredu apteur.

Note : L'orientation du repère n'a pas d'importan e, nous avons don orienté l'axe

O

z

suivant leve teur

~u

.Dans e repère,on peuté rire:

~u

















0

0

1

et

~r

















x

y

z

(1.24)

La fon tion

∆

seréé ritdon :

∆ (~u, ~r) = ∆

~

u

(x, y, z) =

(

1

si

x

2

_{+ y}

2

_{+ z}

2

_{− z}

2

_{≤ d}

2

max

et

z ≤

L

ef f

2

0

sinon (1.25)

Passonsmaintenant en oordonnées sphériques:















x = r sin θ cos ϕ

y = r sin θ sin ϕ

z

= r cos θ

(1.26)

onobtient :

∆(r, θ, ϕ) =



























1

si

r

2

_sin

2

_{θ ≤ d}

2

max

1 − cos

2

θ ≤

d

2

max

r

2

)

cos

2

_{θ ≥ 1 −}

d

2

max

r

2

et

cos θ ≤

L

ef f

2r

0

sinon (1.27)

Il estintéressant dedis uter des assuivants:

r < d

max

: Lapremière ondition de1.27 esttoujours vériée.

d

max

< r < d

max

+

L

ef f

₂

: Pour ertaines distan es

r

supérieures à la distan e maximale de déte tion

d

max

, il existe des orientations de as ades pour lesquelles la déte tion est possible. Ce iestdû au hoix delo aliser elle- i par sonmilieu.

Néanmoins,ilest raisonnable de onsidérer leshypothèsessuivantes :

L

ef f

<< d

max

(1.28)

d

<

d

max

(1.29)

Eneet,pourles as adeshadroniques,lalongueure a e(

≈

10m)estbeau oupplus petitequeles distan esde propagation onsidérées(

≈

500 à1000m).Dans es onditions, onpeutégalement é rire

d ≈ r

.

Hypothèses importantes :

Ave les hypothèses suivantes:

L

ef f

<< d

max

d

<

d

max

onpeuté rire:

r ≈ d

et si on note

D

la variable aléatoire asso iée à la distan e

d

et

R

la variablealéatoireasso iée àladistan e

r

,alors ladensitéde probabilité de

D

estapproximativement lamême que ellede

R

:

L'intérêt de ette approximation est que ladétermination de ladensité de probabilité

delavariablealéatoire

d

estplusfa ile.Celle- isera al uléedanslasuitede ettese tion.

Ave eshypothèses,lapremière onditionestdon toujoursvériée,etladéte tabilité

seramène don àlase onde ondition :

cos θ ≤

L

_2r

ef f

(1.30)

Pour simplier l'expressionde

∆

,plusieurs assont onsidérés pour

r

:

Cas n

◦

1 :

r ≤

L

ef f

2

Onpeuté rire :

L

ef f

2r

≥ 1

.Or, onsait que

∀θ

,

cos θ ≤ 1

. La ondition1.30est don toujoursvériée.

Cas n

◦

2 :

L

ef f

2

≤ r ≤ d

max

I i, nous avons

L

ef f

2r

≥ 1

, or omme pré édemment,

∀θ

,

cos θ ≤ 1

. La ondition 1.30 n'est don pastoujours vériée etdoitdon êtretestée.

Cas n

◦

3 :

r > d

max

Nous venons de faire l'hypothèse

d ≈ r

, or nous avons déni la distan e

d

max

omme ladistan e au delà de laquellela déte tion est impossible. L'indi e

∆

prendradon toujours pour valeur 0dans e as.

