L'observation du travail des élèves, quels en sont les objets élémentaires et comment peut-on les produire ?

Texte intégral

(1)

L’OBSERVATION DU TRAVAIL DES ÉLÈVES,

quels en sont les objets élémentaires et comment peut-on les produire ?

Alain MERCIER, INRP (Marseille) et CIRADE (Université de Provence)

Cette question appartenait encore de plein droit, il y a peu, à la psychologie et à la sociologie : aux sciences sociales majeures. Les didactiques ont cependant montré que leurs questions ne relèvent pas exclusivement de l’une ou l’autre science, parce qu’elles se nouent au coeur de la particularité de chaque savoir : les pratiques à savoir, les pratiques d’étude des savoirs et les pratiques de direction d’étude relèvent d’une approche qui doit être résolument anthropologique. Tel est l’argument de ce texte.

Le didactique

La physique est une pratique à mathématiques, la sociologie de l’école l’est nettement moins, il semble que l’acupuncture ne le soit pas ; la forme scolaire propose depuis deux siècles des pratiques d’étude des mathématiques socialement développées et reconnues, qui sont l’objet d’un incessant travail technique, le Tour de France des Compagnons du Devoir est une pratique d’étude de la menuiserie fort ancienne, le frayage avec le philosophe est la seule pratique d’étude de la philosophie qu’envisageait Socrate ; l’organisation des séminaires universitaires est une pratique de direction d’étude, les cours magistraux aussi, et le dialogue maïeutique, mais les ateliers de peinture des classes maternelles en sont une forme bien différente. L’idée que ces objets puissent appartenir au même domaine de recherches est relativement récente puisque certains parmi nous l’ont vue naître, ce domaine a aujourd’hui un nom reconnu : le didactique.

Aujourd’hui, les diverses didactiques disciplinaires sont suffisamment développées pour que non seulement on puisse envisager des travaux interdidactiques, mais que surtout on puisse mener des études comparatives. Elles visent à comprendre les spécificités des savoirs proposés à l’étude et, sous l’hypothèse que ces spécificités fondent les développements divers qu’ont produit les didactiques disciplinaires, elles visent à développer des outils communs de théorisation du didactique. C’est, pour moi, le sens que l’on peut donner au fait de situer les didactiques dans une anthropologie des savoirs dont le projet se dessine progressivementi. On peut voir naître un réseau d’institutions, attesté notamment par des colloques et des publications, où le débat scientifique peut se développer - entre nous, didacticiens, comme avec les sciences humaines qui nous ont précédés - et où peuvent apparaître les manières théoriques et pratiques d’une telle anthropologie.

Je ne ferai pas une recension des méthodes utilisées par les chercheurs des divers courants de pensée qui s’intéressent à ce domaine de réalité particulier qu’est le didactique, mais je tenterai plutôt de vous présenter comment, depuis le point de vue particulier que donne l’appareil théorique de la didactique des mathématiques, j’ai pu commencer, à l’occasion d’une série de collaborations avec des chercheurs en ergonomie et en psychologie du travailii, avec des chercheurs en sciences de l’éducation travaillant à partir de paradigmes sociologique et psychanalytiqueiii, avec des chercheurs en didactique d’une discipline qui ont accepté d’entrer dans un débat de validation croisée des observationsiv et avec des chercheurs en didactique des mathématiques qui se sont résolument engagés dans la voie anthropologique que j’ai évoquéev, à observer les pratiques de l’étude de divers savoirs, dans des institutions didactiques scolaires ou professionnelles. Ce faisant, je me suis éloigné des méthodes expérimentales princeps en didactique des mathématiques, qui se fondaient sur l’observation des effets d’une intervention raisonnée et qui sont connues comme les ingénieries didactiquesvi. Brousseau les a développées pour valider des hypothèses sur les conditions de possibilité d’un enseignement des mathématiques garantissant certains caractères épistémologiques des savoirs transmis : ce sont alors des ingénieries pour la recherche, mais il ne s’est pas cantonné dans cette positionvii. Chevallard les a utilisées comme

(2)

moyen de produire des phénomènes que le travail théorique avait permis de formuler ce sont alors des dispositifs phénoménotechniques, selon l’expression de Bachelard.

L’étude des institutions par l’observation de leurs sujets

Sous l’impulsion de Chevallard et Brousseau, parce qu’ils sentaient les limites de ces méthodes qui leur avaient permis d’engager le travail et de produire un appareil théorique sur lequel fonder une didactique des mathématiques et parce que, sentant cela, ils ont encouragé mes premières tentatives, j’ai développé des méthodes permettant d’aborder l’étude des sujets dans les institutions. Il ne s’agissait pas de renoncer à l’étude des situations, des systèmes, des institutions, mais de développer des méthodes moins expérimentalistes et de s’inspirer de l’anthropologie pour approcher le fonctionnement des institutions par l’observation de leurs sujetsviii. J’ai interprété la commande qui m’était faite par les organisateurs de ces Journées comme la demande d’un exposé du point où je suis parvenu dans cette voie, sur la question de l’observation des pratiques effectives (des élèves), dans les classes, comme ils l’ont nommée, ce qui pose la question de l’étude des personnes comme sujets des institutions, qui demeure souvent un horizon des travaux didactiques.

Les classes ou les systèmes didactiques ?

Comme chacun le sait désormais, les systèmes didactiques sont décrits par les interactions de trois composantes ou instances : Elève, Professeur, Savoirix; de telle sorte que l’observation de n’importe laquelle de ces composantes ne prend un sens didactique que lorsqu’elle est rapportée aux deux autres. On sait que c’est ainsi que les didacticiens ont opposé les approches didactiques aux approches pédagogiques des phénomènes d’enseignement/apprentissage, qui ne considéraient utile de faire intervenir les spécificités du savoir que dans le cas des « pédagogies spéciales ». Ainsi, quelle que soit la voie d’accès à des phénomènes didactiques, leur interprétation didactique se reconnaît à cela, qu’un système est toujours l’objet de l’intérêt parce que l’observation de premier plan est référée aux arrières plans du système. Cela a des conséquences méthodologiques importantes, dont je parlerai tout à l’heure.

Mais ce qui s’oublie facilement à qui ne pense pas en termes de système didactique, c’est que le travail des élèves (qui étudient des mathématiques) ne s’arrête pas au temps et au lieu de la classe de mathématiques, marqué par la présence physique conjointe du professeur et des élèves. C’est aussi le cas pour le travail des professeurs, dont l’activité professionnelle ne s’arrête pas lorsqu’ils sortent de la classex: d’ailleurs, leur temps de travail n’est pas réduit au temps d’enseignement. Ainsi, la notion de système didactique permet de penser les phénomènes de l’étude scolaire en intégrant ce qui se passe hors classe et ce qui se passe en classe dans une même catégorie, alors que le discours officiel désigne seul, d’ordinaire, comme espace didactique, le lieu visible de l’action d’enseignement. De même, cette notion permet de comprendre que le savoir scolaire, organisé en disciplines, est contraint par les lois de fonctionnement des systèmes didactiques et que même après la classe, un élève ne rencontre jamais les savoirs enseignés que sous leurs formes scolaires : c’est ce que décrit la théorie de la transposition didactique.

Les apprenants ou les élèves ?

