Disponible à / Available at permalink :

Dépôt Institutionnel de l’Université libre de Bruxelles / Université libre de Bruxelles Institutional Repository

Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:

Van Hamme, L. (1970). De polyadische getallen en hun gebruik in de getallenleer (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.

Disponible à / Available at permalink : https://dipot.ulb.ac.be/dspace/bitstream/2013/214935/3/def2f555-705e-4e62-8b71-4a638bc83f74.txt

(English version below)

Cette thèse de doctorat a été numérisée par l’Université libre de Bruxelles. L’auteur qui s’opposerait à sa mise en ligne dans DI-fusion est invité à prendre contact avec l’Université ([email protected]).

Dans le cas où une version électronique native de la thèse existe, l’Université ne peut garantir que la présente version numérisée soit identique à la version électronique native, ni qu’elle soit la version officielle définitive de la thèse.

DI-fusion, le Dépôt Institutionnel de l’Université libre de Bruxelles, recueille la production scientifique de l’Université, mise à disposition en libre accès autant que possible. Les œuvres accessibles dans DI-fusion sont protégées par la législation belge relative aux droits d'auteur et aux droits voisins. Toute personne peut, sans avoir à demander l’autorisation de l’auteur ou de l’ayant-droit, à des fins d’usage privé ou à des fins d’illustration de l’enseignement ou de recherche scientifique, dans la mesure justifiée par le but non lucratif poursuivi, lire, télécharger ou reproduire sur papier ou sur tout autre support, les articles ou des fragments d’autres œuvres, disponibles dans DI-fusion, pour autant que :

Le nom des auteurs, le titre et la référence bibliographique complète soient cités; L’identifiant unique attribué aux métadonnées dans DI-fusion (permalink) soit indiqué; Le contenu ne soit pas modifié.

L’œuvre ne peut être stockée dans une autre base de données dans le but d’y donner accès ; l’identifiant unique (permalink) indiqué ci-dessus doit toujours être utilisé pour donner accès à l’œuvre. Toute autre utilisation non mentionnée ci-dessus nécessite l’autorisation de l’auteur de l’œuvre ou de l’ayant droit.

--- English Version ---

This Ph.D. thesis has been digitized by Université libre de Bruxelles. The author who would disagree on its online availability in DI-fusion is invited to contact the University ([email protected]).

If a native electronic version of the thesis exists, the University can guarantee neither that the present digitized version is identical to the native electronic version, nor that it is the definitive official version of the thesis.

DI-fusion is the Institutional Repository of Université libre de Bruxelles; it collects the research output of the University, available on open access as much as possible. The works included in DI-fusion are protected by the Belgian legislation relating to authors’ rights and neighbouring rights. Any user may, without prior permission from the authors or copyright owners, for private usage or for educational or scientific research purposes, to the extent justified by the non-profit activity, read, download or reproduce on paper or on any other media, the articles or fragments of other works, available in DI-fusion, provided:

The authors, title and full bibliographic details are credited in any copy;

The unique identifier (permalink) for the original metadata page in DI-fusion is indicated; The content is not changed in any way.

It is not permitted to store the work in another database in order to provide access to it; the unique identifier (permalink) indicated above must always be used to provide access to the work. Any other use not mentioned above requires the authors’ or copyright owners’ permission.

VRIIE UNIYERSITEIT TE BRUSSEL

Fakulteit der Wetenschappen

DE POLYADISCHE GETALLEN EN HUN

GEDRUIK IN DE GETALLENLEER

Proefschrift inoediend ter verkrijging van de

graad van Doctor in de Wiskundige Wetenschappen

H*-*-H-+++++++++++++++++++++++++++++++-H+-+ CET OUVRAGE N’ETART PAS + + DANS LE DCWAINE PUBLIC, + + NE reUT ETRE COMMUNIOUE + +QU»AVEC L'AUTORISATION DE L'AUTEUR.+

Hf++++-M>+4-M--*-M-4~f++++++-M-f+++++++++-*--M4--L. VAN HAMME

Fakulteit der Wetenschappen

DE POLYADISCHE GETALLEN EN HUN

GEBRUIK IN DE GETALLENLEER

Proefschrjft inoediend ter verkrijging van de

graad van Doctor in de Wiskundige Wetenschappen

^10.1^6

y

L. VAN HAMME

ûe volgendû symbolen worden beschouwd als standaardnotaties. Ze worden slechts gebruikt in de hieronder aangegeven betekenis.

N Z

de verzaoeling der natuurlijke getallen de ring der rationale gehele getallen R < Z P de reële getallen de komplexe getallen

de ring der p-adische gehelen iirr^ lichaam der p-adische getallen

Z

'Tj

de ring der pol3iadische getallen direkte som ( van groepen of ringen ) P een priemgetal behorend tôt N

a|b a deelt b ( a en b zijn gehele getallen )

(a,b) de gxcotfite gemene deler van a en b ( a en b zijn van nul ver- schillende natuurlijke getallen )

"uj res (x)

n

het grootste geheel getal kleiner dan of gelijk aan u (u is reëe het natuurlijk getal behorend tôt ^0,1,2...

dat kongruent is net x nodulo n

exp U

( X é Z, n is een van nul verschillend natuurlijk getal ) e*^ ( u is een komplex getal )

lèt oorspronkelijk doel van dit proefschrift was de studie van de toepassingen van de waarschijnlijkheidsleer op de getallenleer, Het is immers gebleken dat men de waarschijnlijkheidstbeorie kan gebruiken om zuiver reken- kundige resultaten te bewijzen. Het basisédee hierbij bestaat er in van N

een waarschijnlijkheidsruimte te maken, zodanig dat zekere rekenkundige functies onafhankelijke stachastische veranderlijken worden. Het hele voek van KUBILIUS Ob'! , dat op dit gebied als standaardwerk kan gelden, is hierop gebaseerd.

De waarschijnlijkheidsruimte gebruikt door KUBILIUS is echter

zeer ingewikkeld. Van NOVOSELOV |J2j, [^13], I, is het idee afkomstig N te ver- vangen door een ruiraere verzameling. De elementen van die verzameling noemt hij polyadische getallen. Het voordeel van die nieuwe verzameling is^dat men er op zeer natuurlijke wijze een maat ( = waarschi jnli jkheid ) in kan definiëren.

NOVOSELOV definieert de polyadische getallen als volgt. Zij a een geheel getal. Men beschouwt de verzamelingen V = (m^Z|ra» a ( mod n )} als basis voor de omgevingen van het punt a. Op deze manier wordt Z een topologischp

A

ruimte die metriseerbaar is. Vervollediging van Z levert een ring Z op : de ring der polyadische getallen.

Als men de ingewikkelde waarschijnlijkheidsruimte van KUBILIUS

vergelijkt met deze van NOVOSELOV valt het onmiddellijk op dat de door NOVOSELOV gevolgde weg veel natuurlijker en eleganter is. Daarom leek het ons van

belang de polyadische getallen nader te bestuderen. Ook een reden van practische aard dwong ons daartoe. De artikelen van NOVOSELOV verschenen immers, op êén uitzondering na, uitsluitend in het R.ussisch.

Al heel snel werd. het ons duidelijk dat de polyadische getallen op eenvoudiger wijze kunnen ingevoerd worden dan door NOVOSELOV gedaan werd. De topologie van een metriseerbaré topologische ruimte kan men immers het gemakkelijkst definiëren door te vertrekken van de metriek. Dit bracht er ons toe op N de metriek in te voeren die in hoofdstuk I, §3, a beschreven wordt.

Indien men de zo bekomen metrische ruiinte vervolledigt dan bekomt men opnleuw Z. De hier gebruikte metriek is veel eenvoudiger dan deze gebruikt door NOVOSELOV

Toen we enige tijd later heh boek van HEWITT 15}" Abstract Harmonie Analysis" raadpleegden -, . . stelden we tôt onze verrassing vast dat de hierboven

beschre-ven metrische ràimte in feite tamelijk oud is.

De P olyadische getallen kunnen immers beschouwd worden als een veralgemening van de g-adische getallen ingevoerd door HENSEL fAJ . In de twintiger jaren reeds construeerde VAN DANTZIG [_19l de poljiadische getallen zelfi..

V ••

Deze werden dan verder veralgemeend door PRUFER ij7j en VON NEUMAHN f21 j .

VSN DANTZIG noerade de getallen die hij invoerde " nombres universels ". Wij hebben de term polyadisch getal, feabruikt door NOVOSELOV, verkozen.

Die be naming wijst immers beter op het nauwe verband dat er bestaat tussen de p-adische, g-adische en polyadische getallen. In de wiskundige logica gebruikt men wel de tarm " polyadische algebra " maar er is zeker geen verwarring mogelijk.

Daar enerzijds NOVOSELOV de polyadische getallen invoerde zonder op de hoogte te ziji, van het werk van de hierboven geciteerde auteurs, en daar anderzijds deze auteurs de maattheorie volledig buiten beschouwing lieten, leek het ons aange- wezen beide richtingen te verenigen en verder uit te diepen. Het résultant is dit proefschrift. Hetgeen hier volgt is echter geen volledige synthèse van het werk van NOVOSELOV en VAN DANTZIG. Het spreekt immers vanzelf dat we slechts deze punten behandelen waar we iets toe te voegen hebben bij hetgeen deze auteurs gezegd hebben.

De tekst valt uiteen in twee delen. In hoofdstuk I worden de algebraïsche A

en topolcgische eigenschappen van Z behandeld, terwijl hoofdstuk II gewijd is aan de A

In § 1 van het eerste hoofdstuk worden de polyadische getallen ingevoerd. De definitie die hierbij gebruikt wordt is een veralgemening van de definitie • dît BOREVICH 1 Ij gebruikt om de p-adische gehelen in te voeren.