Résumé :

Hypothèses:

Lef f << d

max

et

d < d

max

⇒ r ≈ d

L'indi ede déte tabilité est :

∆(d, θ, ϕ) =



































1

si

d ≤

L

ef f

2

1

si

L

ef f

2

< d ≤ d

max

et

| cos θ| ≤

L

ef f

2d

0

sinon (1.31)

Probabilité de déte tabilité une as ade située à une distan e

r

Intéressonsnousmaintenant àlaprobabilitéde déte tabilitéd'une as adesa hant qu'elle

estsituée àune distan e

r

.Celle- i estdéduite de l'indi e dedéte tabilité

∆

:

P (∆ = 1|R = r)

(1.32)

R

représentelavariablealéatoire asso iée àladistan e

r

àla as ade. Le al ulde ette densitéest évident,eton obtient :

P (∆ = 1|R = r) = 1

si

r ≤

L

ef f

2

= P



_{| cos θ| ≤}

L

ef f

2r



si

L

e

f f

2

< r ≤ d

max

= 0

si Résumé : Hypothèses:

Lef f << d

max

et

d < d

max

⇒ r ≈ d

Laprobabilité dedéte ter une as ade située àune distan e

d

est:

P (∆ = 1|R = d) =



































1

si

d ≤

L

ef f

2

L

ef f

2 d

si

L

ef f

2

< d ≤ d

max

0

si

d > d

max

(1.33)

1.1.3.2 Densitéde probabilitéde la distan e

R

d'une as ade déte table Cher hons maintenant à al uler la densité de probabilité que la as ade soit à une

distan e

r

sa hant qu'on peutla déte ter. Laloi de Bayesnousditque :

p

R

(r|∆ = 1) = p (R = r)

P (∆ = 1|R = r)

P (∆ = 1)

(1.34)

Cal ul de

p(R = r)

Soit

X

unevariablealéatoire uniforme, alors :

X : Ω → I ⊂ R

X

est unevariablealéatoire uniformesur ledomaine

A

sietseulement si

P {X ∈ A} =

|A|

|I|

(1.35)

où

|.|

représentelasurfa e (volume) dudomaine onsidéré.

La fon tionde répartitionde

R

est :

F

R

(r) = P {R ≤ r} =

4

3

πr

3

4

3

πd

3

max

=

r

3

d

3

max

(1.36)

La densitédeprobabilité de lavariable aléatoire

R

estdon :

p(

dist

= r) =

∂F

R

(r)

∂r

=

3r

2

d

3

max

(1.37) Cal ul de

P (∆ = 1)

Onpeuti i é rire :

P (∆ = 1) =

Z

d

max

0

P (∆ = 1|R = r) p(R = r)

d

r

(1.38)

=

3

d

3

max





Z

Leff

2

0

r

2

d

r +

L

ef f

2

Z

d

max

Leff

2

r

d

r





(1.39)

=

3

d

3

max

"

L

3

ef f

24

+

L

ef f

4

"

d

2

_max

₋

L

2

ef f

4

##

(1.40)

=

3

4

L

ef f

d

max

−

1

16

L

3

_{ef f}

d

3

max

(1.41)

, K

c

(1.42)

Résumé :

Hypothèses:

Lef f << d

max

et

d < d

max

⇒ r ≈ d

La densité de probabilité que la as ade soit située à une

dis-tan e

r

sa hant qu'elleest déte tableest :

p

R

(d|∆ = 1) =















































0

si

d ≤ 0

3d

2

d

3

max

K

c

si

0 < d ≤

L

ef f

2

3 L

ef f

d

2d

3

max

Kc

si

L

ef f

2

< d ≤ d

max

0

si

d > d

max

(1.43)

1.1.3.3 Fon tion de répartition de la distan e

R

d'une as ade déte table Intéressons nous maintenant à la variable aléatoire

R

représentant la distan e entre l'axede la as ade supposée déte table etunhydrophone.Dans ertaines parties de ette

étude,lesignalAntaressera onsidéréaléatoire.Laseulevariablealéatoireintervenantdans

l'équation1.20estladistan ede la as adeà l'hydrophone notée

R

.Il estdon né essaire de déterminer la fon tion de répartition de ette variable aléatoire an d'être apable de

programmer un générateuraléatoire de distan eà la as ade.