Cependant cette ouverture se paie et il n’est pas question, dans les conditions théoriques que je viens de décrire, d’observer des élèves individuels sans les considérer comme des réalisations d’un élève générique, des incarnations locales de l’instance Elève. On peut d’ailleurs remarquer que les transcriptions produites par les travaux qui relèvent de ces conditions épistémologiques ne nomment jamais les élèves individuels qui interviennent autrement que E ou E1, E2... Il faut, pour aller plus loin, un approfondissement théorique qui permette de décrire, au delà du système didactique un espace social où se rencontrent des personnes. Il est nécessaire à cet effet de considérer que ces personnes sont venues s’assujettir à un contratxi spécifique, aux termes duquel les uns cherchent à s’approprier des savoirs (on dit qu’ils sont en position d’Elève) et les autres se proposent de transmettre ces savoirs (on dit qu’ils sont en position de Professeur), dont l’intérêt a été déclaré par ailleurs. Les situations didactiques sont donc des espaces sociaux favorables à la réalisation de cet enjeu partagé, et la théorie des situations décrit les conditions épistémologiques et les conditions sociales de la réussite des interactions didactiques de telle manière, que l’identification d’un type de situation permet de décrire le type de rapport au savoir

(3)

qui en sera le produit. C’est ainsi par exemple, que l’on a pu dire « pour qu’un système didactique fonctionne, il faut qu’il y ait un milieu pour l’action adidactique des élèves ». Le gain théorique est essentiel, relativement aux trois instances d’un système didactique : les élèves dont on parle dans la théorie des situations didactiques sont compris comme sujets d’un contrat social relatif à un savoir à transmettre, qui les met en position d’être également ignorants afin de leur permettre de s’instruire personnellement et collectivement, tandis que les professeurs sont sujets de ce même contrat dans une autre position, savants pour organiser les situations adidactiques par lesquelles les élèves gagneront en instruction.

L’approche institutionnelle de la relation didactique

Cependant, les questions que je me propose de traiter ici vont nécessiter un outil théorique supplémentaire. Les notions conjointes d’institution et de sujet d’une institution nous aident à penser le contrat didactique dans sa double dimension de contrat social (auquel des personnes s’assujettissent pour bénéficier des effets de l’institution) et de genre de traitement des enjeux épistémologiques d’une situation. Ces genres, que Brousseau a étudiés comme les « effets de contrat » du contrat didactiquexii et les « formes de contrat didactique » instituées par le professeurxiii, sont les effets des interactions des sujets (didactiques) avec les objets (de savoir) auxquels l’institution leur ouvre l’accès (et l’on sait que les objets de savoir étant des oeuvres humaines, nul ne peut y accéder sans s’assujettir à une institution, où ces oeuvres vivent parce que l’institution organise pour ses sujets une forme (même minime) de rapport à ces objets). L’observation d’élèves individuels commence ici, et l’observation de ce que j’ai nommé la relation didactique. Mais attention ! un sujet institutionnel, n’est à proprement parler ni un individu (acteur sociologique élémentaire dans un système de coopérations et de conflits) ni une personne (sujet psychologique doué d’appareils cognitif et psychique) et c’est pourquoi la notion d’institution, utilisée dans le sens que lui donne par exemple Douglas, signe l’entrée de la recherche en didactique (et en particulier, en didactique des mathématiques) dans une problématique anthropologique, bien que jusqu’à présent on ne puisse pas dire que le dialogue entre anthropologues et didacticiens soit ouvert : il semble que les anthropologues se passent très bien du bénéfice qu’ils pourraient tirer de notre fréquentation et même lorsqu’ils travaillent sur la transmission des savoirs, c’est nous qui les citonsxiv.

Ces considérations préliminaires sur la nécessité de l’appareil théorique que j’utiliserai me permettent de présenter l’organisation de cet article.

L’OBSERVATION DU TRAVAIL DES ÉLÈVES, quels en sont les objets élémentaires

et comment peut-on les produire ? I. Principes

Des observables sous double contrat : le cas princeps de l’âge du capitaine

De l’observation des institutions à celle des positions institutionnelles : les caractères de la position d’élève dans un système didactique et l’observation biographique

Vers une posture clinique pour l’étude des espaces didactiques et de leurs interrelations institutionnelles

II. Problèmes

Les fonctions de l’analyse a priori, dans ses dimensions épistémologique et sociale

Produire des systèmes de traces pouvant attester de faits : interpréter des traces, les constituer en signes

Valider des interprétations pour obtenir des systèmes de signes

I. PRINCIPES

(4)

Des observables sous double contrat : le cas princeps de l’âge du capitainexv

Vous connaissez tous le phénomène, dont la publication dans le Bulletin de l’APMEP ne fit pas immédiatement grand bruit chez les didacticiens, parce qu’il était présenté dans sa brutalité de fait résistant à l’explication. La compréhension de ce qui s’était passé suppose deux niveaux d’interprétation. D’abord, les élèves répondent aux questions qui leur semblent absurdes en leur attribuant le seul sens possible : celui des questions à usage didactique, que l’on pose à quelqu’un pour lui montrer qu’il est ignorant de quelque chose qu’on veut lui désigner par ce procédé (proche de l’aporie socratique). C’est l’effet du contrat didactique. Dans ces conditions, ils répondent en s’appuyant sur la tradition vivante de leur classe (sa coutumexvi). Ainsi, à la question « Tu as deux billes dans ta poche droite et quatre billes dans ta poche gauche, quel âge as-tu ? », un élève ordinaire de deuxième primaire répondrait « six ans, parce que 2+4=6... » tandis qu’un élèves de quatrième le corrigerait « mais non voyons, c’est huit, parce que 2×4=8, il faut une multiplication ! » Cela n’explique pas l’ensemble du phénomène observé, qui tient à ce que les problèmes posés par « les professeurs de l’IREM de Grenoble » ne sont pas des problèmes normalement posés par des professeurs, contrairement à ce que l’article laisse entendre en assimilant les problèmes absurdes et le corps traditionnel des problèmes d’arithmétique que l’enseignement primaire a fait vivre jusque dans les années Soixante. Ces « professeurs » sont en fait des chercheurs, qui jouent avec le contrat pour produire un phénomène extraordinaire (et je déconseille fermement à tout professeur de poser é ses élèves des problèmes d’âge du capitaine, s’il veut pouvoir continuer à bénéficier de la productivité didactique qu’ont des élèves ayant confiance dans le contrat). Le phénomène décrit est donc l’effet d’un contrat de recherche qui a détourné le contrat didactique de sa vocation premièrexvii.

C’est alors seulement que l’on peut interpréter l’effet « âge du capitaine » lorsqu’il s’observe spontanément en classe (un élève « répond n’importe quoi », disent les professeurs). C’est un « fonctionnement à vide » du contrat didactique, du même genre que celui qu’a produit le contrat expérimental. Il est dû à un défaut d’adidacticité de la situation, soit que le professeur n’ait pas assuré les conditions de l’adidacticité du problème qu’il posait, soit que tel élève n’ait pu nouer les rapports idoines aux objets du milieu de la situation adidactique qui était proposéexviii.

C’est aux travaux de Schubauer-Leoni que l’on doit l’identification des effets du contrat expérimental et son étude systématique dans les recherches en didactique, et ce n’est pas en didactique des mathématiques que ces travaux ont eu le plus de succès, parce qu’ils amènent à mettre en doute certains des résultats de la recherche menée sur le mode de l’ingénierie didactique. Il semble, à voir les travaux en ce sens qui ont été entrepris dans les années Octante et Nonante, que l’impossibilité répétée et observée de diffuser les pratiques d’ingénierie développées dans les conditions de recherche n’ait pas suffi à démontrer l’existence, en ce point, d’un problème incontournable : le chercheur qui propose un objet d’enseignement prend en charge une part de la responsabilité professoralexix; s’il en observe la mise en œuvre, il passe contrat sur ce point avec le professeur de la classe et même, il garantit la réussite de son action en proposant un travail coopératif de préparation, d’une séquence d’enseignement sur l’autre. C’est même pour cela que la recherche didactique fondée sur l’ingénierie ne permet pas d’observer le travail du professeur.

De l’observation des institutions à celle des positions institutionnelles : les caractères de la position d’élève dans un système didactique et l’observation biographique

Le passage d’une description systémique à une description institutionnelle du didactique permet de distinguer entre les sous-systèmes : Savoir, constitué d’objets qui sont des oeuvres, Professeur et Elève, qui sont des positions institutionnelles occupées par des personnes venues s’assujettir à l’institution et prises dans un contrat dont nous dirons qu’il est relatif à la tâche primaire d’une institution didactique : l’étude des savoirs, pour leur transmission. Ce passage permet encore de décrire les relations didactiques entre professeurs et élèves comme des relations sociales commandées par un système de contraintes venu de la tâche primaire commune : c’est ce qui permet de comprendre la nécessité fonctionnelle de ce système d’attentes réciproques qu’est un contrat institutionnel (ici, le contrat didactique)xx. Ce passage ne remet pas en cause l’approche précédente. Dorénavant, l’analyse systémique permettra de rendre compte

(5)

des contraintes fonctionnelles qui commandent la permanence de l’institution et sera donc au fondement des interprétations du comportement observé des sujets de l’institution ; cependant, l’analyse systémique ne constitue que les prémisses de l’analyse institutionnelle. Ce qui autorise une étude de l’institution par les deux voies complémentaires que sont l’observation des situations institutionnelles (les situations didactiques) définies par les savoirs en jeu, ou par le moyen de l’observation des sujets de l’institution fondée sur l’observation des rapports des sujets aux objets de savoir et leur évolutionxxi.

L’enjeu d’une approche biographique du didactique est de rendre compte de la manière dont des personnes occupent une position institutionnelle de professeur ou d’élève, pour décrire les possibles que produit un système de contraintes connu par ailleurs. Les faits biographiques observés sont donc, à ce niveau du travail, rapportés aux situations didactiques et à leurs dimensions adidactiques. Ils sont donc utilisés comme des analyseurs de la relation didactique. C’est pour cela que le premier mouvement de l’approche biographique du didactique, dans le cas des élèves, est la production des unités d’observation élémentaire que sont les épisodes de la biographie didactique d’un élèvexxii, qui scandent le temps personnel de tout élève et s’observent à cela, que l’élève, face à ce qui devient alors pour lui un problème, y rencontre manifestement et explicitement son ignorance : ce qui est la condition première de toute activité adidactique d’étude, et ce qui signe la possibilité de ce que Brousseau a nommé « la dévolution de l’intention didactique »xxiii. J’ai d’ailleurs pu argumenter ailleurs que les biographèmes à la source de ces épisodes correspondaient en particulier à ce que Socrate, dans le dialogue du Ménon, nomme l’aporie : lorsque l’esclave, qui croyait savoir, s’écrie « Mais par Zeus, Socrate, je n’en sais rien ! »xxiv. Ces épisodes peuvent prendre place en différents moments de la vie didactique et il est donc nécessaire, pour les observer, de mettre en place des moyens d’interaction spécifiques avec les systèmes didactiques : ce sont des institutions pour l’observation, car les interactions nécessaires visent des sujets institutionnels.

Ainsi, j’ai ouvert, dans l’établissement de la classe de Première scientifique dont j’observais les élèves, une permanence hebdomadaire au service des élèves qui recherchaient un conseil sur la manière dont ils pouvaient mener l’étude des mathématiques qui leur étaient enseignées. Mon conseil était informé par un dispositif d’observation permanent de l’étude conduite dans la classe, qui consistait d’une part, à relever régulièrement les cahiers des élèves et à analyser a priori tous leurs devoirs, qu’ils soient « en classe » et en temps limité ou « à la maison » et donnés d’une semaine sur l’autre, avant d’étudier leurs copies et la correction qui en était donnée par le professeur et d’autre part, à m’entretenir chaque semaine avec le professeur sur la manière dont il avait ressenti le travail des élèves dans la semaine passée et dont il pensait organiser son enseignement pour la semaine à venirxxv.

C’est ainsi que chacun des biographèmes observés pouvait être interprété dans sa relation au fonctionnement temporel du système didactique et à la vie contractuelle de la classe, spécifiée par l’analyse des situations didactiques particulières auxquelles les biographèmes signalant les épisodes étudiés faisaient référence. Un tel travail suppose donc un outil d’observation imposant, délicat à produire et à maintenir en état de marche. Dans le cas particulier de l’étude de documents produits à l’Ecole pour l’observation Jules Michelet, à Bordeauxxxvi, j’ai pu produire des biographèmes interprétables comme les germes d’un épisode que j’ai analysé, à partir de la simple observation de classexxvii, parce que l’observation y est bien plus complète que ce qui se produit d’ordinaire : une part de l’école elle même est institution pour l’observation, comme l’indique son nom, et même dans le cas où un enregistrement vidéo concerne « un enseignement non préparé dans le cadre d’un travail d’ingénierie didactique » nous disposons par exemple de la collection des travaux de chaque élèves, des fiches de préparation du professeur, des évaluations, et même de l’enregistrement d’une séance d’évaluation de l’enseignement enregistré à la quelle participe l’équipe enseignante et l’équipe des chercheurs du COREMxxviii.

Vers une posture cliniquexxix pour l’étude des espaces didactiques et de leurs interrelations institutionnelles

De même que l’analyse a priori d’une suite de situations adidactiques renseigne sur les apprentissages possibles dans la situation didactique correspondantexxx, la production d’épisodes de la biographie didactique d’élèves renseigne sur les dimensions adidactiques que peut permettre une relation didactique donnée, sur la forme contractuelle qui s’y joue et sur les savoirs qui en sont

(6)

les enjeux réels, au delà de leurs enjeux déclarésxxxi. C’est donc un moyen important de l’exploration de l’espace didactique ordinaire. Mais dans le cas des « classes ordinaires », lorsqu’il n’est pas sous le contrôle d’un travail d’ingénierie et que l’on ne se trouve donc pas dans une problématique expérimentalexxxii son étude suppose la conjonction de plusieurs entrées biographiques de manière à obtenir la description d’un espace social et épistémologique polymorphe, puisque la « situation didactique » produite par le relation didactique observée ne consiste plus en une suite organisée de situations adidactiques mais en une configuration d’épisodes didactiques différents qui dépendent pour une grande part des élèves et de l’action autodidactique qu’ils trouvent l’occasion de développer, chacun pour soi à propos de la réalisation de tâches scolaires ou parascolaires, en petits regroupements réalisés plus ou moins spontanément à l’occasion de l’émergence d’une question particulière, souvent même comme classe et sous la direction explicite du professeurxxxiii.

Les travaux que j’ai publiés, en coopération avec Leutenegger et Schubauer-Leoni dans « Apprendre dans l’interaction » et en coopération avec Sensevy et Schubauer-Leoni dans la revue allemande de didactique des mathématiques « ZDM » s’engagent avec prudence dans cette voiexxxiv. Par exemple, il devient possible de comprendre certains caractères de l’espace didactique comme des effets des conflits dans l’institutionxxxv (alors considérée comme champ au sens de Bourdieu).

Ainsi, la confrontation entre l’analyse des décisions du professeur, dont on montre qu’il tente de suivre son projet d’enseignementxxxvi, et l’analyse de l’épisode biographique concomitant pour l’élève, dont on a dit comment il tente de faire vivre une question, permet de comprendre pourquoi cet élève là est élu par le professeur comme son représentant auprès des autres élèves sans que le professeur ne reprenne au compte de la classe les savoirs que cet élève a produits (l’épisode, bien que public, n’a que des effets privés). Mais aussi, la confrontation montre pourquoi d’autres élèves, qui se portent candidats au rôle d’aide professeur, se trouvent révoqués sans que le professeur ne les aide à développer à leur profit une dimension adidactique. Interpréter ce phénomène comme effet de la conversion didactique des positions sociales inégales des élèves impliqués, c’est aller un peu vite à la rencontre de la construction sociologique de l’inégalité sociale devant l’école : car si l’élève élu possède sans doute, auprès de son professeur, un grand capital de confiancexxxvii, c’est aussi parce qu’il sait, tout au long de ses interventions, reprendre à son compte le questionnement didactique que l’enseignante tente de faire vivre - ce qui n’est pas le cas général des autres élèves qui (sans le savoir, peut-être) se poussent en avant à l’encontre du projet d’enseignement du professeur.

Ainsi, je dirai pour conclure sur ce point, qu’on peut décrire les caractères d’une institution particulière inconnue appartenant à un genre connu, à partir de l’observation locale des modes de l’assujettissement d’une personne à cette institution, en produisant, dans le mouvement d’une enquête, un ensemble organisé de traces qui font signe pour l’observateur informé des conditions de leur apparition. On se place ainsi dans le cadre d’une clinique pour l’observation d’une institution inaccessible en son entier, aucun modèle ne pouvant rendre compte de l’ensemble des rapports qui s’y nouentxxxviii.

A ce niveau de l’analyse en effet, on cesse de travailler les propriétés des systèmes didactiques pour engager l’étude des institutions, qui sont toujours ouvertes sur un extérieur. Du point de vue des institutions comprises comme organisations sociales capables d’adaptation, cette perméabilité provient de leurs échanges avec l’environnement institutionnel qui fournit les conditions de leur vie, mais du point de vue des institutions comprises comme organisations où des personnes viennent s’assujettir, la perméabilité provient de l’influence des sujets de l’institution qui viennent parfois y rejouer certains de leurs assujettissements à des institutions étrangères : c’est ce phénomène que l’on nomme la conversion institutionnellexxxix. Et l’interprétation de certains phénomènes institutionnels comme des effets de la perméabilité institutionnelle est particulièrement intéressante dans le cas des phénomènes de conversion didactique, parce qu’on peut supposer que ces phénomènes sont au cœur des succès et des échecs scolaires qui ne sont pas dans la norme sociologique de « la reproduction ».

Cependant, des interprétations qui se risqueraient à considérer des phénomènes didactiques attestés comme la conversion de conflits sociaux extérieurs dans le champ d’une institution didactique ne trouvent pas aussitôt les moyens de leur validation. L’observation de phénomènes de conversion institutionnelle suppose sans doute des travaux à une autre échelle, puisqu’il y

(7)

faudrait une institution pour l’observation telle qu’en s’y positionnant on puisse embrasser le système des institutions impliquées dans les interprétations : donnant accès par exemple, à des biographèmes et à leur interprétation comme épisodes institutionnels appartenant à ces autres institutions. Je m’arrêterai donc à la question des études cliniques, des méthodes qu’elles utilisent et des questions qu’elles devraient permettre d’aborder, ce qui fera la deuxième partie de mon exposé.

II. PROBLÈMES

Les fonctions de l’analyse a priori, dans ses dimensions épistémologique et sociale

Soient par exemple les quatre problèmes suivants, donnés ensemble comme « un tableau » aux élèves d’une classe de Troisième, avant l’enseignement sur les équations au programme de cette année, mais après l’enseignement de Quatrième sur les équations du premier degré à une inconnue.

L’interprétation des comportements des élèves doit être rapportée à l’analyse a priori de la situation didactiquexl constituée par ce tableau et la consigne associée, situation dont la mise en place est réalisée par la lecture d’un avertissement et par l’intervention du professeur :

Premier problème

A la clinique « la Sauvegarde », il n’y a que des chambres à un lit et des chambres à deux lits. Aujourd’hui la clinique est complète : vingt malades occupent tous les lits des 13 chambres.

Combien de chambres à un lit et de chambres à deux lits y a-t-il à la Sauvegarde ? Deuxième problème

Un grand hôtel dispose de 50 chambres et peut recevoir 83 personnes. Il y a des chambres pour une personne et des chambres pour deux personnes.

De combien de chambres pour une personne et de combien de chambres pour deux personnes dispose cet hôtel ?

Troisième problème

Dans un refuge de montagne, il n’y a que des chambres à deux lits et des chambres à 4 lits. Aujourd’hui elle affiche complet, 30 randonneurs occupant tous les lits des 12 chambres du refuge.

Combien de chambres à 2 lits et combien de chambres à 4 lits y a-t-il dans le refuge ? Quatrième problème

Dans une colonie de vacances il y a des dortoirs de 5 lits et des dortoirs de 7 lits. Il y a 79 dortoirs et 469 enfants dans la colonie, où il n’y a plus un lit libre.

Dans cette colonie de vacances, combien y a-t-il de dortoirs à 5 lits et de dortoirs à 7 lits ?

Avertissement

Les problèmes proposés ici relèvent tous d’une même « classe de problèmes », ce qui signifie qu’il existe une méthode générale de résolution de tous ces problèmes. Ils sont proposés à votre étude afin que, en cherchant une méthode pour en résoudre un, vous vous fassiez une idée des mathématiques qui sont au programme puis, en cherchant à les résoudre tous avec l’aide de vos camarades et sous la direction de votre professeur, vous puissiez découvrir par vous même une partie des mathématiques du programme de votre classe.

Ces problèmes sont choisis de telle manière que vous puissiez résoudre certains d’entre eux avant même de connaître une méthode mathématique valable pour tous : en effet, pour chacun d’eux, vous pouvez vérifier par vous même si votre réponse est juste. Ils sont organisés en « tableaux » où l’on a regroupé des problèmes de difficulté comparable.

La difficulté des problèmes augmente de tableau en tableau, à la mesure de votre expérience et de vos connaissances : vous pouvez donc tenter de les résoudre tous d’emblée ou, au contraire, vous pouvez attendre que le travail collectif fait en classe vous ait donné accès à des méthodes éprouvées et mathématiquement reconnues.

Vous emporterez chez vous ce cahier, pour chercher une solution aux problèmes que vous n’auriez pas résolu en classe ou pour étudier à loisir comment utiliser la méthode inventée par un autre élève ou par un autre groupe : vous pourrez ainsi vérifier si une méthode est valable pour tous les problèmes, si elle échoue dans certains cas ou si parfois son emploi est particulièrement malaisé.

Objet des consignes

La présentation de l’objet même qu’est « la Banque » (dans notre cas, un cahier spécial), suppose que le professeur indique l’enjeu didactique de son usage (c’est un jeu pour apprendre) et en déduise la manière dont elle sera exploitée (en particulier, l’aller retour entre l’usage libre et l’étude en classe).

La consigne initiale est donc du type suivant : « Vous avez ici un ensemble de problèmes du même type, vous

devez trouver une manière de les résoudre tous ; pour cela, vous allez commencer par chercher, chacun pour soi, la

solution d’un problème, celui que vous voudrez ; ensuite, vous travaillerez par groupes, pour comparer vos réponses. » Les temps de l’étude sont alors introduits par des consignes spécifiques, qui énoncent les différentes manières d’organisation de l’étude que les différentes formes du savoir nécessitent : « Maintenant, vous travaillez par groupes pour comparer vos manières de faire et pour décider de la meilleure manière de répondre que chacun a trouvée ; vous devez rédiger un transparent que l’un de vous présentera à toute la classe ; nous discuterons ensuite des méthodes que vous aurez inventées. »

Ensuite, « Untel, peux-tu venir exposer la méthode retenue par ton groupe ? Quand tous les groupes auront exposé leur méthode, vous essaierez de dire si certaines méthodes vous paraissent meilleures et pourquoi. »

(8)

L’analyse a priori décrit l’ensemble des stratégies permettant de répondre, sachant que les élèves sont en mesure de vérifier toute réponse proposée et que, dans ces conditions, une stratégie par tâtonnements est possible. Même, on peut dire qu’elle n’est pas très coûteuse puisque le premier problème peut être résolu en moins de sept tentatives explorant systématiquement l’ensemble des réponses possibles, de « aucune chambre à deux lits » à « les 13 chambres ont deux lits ».

Mais l’analyse a priori doit porter ici sur l’ensemble des quatre problèmes : et, si le premier peut se régler aisément à l’aide d’un dessin des chambres, c’est dans le quatrième cas un travail fastidieux et cette manière s’en trouve disqualifiée comme méthode efficace pour des élèves de 15 ou 16 ans. Il en va de même pour une méthode par tâtonnements systématiques, qui suppose au moins un moyen de contrôle. Ce qui fait que, dans un premier temps, un modèle des problèmes de ce type va être utilisé, sous la forme de ce que j’appellerai « une formule »xli c’est-à-dire, la mise en forme du programme d’un calcul. Ce programme rend compte d’abord de la vérification à effectuer, avant de devenir un outil pour le contrôle d’un tâtonnement, qui peut alors devenir systématique. Je considérerai que ce programme peut, dans un premier temps, être présenté sous la forme d’un cas particulier. Par exemple « 4×chambres à quatre lits + 2×chambres à un lit = nombre de randonneurs », mais dans ce premier temps de l’émergence d’un modèle du problème et d’une pratique associée, des dispositions en colonnes de ce calcul sont tout aussi efficaces, comme celle-ci :

… chambres à quatre lits ×4 = … malades

+ … chambres à deux lits ×2 = … malades +

↓ ↓

… (total des chambres) … (total des malades)

Et l’on pourrait trouver encore cette formule, moins explicite et moins complète mais particulièrement efficace en raison du faible nombre de graphèmes qu’elle nécessite, ce qui permet d’en répéter l’écriture à faible coût : « 10×4+2×2=44 ; 9×4+3×2=42 ; 7×4+5×2=38 ; etc. ». On remarquera encore que dans les écritures en lignes, la constance du nombre des chambres n’est pas contrôlée sous forme écrite : c’est qu’il y faut deux formules parallèles, ce que les élèves n’ont encore jamais vu.

Comme on le sait au terme d’un travail épistémologique dont je n’ai pas le loisir de vous donner tous les tenants et les aboutissantsxlii, sauf à dire que l’observation de terrain en confirme les conclusionsxliii, les « formules » qui sont utilisées fondent des praxèmesxliv et changent progressivement de statut : elles étaient des outils de vérification, mais au fur et à mesure que les élèves les utilisent comme compte rendus des problèmes posés et qu’ils constatent la stabilité de leur forme, ils prennent confiance dans cette forme et dans le travail qu’elle permet. Ce travail est d’abord intellectuel (des raisonnements en langue naturelle accompagnant l’usage des formules comme modèles) puis algébrique (le calcul algébrique supplante rapidement les raisonnements, parce qu’il devient plus aisément routinier) : les élèves utilisent alors la formule comme modèle (mathématique) de la question posée - on remarquera au passage que ce modèle ne pourrait être produit par une consigne ergonomiste du type « lis bien l’énoncé et souligne les mots et les nombres importants ». C’est à ce stade que le débat de validation sur les manières de procéder que les divers groupes proposent permet d’entrer dans le travail algébrique proprement dit.

L’observation des productions d’élèves et des décisions du professeur est dorénavant une observation instruite par un travail sur le savoir à enseigner et l’organisation de l’entrée en rapport aux problèmes que ce savoir peut résoudre : un travail sur ce qui fonde le système didactique observé et qui est son système interne de contraintes. La surveillance épistémologique des cadres interprétatifs du chercheur dans l’observation cliniquexlv est une dimension méthodologique essentielle, assurée d’abord en didactique par l’analyse a priori de la situation didactique observée.

Produire des systèmes de traces pouvant attester de faits : interpréter les traces, les constituer en signes

(9)

Comme vous l’avez constaté, je me suis placé dans le cas ou le système des traces étudié se situe principalement en classe, ce qui permet de l’observer plus aisément. Pourtant, je ne suis pas ici dans la problématique d’une ingénierie car les recherches que j’expose ont trait, d’une part à l’observation des décisions du professeur face à un dispositif d’aide à l’étude qu’il doit utiliser, l’enjeu étant l’identification des contraintes qu’il cherche à satisfaire, et d’autre part à l’observation de phénomènes relatifs à la mémoire pratique des élèvesxlvi et à ses rapports avec les écritures algébriques et les raisonnements associés à leur manipulation : les systèmes d’objets qu’ils utilisent, mobilisent ou transforment. On saisit alors l’importance épistémologique de l’analyse relative à la transformation des formules en modèles, qui définit la classe des faits que l’on cherche à attester. Mais cela ne dit pas quelles sont les traces pertinentes pour la production de ces faits.

Dans le cas qui nous intéresse ici, ces traces sont d’abord graphiques, mais même dans le cas du travail algébrique, les systèmes d’objets qui font signe pour la pratique mathématique ne sont pas seulement graphiques mais aussi bien sonores ou gestuels : que l’on pense par exemple au fait de compter sur ses doigts, qui est investi par chacun de nous pour les retenues dans les multiplications, ou au fait d’énoncer des questions à voix haute, qui est pratiqué par presque tout le monde dans les divisionsxlvii. Par ailleurs, le raisonnement manipule des objets conceptuels en parallèle au travail des techniques routinières devenues silencieuses. Voilà pour ce qui concerne l’activité proprement dite d’un élève. Ici, bien sûr, les techniques venues de l’étude de la langue en situation et en particulier de la pragmatique sont utiles et il en va de même pour d’autres objets sémiotiques : mais ce qui est signe d’un fait linguistique pour un linguiste est seulement trace linguistique d’un fait didactique éventuel, pour le didacticien, puisque l’interprétation n’appartient plus au domaine de l’appareil expérimental qui a produit l’observable. Cette trace doit être reliée à d’autres pour signer un fait didactique.

Cependant, l’activité de l’élève n’est pas seulement interprétée par sa mise en rapport à la situation analysée a priori, mais aussi par sa mise en rapport à la situation effective, qui dépend au moins de l’intervention enseignante du professeur et bien souvent de celle des élèves eux-mêmes. Cette situation est le produit de contraintes supplémentaires produites par ces interventions, ce qui correspond le plus souvent à une réduction de l’espace des possibles imaginé a priori et permet de mesurer l’effet des nouvelles contraintes observées, venues des décisions du professeur. Ici, les traces sont bien sûr d’abord celles que constitue l’analyse didactique du système didactique sous-jacent : j’en ai parlé longuement. Mais on peut affirmer par principe, que les techniques de l’analyse du système des situations prévues par le professeur (telles que les a développées Margolinasxlviii) ne sont pas moins utiles.

Je ne montrerai pas ici comment l’ensemble des traces produites peuvent être mises en dialogue, parce qu’il faut bien laisser une part de mystère à l’activité de recherche et parce qu’il est impossible de présenter en quelques mots ou en quelques transparents l’ensemble d’objets dont dispose le chercheur au terme de ces travaux, quelque peu herculéens. J’indiquerai simplement, sur l’exemple déjà travaillé, comment ce travail de collection de traces est de fait limité, parce que le chercheur ne court pas après une compréhension globale de telle institution didactique mais qu’il cherche à répondre à une question et à argumenter le résultat de l’enquête par laquelle il pense avoir démontré l’exactitude ou la pertinence de sa conclusion.

Dans notre cas, nous cherchions « comment la mémoire pratique permet-elle de produire des systèmes d’objets manipulables et d’inventer des manipulations nouvelles. » Les traces correspondant aux systèmes d’objets manipulables, sur le modèle linguistique de lexèmes, ce sont des praxèmes : les praxèmes sont des objets pris dans des pratiques. Lorsqu’à un objet, dans une institution, est associé un praxème, l’objet manipulé évoque la pratique tout entière : le marteau pris en main face au mur vide évoque par exemple la pratique « planter un clou pour accrocher un cadre ». Telle est la dimension ostensive des praxèmes. Par ailleurs, à tout praxème, nous considérons que peut être attribuée une valeur, qui renvoie à « ce qui peut se faire avec » le praxème ; cette valeur est donc relative à l’institution où le praxème est observé. Dans le cas du praxème « équation », des valeurs faibles peuvent par exemple correspondre à lire, ou évoquer une équation en Terminale S (douzième année, spécialité sciences et mathématiques), alors que ces mêmes pratiques correspondront à une valeur forte dans une classe de Quatrième (huitième année) où l’on n’en est encore qu’aux prémisses de l’étude des équations.

(10)

Voici certaines des pratiques que l’on a observées après le travail de mise en commun par groupes de quatre élèves : nous pouvons identifier les praxèmes sur lesquels ces pratiques s’appuient et observer la production de pratiques nouvelles à partir du travail réalisé avec les praxèmes, d’un problème à l’autre, ce qui change progressivement la valeur des praxèmes que sont les formules pour en faire les objets du débat entre les élèves et les enjeux de l’étude de la classe de mathématiques. Voici quelques exemples des commencements de ce mouvement :

Exemple 1

Le groupe 2 de la Troisième G a produit un premier transparent sur lequel on pouvait lire le texte suivant :

Premier problème :

On sait qu’il y a 20 malades pour 13 chambres.

Pour trouver le résultat, nous avons fait une soustraction. Nous avons soustrait le nombre de chambres au nombre de malades ce qui nous a donné le résultat suivant : 7 chambres de 2 lits. Donc il restait 6 chambres de 1 lit.

Deuxième problème :

Pour trouver le résultat, nous avons encore effectué une soustraction. Nous avons soustrait le nombre de personnes au nombre de chambres. Donc 83-50 est égal à 33.

Alors il y a 33 chambres de 2 lits et 17 chambres à 1 lit

Mais cette technique ne donne un résultat acceptable que dans ces deux cas. C’est pourquoi des stratégies nouvelles vont apparaître, fondées sur une des techniques de vérification Voici la suite du travail de ce même groupe :

Exemple 1 (suite)

Le groupe 2 de la Troisième G a produit un second transparent sur lequel on pouvait lire le texte suivant :

Tropisième problème :

Pour avoir ce résultat ci, nous avons calculé le PGCD des nombres. Ce qui nous a donné 3 chambres à 4 personnes et 9 chambres à 2 personnes.

Quatrième problème :

Pour trouver le résultat, nous avons encore effectué une soustraction. Nous avons soustrait le nombre de On sait qu’il y a 79 dortoirs pour 469 enfants.

Donc il y a : 42 chambres de 5 37 chambres de 7. Vérifications 42X5=210 37X7=259 210+259=469 42+37=79

Ainsi, les techniques insuffisantes ont été disqualifiées « naturellement » (par le milieu de la situation) et une technique de vérification est apparue, fondée sur une « formule ». Ces élèves apprendront rapidement de l’exposé des autres. Mais voici ce qu’il en est pour le groupe 4 et d’abord, ce qu’une élève, G., écrit sur sa feuille à propos du troisième problème.

Exemple 2

Dans un refuge de montagne, il n’y a que des chambres à deux lits et des chambres à 4 lits. Aujourd’hui elle affiche complet, 30 randonneurs occupant tous les lits des 12 chambres du refuge. Combien de chambres à 2 lits et combien de chambres à 4 lits y a-t-il dans le refuge ?

(11)

12 au moins 2 personnes=24 30-24=6÷2

si on divise 6 par 2 ça fait 2×3 randonneurs à placer 2+2=4

donc

3 chambre à 4 lits et 9 chambres 2 lits

La vérification est ici contenue dans l’énoncé final : « 3 chambre à 4 lits et 9 chambres 2 lits » ...cela fait 12 chambres et 3×4+9×2=12+18=30 lits. Mais le travail de recherche d’une solution est produit sur la première forme, où l’élève tente de remplacer le tâtonnement systématique mené pour les problèmes précédents, par une recherche organisée en un raisonnement présenté comme un algorithme : « si toutes les 12 chambres étaient à deux lits, on aurait 24 randonneurs logés et c’est le minimum ; il reste cependant 6 personnes, que l’on peut loger à raison de 2 par chambre de quatre, ce qui nécessite 6/2=3 chambres à 4 lits. » Ainsi pourrait-on formaliser le raisonnement : « le nombre de chambres ayant le plus grand nombre de lits s’obtient à partir du nombre de personnes qui ne sont pas logées après que toutes les chambres aient été remplies a minima. » Car voici justement ce que produit le groupe dont cette élève fait partie (on remarque que la consigne de donner une méthode générale est respectée) :

Transparent Groupe 4

Le plus grand nombre de lit qu’il y a dans une chambre : A Le plus petit nombre de lit qu’il y a dans une chambre : a

Nombre de chambre XA = x X – Nb de chambre = y

Y : (A - a) = Nb de chambre avec le plus de lit

Nb de chambre Xa = w W – Nb de chambre = z

Z : (A - a) = Nb de chambre avec le moins de lit

où l’on voit comment le praxème s’algébrise et comment cette algébrisation va raviver des pratiques anciennes qui produiront une pratique nouvelle : le travail d’un modèle.

Lorsque le professeur aura proposé aux élèves « d’étudier le travail algébrique du modèle », cela donnera (pour le même problème, 30 randonneurs dans 12 chambres à 2 et 4 lits) et pour cette même élève, G., les propositions suivantes, où l’on peut observer d’abord les permanences du contrôle de l’action menée :

2x+4y=30 x+y=30-x -3y 12=30-x -3y x+3y=30-12 x+3y=18 x+y=18-2y 12=18-2y 2y=18-12 2y=6 y=3 x=12-3=9

Car ici, le x+y que l’on remplace par 12, c’est « le nombre des chambres » où l’on loge, pas à pas, autant de personnes. Dans ce moment d’invention, on le fait intervenir « où l’on peut » et « autant de fois que nécessaire » : les écritures algébriques des deuxième et troisième lignes

(12)

relèvent de pratiques ordinaires dont la pertinence n’est pas assurée, mais (comme toujours dans le milieu d’une situation adidactique) que faire d’autre que ce qu’on sait faire (ce dont le système des objets manipulables appelle la mémoire d’une pratique) ? Arrivée à x+3y=30-12, qui est interprétable dans le schéma de raisonnement que nous avons identifié au départ de l’émergence de cette manière de faire, il reste à recommencer l’opération une deuxième fois bien sûr, jusqu'à obtenir l’équation 2y=6, qui devrait vous rappeler quelque chose à vous aussi, lecteur, si vous avez suivi et si vous savez que cela donne y=6/2 : y est le nombre de chambres à 4 lits, que l’on obtient en calculant le nombre de personnes qui ne sont pas logées après que toutes les chambres aient été remplies a minima... Rien ne prouve absolument que l’élève contrôle effectivement le travail algébrique par le sens qu’elle pourrait donner à ce qu’elle écrit en s’appuyant sur son raisonnement précédent, comme je viens de le faire. Mais le fait que ce travail soit complètement atypique et que cela permette un contrôle qui serait autrement impossible est remarquable : l’hypothèse que ces calculs sont complexes parce qu’ils portent un sens construit précédemment semble raisonnable. Une telle hypothèse doit permettre d’observer l’évolution des pratiques d’autres élèves et peut ainsi se trouver confirmée en « loi du fonctionnement de la mémoire pratique », ou infirmée - ce qui nécessite alors une autre interprétation des traces que nous avons collectées. Mais nous pouvons avoir déjà quelque assurance d’être dans le vrai, parce que cette hypothèse rencontre une loi anthropologique connue. Cette élève en effet parvient, dans un deuxième temps, à perfectionner sa technique, et elle travaille alors directement dans le cadre de pensée du modèle algébrique : le raccourci proposé ne fait plus référence au raisonnement étudié plus tôt, il obéit à une « loi d’économie de l’énergie cognitive » énoncée par Douglas (1985)1

qui correspond aux observations de la « réduction ostensive dans la routinisation des techniques » faites par Bosch (1994) ce sont ici des travaux actuels, menés en coopération avec Merri à l’ENFA et Roland Pouget à l’IUFM de Toulouse. La loi que nous proposons est énoncée par Matheron (2000) dans sa thèse, au terme d’une étude dont nous avons repris ici les prémisses.

Plus court → 2x+4y=30 2(x+y)+2y=30

2(x+y)=30-2y 2×12=30-2y 24=30-2y 2y=30-24 2y=6 y=3 x=12-3=9

On observe une amélioration de la technique précédente, qui va dans le sens d’une économie, tant de l’énergie cognitive à déployer que de l’expansion du praxème, dans la mesure où la double itération du procédé consistant à faire apparaître x+y=12 dans 2x+4y=30 peut être remplacée par une factorisation par 2 après décomposition de 4y. Cette économie est identifiée par l’élève, et elle s’appuie sur la technique précédente, moins élaborée, qu’elle évoque. C’est bien, encore, un travail de la mémoire pratique qui permet un progrès de la technique.

Il n’a cependant pas échappé que cette technique n’a pu être créée et vivre que grâce aux coefficients particuliers du système (ce sont des variables didactiques de la situation adidactique) et que, par ailleurs, les techniques scolaires d’addition et de substitution d’une inconnue (et non d’une expression, remplacée ici par sa valeur constante), n’émergent pas encore du travail d’étude de cette élève.

Exemple 3

Transparents Groupe 6

Problème n° 1

Il y a 13 chambres pleines et 20 malades 13 = 5 + 8 = 7 + 6

(13)

5 x 2 = 10 + 8 = 18 faux 7 x 2 = 14 + 6 = 20 Il y a 7 chambres de 2 lits Et 6 chambres d’un lit Problème n° 2

Il y a 50 chambres et 80 personnes Pour 80 personnes et toujours 50 ch 30 chambres a 2 lits ! 30 x 2 = 60 +20 chambres a 1 lit -! 20 x 1 = 20 50 80 + 3 30 + 3 = 33 83 20 – 3 = 17 50 33 x 2 + 17 = 83

Dès le problème n° 3, ce groupe développe une technique d’exploration systématique fondée sur la disposition apparue ici. Elle est économique mais ne sera pas suffisamment robuste pour résister au quatrième problème. Je ne donnerai pas un exposé de la suite de ce qui peut s’observer dans la « Troisième G » observée et des effets de cette introduction sur le type de pratiques algébriques que produiront les élèves de cette classe, et j’évoquerai seulement les décisions que le professeur sera amené à prendre, au moment de faire la leçon correspondante. Voici ce qu’il déclare lors de l’entretien après séance, à chaud.

7. P : […] Les séances c’est pas du tout comme je les avais prévues au départ. 8. O : Alors, pas de méthode par substitution, c’est marrant.

9. P : Mais quand je dis pas, c’est pas. Il y en a pas un qui…

10. O : Quand même, on était persuadés qu’elle allait sortir majoritairement, enfin presque, peut-être exclusivement.

11. P : Oui. Alors, je me dis, finalement, c’est pas que j’ai bien travaillé, mais comme je les ai amenés à travailler sur cette méthode par addition, finalement elle a pris le pas sur l’autre.

12. O : Complètement.

13. P : Et pourtant, je suis restée en retrait. J’ai vraiment essayé de rester… de m’impliquer le moins possible dans le choix de la méthode pour pas que… ils aient l’impression qu’il y en a une que je privilégie, donc qui était meilleure que l’autre.

Ici, l’embarras et l’étonnement du professeur viennent de ce que la mémoire des raisonnements engagés dans le travail initial n’engage pas les élèves dans la technique ordinaire de travail d’un système de deux équations à deux inconnues « par substitution ». Or, c’est cette technique qui est considérés comme plus facile, parce qu’elle consiste à ramener le problème, le plus vite possible, à un problème à une inconnue. Mais la substitution n’est familière qu’aux professeurs de mathématiques et n’a jamais jusqu’à ce jour été utilisée comme technique de travail algébrique : au point que la seule élève qui pratique une substitution remplace x + y… par 12, sa valeur numérique !

Un peu de théorie de la mémoire pratique nous aurait aidés à l’anticiper : cette technique suppose que l’on cherche d’emblée une technique algébrique, selon le raisonnement suivant : « Ne sachant pas traiter deux équations à deux inconnues, nous allons tenter d’éliminer une inconnue à partir d’une des deux équations en mobilisant la mémoire de la technique par laquelle on isole une inconnue... » Les professeurs arrivent à faire paraître cette méthode comme « naturelle » lorsque le problème algébrique ne s’appuie pas, comme c’est ici le cas, sur un problème posé en langue naturelle et à propos d’objets que l’on peut manipuler, sur lequel il est donc possible de mener un raisonnement. Mais ici, le professeur sera amené à renoncer à exposer son cours, considérant que, en fin de compte, les techniques dont les élèves ont débattu recouvrent très largement l’espace des compétences demandées par le programme de Troisième. Mais cela est une autre histoire.

(14)

Ce qui ici m’intéresse, c’est de montrer comment les praxèmes et leurs usages dessinent désignent et signent des pratiques, que l’on pourra considérer comme les signes de l’activité intellectuelle des élèves et en particulier, du travail mémoriel qu’ils réalisent, consciemment ou non, en mobilisant des pratiques anciennes pour l’étude de problèmes nouveaux. Le dispositif d’observation permet donc d’aller voir l’inventivité possible d’une classe, lorsque certaines conditions favorables sont réunies : ici, par la donnée de quatre problèmes ensemble, associés à la consigne « imaginez une méthode qui marche pour les quatre problèmes que voici.

Cependant, la construction des résultats de notre enquête n’est pas complète et pour réduire l’incertitude sur notre hypothèsexlix nous devrons croiser l’interprétation de ces premières observations, centrées sur quelques élèves, avec d’autres interprétations construites de manière indépendante, venues par exemple de l’observation du professeur.

En se fondant sur l’acquis que constitue une théorie de la mémoire pratique du travail mathématique et l’identification du système des praxèmes où elle se cristallise, on peut revenir à l’observation de la vie institutionnelle et par exemple, observer la manière dont des pratiques diffusent dans les groupes, dont le professeur les reçoit, dont elles évoluent en techniques (pratiques traditionnelles efficaces reconnues dans l’institution), ou dont un discours technologique s’en empare : c’est-à-dire, observer les conditions institutionnelles de l’étude qui sont des situations didactiques effectives.

Valider des interprétations pour obtenir des systèmes de signes

La posture de recherche que je décris ici n’est donc pas expérimentaliste, bien qu’elle se garantisse de l’observation de certains effets par une intervention claire : le professeur tente de s’approprier un texte d’enseignement peu commun. Cette posture n’est pas non plus fondée sur les statistiques que permettent l’interrogation d’un grand nombre d’individus. Pour autant, nous ne menons pas des études de cas, puisque nous observons toujours des caractères généraux du didactique, par delà les institutions didactiques particulières où nous menons nos enquêtes.

C’est pour cela que nous avons défini notre position comme relevant d’une posture clinique. Sous la direction de Schubauer-Leoni, Leutenegger a construit les principaux caractères de cette posture en montrant par exemple que les objets de nos études sont des systèmes ou des organisations institutionnelles et non leurs sujets individuels, mais que nous accédons à la connaissance du fonctionnement de ces organisations institutionnelles au terme d’une enquête qui construit une interprétation de certaines des traces de l’activité institutionnelle que nous avons collectées. Leutenegger a montré aussi que parmi ces traces, celles de l’activité des sujets de l’institution sont particulièrement chargées d’informations. Dans la voie ainsi ouverte explicitement, mais que les travaux de Schubauer-Leoni, ceux de Sensevy et les miens avaient commencé d’explorer, le travail théorique vise dorénavant à construire des signes cliniques relatifs au fonctionnement institutionnel, et des systèmes de signes permettant d’attester de certaines formes institutionnelles plus ou moins stables mais caractérisant des modes de fonctionnement.

En conclusion

Les méthodes d’observation du didactique qui, après l’histoire et la microsociologie, se réclament d’une clinique du didactique permettent l’observation de la vie ordinaire d’institutions didactiques diverses. En ce point, deux directions de travail s’ouvrent et aussitôt apparaissent complémentaires. L’une est relative à la construction de cliniques pour l’observation systématique de la vie des diverses formes institutionnelles du monde didactique, et des biographies qui s’y déploient ; l’autre est relative à la comparaison d’institutions didactiques fondées sur des disciplines différentes.

Si dorénavant une position comparative peut être théoriquement fondée, une didactique comparée est pensable, et on peut imaginer qu’elle permettrait de décider du caractère disciplinaire de certains phénomènes didactiques. L’outil théorique nécessaire au débat comprend, sans doute, l’appareil conceptuel dont j’ai dû faire usage pour en fonder le projet – mais cette question devra être travaillée sur le terrain pratique de la recherche comparative, car les constructions théoriques produites par les différentes didactiques disciplinaires sont aujourd’hui

(15)

sans relations instituées et, enfermées chacune dans son institution disciplinaire elles se sont développées, pour une grande part, de manière indépendante.

Une question d’importance demeure : qu’en est-il de l’observation d’élèves individués, si toutes nos observations biographiques nous ramènent à une interprétation institutionnelle ? Dans le cadre de pensée que j’ai décrit, les élèves ne sont accessibles que comme sujets isolés des institutions sociales extérieures aux systèmes didactiques et donc, dans le seul cas où l’on considèrerait qu’ils peuvent caractériser les interrelations de ces institutions avec une institution didactique singulière.

Notes

i Chevallard, Y., (1988), Esquisse d’une théorie formelle du didactique. In C. Laborde, (Ed) Actes du premier colloque franco-allemand de didactique des mathématiques et de l’informatique. Grenoble, La Pensée Sauvage.

Chevallard Y. (1992), Concepts fondamentaux de la didactique : perspectives apportées par une approche anthropologique. Recherches en Didactique des Mathématiques 12/1, 73-112.

Schubauer-Leoni, M.L., (1988), Le contrat didactique dans une approche psycho-sociale des situations didactiques. Interactions didactiques, 8, Genève, Universités de Genève et de Neuchâtel.

Schubauer-Leoni, M.L., Perret-Clermont, A.N., (1997), Social interactions and mathematics learning.

In T. Nunes & P. Bryant, Learning and teanching mathematics. An international perspective. Hove (U.K.)

Psychology Press

Sensevy, G., (1997), Institutions didactiques, étude et autonomie à l’école élémentaire. Paris, PUF. Mercier, A., (1999), L’espace-temps didactique. Etudes du didactique, en Sciences de l’Education. Note de synthèse pour l’Habilitation à diriger des recherches.

ii

Schubauer-Leoni, M.L., Mercier, A., Donck, E., Amigues, R., (1998), The intention to teach and school learning : the role of time. In A-N. Perret-Clermont (Ed) Time in mind (sous presse).

iii

Blanchard-Laville, C., (Ed), (1997), Variations autour d’une leçon de mathématiques à l’école élémentaire, l’écriture des grands nombres. Paris, L’Harmattan.

iv Schubauer-Leoni, M.L., Leutenegger, F., Mercier, A., (1998), Observation d’interactions didactiques dans une séquence pour l’apprentissage des “grands nombres”. In M. Gilly & J.P. Roux (éds) Apprendre

dans l’interaction. Presses Universitaires de Nancy.

Mercier, A., Sensevy, G., Schubauer-Leoni, M.L., (2000) How social interaction within a class depend on the teacher’s assessment of the student’s various capabilities. A case study. Zentralblatt fur Didaktik der mathematik, XXXII, 5. 126-130.

v

Matheron, Y., (2000), Une étude didactique de la mémoire dans l’enseignement des mathématiques

au Collège et au Lycée, quelques exemples. Thèse de l’Université de Provence. vi

Artigue M. (1984), Contribution à l’étude de la reproductibilité des situations didactiques. Thèse de doctorat d’Etat, Université de Paris VII.

Artigue M. (1990), Ingénierie didactique. Recherches en didactique des mathématiques, 9.3, 281-308.

vii

Ratsimba-Rajohn, H., (1977), Etude de l’introduction ostensive d’un objet mathématique. Mémoire de DEA de l’Université Bordeaux I.

Ratsimba-Rajohn H. (1992), Contribution à l’étude de la hiérarchie implicative. Application à l’analyse de la

gestion didactique des phénomènes d’ostension et de contradictions. Thèse de l’université de Rennes I. viii

Chevallard Y. (1988), Notes sur la question de l’échec scolaire. Marseille, IREM d’Aix-Marseille. Chevallard Y. (1988), Médiation et individuation didactiques In Le contrat didactique : différentes approches.

Interactions didactiques,8, Genève, Universités de Genève et de Neuchâtel. ix

Chevallard Y. (1985), La transposition didactique, du savoir savant au savoir enseigné. Grenoble, La Pensée Sauvage.

(16)

x

Chevallard Y. (1995), La fonction professorale. Esquisse d’un modèle didactique. In R. Noirfalise & M.J. Perrin-Glorian, Actes de la VIIIe école d’été de didactique des mathématiques, Clermont-Ferrand, IREM de Clermont-Ferrand.

Chevallard Y. (1997a), Familière et problématique, la figure du professeur. Recherches en

Didactique des Mathématiques, 17.3, 17-54. xi

Brousseau G. (1980), L’échec et le contrat. Actes de la Ire Ecole d’été de Didactique des

Mathématiques, Marseille, IREM d’Aix-Marseille.

Brousseau G. (1984), Le rôle central du contrat didactique dans l'analyse et la construction des situations d'enseignement et d'apprentissage des mathématiques. Cours, IIIe Ecole d'été de didactique des mathématiques, recueil des textes et comptes rendus, 99-108, Grenoble, IMAG et CNRS.

Brousseau G. (1986), Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques. Recherches en Didactique des Mathématiques, 7.2, 33-115.

Chevallard Y. (1986), Remarques sur la notion de contrat didactique : l’âge du capitaine. Conférence à la Commission Inter-IREM Université, 15 janvier 1983,. In Y. Chevallard, Sur l’analyse didactique, deux études sur les notions de contrat et de situation, Marseille, Publications de l’IREM d’Aix-Marseille.

Mercier A. (1988), The “Contrat didactique” Permanent clauses, local and global breaches. Poster, Actes ICME-VI, Budapest.

xii

Brousseau G. (1983), Quelques phénomènes de didactique susceptibles d’expliquer l’échec de la réforme des mathématiques modernes. Conférence. Actes de la Rencontre Internationale de la CIEAEM, Lisbonne.

xiii Brousseau G. (1995), L’enseignant dans la théorie des situations didactiques. In R. Noirfalise & M.J. Perrin-Glorian, Actes de la VIIIe école d’été de didactique des mathématiques, Clermont-Ferrand, IREM de Clermont-Ferrand.

xiv

Delbos G., Jorion P. (1984), La transmission des savoirs. Paris, Editions de la Maison des sciences de l’homme.

xv Flaubert G. (1973), Lettre du 15 mars 1843 à sa nièce Caroline. Correspondance, 1830-1851. Paris, Gallimard La Pléiade.

Equipe “Elémentaire” de l’IREM de Grenoble (1980). Quel est l’âge du capitaine ? Bulletin de

l’APMEP, 323, 235-243.

xvi Balacheff N. (1983), Preuve et démonstration en mathématiques au collège. Recherches en Didactique des Mathématiques, 3.3, 261-304.

xvii

Schubauer-Leoni M-L. (1986), Maître-élève-savoir : analyse psychosociale du jeu et des enjeux de

la relation didactique. Thèse de doctorat. FAPSE, Université de Genève. xviii

Mercier A. (1992), L'élève et les contraintes temporelles de l'enseignement, un cas en calcul algébrique. Thèse de l’Université Bordeaux I.

xix Mercier A., (1998), Observer l’enseignement. In J. Brun, F. Conne, R. Floris, M.L. Schubauer-Leoni (Eds.) Méthodes d'étude du travail de l'enseignant. Actes des secondes journées didactiques de La Fouly. Genève, Interactions Didactiques.

xx

Mercier, A., (1999), op. cit.

Mercier A., Le contrat didactique dans la théorie des situations. In G. Lemoyne & alii (Eds), Pour Guy

Brousseau. (à paraître). xxi

Chevallard Y. (1988), Notes sur la question de l’échec scolaire. Marseille, IREM d’Aix-Marseille. xxii Mercier A. (1992), op. cit.

Mercier A. (1995), Approche biographique de l’élève et des contraintes temporelles de l’enseignement : un cas en calcul algébrique. Recherches en Didactique des Mathématiques, 15, 1. 97-142.

Figure

Updating...

Références

Updating...