A

In § 2 wordt bewezen dat de ring Z niets anders is dan de endomofismen- ring van de groep Q/Z, zodat aile eigenschappentivan de polyadische getallen in termen van endomorfismen kunnen geflormuleerd worden.

In § 3 wordt aangetoond dat een polyadisch getal niets anders is dan een " nombre universel " van VAN DANTZIG. De metrische ruimte S die hierbij gebruikt

wordt is algemener dan deze van VAN DANTZIG. De hier gevolgde weg toont ook aan dat menvZ kan ' 'komen door opeenvolgende verzwakking van het begrip valuatie van Q

( een p-adische valuatie leidt tôt Z , een pseudovaluatie tôt Z , de hier gebruikte

- P 8

metriek > tôt Z ).

In § 4 worden de polyadische getallen afgebeeld op de rcële getallen van het interval (^0,1 ) met behulp van Cantorrecksen.

A

In § 5 wordt aangetoond hoe raen, uitgaande van Z, op eenvoudige wijze tôt de adèlering van Q kan komen.

In § 1 van hoofdstuk II wordt op Z een maat ingevoerd waarbij vooral de nadruk gèlegd wordt op de zeer grote analogie met de constructie van de Lebesguemaat in R.

In de volgende paaagrafen wordt de théorie van de gelijkmatig verdeelde A

rijen in Z ontwikkeld.

In de laatste parapraaf tenslottc, vertrekt men van de harmonische analyse in Z ota te komen tôt de klassieke reeksen van Ramanujan. Het blijkt dat deze reeksen, in zekere getallen, kunnen opgevat worden als een inverse Fouriertransfor- matie.

§_2i_Definitie_van_de_£olyadische_getallen.

a) De Ring Z.

We beschouwen rijen natuurlijke getallen

. . . \ .. ... ^

k = 2, 3, 4, 5,

Definitie 1. De rij J“w( is toelaatbaar indien r = r ( mod n ) telkens n m.> I m- n

Er valt op te raerken dat dat dan ook de rijen ir, +

■’ I k

als irsir. i.

i k ] kj 4 • 9 \ '

zijn,

In de verzameling der toelaatbare rijen, beschouwen we nu een equivalen- tiebetrekking die als volgt gedefinieerd wordt :

Ji

llet is duidelijk dat de betrekking reflexief, symmetrisch en transitief is

Definitie_2. Het quotient van de verzameling der toelaatbare rijen t.o.v. A

dezc equivalentiebetrekking, vormt de verzameling Z der poly adische getallen.

We zullen de elementen van Z voorstellen met behulp van de laatste letters van het alfabet : x, y, z, x', y', x^^ ...

We kunnen nu in Z twee bewerkingen defini*êren.

Definitie 3. Zij x en x' twee polyadische getallen, bepaald door de toe­ laatbare rijenfr l enjr'L De som van x en x' noemen we het

1 nj t nj ^ .

Het pro-polyadisch getal, bepaald door de rij /r + r'I.

Deze definitie heeft slechts zin , indien de zo bekomen polyadische getal- len slechts afhangen van x en x' en niet afhangen van de rijen £r^^en|r^^. die X en x' bepalen. Dit is gemakkelijk na te gaan.

Stelling 1. De verzameling Z vormt een konmutatieve ring, indien men de som

en het produkt definieert zoals in definitie 3.

Bewijs : A

Z, + is een groep. Het neutraal element wordt bepaald door de rij

h}-met r =0. We stellen dit element eveneens voor door 0.

n ^ z’

Als x^ Z bepaald wordt door de rij^r ? dan bestaat er steeds een polyadisch getal y, zodanig dat y + x = 0,

Inderdaad^ indien r^ + r^ = 0 ( mod k ), bepaalt het gezochte element y.

dan is de toelaatbaar en

De associativiteit en kommutativiteit van de optelling en de vermenigvul- diging, evenals de distributiviteit , volgen uit de overeenstemmende eigen- schappen van de kongruenties.

b) Algebraïsche Eigenschappen van Z.

Eigenschap 1. De ring Z bezit een eenheidselement, nsuaelijk het element bepaald door de rij > waarbij r^= 1 voor 2,

Dit volgt onmiddellijk uit de definitie van de vermenigvuldiging.

• Z bezit een deelring die isomorf is met Z. Bevij s :

Beschouw de toelaatbare rij

•n,n,n,*»«» n^Z

Waoneer n m, dan bepalen de rijen ii, en j\; twee verschillende polyadische

n vn ^

getalleri. det beeld van Z in deze afbeelding is dus een deelring van Z die isomorf is met Z.

Opmerking : Zoals gebruikeli.ik. zullen we de twee isomorfe ringen iden-tificeren zodat we kunnen schrijven Z C Z.

Eigenschap 3. Z bezit een deelring die isomorf is met Z .

Bewijs :

Men kan de ring Z op verschillende manieren definiëren. P

Voor ons doel is de klassieke definitie, met behulp van de valuatietheorie, minder geschikt. We gebruiken de definitie van BOREVICH^' Deze definieert ëe p-adische gehelen met behulp van rijen natuurlijke getollen

W {^o’ "2’ ...‘"n... waarvoor geldt t ; t ^ ( mod p’^)

n n-1

ïwee dergelijke rijen l en|tS waarvoor geldt : on) O n J

t = t' ( mod p”^^ ) n = 0, 1, 2, n ~ n

definiëren hetzelfde element van Z . De rijen (t + t' Ven It t'îdefiniëren

P \ n n J l n nJ

de som en het produkt van It ( en i t'). t n > 1 ” J

Beschouwen we nu de verzameling Z' van aile polyadische getallen die gede- finieerd worden Joor toelaatbare rijen, waarvoor

(

)

(

)

r^^ = 0 ( mod k ) telkens k geen macht is van p.

Dit de definitie van Z' volgt onmiddellijk dat de som en het produkt van A 2 elementen van Z' terug tôt Z' behoren. Z' is dus een deelring van Z.

Stelt men nu t = n zenlijkt.

is. Men ziet onmiddellijk dat de bijektie een isoraorfisme is tussen Z' en Z .

P

Eigenschap 4. Z = ® Z

Bewijs :

Zij Z* =©Z . Dit betekent dat Z' bestaat uit riien van de vorm P

ix ( =i>

!. pi l^2’ ^3’ ^5’ ’ ...i X £ Z p P

en dat de soin en het produkt van twee dergelijke rijen S^de-finieerd wordt doorjx + x'{ en ix . x'l .

1 P PJ - ’ P pi

We moeten bewijzen dat Z' en Z isomorf zijn.

We zullen eerst met elk element * x l van Z' een eleiaent van Z doen overeen-- P i

stemmen.

Het iedere x stemt een rij van het type ( 1 ) overeen. P

Laten we die rij noteren als; r "j L r

Op deze manier is r^^ gedefinieerd telkens k = p , n = 1, 2, We zullen nu r, definiëren voor de andere waarden van k.

k

Als k = p , p ^^2 '^s

*^1 ’ ^2 ... pg de kanonieke ontbinding van k is, dan kie-zen we voor r een oplossing van het stelsel kongruenties

iC n r, = r ( mod p ) ...î ^ P ^ ) ( 3 ) rw X iC P c! S ni Pi ^

Wegens een gekende stelling ( Chinese remainder theorem ) is r enig op een veelvoud van k na.

De zo bekomen rij ^r^i^is toelaatbaar wegens de eigenschap

r * r

p n - 1 P

( mod p” ^ ) als k een macht van p is, T'en

Vermits iedere enig is op een veelvoud van k na, bepaalt die toelaat- bare rij één enkel polyadisch getal.

Omgekeerd stemt met elk elcment van Z slechts één enkel élément van Z’ over- een.

y- .

Inderdaad, zij^r^jde toelaatbare rij die x£ Z bepaalt.

De deelrij jr \ n=l, 2, .... bepaalt een p-adisch getal x .

t p° d P

Dit geldt voor elke p.

A Op deze wijze hebben we dus een bijektie gekonstrueerd tussen Z* en Z.

A

Uit de definities van de som en het produkt in Z' en Z blijkt onmiddellijk dat die bijektie een isomorfisme is.

Notatie : Elk polyadisch getal kan dus ontbonden worden in p-adische komponenten.

We noteren dit als volgt :

X X _ y .... y X f ....V

‘.2 P J

Merk op dat als x = n6z, dat dan x = n P

of korter x

■[■‘p!!

Deze untbindipg rechtvaardigt de naam polyadisch getal, ingevoerd door NOVOSELOV. Er dient nochtans opgemerkt te worden dat NOVOSELOV eigenschap 4 niet bewezen heeft.

A

In ri2 1 bewijst hij, dat Z de direkte som is van idealen uit Z , zonder P

te bewijzen dat die édealen Z zelf zijn.

• ^ • ~i

De eigenschap 4 wordt geciteerd, uaar niet bewezen in VINOGRADOVI20 J .

Eigenschap 5. Z bezit een deelring die isomorf is met de ring der g-adi-

sche getallen.

Bewijs :

Zij Z de ring der g-adische getallen. ilAHLER CioJ bewijst dat als

dan

8 = Pi

= Z

p^ de kanonieke ontbinding van g is, dat

g Pt © Z .... tt'Z

Uit eigenschap 4 volgt dan dat Z CZ

Eigenschap 6. Z is isomorf met een deelring van de adèlering van Q.

Bewijs :

Bij definitie is een aoèle een rij van de vom

Jx , X , X , ... , X , ...\ waarbij x een p-adisch

ge-i O ^ ge-i P J

tal is, dat bija altijd geheel is, terwijl x^ een reëel getal is. De optelling en vernenigvuldiging wordt konponentsgewijs gedefinieerd. Uet is duidelijk dat de verzaneling der adèles, waarvoor x = 0 en waarvoor

U A

aile komponenten x geheel zijn, een ring vormen die isomorf is met Z.

Eigenschap 7. De nodige en voldoende voorwaarde, opdat x een nuldeler zou zijn, is dat minstens één der p-adische komponenten nul zou zijn.

Nodige voorwaarde :

Als X nuldeler is, dan bestaat er een polyadisch getal y ^ 0, zodanig dat xy = 0

Zij X =/x t en y =/y L dan is xy = fx .te.

X P ; 1_ Pj \ P Pj

Dus moet x . y =0 voor iedere p. PP

Maar x en y behoren tôt Z , een ring zonder nuldelers. Dus, of x , of

P P P P

y moeten nul zijn.

Daar y ^ 0, zijn niet aile y = 0. Er is dus minstens één der kot’' P

Voldoende voorvaarde :

f

Zij X =Jx , X ... X

L 3 P

(

Stel dan y =iy2> Y... In dit geval is xy = 0

.... i- en onderstel dat x = 0

-i P

, y... V met y = 1 en y =0 als q p

P - P q

Gevolg ;

A Als nCZ dan is n geen nuldeler in Z.

Inderdaad de p-adische komponent van n is n zelf.

Er is dus geen enkele komponent 0 zodat n geen nuldeler kan zijn.

A c) Kongruenties in Z .

Definitie 4 Zij X en y polyadische getallen. x deelt y ( notatie x|y ) indien er een polyadisch getal z bestaat, zodanig dat y =» xz.

Eigenschap 8; Zij V een toelaatbare rij di^ Indien r = 0 ( mod n ) dan is :

n ~

X bepaalt.

deelbaar door n.

Bewijs ;

We zoeken dus een polyadisch getal y, zodanig dat x = ny. We ontbinden x,n en y in hun p-adische komponenten. In dit geval moet x = n. y .

P P

S

zij P de hoogste macht van p die n deelt ( s kan eventueel nul zijn ).

n = P® n' ( n',p ) = 1

Daar de ni toelaatbaar is, zal r = r ( mod p ) n “ s

P

• S

dat X = P®, x' .

P P

S s

üit X = n y volgt dus p x' = p n' y

PP PP

Dus x’ = n’ y ,

P P

Daar ( n’, p ) = 1, bezit n'

Daar de redenering geldt voor iedere p is het gevraagd polyadisch getal y hiermee eenduidig bepaald.

a

Definitie 5 : x is kongruent met y moïlo n indien ( x-y) deelbaar is door n.

îlotatie ; x = y ( mod n ) ( 4 )

Qpmerking : Het is duidelijk dat deze definitie gelijkwaardig is met de küngruentie molulo » het hoofdideaal voortgebracht door n. Dus bezit 4 3de gewone eigenvchappen van de kongruenttes.

A

Indien xt Z bepaald wordt door de toelaatbare rij ^an volgt uit deze definitie en uit de vorige eigenschap dat x = r ( mod k ).

kC

lien ziet bovendien dat ieder poljiadisch getal steeds kongruent is ( mod k ) met een der gehelen 0, 1, 2, ... , k - 1.

We ncteren dit geheel als res.t»/ k

Qpmerking : De rij r^^ = (x) is een toelaatbare rij.

Inderüaad. bij definitie is x = res (x) ( mod k ) k

X = reSj^(x) ( mod 1 )

Als k|l volgt hieruit x = res^ (x) ( mod k ), zodat

X = res, (x)

k = res^ (x) ( mod k ) Q.E.D. .1 een invers élément in Z . Dus is y *fn'j x’ .

Definitie 6 ; Het polyauisch getal x is een eenheid indien het inverseer- baar is.

Eigenschag 9 : De nodige en voldoende voorwaarde opdat x een eenheid zou zijn, is dat res (x) en n onderling ondeelbaar zouden

n

zijn vùor n = 2, 3, 4, ...

Nodige voorwaarde.

Àls X een eenheid is, dan bestaat er een polyadisch getal y zodanig dat xy = 1

Stel r = res (x) . r' = res (y)

n n / n n

en y = r' ( inod n ) dat r . r' = 1

- n n n

-, dan volgt uit x = r^ ( taod n )

( mod n ) zodat ( r , f> ) = 1 n

Voldoende voorwaarde.

Als ( r^, n ) = 1 dan zijn er steeds getallen r', die aan de kongruentie

r r* = 1 ( mod n ) voldoen. Zij r' een van deze gehelen. We kunnen een

n n

dergelijk geheel r' bepalen voor n = 2, 3, 4... n ^

We bewijzen nu dat de rijsr' î toelaatbaar is.

1

Onderstel dat nlm.

Daar de rij res (x) toelaatbaar is, geldt r = r ( mod n )

'r' 4toelaatbaar is en een polyadisch getal y definieert. c. n J

Uit de definitie van y volgt dat

Dus is xy = 1

xy = r r’ = 1 n n -n = 2, 3, 4,

( mod n )

Stelling : ( veralgemening van de stelling van FERMAT )

Als X een eenheid is en $(n) de indikator van EULER voorstelt, dan geldt $ (n)

X =1 ( EOü n ) voor n = 2, 3, 4...

Bewi2s:

Stel r = res (x) dan is x = r ( mod n ) en

$(n) <î>(n) 1 / J \ ( mod n )

§ 2. Z als endomorfismenring.

a) Inleiding.

Zij G een kommutatieve groep, additief genoteerd.

Beschouw End (G) d.w.z. de verzameling van aile endomorfisnen van G. Men kan dan in die verzameling twee bewerkingen definiëren.

De son van twee endomorfisnen e^ en e^ wordt gedefinieerd door :

( +e^ ) (g) = e^ (g) + e^ (g) é G

Het produkt is : ( e^. e^ ) (g) = e^ ( e^(g) ) V G

Men weet dat End (G) net deze bewerkingen een ring vomt

Ook de ring Z kan als endomorfismenring beschouwd worden. We zullen

trouwens bewijzen dat nagenoeg aile begrippen ingevoerd in § 1 in dit ka- der kunnen geïnterpreteerd worden. In het bijzonder zullen we op deze manier een nieuw bewijs van eigenschap 4 bekomen.

De groep Q/Z.

Van nu af aan stelt G het quotient voor van de groep Q ( t.o.v. de o;;-.. ling ) door de ondergroep Z, d.w.z. dat de elementen van G de r-” '

getallen uit het interval fo,lJ zijn met als bewerking de optelling mod-l

1

.

G is isomorf met de groep van aile komplexe n machtswortels uit de &r~ heid, als men de vermenigvuldiging als gr''"’'soperatie t “

waarden 1, 2, 3, ... aan ). We zullen verder ook de volgende ondergroep... van G beschouwen : G n y n - 1 N

t

J

We bewijzen eerst enkele eigenschappen van G.

Lenma 1 : De ondergroepen van H zijn ; 1) G , k = 0,1,2,...

P pk

2) H zelf P

Bewij s :

Zij H' een ondergroep van H en zij a/p® een element van H'. We mogen hier-P

bij onderstellen dat ( a,p ) = 1

M g g

De elementen n .a p , n = 1, 2... p behoren ook tôt H'. Deze elementen vormen echter juist G . Dus is G d H' .

Ofwel is nu h'

P

ofwel bestaat er een élément g€ II’ zodanig dat

In dit laatste geval is g noodzakelijk van de vorm b.p ^ met t>s en ( b.p ) = 1.

Hieruit volgt dat G ^CK'.

Als men zo verder ^ gaat, zijn er 2 gevallen mogelijk.

Ofwel is il' = G , voor een zekere waarde van k , ofwel is

k ’

iedere k. ^

In dit laatste geval bevat H' aile rationale getallen van

G , <T-H' voor k

P

, c

de vorm

---en is dus id---entiel met H . P

Lemma 2 : G is isomorf met een deelsroen van ©H . i> P vorm : a met —2— Cl U 1 P P

Nu is S isomorf met de deelgroep bestaande uit die elementen waarvoor slechts een eindig aantal komponenten verschillend van 0 zijn. Dit is een gekend lemma. Voor het bewijs kunnen we bijvoorbeeld verwijzen van jjbj blz. 6

Lemma 3 : G ^ G = G . waarbii ci = ( m.n )

--- m n d V » /

Bewijs_:

De elementen van zijn van de

Bewijs :

Als g d( G AG ) dan heeft men m n

g£C zodat g = a/m 0 ,<a <,m-l m

g£c zodat g = b/n 0^1^^ n-1 n

Schrijven we g als een onvereenvoudigbare brauk p/q, dan zal a/m = b/n = p/q, zodat m = m' q en n = n'q

Dus qjd en men kan dus schrijven p/q = c/d

Omgekeerd als gé G^, dan behoort g tôt aile groepen Gj^ waarbij k een veel- voud is van d.

Dus g 6-G en G zodat G, CG ^G .

m n d m n

Hieruit volgt het gestelde.

Pg endomurfismen van G.

Le^a_4 : End ( G^ ) is isomorf met de ring Z/nZ.

Dit is een gekend lemma.

Zie bijvoorbeeld f 9j , vol I, blz. 153.

Men kan de endomorfismen van G^ expliciet aangeven ni.

e : G -îG : g —^a.g

cL

Hierin kan a de waarden 0,1,2,...., n-1 aannemen.

e .e^ = e .

a b ab e + e, = e , a b a+b waaruit men a.b en a+b modulo n moet nemen.

Stelling : De ring End ( G ) is isomorf met Z.

Bewijs :

Zij e een endomorfisnie van G : g-?e(g)

ûaaruit volgt dat :

e(0) = e( n.g ) = n e(g) = 0 Dus is e(g) van de noria m'/n.

Met andere wocrden, als g il'G dan zal ook e(g)^!G .

n n

leder endonorfisme van G induceert dus een endomorfisne van G . n

Als nu n m dan is G Cl G .De hierbovenstaande redenering toont ook aan n m

dat ieder endomorfisme van G een endomorfisme van G induceert.

n n

Beschouw nu een van de endomorfisnen van G , namelijk : m

e J G -> G

a m ' m 8~>a.g , 0^ a < m-1

Welk is het geïnduceerd endomorfisme in G ? n

ünderstel dat a = b ( mod n ) met 0^: b < n-1

₍

)

Als g = k/n 6 G dan is het neeld e (g) = k'/n , waarbij a k = k' ( mod n)

n a

Dus is k' = bk ( mcd n )

Het geïnuuceerd endomorf isme is dus : : g_>b g, waarbij b

ge-definieerd wordt door (2) of door een der getallen die er kongruent mee is module n.

We kunnen nu overgaan naar de endomrofismen van G.

Zij eÊEnd (G), e induceert een endomorfisme in iedere G . Er bestaat n

dus vüor iedere n een geheel a zodanig dat ; n

Ê^-Gn=i>e(c) = a^.g

Wegens ( 2 ) is ae rij toelaatbare rij en definieert dus een polyadisch getal x.

Omgekeerd bepaalt ieder polyadisch getal x een rij gehelen a = res (x),

Elk geheel a definieert een endùformisme e van G . Vermits ieder element

n . n n

g van G tût een G behoort, kunnen we een afbeelding ;

e : G ^G definiëren door te stellcn e(g) = % ( g )

Deze definitie heeft slechts zin indien e (g) = e (g), telkens g zowei

n n

tôt G als tôt G behoort.

n m

Dit is zo, want in dat geval zal g^G net d= ( m,n ), wegens lenma 3. d

Dan is e(g) = e,(g) = a (g) ci St

Maar vermits de rij la Itoelaatbaar is, zal a = a^ ( nod d )

! n 1 n d

Dus definiëren a,.g en a .g herzelfde element van G

d n (

Dit bewijst dat e (g) = e (g) = e (g) = e(g). nmd

Er bestaat dus een bijektie tussen End (G) en Z.

Men ziet dat als men de endomorfismen optelt of vermenigvuldigt, men ook de toelaatbare rijcn optelt of vermenigvuldigt. De bijektie is dus een isomorfisme en de stelling is bewezen.

Gevolg ; Z is isomorf met de ring End (H ),

P P

Men bewijst dit zoals de stelling zelf maar man moet slechts werken met de ondergroepen G P Als toelaatbare

fn . a

... l

men slechts rijen van het type

e(g) =0 V gi H uitsluiten. P

We drukken dit uit door te schrijven e / 0 Zij e<E End (^p) ^ij K de kern van e.

K is een ondergroep van Daar e 0 is, zal K / Wegens lemma 1 is K

dus een eindige groep van het type G

S

P

Maar u iv is isomorf met e (H ), het beeld van H .

p''^ P P

Daar oneinaige groep is en K een eindige groep, zal H^/K en dus ook

e(H^) een oneindige groep zijn.

Wegens lemma 1 is e(H ) dan identiek met h , hetgeen de eigenschap bewijst.

P P

Gevolg :

We kunnen hieruit een nieuw bewijs afleiden van een gekende eigenschap, ni. dat Z geen nuldelers bezit. Inderdaad, onderstel dat e en e' endomor-

P

fismen zijn van U en dat e 0 , e' 0 en e.e' = 0. P

Dit betekent dat e ( e'(g) ) = 0 V' g €

Als e’ 0 is e' surjektief, zodat g^ = e’(g) (jg hele

groep doorloopt als g zelf de groep doorloopt. Dus moet e(g^) =0 ^ g^r Dit kan slechts als e = 0

Stelling : End ( G ) = C- End ( U )

P P

bewijs :

Stellen we een willekeurig eiement van End (H ) voor door e dan kunnen

— rs. ^ ^

le aanier schrijven onder ue vorm :

g = Z g waarbij g een element is van H en de son slechts een eindig

P P P P

aantal termen bevat.

We beschouwen nu de afbeelding

End ( H )--- y End (G) ; e_>e

r P

waarbij e gedefinieerd werdt door e(g) = Z e (g ) P ^ P ■ e is een endomorfisme van G want als

1.1 2^2, B =Zg en g =Zg dan volgt PP PP 12 12 11 ê( g +8 ) = Z e (g + g ) = Z e (g PP , PP P ‘ P P L

De. üi-beelding e->e is injektief.

On dat te bewijzen volstaat het twee verschillende elementen e en e'van ©End(h ) te beschouwen en te bewijzen dat de overeenstemmende endomorfismen e en e' verschillend zijn.

Als e

ë'

een element g van H zodanig dat ^

P P

(g„) e' (c ). PP „ P

) • e ( e

P)

Dus als g = gp zijn c(g) en e'(g) verschillend zodat e ^ e'. De afbeelding is surjektief.

We beschouwen een element e van End (G) en we zoeken een element e e tôt beeld heeft. In het bewijs van de vorige stelling werd gebruik gemaakt van het feit dat een element van G steeds een element van G

n beeld heeft.

dat

iiieruit volgt clat een eleaent van H steeds wordt omgezet in een elament van H .

P.

e induceert dus een endomorfisme e in elk van de ondergroepen H .

P P

Zo bekomen we een element e=(e„...e...) van © End (U ).

2 P , i'. P

lieschouwen we nu een willekeurig élément g van G dan zien we dat

e (g) = e ( Z g ) = ^ e (g ) = S e (g ) no P P P P P zodat e juist het beeld is van e .

De afbeelding is een isomorfisme.

Inderuaad.zij e= (e„, ... , e , .... ) ene' = (e'... e', .... )

^ ^ P 2 P

twee elementen van ïf'End (K ) en zij e en e’ de overeensteinnende

fK P

elementen van End (G).

Bij definitie is de sam van e en e' gelijk aan

e + e' = ( e^ + e^... e^^ + e' , ... ).

het beeld van e + e' is het endomorfisme dat g omzet in

Z ( e + e’

P P P e(c) + e'(g).

Het beeld van e + e’ is dus e + e’.

Het beeld van e.e' = ( e„ e' , ... e e', .... ) is

2 Z PP

Z ( e . e' ) (g ) = Z e ( e’ (g ) ) = e ( e'(g) ) want pp p P PPP P

e'(g) = Z e' (g ) waarbij e' (g ) Lü .

^ P P ppp

Gevolgcn :

* ” A

1) In g 2, c zagen we dat Z isomorf is met End(G), terwijl Z^ isomorf is

met End (Up)• We hebben dus een nieuw bewijs bekomen van eigenschap 4 van S 1 die zegt dat Z =^Z .

Men kan dan op dezelfde manier bewijzen dat Z

-8 ZP © Z ® Het volstaat

Het hewijs blijft verder onveranderd.

JLe_sJLuJU. : Ailes wat betrekking heeft op Z kunnen we uitdrukken in termen van endomorfismen. We illustreren dit met de volgende tabel ;

A

Z END G

polyadisch getal x endomorfisrae e

1 identiteit : g-> g 0 de afbeelding : g 0 Z de endomorf ismen g ng, n ^ Z Z P End ( H ) P eenheid automorfisme

X = r ( mod n ) e induceert in G het endomorfisme n

g ^ rg

nuldeler H s 0 ( voor een zekere p

P ^ )

De tabel spreekt voor zichzelf, behalve wat de laatste regel betreft. De gegeven interpretatie van een nuldeler kan als volgt uitgelegd worden. Onderstel dat e een nuldeler is, d.w.z. e.e* * 0 met e' 0

Noteren we door e en e' de endomorf ismen door e en e' geïnduceerd in H .

PP P

Daar e' ^ 0 zal e' ^ 0 voor een zekere p. Uit e.e' = 0 volgt e . e' =

P P p

Z geen nuldelers bezit en e' ^ 0 zal e =0. Dus is H C e~^

p PP

We zullen eerst een zeer algemene metriek invoeren op N en dan bewijzen

A

dat de kompletie van N t.o.v. die metriek, in zekere gevallen juist Z is.

3. Z aïs metrische ruimte.

a) N als metrische ruimte.

Beschouw een rij natuurlijke getallen

O.

«J • Pq» Pj^> P2 » •••• t Pj^ •••• i 1 en stel = 1

‘Il = Pq

\ ~ Pq Pi "k-i k /,2

Lemma_l ; ledere gtN kan op één en slechts ëén manier geschreven worden onder de vorm s ■ “0 ‘>0 * “l‘>l * waarbij 1, 2... P^.-! <. + a q, k k Bewijs :

Er bestaat steeds een a^fZ'O, 1, .... , p^-1)- zodanig dat g= a^ ( mod p^ )

0 0

Bijgevolg is g van de vorm g Op dezelfde manier heeft men

^0 + Pq 5-^ met gj^é N.

8i 3], + Pj_82 1.

82^: N

, Pl-1\

Na vervanging is g = a^ + a^^p^ + p^ p^ g^

§r ^ ®r+l 1, p^—l'j

De getallen g, g^, g^, ... , g^, ... voraen een dalende rij, zodat het procès afbreekt.

We bekomen dus een uitdrukking van de vorm :

s " ‘>0 ^ “iPo ^ *2 Vi * •••• * Wi •••• Vl

of g = E a q » r ^r r=0

kl / /

Enigheid : Indien g=Ea q = E b q , waarbii a en b (^io,l,..p

r=ü r=0 ^ ^

dan is a = b ( mod p ) zodat a = b .

O O O O O

Trekt men nu van beide leden a = b af en deelt men door p dan vindt

O O o

men op dezelfde manier dat = b^. Enzi...

Definitie 1 : Zij g = a q + a,q, + .... + a, q, een element van N. --- O O 1^1 k k

We stellen dan ord(g) = r indien a =a, =..ia „=0

O 1 r-2

met a ^ 0. dovendien stellen we ord(O) = +«> r.i

Het getal ord(g) bezit de volgende eigenschap :

Lemma 2 : ord ( g ± g' ) > min [ ord (g) , ord(g')j ord ( g.g’ ) yy max^ord (g) , ord(g')j

(

)

(

)

bewijs :

Indien ord (g) = r dan is g = a , g , + .... + a, q, met a , 0 .

r-1 “r-1 k k r-1

Daar q^, ... > qj^ deelbaar zijn door volgt dan dat

’t-i

Is-Omgekeerd volgt uit dat ord (g) >-r i[ord (g) is niet noodzakelijk gelijk aan r want a kan nul

Onderstel nu dat ord (g) = r, ord (g') = s en dat bijvoorbeeld s>yr.

Dan is g' deelbaar door q ,, zodat g’ ook deelbaar is door q , ( want

s-1 r-1

q T deelt q , Vermits ook g deelbaar is door q ,, zal q ,|(g+g').

r-1 s-1 r-1 r-1

-Bijgevolg is ord ( g + g' ) wat het eerste deel van het lenma bewijst.

Het tweede deel volgt onmiddellijk uit het feit dat gg' deelbaar is door

^s-1 '

In ongelijkheid ( 1 ) moet men natuurlijk onderstellen dat g groter is dan g', indien men ord ( g - g' ) beschouwt.

Definitie_2_: w(g) --- --- als g 0 ord (g)

w(0) = 0

Uit deze definitie en uit de ongelijkheden (1) en (2) volgt ogenblikkelijk

w( g i g' ) < max |w(g) , w(g')j

w( g. g' min [w(g) , w(g')j

(3)

(4)

beschouwt raen g = g' + ( g - g' ) net g> g', dan volgt er

w(g)^<»*àx |w(g') , w(g - g' )^^w(g') + w(g - g' ) zodat w(g) - w(g')^< w(g - g' )

Uit g'=g-(g-g') volgt evenzo w(g') - w(g)^ w( g - g' ) zodat in ieder geval geldt :

tw(g) - w(g')|<w(g - g’ ) (5)

De funktie w(g) speelt hierbij dezelfde roi als de valuatie in het ge- val en de pseudovaluatie in het geval Z^.

De ongelijkheden (1) en (3) zijn identiek met deze die gelden voor

de valuaties en pseudovaluaties. De ongelijkheden (2) en (A) zijn zwakker. Men heeft immers ;

ord ( g.g' ) = ord (g) + ord (g') in het p-adisch geval, en, ord ( g.g,') ord (g) + ord (g') in het g-adisch geval.

Stelling 1 ; N is een metrische ruimte indien men als afstand neemt d(g,g’) = w( ( g - g'I )

Bewijs :

Uit de definitie zelf volgt dat onze afstand nooit negatief is, dat d(g,g') = d(g',g) en dat d(g,g') slechts nul is als g = g'. We moeten dus nog de driehoeksongelijkheid nagaan. In feite geldt een sterkere ongelijkheid, ni. :

d (81,82) ^ max [d(gj^, g^) , d(8^, 82)^^

zodat we te doen hebben met een ultrametriek. Om die ongelijkheid te be- wijzen, vertrekken we van :

■ G = ( Gj^ “ 83 ) + ( 83 “ 82 ) on stellen we

g = Ig^ - S3I . 8’ = I83 - 82^*

8i - 82 = 1 8 i s'

Bijgevolg bekomen we :

d( g^, 82 ) ---ord ( 1 + g i g'I )

min j^ord(g) ord (g* )’

wegens lemna 2

!

= raax;---Lord (g)

= max|^d( g^, g^ ) , d( g^, g^ )|j

De hierbeschouwde metrische ruimte N is nooit volledig, welke 00k de rij ^weze. Om dat in te zien, volstaat het de rij^qj^-l( te beschouwen. De afstand tussen 2 eleme*i‘-’i van die rij is :

■ Vf 1 )

- - - : <

‘•k>-want q, deelt k

De rij is dus een Cauchyrij. Deze rij is echter niet konver-gent. Inderdaad, zij g £ N.

d(q^ - 1, g ) --- --- --- vpor k vpldoen-ord ( q^^ -1 -g ) vpldoen-ord ( g + 1 )

de groot.

Die afstand kan dus niet willekeurig klein worden, zodat de rij niet konvergeert.

b) Vervollediging van de metrische ruimte N.

boven-(lien de optelling en vermenigvuldiging in N uitbreiden tôt S. We gaan bewijzen dat S dan een ring wordt.

We werken eerst in de verzameling van aile Cauchyrijen. Âls a ( en jb i, Cauchyrijen zijn, dan stellen we

, kj kj

(

)

(7)

De nieuwe rijen zijn Cauchyrijen, want men ziet gemakkelijk dat :

^ \ \ ~ ^1 ■ ^1 I ^ ■ ^1 ^ ^ \ " ^1 ' ^

en w( I a^bj^ - a^b^ | ) = w(|a^ (b^ ' ^ ^ ^ \ ^ î >

< \ - h )1) - w[|b^ ( \ ^ )î{

^min Iw(aj^), )|j +!min w(bj^), w(a^^ - a^^

(9) Hieruit volgt dat ^ a^ + b^^f, en Cauchyrijen zijn.

We noemen nu de Cauchyrijen |a ( en )a' i équivalent, als ; I L ^ î

lim d ( a, , a' ) =0

1 ^ k k

k-xx>

Notatie i aJ-'V' *a' l • I k) \ k]

We wcten dat dit een equivalentiebetrekking bepaalt in de verzameling van aile Cauchyrijen en dat S juist het quotient is van die verzameling door die equivalentiebetrekking.

' i“k| “

|v \\

Dit volgt uit : , V i I i '

"‘i” [”(l>k) . ”( 1»^ - a^l))

ûeze ongelijkheden worden bewezen zoals (8) en (9).

De formules (6) en (7) definiëren dus een optelling en een vennenigvul- diging van elementen van S'.

Stelling 2 : De verzameling S, met de hierboven gedefinieerde bewerkingen is een ring.

bewijs :

Dit de formules (6) en (7) volgt ogenblikkelijk dat de optelling kommuta- tief en associatief is, en dat de vermenigvuldiging associatief en

distributief is. Er blijft dus nog aan te tonen, dat als 3 gegeven Cauchyrij is, er een Cauchyrij |b sbestaat, zodanig dat )a + b .^equiva- lent is met het nulelement, ni. ,0,0,0,.... i,.

We kiezen b zodanig , dat a + b = 0 ( mod q, ).

Als 1 >k is, kunnen we dan schrijven dat : a + b, = q, c, c,

k k k k k ' = q^ c, f N 91 \ ■ '’i ■ \ ‘ ^ \ ‘ ‘"i >

^

\

hieruit volgt dat i b een Cauchyrij is -1

De rij \"''|b )= 1 a + b \= jq c l is een nulrij want

Tôt nu toe is de funktie w(g) slechts gedefinieerd voor géN* Het is mogelijk de funktie van w(g) uit te breiden tôt S. Die veralgemeende funktie zullen we noteren als W(x).

Definitie 3 : Als X een element van S is, bepaald door de Cauchyrij î^a^X , dan is W(x) = lim w(a^)

Deze definitie heeft slechts zijn als de limiet bestaat en slechts af- hangt van x en niet van de gekozen Cauchyrij.

Uitj w(aj^) - w(aj^)| ^ w(l a^^ - a^ \ ) volgt dat de rij ^w(a^) V een

Cauchyrij is in R aodat de limiet steeds bestaat.

Als ^ volgt uit ]w(a^)

lim w(a, ) = lim w(a,') .

k k

k 'V ] k k J

k-x»

De funktie W(x) bezit volgende eigenschappen ( bij het bewijs onderstel- len we dat x en x' respektievelijk door de Cauchyrijen ia / en \h {

gedefinieerd worden ) :

1) W(x) = w(x) als X

Het volstaat de rij !x,x,x,...i^ als Cauchyrij te kiezen.

(

2) W( x± x') i max ' W(x) , W(x') >

i J

k-X»

lim max j w(a ) k-xe i k

W(b^)' = max X

k-XD

_k^

W(x.x') = lim w ( ) 4 lim min^w(aj^),

k-x» k->«

= mini lim w(a ) , lim w(b, ) = min’W(x) , W(x')^ V _k-H» ^ _k-x» ^ J (

4) De funktie W(x) kan slechts de waarden 0,1, 1/2... .... 1/k... aannemen.

De elementen van de rij w(a ) \ zijn van de vorm 1/n. De afstand

ü. k -■

tussen 2 getallen van de vora 1/n kan slechts nul worden, indien de rij zelf 0 tôt limiet heeft of indien aile elementen van de rij, vanaf een zekere rang, dezelfde waarde 1/n hebben. In het eerste geval is X = 0 en W(x) = 0, in het ander geval is W(x) = 1/n.

Indien x 5^ 0 kunnen we stellen ord (x) = —---W (x)

5) W(-x) = W(x)

W(-x) = W(0-x)4 max W(0), W(x),^= W(x) want W(0) = 0.

Dus is W(-x)^W(x). Vervangen we hierin x door -x, dan vinden we W(x) ^ W(-x) zodat W(-x) = W(x).

6) d( x,x') = W( X - x' ) = W( x' - x)

Reeksontwikkeling van de elementen van S.

Zij X een element van S. Tôt nu toe is x gedefinieerd door middel van een Cauchyrij I c

l k Dit is geen gemakkelijke manier om x te bepalen, want équi­ valente Cauchyrijen bepalen hetzelfde element.

We zullen nu de elementen van S in reeks ontwikkelen en bewijzen dat de reeks enig is.

De konvergentie van rijen en reeksen kan in S ingevoerd worden op de gebruikelijke manier. Zij Su i een rij eleffienten van 5.Bij definitie is ;

l " J

lim U =0 als lim d( u , u ) = 0

n n

n n->^

De reeks Z u k>nvergeert naar s, indien de rij der partiële sommen n=l

s = u, + u„ +... u de limiet s bezit.

n 1 2 n

Lemma 3 : De nodige en voldoende voorwaarde opdat E u zou konvergeren is dat lim u zou gelijk zijn aan 0. ” ^

n -«0 n O J J

Bewij s :

De voorwaarde is nodig want uit s - s , = u volet dat n n-1 n

lin u. = lim s - lim s , = s - s = 0 .

n n n-1

n-Mo n->^

Als n en n naar oneindig gaan dan streeft ook k naar oneindig ; maar dan heeft W(Uj^) nul tôt limiet ( bij onderstelling ).

i \

We zien dus dat Cauchyrij is, zodat

Z U konvergeert. n=l

We vertrekken nu van een Cauchyrij Je ! die het element c^S bepaalt. i- J

Lemma 1 laat toe te schrijven :

> (k) c, = Z a q

r=0 ' '

1 0,1...P -1

r i ^

Daar een Cauchyrij is , zal d( - c^ ),^l/(i +'l)voor k en 1

voldoende groot, m.a.w. 1 c - c 1 is deelbaar door q. voor k en 1

voldoen-K X X

de groot. Hieruit volgt dat :

i i

(k)

Dus vanaf een zekere waarde van k zal ^a niet meer veranderen als k toe-1

neemt. We noteren de waarde die a^ dan heeft door a..

Indien we vertrekken van een équivalente rij^c'l 'v jc k dan zien we, dat ^ kj L k )

we hetzelfde getal a^ bekonen

Uitgaande van x hebben we dus een rij natuurlijke getallen bekomen ni.

^0’ ij...j waarbij a^^ |^0,i,.... Pj,-ly .

Leiama_4 : x = Z a^. q^. r = 0 Bewijs : De reeks Z a q n a r=0

konvergeert want W( = ( + 1.) zodat

k

Stellen we n = Z a q dan zien we dat )n (een Cauchyrij is. Uit de

r = 0 L

definitie van de koëffici'ênten a^ volgt dat bewijst.

wat het lennna

Gevolg ; De nodige en voldoende voorwaarde opdat ord (k) = ---W(x) gelijk aan n zou zijn is dat a„ = a, = ... a „ = 0

0 1 m-2

5^ 0. ( We onderstellen x 5^ 0 ).

Inderdaad, indien a. = ... = a _ = 0ena dan is

0 m-2 m-1 W(nj^) = zodra k 7 m. m Bijgevolg is W(x) = lim W(n ) = l/m xC k-H»

Als omgekeerd W(x) = l/m, dan is lim W(n ) = l/m zodat W(n ) vanaf

k-H» ^

een zekere rang gelijk is aan l/m.

Hieruit volgt dat a^=....=a „=0ena ,?^0

0 m-2 m-1

Lemma 5 : De voorstelling x * Z a q r. t r=0

is enig, als a^fo.l... Pr“^^

Bewi2s ;

Onderstel dat er 2 dergelijke voorstellingen bestaan, zodat

00 Z r=0 00 = Z a r=0 t r

q’

(

)

Onderstel dat a^ = ; a^^ = aj^

k-1

■

“ V

üit (10) volgt dan :

( \ " \ ^ *lr ®et ^ k .

^ ^ r=k+l r=f

is de kleinste index, groter dan k, waarvoor a^ / 0 _

Wegens het gevolg van lemma 4 is de funktie ord gelijk aan k + 1 voor het linkerlid en gelijk aan f^+ 1 voor het rechterlid. Dit is onmogelijk want ^ # k.

De voorgaande resultaten kunnen als volgt samengevat worden :

Stelling 3 : leder element x£.S bezit een enige voorstelling van de vorm

00

X = E a q met a „ r r

r=0

d) Verschillcnde nogelijke gevallen.

De hierboven gekonstrueerde ring S hangt af van de rij (P, waarvan we ver- trokken zijn. Naargelang de keuze van kunnen we verschillende ringen bekomen die niet aile isomorf zijn. Zo kan S o.a. isomorf zijn met

A Z , Z (de ring der g-adische getallen ) en Z.

P Z

Om in te zien dat S zich kan herleiaen tôt Z , volstaat het p, =p te

P k

stellen voor k = 0,1,2,...

De elementen van S zijn dan van de vorm : x = a + a P + ... + a p’^ + ....

0 1 r i^^-^,l,.... , P“1V

Kiest men voor k = 0,1,ë, .... ( g is een gegeven natuurlijk getal), dan zijn de elementen van de vorm :

X = Bq + 3ig +---+ 3^ g^^+ zodat S zich herleiut tôt Z .

We zullen nu nagaan welke de verschillende andere gevallen zijn die zich kunnen voordoen. We beschouwen een bepaalde rij :

en de overeenstenmende getallen q

^ “ {pq’ ^1’

Zij P een priemgetal,

. ./7

We zeggen dat p voorkomt in de rijiJ met eksponent a, indien er een bestaat, zodanig dat p | q terwijl geen enkele q, deelbaar is door

r K

a+1

Indien de rij elementen bevat die respektievelijk deelbaar zijn door

P» P » P . •••• dan zeggen we dat a =» «. We beschouwen nu 2 dergelijke rijen 'J en S en S'.

Q Q

Stelling 4 ; Indien leder priemgetal in J en J voorkomt met dezelfde exponent dan zijn de ringen ^ en ^ isomorf terwijl de topo- logische ruimten ^ en homeomorf zijn.

Bewijs :

/*> *

We hebben gezien dat de rij en J en

J

N en dat ^ en ^de vervollediging van N zijn t.o.v. die metrieken. We bewijzen nu eerst dat iedere rij ^en Cauchyrij is voor de ene metriek ook een Cauchyrij is voor de andere en omgekeerd.

dat q* |q^. Het getal ja^^ - a^j is dus deelbaar door iedere vooraf ge- geven q^ voor k en f voldoende groot.

Bijgevolg is |^aj^(jOok een Cauchyrij voor de metriek bepaald door cl .

Twee Cauchyrijen i a, l ®nla' I heten équivalent als lim d(a , a’) * 0.

1 k J C k J k k

Dezelfde redenering als hierboven toont aan dat als 2 Cauchyrijen équi­ valent zijn voor de ene metriek, ze ook équivalent zijn voor de andere.

. ‘ cJ • •

De verzamelingen ^5 en zijn dus identiek, Vermits de optelling en vermenigvuldiging in ^ en ^op dezelfde wijze gedefinieerd worden, zijn

de ringen S en ^isomorf. ^

Er blijft nog te bewijzen dat de rijen J en J in de verzameling^™^ dezelfde topologie definiëren.

Zij X en Xq 2 elementen van ^ = jb , respektievelijk bepaald door de Cauchyrijen _«n!l> ^ . De afstand tussen k en x^ voor de metriek

St

triek bepaald door Q* de notatie d’CxjX^) gebruiken. -"A3

bepaald door stellen we voor door d( x, Xq) » terwijl we voor de

me-Het volstaat te bewijzen dat iedere cpen bol voor de afstand d een open bol bevat voor de afstand d* en omgekeerd. We bewijzen dus dat voor ie- der gegeven geheel getal k een geheel getal 1 bestaat zodanig dat uit

d'( K, X )<C--- volgt dat d(x,x )

° ° k

Maar d'(x,x^) = lim d' ( a^, b^)• r-x»

d'( x,x^)^l/£ betekent dus dat

la

0 ' r r '

voldoende groot.

Als nu qj^ gegeven is dan bestaat er een q^

deelbaar is door voor r

zodanig dat q |q|/.

Dus uit d'(x,x )<l/f volgt dat d(x;x^)<l/k.

° (? O* °

Door de rollen van o en J te verwisselen volgt dat ledere open bol voor de afstand d' een open bol bevat voor de afstand d, zodat de stelling volledig bewezen is.

De volgende stelling legt een verband tussen de hier beschouwde ringen ^ en de polyadische getallen.

Stelling 5 ; De ring^is steeds isomorf met de deelring van Z.

Bewijs :

Om de stelling te bewijzen moeten we om te beginnen een bijektie konstuu- eren tussen en een deelring van Z. Daartoe is het nodig de toelaatbare-• rijen, ingevoerd in S 1, van wat meer nabij te bestuderen.

Zij jr \ een toelaatbare rij. Dit betekent dat r = r ( mod n ) tel-kens n een deler is van m. Hierbij is r^ slechts bepaald op een veelvoud van n na. Indien r^ gekend is dan volgt uit deze kongruentie dat dan ook r gekend is voor aile delerin van m. Kent men omgekeerd r en r , en

n n n

zijn n en n' onderling ondeelbaar dan is ook r , bepaald. Om een toelaat-nn

bare rij volledig te bepalen volstaat het dus r te geven voor aile waar-n

den .n van de vorm p*- ( p priem, t= 1, 2, 3, .... ). A

We konstrueren nu een afbeelding van^in Z.

Zij X = E a q een element van S en stel n, = E^ a q . We gaan nu

r=o r r k r=»0 r ^r “

net X een toelaatbare rij doen overeenstemaen door te stellen :

Voor ieder natuurlijk getal g dat een bepaalde q deelt stellen we ver-K

der r = r

8 - qi ( mod g ).

Dit bepaalt r eenduidig want als g zowel q. als qj^ deelt, met 1 >k e ,

dan is r = r ( mod q, ). 1 k

Bijgevolg is dan r = r ( mod g ) zodat we dezelfde waarde vinden voor r .

g

We moeten nog r definiëren imhet geval dat g geen enkele q deelt.

^ t

Onderstel dat p voorkomt met exponent a in <J , dan deelt g “ p geen en­ kele q voor t = a+1, a+2, a+3...

iC

We stellen dan r ^ = r voor t = a+1, a+2, ....

P 3

P

We hebben aldus een toelaatbare rij gedefinieerd en bijgevolg een element van Z. Dit element is bij definitie het beeld van x.

De zo bekomen afbeelding van in Z is een injektie want als x x* dan is n^^ n^ voor een zekere k en dus zijn de overeenstemmende toelaatbare

rijen minstens verschillend voor n = q^^.

Be afbeelding is ook een homomorfisme. Immers uit de konstruktie van de afbeelding volgt dat als we vertrekken van de som van 2 elementen, we precies de som van de 2 overeenstemmende toelaatbare rijen vinden. Voor het produkt van 2 elementen geldt hetzelfde.

Noemen we Im(^ ) het beeld van onder dit homomorf isme, dan is Im(^ ) een deelring van Z die isomorf is met ^ , zodat de stelling bewezen is.

Behalve de gevallen waarbij S = Z of S = Z is er nog een geval dat van

P 8

bijzonder belang is.

Dit is het geval waarbij ieder priemgetal in ^ voorkomt met exponent on- eindig.

We noemen ^ dan een universele rij. In dat geval bestaat er voor ieder natuurlijk getal g een q zodanig dat g | q, .

Q

Stelling 6 : Als een universele rij is dan zijn de ringen _S en Z iso-morf.

Bewijs :

We beschouwen de afbeelding uit de vorige stelling. Het volstaat aan te tonen dat deze afbeelding surjektief is, d.w.z. dat iedere toelaatbare rij het beeld is van een element van x.

Zij i r ( een toelaatbare rij. Stel n, = r

l n J 'Ik

De rij |^n^^ îjifonvergeert in S want is deelbaar door als l>k.

Zij X = lim n . k^KX, ^

Het beeld van x is juist de gegeven toelaatbare rijir 1.

. . . . 1 D )

Inderdaad, zij g een natuurlijk getal. Daar

J

toelaat-S

bare rij waarvan we vertrokken zijn.

Steunende op hetgeen voorafgaat, is het nu eenvoudig om de algebraische struktuur van de ring S aan te geven in het algemeen geval.

Onderstel dat het priemgetal p in'^J voorkomt met exponent a, waarbij we aj^O aannemen. We beschouwen dan een ring R die gelijk is aan Z als

a ^ ^

a = “, en die gelijk is aan Z /p / als a niet oneindig is.

Bewij s ;

A

Wegens stelling 5 is S isotaorf met een deelring van 2, die daar genoteerd werd als Im(S). Wegens eigenschap 4 van § 1 kan elk element x van Im(S) ontbonden worden in zijn p-adische komponenten ; ( x^, x^,...k ,...) Het volstaat dus te bewijzen dat de komponenten x

isomorf is met R .

P P

een ring vonaen die

Wegens de redenering gebruikt in het bewijs van eigenschap 4 is die verza- meling p-adische komponenten niets anders dan de verzameling toelaatbare rijen die voldoen aan :

r ^ = r voor t = a+1, a+2,...

ta ’ ’

P P

r =0 als n geen macht van p is. L "

Een dergelijke rij is gekend als het getal r ^ gekend is.

a P

r ^ kan de waarden 0,1,2,..., p -1 aannemen en de optelling en vermenig- P

vuldiging van toelaatbare rijen is zodanig dat die getallen 0,1, ...,p -1 een ring vormen die precies 2/ p^Z is.

e) De topologische ruimte Z.

Uit hetgeen voorafgaat volgt dat we mogen spreken van de topologische A

ruimte Z. Iramers uit stelling 4 volgt dat aile ringen S, gekonstrueerd met een universele rij, homeomorfe topologische ruimten vormen.

A

Gezien er een bijektie bestaat tussen S en Z kunnen we de topologie van S overbrengen op Z. De topologie van Z hangt dus niet af van de gekozen rij

O

Als we willen aanduiden dat een bepaalde c) ( en dus een bepaalde metriek) A

gekozen werd zullen we de notatie S gebruiken i.p.v. Z.

De topologische eigenschappen van S zijn gekend vermits de ring S be- studeerd werd door VM DANTZIG [l9j en HEWITT fsl .

Deze eigenschappen zijn :

(1) S is kompakt, MUSDORFF en heeft dimensie 0. (2) S,+ is een topologische groep.

VAN DANTZIG bewijst de eigenschappen (1) onrechtstreeks door S af te beel- den op de Cantorverzameling. HEWITT bewijst slechts dat S lokaal kompakt is, bovendien is zijn metriek niet helemaal dezelfde als de onze.

Daarom geven we een rechtstreeks bewijs van de eigenschappen (1).

Lemma 6 : ledere open bol met stcaal 1/k is de vereniging van p iC disjunkte open bollen met straal l/(k+l)( k = 1,2,3,... )

Bewijs :

-1

Zij Xq = Z a q het middelpunt en k de straal van de beschouwde

bol B.

b is de verzameling van aile getallen x = Z b q zodanig dat r=0 ^ ^

d( x,Xq) <^k d.w.z. da verzameling van aile getallen x zodanig dat : ^0 ^0 ’ ^1 ■ ^1 ’ ’ ^k-1 \-l

k-1

Beschüuw nu de getallen n.=Z a q +iq 1 /«V ^ ^ K

r= 0

i 0,1,..., 1

-1

De vereniging van die bollen is juist B zodat het lemma bewezen is.

V Opmerking :

Het lemma geldt voor iedere open bol behalve S zelf.

S kan immers beschouwd worden hetzij als een gesloten bol met straal 1 ( en middelpunt 0 ), hetzij als een open bol met straal groter dan 1. Met behulp van de redenering gebruikt in het lemma ziet men echter ge- makkelijk in dat de open bol S de vereniging is van p^ open bollen met straal 1 die respektievelijk 0,1... middelpunt hebben.

Stelling 8 : Z is kompakt.

Bewij s :

Lemma 6 laat toe van deze stelling een bewijs uit het ongerijmde te ge-ven dat volkomen analoog is met het klassieke bewijs van de stelling

van HEINE-BOREL. We. Kunnen ons dus beperken tôt een schets van het bewijs. Onderstellen we de stelling vais is S. De opmerking na lemma 6 laat

toe S te beschouwen als de vereniging van p bollen. In minstens een ü

dezer bollen moet de stelling eveneens vais zijn. Men verdeelt deze op zijn beurt in p^^ bollen, enz...

Als men telkens een bol kiest waar de stelling vais is, dan konvergeert de rij der middelpunten naar een punt van S. In dat punt bekomt men dan een tegenstrijdigheid zoals in het klassieke bewijs van de stelling van HEINE-BOREL.

Lemma 7 : Iedere open bol is ook gesloten.

Bewijs :

. . œ _ —2^

met als middelpunt 0,1,2...straal k ^ vormen een

partitie van S. Een dezer bollen is noodzakelijk de gegeven bol B. Het kooplement van B is dus de vereniging van q, “1 open bollen. Dus is

Jx B gesloten.

Gevo1^_:

S heeft dimensie 0. bij definitie is de dimensie van een topologische ruimte immers 0 indien de verzamelingen die zowel open als gesloten zijn een basis vormen. Uit het lemna volgt dat dit het geval is.

4 Afbeelding van het interval Eo,!^ in Z.

O

Indien een universele rijgegeven is kan men elk element van Z ont-wikkelen in een reeks

Z a q .

0

Maar de rij c) laat eveneens toe elk reeel getal te ontwikkelen in een Cantorreeks. Op die manier kunnen we een reëel getal in verbanclbrengen met een polyadisch getal, hetgeen leidt tôt een afbeelding van 1,0,1)

in Z. Deze afbeelding zullen we later gebruiken.

a) Ontwikkçling in Cantorreeks.

De stelling betreffende de ontwikkeling in een Cantorreeks zegt ( zie PERRON j 16j, SATZ 45 ; de notatie werd lichtjes gewijzigd ).

waarbij a een geheel getal is dat voldoet aan

a^<Pr~2 vour oneindig vele r (2)

Ue getallen p^, p^^, .... , p^, ... zijp de elementen van de gegeven uni- versele rij(p .

Met de notaties ingevoerd in §3 Kunnen we (1) ook nog schrijven als :

te -1

X = Z a q ^ r r+1

PERRON geeft aan hoe men de koëfficiëntcn a kan berekenen als x gege­ ven is.

Het is echter heel eenvoudig om een expliciete formule op te stellen voor a .

r

Uit il) volgt immers ;

X + + +

Pl?2 P1P2 P2

P1P2 Pi P2 P3

Het is niet mogelijk een gelijkheid te hebben want niet aile a^ zijn ge- lijk aan P^~i*

Bijgevolg bekomen we 0 < x p^ - 3q < 1 - 1/Pj^ + 1/Pj^ ~ I/P3P2 1/P3P2~***

zodat _{■ PoJ ■’ij}

Evenzo is :

“.<■‘<•2 ■ Vl ■ “l ' VP

■" V'’2P3 * ... < '

waaruit volyt = (Jxq J - [x .

Algemeen vindt ineti = |~x ^ j (3)

fa) Konstruktie van de afbeeldinp,»

Met het geheel getal X = Z a r=0 ^

doen we het polyadisch getal

x’ “j.?Q overeensteinmen. We bekomen aldus een afbeelding van het

interval [^0>1) in Z. Deze afbeelding is klaarblijkelijk injektief, naar niet surjektief. Inderdaad, de polyadische getallen welke niet voldoen aan (2) behoren niet tôt het beeld van |[o,l) .

Welke zijn deze getallen ?

Als de rij a., a., a ,niet voldoet aan (2) dan is a = p -1 vanaf

0 12 r r

een zekere rang k. Een dergelijk getal is van de vonn ;

k-1 y=Z^a q +Z, (p -1) q ■' r=0 r r r=k *^r ^r Nu is Z ( p -1 ) \ ° r=k k-1 zodat y + qj^ = Z a^q^ . r=0

geheel getal. Er bestaat staeds een

een ontwikkeling van de vorm :

r*k

Bus aile negatieve oehelen,erj slechts die getallen, zijn geen beeld van een reëel getal. We noteren die verzaneling door N =|-1,- 2,-3,....

De stelliag 46 van PERRON j^lbjzegt dat de ontwikkeling (1) slechts dan een rationaal getal voorstelt als de ontwikkeling een eindig aantal termen bevat. Met een dergelijk getal stemt ook een eindige reeks

00

E a q overeen, d.w.z. een natuurlijk getal. 0 ^

Besluit ; De hier beschouwde afbeelding is een bijektie tussen£o,l) en Z \N die de rationale getallen afbeeldt op N.

Zij ongekeerd -n een negatief

zodanig dat q -Cn^Çi. • K"* ^ "5, kC

Daar q -n<q is, bezit q,-n

xC K iC

k-l

q, - n = E a q .

k ,, r r

r=0

Dit (4) volgt dan

k-l -n = E a

r=0 ^

c) Een mctriek voor L0,1).

Zij OîjX 4I. Uitgaande van x kunnen we de volgende rij natuurlijke getal­ len beschouwen

J , 3 9 ^3x J ,... , ^nx J , ...

Definitie : Als x en x' 2 punten zijn uit (^0,1) dan is d( x,x') = 0 als X = x'

= 1/k als ^nxj =j^nx'| voor n = l,2,...,k en I (k+l)xj [(k+1) x'J

Lcama 1 : d^ is een afstand in [o,l).

dewijs :

We hebben te doen met een speciaal geval van een veel algemenere ruimte. beschouwt men de verzaneling V"van aile rijen I u \ , waarbij u elementen

=■ • n J n

zijn van een willekeurige verzamaling, en stelt men de afstand tussen ; U 'r en:.u’ ' gelijk aan k~^ als

(.ni ! n î,

“l ■ "I • “2 ■ "2 ... Vl ■ “i-1 • "k “k

dan bckomt men een ultrametriek op V ( zie OSTI-IANN fls], stelling 11 ).

tiet volstaat u, , = Hcxl te stellen en het lemma is bewezen.

k-1 *- J

We zullen oük het volgende lemma no^ig hebben.

Lemma 2 : Zij x en x’ 2 elementen van [o,l) . Als gnx j= [nxj en m|n dan is nix j =|m

x'J

.

aewijs ;

[nx] is bij definitie het geheel getal dat voldoet aan

rnx i^nx <();hx 1 of C! nx ^ < X / I nx 1 + 1

--..s N---

[ nxj = [[nx'J betekent dus dat x en x’ beide behoren tôt het interval

I ^nx i , Enx ] + 1 L n n n

>

Het lemma zal dus bewezen zijn als we aantonen dat volgende ongelijkheden gelden : [ mx ]/[nx.] ^x,x'^(nxj + 1./ + _1 m n s< n ta (5) m

Stelt men n = mk en vermenigvuldigt men ailes met n dan ziet men dat (5) zal bewezen zijn als

k f^mx'l^ kxj enj^m k xJ +1^ k [mx j + k^

d.w.z. als kj^mxj^jm ka^^'^k j^mx J + k - 1. (6)

Maar mx =jmx|+r ,04rcl. Daaruit volgt dat k mx = k + kr zodat l^k mxJ = k j_mx 1 •

Uit ( 7) en de ongelijkheid

volgt (6) zodat het lemma bewezen is.

(7)

0^^ [kr] ^ k - 1

Voorgaande lemma's laten toe volgende steliing te bewijzen :

Stelling 1 : Het interval (^0,1 ) met de topologie van d is homeomorf met

^ mm “ ' ^

Z \N met de geïnduceerde topologie.

Bewijs :

We kiezen een universele rij J. uit levert oms een metriek op S = Z en dus op Z \ N. Maar de bijektie tussen p0,lj)en Z\N laat toe die metriek

brengen op [^0,1.y

We bekomen aldus een afstand d op | 0,1) d wordt.

. . “ —1 1 “ -1

Zij X = E a q en x' = E a q r=0 ^ r+1 r=0 ^ r+1

van j 0,1J, dan is d2 (x,x') = 0 als X = x'

= als

de Cantorreeksen van 2 punten

Vi * Vi

(

8

)

U

Wegens de formules (3) is (6) gelijkwaardig met

■‘■J ’M' k =‘'3...[vi *J

‘[\-i

*'J’[vj

=‘3

Letnma 2 laat teaslotte toe de afstand d^ als volgt te defini’êren :

^2 <

■

-j -Lvi ■‘'3 =”K 3’‘ k '‘'J'

Als we bewijzen dat de afstanden d^^ en d^ dezelfde topologie geven voor 1^0,l) zal de stelling bewezen zijn. Beschouw daartoe de bollen

bi ( Xq, k ^ ) = '■ X j d^ ( x.XqX k-1

?

2 ( X^, r ) = jx ) ( x,Xq) <( Pri I

Onderstel vooreerst ( x^, k ^ ) gegeven. We bewijzen dat er een f be-staat zodanig dat B2 ( x^, Ÿ ^ )CTBj^ ( x^, k ^ ).

Het volstaat voor Ÿ de kleinste index te nemen waarvoor n|q^ ; n™ ly 2ÿ f k f k"^ 1*

-1

.0

Dit is steeds mogelijk als V) universeel is, want is dan deelbaar door ieder vooraf gegeven getal als {'’ voldoende groot is.

Wegens lemma 2 is dan [^nx ] =ln x^j telkens n|q^ . Dus

fnx^ =[11x^1 voor n = l, 2...,k+l

is

zodat X 00k tôt behoort.

Indien omgekeerd B2( x^, gegeven is dan kunnen we steeds een k bepalen

zodanig dat x^, k ^)CIB2( x^, P ^ )

Daartoe nemen we k = q - 1.

Als X oehoort tôt 3^ dan is, bij definitie »ftixj =rnx^jvoor n=l,2,.., q^.

Dus is ^q^y xJ = jq^, XqI zodat x tôt B^ behoort.

Opmerking ;

De metrische ruimte To,!'), d^ is niet volledig. Inderdaad, de punten die overeenstenmen met N ontbreken. Men zou de ruimte kunnen vervolledigen door een zeker aantal nieuwe punten toe te voegen. Daartoe zou het volstaan elk rationaal punt x te vervangen door 2 punten : x en zijn " toegevoegde " x . Hierbij dienen we ons in te beelden dat x zich onraiddellijk Links van x bevindt. Noteren we de zo bekomen verzameling door W.

De bijektie tussen Z \ iJ enj^O,lj kunnen we dan uitbreiden tôt een bijektie k-1

00

tussen Z en W door met het negatief geheel I a q + E ( p -1) q

r=0 r=k ^ ^

k-1

— 2^ 00 het toegevoegde van a q , + Z, ( p

In dat geval stemt met een bol in Z, met straal k , een " segment ” uit W overeen van de vorm ^r/qj^,(r+l) / J •

Hierbij is(r+l)/q een toegevoegd punt. Deze " segmenten " genereren de topo- le

logie in W*

A

Zij 0 ^ X <^1. In dit deel van de tekst zullen we onderstellen dat x steeds aan die voorwaarde voldoet. We zullen dit dus niet voortdurend herhalen.

De rij [[x] ,{^2x}...L“^]» (9)

heeft ons toegelaten een metriek te definiëren waardoor |o,l) homeomorf werd met een deelverzameling van Z.

Indien nu een rij natuurlijke getallen gegeven is kan men de vraag stel-len of die rij van de vorm (9) is. M.a.w. aan welke voorwaarden moet de rij i^u^^ voldoen opdat er . een getal x zou bestaa^ zodanig dat u^ voor

n = 1, 2, 3, .... Het antwoord op die vraag zal ons toelaten een nieuwe inter-pretatie te geven van Z. Zelfs afgezien van het verband met Z heeft heè ant­ woord op die vraag een zeker belang gezien het feit dat rijen van de vorm

(9) reeds sinds lang bestudeerd worden in de getallenleer ( zie o.a. NIVEN [JllJ voor de voornaamste resultaten dienaangaande ) .

§£êliiSi_2 • Beschouw een rij natuurlijke getallen

{"-i-Opdat er een x zou bestaan zodanig dat u ® voor n=l,2,3, n —

is het nodig en voldoende dat de rij | u [aan volgende voor-n l

waarden zou voldoen :

1“) = 0

2°) 0-^ u -mu ^m-1

mn n

l “_J

(

)

3") Er bestaat geen n zodanig dat u -mu =*m-l voor on-nuÿ n

Bewijs :

üe voorwaarde is nodig :

Er is dus gegeven dat

Uoor n “ 1 vinden we onmiddellijk dat = 0. Als we in (7) de notatie veranderen bekomen we

[jonn^ - m , 0^ r^l . Dit levert ons (10).

De 3e voorwaarde zullen we uit het ongerijmde bewijzen. Onderstel dat voor een zekere n, en voor oneindig veel waarden van m, geldt :

l^xmn^ - m = m - 1.

Wegens (7) bestaat er dan een r^ 1 zodanig dat = m - 1 voor oneindig veel waarden van m.

Dan is 1 7 r ^1 - --- voor oneindig veel waarden van m. Dit is onmogelijk. m

De voorwaarde is voldoende :

Voorwaarde ( 10) is gelijkwaardig met

zodat 0;^ U __ mn_ __n_U 1 •b---mn n n mn U __ m 1 1 1 c 1 0 1 c IS 1 1 U _mn_ U _mn _ __ nU m n m mn mn n __1_ m n

(

)

Hieruit volgt dat

U een Cauchyrij is. Bijgevolg bestaat x = lin —-- *