La fon tionde répartitionde lavariablealéatoire

R

est :

F

R

(r) =

Z

r

0

p

R

(u|∆ = 1)

d

u

(1.44) Cas n

◦

1 :

r ≤

L

ef f

2

F

R

(r) =

Z

r

0

3u

2

d

3

max

Kc

d

u =

r

3

d

3

max

Kc

(1.45)

=

8 r

3

L

3

ef f

+ 6 L

ef f



d

2

max

−

L

2

ef f

4



(1.46) Cas n

◦

2 :

L

ef f

2

≤ r ≤ d

max

F

R

(r) =

Z

Leff

2

0

3u

2

d

3

max

Kc

d

u +

Z

r

Leff

2

3L

ef f

u

2d

3

max

Kc

d

u =

r

3

d

3

max

Kc

(1.47)

=

L

2

ef f

+ 6



r

2

₋



L

ef f

2



2



L

2

ef f

+ 6



d

2

max

−



_L

ef f

2



2



(1.48)

Cas n

◦

3 :

r > d

max

Le résultat estdire t:

F

R

(r) = 1

(1.49)

Résumé :

Hypothèses:

Lef f << d

max

et

d < d

max

⇒ r ≈ d

Lafon tionderépartitiondelavariablealéatoire

D

asso iéeàladistan e as ade/hydrophone est:

F

D

(d) =















































































0

si

d ≤ 0

8 d

3

L

3

ef f

+6 L

ef f

"

d

2

max

−

L2

ef f

4

#

si

0 < d ≤

L

ef f

2

L

2

ef f

+6



d

2

₋



Leff

2



2



L

2

ef f

+6



d

2

max

−



_Leff

2



2



si

L

ef f

2

< d ≤ d

max

1

si

d > d

max

(1.50)

Génération des réalisations de la variable aléatoire

D

Pour générer desréalisationsdelavariablealéatoire

D

,onutilise lerésultat lassique sui-vant :

Théorème : si

U

est une variable aléatoire uniforme sur l'intervalle

[0, 1]

, si

F

D

(d)

est la fon tionde répartition d'unevariable aléatoire

D

,alors

F

−1

D

(U )

est une variable aléatoire suivantla loi de

D

.

Pour appliquer e théorème, al ulons lafon tion quantile

F

−1

D

(u)

de

D

. Cas n

◦

1 :

d ≤ 0

La fon tion

F

D

(d)

est roissante, don

d ≤ 0 ⇒ F

D

(d) ≤ F

D

(0)

. Posons

u = F

d

(d)

, il vient don

u ≤ 0

.Sur et intervalle,

u = F

D

(d) = 0

,il vient don

F

−1

D

(u) = 0

. Cas n

◦

2 :

0 ≤ d ≤

L

ef f

2

Dans e as,

0 ≤ u ≤ F

D



_L

ef f

2



.Nous avons:

F

D



L

ef f

2



=

L

2

ef f

L

2

_{ef f}

+ 6



d

2

max

−

L

2

ef f

4



(1.51)

Et dans etintervalle, nousavons:

F

_D

−1

(u) =

1

2

"

u

L

3

_{ef f}

+ 6 L

ef f

"

d

2

_max

₋

L

2

ef f

4

#!#

1/3

(1.52) Cas n

◦

3 :

L

ef f

2

≤ d ≤ d

max

I i,

F

D

(d

max

) = 1

,et nousavons:

L

2

_{ef f}

L

2

_{ef f}

+ 6



d

2

max

−

L

2

ef f

4

 ≤ u ≤ 1

(1.53)

La valeur de lafon tionest :

F

_D

−1

(u) =

"

L

2

ef f

12

+

u

6

L

2

ef f

+ 6

"

d

2

_max

₋

L

2

ef f

4

#!#

1/2

(1.54) Cas n

◦

4 :

d > d

max

Le résultat estdire t: