R´esoudre des ´equations par le dessin

R´ esoudre des ´ equations par le dessin

Nils Berglund

Institut Denis Poisson, Universit´e d’Orl´eans CNRS, UMR 7013

https://www.idpoisson.fr/berglund/

Centre Galois, Juin 2019

Un premier exemple

Voici une suite de nombres : 1,1 2 ,1

4 ,1 8 ,

1 16 , 1

32 , . . . , 1 2ⁿ , . . .

Combien vaut 1 +1 2+ 1

4+1 8 + 1

16 + 1

32 +· · ·+ 1

2ⁿ +. . . ?

1

1 2

1 4 1

8 1

16 1 32

1 +1 2+1

4 +1 8 + 1

16 + 1

32 +· · ·+ 1

2ⁿ +. . .= 2

1 2+ 1

4+1 8 + 1

16 + 1

32 +· · ·+ 1

2ⁿ +. . .= 1

Un premier exemple

Voici une suite de nombres : 1,1 2 ,1

4 ,1 8 , 1

16 , 1

32 , . . . , 1 2ⁿ , . . .

Combien vaut 1 +1 2+ 1

4+1 8 + 1

16 + 1

32 +· · ·+ 1

2ⁿ +. . . ?

1

1 2

1 4 1

8 1

16 1 32

1 +1 2+1

4 +1 8 + 1

16 + 1

32 +· · ·+ 1

2ⁿ +. . .= 2

1 2+ 1

4+1 8 + 1

16 + 1

32 +· · ·+ 1

2ⁿ +. . .= 1

Un premier exemple

Voici une suite de nombres : 1,1 2 ,1

4 ,1 8 , 1

16 , 1

32 , . . . , 1 2ⁿ , . . .

Combien vaut 1 +1 2+ 1

4+1 8 + 1

16 + 1

32 +· · ·+ 1

2ⁿ +. . . ?

1

1 2

1 4 1

8 1

16 1 32

1 +1 2+1

4 +1 8 + 1

16 + 1

32 +· · ·+ 1

2ⁿ +. . .= 2

1 2+ 1

4+1 8 + 1

16 + 1

32 +· · ·+ 1

2ⁿ +. . .= 1

Un premier exemple

Voici une suite de nombres : 1,1 2 ,1

4 ,1 8 , 1

16 , 1

32 , . . . , 1 2ⁿ , . . .

Combien vaut 1 +1 2+ 1

4+1 8 + 1

16 + 1

32 +· · ·+ 1

2ⁿ +. . . ?

1

1 2

1 4 1

8 1

16 1 32

1 +1 2+1

4 +1 8 + 1

16 + 1

32 +· · ·+ 1

2ⁿ +. . .= 2

1 2+ 1

4+1 8 + 1

16 + 1

32 +· · ·+ 1

2ⁿ +. . .= 1

Un premier exemple

Voici une suite de nombres : 1,1 2 ,1

4 ,1 8 , 1

16 , 1

32 , . . . , 1 2ⁿ , . . .

Combien vaut 1 +1 2+ 1

4+1 8 + 1

16 + 1

32 +· · ·+ 1

2ⁿ +. . . ?

1

1 2

1 4 1

8 1

16 1 32

1 +1 2+1

4 +1 8 + 1

16 + 1

32 +· · ·+ 1

2ⁿ +. . .= 2

1 2+ 1

4+1 8 + 1

16 + 1

32 +· · ·+ 1

2ⁿ +. . .= 1

Un premier exemple

Voici une suite de nombres : 1,1 2 ,1

4 ,1 8 , 1

16 , 1

32 , . . . , 1 2ⁿ , . . .

Combien vaut 1 +1 2+ 1

4+1 8 + 1

16 + 1

32 +· · ·+ 1

2ⁿ +. . . ?

1

1 2

1 4 1

8 1

16 1 32

1 +1 2+1

4 +1 8 + 1

16 + 1

32 +· · ·+ 1

2ⁿ +. . .= 2

1 2+ 1

4+1 8 + 1

16 + 1

32 +· · ·+ 1

2ⁿ +. . .= 1

Un premier exemple

Voici une suite de nombres : 1,1 2 ,1

4 ,1 8 , 1

16 , 1

32 , . . . , 1 2ⁿ , . . .

Combien vaut 1 +1 2+ 1

4+1 8 + 1

16 + 1

32 +· · ·+ 1

2ⁿ +. . . ?

1

1 2

1 4

1

8 1

16 1 32

1 +1 2+1

4 +1 8 + 1

16 + 1

32 +· · ·+ 1

2ⁿ +. . .= 2

1 2+ 1

4+1 8 + 1

16 + 1

32 +· · ·+ 1

2ⁿ +. . .= 1

Un premier exemple

Voici une suite de nombres : 1,1 2 ,1

4 ,1 8 , 1

16 , 1

32 , . . . , 1 2ⁿ , . . .

Combien vaut 1 +1 2+ 1

4+1 8 + 1

16 + 1

32 +· · ·+ 1

2ⁿ +. . . ?

1

1 2

1 4 1

8

1 16 1 32

1 +1 2+1

4 +1 8 + 1

16 + 1

32 +· · ·+ 1

2ⁿ +. . .= 2

1 2+ 1

4+1 8 + 1

16 + 1

32 +· · ·+ 1

2ⁿ +. . .= 1

Un premier exemple

Voici une suite de nombres : 1,1 2 ,1

4 ,1 8 , 1

16 , 1

32 , . . . , 1 2ⁿ , . . .

Combien vaut 1 +1 2+ 1

4+1 8 + 1

16 + 1

32 +· · ·+ 1

2ⁿ +. . . ?

1

1 2

1 4 1

8 1

16

1 32

1 +1 2+1

4 +1 8 + 1

16 + 1

32 +· · ·+ 1

2ⁿ +. . .= 2

1 2+ 1

4+1 8 + 1

16 + 1

32 +· · ·+ 1

2ⁿ +. . .= 1

Un premier exemple

Voici une suite de nombres : 1,1 2 ,1

4 ,1 8 , 1

16 , 1

32 , . . . , 1 2ⁿ , . . .

Combien vaut 1 +1 2+ 1

4+1 8 + 1

16 + 1

32 +· · ·+ 1

2ⁿ +. . . ?

1

1 2

1 4 1

8 1

16 1 32

1 +1 2+1

4 +1 8 + 1

16 + 1

32 +· · ·+ 1

2ⁿ +. . .= 2

1 2+ 1

4+1 8 + 1

16 + 1

32 +· · ·+ 1

2ⁿ +. . .= 1

Un premier exemple

Voici une suite de nombres : 1,1 2 ,1

4 ,1 8 , 1

16 , 1

32 , . . . , 1 2ⁿ , . . .

Combien vaut 1 +1 2+ 1

4+1 8 + 1

16 + 1

32 +· · ·+ 1

2ⁿ +. . . ?

1

1 2

1 4 1

8 1

16 1 32

1 +1 2+1

4 +1 8 + 1

16 + 1

32 +· · ·+ 1

2ⁿ +. . .= 2

1 2+1

4 +1 8 + 1

16 + 1

32 +· · ·+ 1

2ⁿ +. . .= 1

Un premier exemple

Voici une suite de nombres : 1,1 2 ,1

4 ,1 8 , 1

16 , 1

32 , . . . , 1 2ⁿ , . . .

Combien vaut 1 +1 2+ 1

4+1 8 + 1

16 + 1

32 +· · ·+ 1

2ⁿ +. . . ?

1

1 2

1 4 1

8 1

16 1 32

1 +1 2+1

4 +1 8 + 1

16 + 1

32 +· · ·+ 1

2ⁿ +. . .= 2 1

2+1 4 +1

8 + 1 16 + 1

32 +· · ·+ 1

2ⁿ +. . .= 1

Un deuxi` eme exemple

1 4+ 1

16 + 1

64 +· · ·+ 1

4ⁿ+· · ·=

1 3

Un deuxi` eme exemple

1 4+ 1

16 + 1

64 +· · ·+ 1

4ⁿ+· · ·=

1 3

Source : https://artofproblemsolving.com/wiki/

index.php?title=Proofs without words#Geometric Series

Un deuxi` eme exemple

1 4+ 1

16 + 1

64 +· · ·+ 1

4ⁿ+· · ·= 1 3

Un troisi` eme exemple (un peu plus difficile. . . )

1 3+1

9 + 1

27 +· · ·+ 1

3ⁿ +· · ·=

1 2

Source : https://artofproblemsolving.com/wiki/

index.php?title=Proofs without words#Geometric Series

Un troisi` eme exemple (un peu plus difficile. . . )

1 3+1

9 + 1

27 +· · ·+ 1

3ⁿ +· · ·=

1 2

Un troisi` eme exemple (un peu plus difficile. . . )

1 3+1

9 + 1

27 +· · ·+ 1

3ⁿ +· · ·= 1 2

Source : https://artofproblemsolving.com/wiki/

index.php?title=Proofs without words#Geometric Series

Premier exemple d’´ equation

0,9·x= 1

⇒ x = 1

0,9 = 1,11111111. . . 0,99·x= 1 ⇒ x = 1

0,99 = 1,01010101. . . (1−a)x= 1 ⇒ x = 1

1−a

(1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax

= 1 +a(1 +ax)

= 1 +a+a²x

= 1 +a+a²(1 +ax)

= 1 +a+a²+a³x

=. . .

= 1 +a+a²+a³+a⁴+a⁵+. . . ?

Premier exemple d’´ equation

0,9·x= 1 ⇒ x = 1 0,9

= 1,11111111. . .

0,99·x= 1 ⇒ x = 1

0,99 = 1,01010101. . . (1−a)x= 1 ⇒ x = 1

1−a

(1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax

= 1 +a(1 +ax)

= 1 +a+a²x

= 1 +a+a²(1 +ax)

= 1 +a+a²+a³x

=. . .

= 1 +a+a²+a³+a⁴+a⁵+. . . ?

Premier exemple d’´ equation

0,9·x= 1 ⇒ x = 1

0,9 = 1,11111111. . .

0,99·x= 1 ⇒ x = 1

0,99 = 1,01010101. . . (1−a)x= 1 ⇒ x = 1

1−a

(1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax

= 1 +a(1 +ax)

= 1 +a+a²x

= 1 +a+a²(1 +ax)

= 1 +a+a²+a³x

=. . .

= 1 +a+a²+a³+a⁴+a⁵+. . . ?

Premier exemple d’´ equation

0,9·x= 1 ⇒ x = 1

0,9 = 1,11111111. . . 0,99·x= 1

⇒ x = 1

0,99 = 1,01010101. . . (1−a)x= 1 ⇒ x = 1

1−a

(1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax

= 1 +a(1 +ax)

= 1 +a+a²x

= 1 +a+a²(1 +ax)

= 1 +a+a²+a³x

=. . .

= 1 +a+a²+a³+a⁴+a⁵+. . . ?

Premier exemple d’´ equation

0,9·x= 1 ⇒ x = 1

0,9 = 1,11111111. . . 0,99·x= 1 ⇒ x = 1

0,99

= 1,01010101. . .

(1−a)x= 1 ⇒ x = 1 1−a

(1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax

= 1 +a(1 +ax)

= 1 +a+a²x

= 1 +a+a²(1 +ax)

= 1 +a+a²+a³x

=. . .

= 1 +a+a²+a³+a⁴+a⁵+. . . ?

Premier exemple d’´ equation

0,9·x= 1 ⇒ x = 1

0,9 = 1,11111111. . . 0,99·x= 1 ⇒ x = 1

0,99 = 1,01010101. . .

(1−a)x= 1 ⇒ x = 1 1−a

(1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax

= 1 +a(1 +ax)

= 1 +a+a²x

= 1 +a+a²(1 +ax)

= 1 +a+a²+a³x

=. . .

= 1 +a+a²+a³+a⁴+a⁵+. . . ?

Premier exemple d’´ equation

0,9·x= 1 ⇒ x = 1

0,9 = 1,11111111. . . 0,99·x= 1 ⇒ x = 1

0,99 = 1,01010101. . . (1−a)x= 1

⇒ x = 1 1−a

(1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax

= 1 +a(1 +ax)

= 1 +a+a²x

= 1 +a+a²(1 +ax)

= 1 +a+a²+a³x

=. . .

= 1 +a+a²+a³+a⁴+a⁵+. . . ?

Premier exemple d’´ equation

0,9·x= 1 ⇒ x = 1

0,9 = 1,11111111. . . 0,99·x= 1 ⇒ x = 1

0,99 = 1,01010101. . . (1−a)x= 1 ⇒ x = 1

1−a

(1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax

= 1 +a(1 +ax)

= 1 +a+a²x

= 1 +a+a²(1 +ax)

= 1 +a+a²+a³x

=. . .

= 1 +a+a²+a³+a⁴+a⁵+. . . ?

Premier exemple d’´ equation

0,9·x= 1 ⇒ x = 1

0,9 = 1,11111111. . . 0,99·x= 1 ⇒ x = 1

0,99 = 1,01010101. . . (1−a)x= 1 ⇒ x = 1

1−a

(1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax

= 1 +a(1 +ax)

= 1 +a+a²x

= 1 +a+a²(1 +ax)

= 1 +a+a²+a³x

=. . .

= 1 +a+a²+a³+a⁴+a⁵+. . . ?

Premier exemple d’´ equation

0,9·x= 1 ⇒ x = 1

0,9 = 1,11111111. . . 0,99·x= 1 ⇒ x = 1

0,99 = 1,01010101. . . (1−a)x= 1 ⇒ x = 1

1−a

(1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax

= 1 +a(1 +ax)

= 1 +a+a²x

= 1 +a+a²(1 +ax)

= 1 +a+a²+a³x

=. . .

= 1 +a+a²+a³+a⁴+a⁵+. . . ?

Premier exemple d’´ equation

0,9·x= 1 ⇒ x = 1

0,9 = 1,11111111. . . 0,99·x= 1 ⇒ x = 1

0,99 = 1,01010101. . . (1−a)x= 1 ⇒ x = 1

1−a

(1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax

= 1 +a(1 +ax)

= 1 +a+a²x

= 1 +a+a²(1 +ax)

= 1 +a+a²+a³x

=. . .

= 1 +a+a²+a³+a⁴+a⁵+. . . ?

Premier exemple d’´ equation

0,9·x= 1 ⇒ x = 1

0,9 = 1,11111111. . . 0,99·x= 1 ⇒ x = 1

0,99 = 1,01010101. . . (1−a)x= 1 ⇒ x = 1

1−a

(1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax

= 1 +a(1 +ax)

= 1 +a+a²x

= 1 +a+a²(1 +ax)

= 1 +a+a²+a³x

=. . .

= 1 +a+a²+a³+a⁴+a⁵+. . . ?

Premier exemple d’´ equation

0,9·x= 1 ⇒ x = 1

0,9 = 1,11111111. . . 0,99·x= 1 ⇒ x = 1

0,99 = 1,01010101. . . (1−a)x= 1 ⇒ x = 1

1−a

(1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax

= 1 +a(1 +ax)

= 1 +a+a²x

= 1 +a+a²(1 +ax)

= 1 +a+a²+a³x

=. . .

= 1 +a+a²+a³+a⁴+a⁵+. . . ?

Premier exemple d’´ equation

0,9·x= 1 ⇒ x = 1

0,9 = 1,11111111. . . 0,99·x= 1 ⇒ x = 1

0,99 = 1,01010101. . . (1−a)x= 1 ⇒ x = 1

1−a

(1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax

= 1 +a(1 +ax)

= 1 +a+a²x

= 1 +a+a²(1 +ax)

= 1 +a+a²+a³x

=. . .

= 1 +a+a²+a³+a⁴+a⁵+. . . ?

Conjecture

On a 1

1−a = 1 +a+a²+a³+a⁴+a⁵+. . . (pour certains a)

. a= 0,1⇒ 1

1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .

. a= 0,01 ⇒ 1

1−0,01 = 1,01010101. . .= 1 + 0,01 + 0,0001 +. . .

. a= 1

2 ⇒ 1 1−¹₂ = 1

1 2

= 2 = 1 +1 2 +1

4 +1 8+ 1

16+. . . C’est le premier exemple !

Attention, cela ne marche pas toujours. . .

. a= 1 ⇒ 1

1−1 = 1

0 1 + 1 + 1 +· · ·=∞

. a=−1⇒ 1

1−(−1) = 1

2 1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???

. a= 2 ⇒ 1

1−2 =−1 1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞

Conjecture

On a 1

1−a = 1 +a+a²+a³+a⁴+a⁵+. . . (pour certains a)

. a= 0,1⇒ 1

1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .

. a= 0,01 ⇒ 1

1−0,01 = 1,01010101. . .= 1 + 0,01 + 0,0001 +. . .

. a= 1

2 ⇒ 1 1−¹₂ = 1

1 2

= 2 = 1 +1 2 +1

4 +1 8+ 1

16+. . . C’est le premier exemple !

Attention, cela ne marche pas toujours. . .

. a= 1 ⇒ 1

1−1 = 1

0 1 + 1 + 1 +· · ·=∞

. a=−1⇒ 1

1−(−1) = 1

2 1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???

. a= 2 ⇒ 1

1−2 =−1 1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞

Conjecture

On a 1

1−a = 1 +a+a²+a³+a⁴+a⁵+. . . (pour certains a)

. a= 0,1⇒ 1

1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .

. a= 0,01⇒ 1

1−0,01 = 1,01010101. . .= 1 + 0,01 + 0,0001 +. . .

. a= 1

2 ⇒ 1 1−¹₂ = 1

1 2

= 2 = 1 +1 2 +1

4 +1 8+ 1

16+. . . C’est le premier exemple !

Attention, cela ne marche pas toujours. . .

. a= 1 ⇒ 1

1−1 = 1

0 1 + 1 + 1 +· · ·=∞

. a=−1⇒ 1

1−(−1) = 1

2 1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???

. a= 2 ⇒ 1

1−2 =−1 1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞

Conjecture

On a 1

1−a = 1 +a+a²+a³+a⁴+a⁵+. . . (pour certains a)

. a= 0,1⇒ 1

1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .

. a= 0,01⇒ 1

1−0,01 = 1,01010101. . .= 1 + 0,01 + 0,0001 +. . .

. a= 1

2 ⇒ 1 1−¹₂ = 1

1 2

= 2

= 1 +1 2 +1

4 +1 8+ 1

16+. . . C’est le premier exemple !

Attention, cela ne marche pas toujours. . .

. a= 1 ⇒ 1

1−1 = 1

0 1 + 1 + 1 +· · ·=∞

. a=−1⇒ 1

1−(−1) = 1

2 1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???

. a= 2 ⇒ 1

1−2 =−1 1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞

Conjecture

On a 1

1−a = 1 +a+a²+a³+a⁴+a⁵+. . . (pour certains a)

. a= 0,1⇒ 1

1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .

. a= 0,01⇒ 1

1−0,01 = 1,01010101. . .= 1 + 0,01 + 0,0001 +. . .

. a= 1

2 ⇒ 1 1−¹₂ = 1

1 2

= 2 = 1 +1 2 +1

4 +1 8+ 1

16 +. . . C’est le premier exemple !

Attention, cela ne marche pas toujours. . .

. a= 1 ⇒ 1

1−1 = 1

0 1 + 1 + 1 +· · ·=∞

. a=−1⇒ 1

1−(−1) = 1

2 1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???

. a= 2 ⇒ 1

1−2 =−1 1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞

Conjecture

On a 1

1−a = 1 +a+a²+a³+a⁴+a⁵+. . . (pour certains a)

. a= 0,1⇒ 1

1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .

. a= 0,01⇒ 1

1−0,01 = 1,01010101. . .= 1 + 0,01 + 0,0001 +. . .

. a= 1

2 ⇒ 1 1−¹₂ = 1

1 2

= 2 = 1 +1 2 +1

4 +1 8+ 1

16 +. . . C’est le premier exemple !

Attention, cela ne marche pas toujours. . .

. a= 1 ⇒ 1

1−1 = 1 0

1 + 1 + 1 +· · ·=∞

. a=−1⇒ 1

1−(−1) = 1

2 1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???

. a= 2 ⇒ 1

1−2 =−1 1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞

Conjecture

On a 1

1−a = 1 +a+a²+a³+a⁴+a⁵+. . . (pour certains a)

. a= 0,1⇒ 1

1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .

. a= 0,01⇒ 1

1−0,01 = 1,01010101. . .= 1 + 0,01 + 0,0001 +. . .

. a= 1

2 ⇒ 1 1−¹₂ = 1

1 2

= 2 = 1 +1 2 +1

4 +1 8+ 1

16 +. . . C’est le premier exemple !

Attention, cela ne marche pas toujours. . .

. a= 1 ⇒ 1

1−1 = 1

0 1 + 1 + 1 +· · ·=∞

. a=−1⇒ 1

1−(−1) = 1

2 1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???

. a= 2 ⇒ 1

1−2 =−1 1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞

Conjecture

On a 1

1−a = 1 +a+a²+a³+a⁴+a⁵+. . . (pour certains a)

. a= 0,1⇒ 1

1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .

. a= 0,01⇒ 1

1−0,01 = 1,01010101. . .= 1 + 0,01 + 0,0001 +. . .

. a= 1

2 ⇒ 1 1−¹₂ = 1

1 2

= 2 = 1 +1 2 +1

4 +1 8+ 1

16 +. . . C’est le premier exemple !

Attention, cela ne marche pas toujours. . .

. a= 1 ⇒ 1

1−1 = 1

0 1 + 1 + 1 +· · ·=∞

. a=−1⇒ 1

1−(−1) = 1 2

1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???

. a= 2 ⇒ 1

1−2 =−1 1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞

Conjecture

On a 1

1−a = 1 +a+a²+a³+a⁴+a⁵+. . . (pour certains a)

. a= 0,1⇒ 1

1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .

. a= 0,01⇒ 1

1−0,01 = 1,01010101. . .= 1 + 0,01 + 0,0001 +. . .

. a= 1

2 ⇒ 1 1−¹₂ = 1

1 2

= 2 = 1 +1 2 +1

4 +1 8+ 1

16 +. . . C’est le premier exemple !

Attention, cela ne marche pas toujours. . .

. a= 1 ⇒ 1

1−1 = 1

0 1 + 1 + 1 +· · ·=∞

. a=−1⇒ 1

1−(−1) = 1

2 1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???

. a= 2 ⇒ 1

1−2 =−1 1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞

Conjecture

On a 1

1−a = 1 +a+a²+a³+a⁴+a⁵+. . . (pour certains a)

. a= 0,1⇒ 1

1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .

. a= 0,01⇒ 1

1−0,01 = 1,01010101. . .= 1 + 0,01 + 0,0001 +. . .

. a= 1

2 ⇒ 1 1−¹₂ = 1

1 2

= 2 = 1 +1 2 +1

4 +1 8+ 1

16 +. . . C’est le premier exemple !

Attention, cela ne marche pas toujours. . .

. a= 1 ⇒ 1

1−1 = 1

0 1 + 1 + 1 +· · ·=∞

. a=−1⇒ 1

1−(−1) = 1

2 1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???

. a= 2 ⇒ 1

1−2 =−1

1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞

Conjecture

On a 1

1−a = 1 +a+a²+a³+a⁴+a⁵+. . . (pour certains a)

. a= 0,1⇒ 1

1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .

. a= 0,01⇒ 1

1−0,01 = 1,01010101. . .= 1 + 0,01 + 0,0001 +. . .

. a= 1

2 ⇒ 1 1−¹₂ = 1

1 2

= 2 = 1 +1 2 +1

4 +1 8+ 1

16 +. . . C’est le premier exemple !

Attention, cela ne marche pas toujours. . .

. a= 1 ⇒ 1

1−1 = 1

0 1 + 1 + 1 +· · ·=∞

. a=−1⇒ 1

1−(−1) = 1

2 1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???

La s´ erie g´ eom´ etrique

Th´eor`eme 1

1−a = 1 +a+a²+a³+a⁴+a⁵+. . . ⇔ −1<a<1

D´emonstration.

Soit n>1un entier. Alors

(1−a)(1 +a+a²+· · ·+aⁿ) = 1 +a+a²+· · ·+aⁿ

−a(1 +a+a²+· · ·+aⁿ)

= 1 +a+a²+· · ·+aⁿ

−a−a²− · · · −aⁿ−aⁿ⁺¹

= 1−aⁿ⁺¹

Par cons´equent, sia6= 1, alors1 +a+a²+· · ·+aⁿ= 1−aⁿ⁺¹ 1−a . Oraⁿ⁺¹ →0lorsquen → ∞si et seulement si −1<a<1.

La s´ erie g´ eom´ etrique

Th´eor`eme 1

1−a = 1 +a+a²+a³+a⁴+a⁵+. . . ⇔ −1<a<1 D´emonstration.

Soit n>1un entier. Alors

(1−a)(1 +a+a²+· · ·+aⁿ) = 1 +a+a²+· · ·+aⁿ

−a(1 +a+a²+· · ·+aⁿ)

= 1 +a+a²+· · ·+aⁿ

−a−a²− · · · −aⁿ−aⁿ⁺¹

= 1−aⁿ⁺¹

Par cons´equent, sia6= 1, alors1 +a+a²+· · ·+aⁿ= 1−aⁿ⁺¹ 1−a . Oraⁿ⁺¹ →0lorsquen → ∞si et seulement si −1<a<1.

La s´ erie g´ eom´ etrique

Th´eor`eme 1

1−a = 1 +a+a²+a³+a⁴+a⁵+. . . ⇔ −1<a<1 D´emonstration.

Soit n>1un entier. Alors

(1−a)(1 +a+a²+· · ·+aⁿ) = 1 +a+a²+· · ·+aⁿ

−a(1 +a+a²+· · ·+aⁿ)

= 1 +a+a²+· · ·+aⁿ

−a−a²− · · · −aⁿ−aⁿ⁺¹

= 1−aⁿ⁺¹

Par cons´equent, sia6= 1, alors1 +a+a²+· · ·+aⁿ= 1−aⁿ⁺¹ 1−a . Oraⁿ⁺¹ →0lorsquen → ∞si et seulement si −1<a<1.

La s´ erie g´ eom´ etrique

Th´eor`eme 1

1−a = 1 +a+a²+a³+a⁴+a⁵+. . . ⇔ −1<a<1 D´emonstration.

Soit n>1un entier. Alors

(1−a)(1 +a+a²+· · ·+aⁿ) = 1 +a+a²+· · ·+aⁿ

−a(1 +a+a²+· · ·+aⁿ)

= 1 +a+a²+· · ·+aⁿ

−a−a²− · · · −aⁿ−aⁿ⁺¹

= 1−aⁿ⁺¹

Par cons´equent, sia6= 1, alors1 +a+a²+· · ·+aⁿ= 1−aⁿ⁺¹ 1−a . Oraⁿ⁺¹ →0lorsquen → ∞si et seulement si −1<a<1.

La s´ erie g´ eom´ etrique

Th´eor`eme 1

1−a = 1 +a+a²+a³+a⁴+a⁵+. . . ⇔ −1<a<1 D´emonstration.

Soit n>1un entier. Alors

(1−a)(1 +a+a²+· · ·+aⁿ) = 1 +a+a²+· · ·+aⁿ

−a(1 +a+a²+· · ·+aⁿ)

= 1 +a+a²+· · ·+aⁿ

−a−a²− · · · −aⁿ−aⁿ⁺¹

= 1−aⁿ⁺¹

Par cons´equent, sia6= 1, alors 1 +a+a²+· · ·+aⁿ= 1−aⁿ⁺¹ 1−a .

Oraⁿ⁺¹ →0lorsquen → ∞si et seulement si −1<a<1.

La s´ erie g´ eom´ etrique

Th´eor`eme 1

1−a = 1 +a+a²+a³+a⁴+a⁵+. . . ⇔ −1<a<1 D´emonstration.

Soit n>1un entier. Alors

(1−a)(1 +a+a²+· · ·+aⁿ) = 1 +a+a²+· · ·+aⁿ

−a(1 +a+a²+· · ·+aⁿ)

= 1 +a+a²+· · ·+aⁿ

−a−a²− · · · −aⁿ−aⁿ⁺¹

= 1−aⁿ⁺¹

Par cons´equent, sia6= 1, alors 1 +a+a²+· · ·+aⁿ= 1−aⁿ⁺¹

− .

Un peu de combinatoire

Avec les lettres aet b, on peut ´ecrire

4

mots de2 lettres :

®aa

2a

,ab,ba

²1a,1b

,¯bb

2b

Avec les lettresa etb, on peut ´ecrire

8

mots de3lettres :

°aaa

3a

,aab,aba,baa

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

2a,1b

,abb,bab,bba

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

1a,2b

,bbb

°3b

Avec les lettresa etb, on peut ´ecrire

2ⁿ

mots den lettres Parmi ces 2ⁿ mots, combien ont k lettres aet n−k lettresb ? On note ce nombre

n

k

. Par exemple

3

3

= 1,

3

2

= 2,

2

1

= 2.

Identit´es remarquables :

(a+b)² = (a+b)(a+b) =aa+ab+ba+bb =a²+ 2ab+b² (a+b)³ = (a+b)(a+b)(a+b)

(a+b)³ =aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb (a+b)³ =a³+ 3a²b+ 3ab²+b³

Un peu de combinatoire

Avec les lettres aet b, on peut ´ecrire4 mots de2 lettres : ®aa

2a

,ab,ba

²1a,1b

,¯bb

2b

Avec les lettresa etb, on peut ´ecrire

8

mots de3lettres :

°aaa

3a

,aab,aba,baa

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

2a,1b

,abb,bab,bba

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

1a,2b

,bbb

°3b

Avec les lettresa etb, on peut ´ecrire

2ⁿ

mots den lettres Parmi ces 2ⁿ mots, combien ont k lettres aet n−k lettresb ? On note ce nombre

n

k

. Par exemple

3

3

= 1,

3

2

= 2,

2

1

= 2.

Identit´es remarquables :

(a+b)² = (a+b)(a+b) =aa+ab+ba+bb =a²+ 2ab+b² (a+b)³ = (a+b)(a+b)(a+b)

(a+b)³ =aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb (a+b)³ =a³+ 3a²b+ 3ab²+b³

Un peu de combinatoire

Avec les lettres aet b, on peut ´ecrire4 mots de2 lettres : ®aa

2a

,ab,ba

²1a,1b

,¯bb

2b

Avec les lettresa etb, on peut ´ecrire

8

mots de3 lettres :

°aaa

3a

,aab,aba,baa

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

2a,1b

,abb,bab,bba

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

1a,2b

,bbb

°3b

Avec les lettresa etb, on peut ´ecrire

2ⁿ

mots den lettres Parmi ces 2ⁿ mots, combien ont k lettres aet n−k lettresb ? On note ce nombre

n

k

. Par exemple

3

3

= 1,

3

2

= 2,

2

1

= 2.

Identit´es remarquables :

(a+b)² = (a+b)(a+b) =aa+ab+ba+bb =a²+ 2ab+b² (a+b)³ = (a+b)(a+b)(a+b)

(a+b)³ =aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb (a+b)³ =a³+ 3a²b+ 3ab²+b³

Un peu de combinatoire

Avec les lettres aet b, on peut ´ecrire4 mots de2 lettres : ®aa

2a

,ab,ba

²1a,1b

,¯bb

2b

Avec les lettresa etb, on peut ´ecrire 8mots de3 lettres :

°aaa

3a

,aab,aba,baa

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

2a,1b

,abb,bab,bba

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

1a,2b

,bbb

°3b

Avec les lettresa etb, on peut ´ecrire

2ⁿ

mots den lettres Parmi ces 2ⁿ mots, combien ont k lettres aet n−k lettresb ? On note ce nombre

n

k

. Par exemple

3

3

= 1,

3

2

= 2,

2

1

= 2.

Identit´es remarquables :

(a+b)² = (a+b)(a+b) =aa+ab+ba+bb =a²+ 2ab+b² (a+b)³ = (a+b)(a+b)(a+b)

(a+b)³ =aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb (a+b)³ =a³+ 3a²b+ 3ab²+b³

Un peu de combinatoire

Avec les lettres aet b, on peut ´ecrire4 mots de2 lettres : ®aa

2a

,ab,ba

²1a,1b

,¯bb

2b

Avec les lettresa etb, on peut ´ecrire 8mots de3 lettres :

°aaa

3a

,aab,aba,baa

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

2a,1b

,abb,bab,bba

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

1a,2b

,bbb

°3b

Avec les lettresa etb, on peut ´ecrire

2ⁿ

mots den lettres

Parmi ces 2ⁿ mots, combien ont k lettres aet n−k lettresb ? On note ce nombre

n

k

. Par exemple

3

3

= 1,

3

2

= 2,

2

1

= 2.

Identit´es remarquables :

(a+b)² = (a+b)(a+b) =aa+ab+ba+bb =a²+ 2ab+b² (a+b)³ = (a+b)(a+b)(a+b)

(a+b)³ =aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb (a+b)³ =a³+ 3a²b+ 3ab²+b³

Un peu de combinatoire

Avec les lettres aet b, on peut ´ecrire4 mots de2 lettres : ®aa

2a

,ab,ba

²1a,1b

,¯bb

2b

Avec les lettresa etb, on peut ´ecrire 8mots de3 lettres :

°aaa

3a

,aab,aba,baa

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

2a,1b

,abb,bab,bba

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

1a,2b

,bbb

°3b

Avec les lettresa etb, on peut ´ecrire 2ⁿ mots den lettres

Parmi ces 2ⁿ mots, combien ont k lettres aet n−k lettresb ? On note ce nombre

n

k

. Par exemple

3

3

= 1,

3

2

= 2,

2

1

= 2.

Identit´es remarquables :

(a+b)² = (a+b)(a+b) =aa+ab+ba+bb =a²+ 2ab+b² (a+b)³ = (a+b)(a+b)(a+b)

(a+b)³ =aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb (a+b)³ =a³+ 3a²b+ 3ab²+b³

Un peu de combinatoire

Avec les lettres aet b, on peut ´ecrire4 mots de2 lettres : ®aa

2a

,ab,ba

²1a,1b

,¯bb

2b

Avec les lettresa etb, on peut ´ecrire 8mots de3 lettres :

°aaa

3a

,aab,aba,baa

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

2a,1b

,abb,bab,bba

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

1a,2b

,bbb

°3b

Avec les lettresa etb, on peut ´ecrire 2ⁿ mots den lettres Parmi ces 2ⁿ mots, combien ont k lettres aet n−k lettresb ?

On note ce nombre

n

k

. Par exemple

3

3

= 1,

3

2

= 2,

2

1

= 2.

Identit´es remarquables :

(a+b)² = (a+b)(a+b) =aa+ab+ba+bb =a²+ 2ab+b² (a+b)³ = (a+b)(a+b)(a+b)

(a+b)³ =aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb (a+b)³ =a³+ 3a²b+ 3ab²+b³

Un peu de combinatoire

Avec les lettres aet b, on peut ´ecrire4 mots de2 lettres : ®aa

2a

,ab,ba

²1a,1b

,¯bb

2b

Avec les lettresa etb, on peut ´ecrire 8mots de3 lettres :

°aaa

3a

,aab,aba,baa

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

2a,1b

,abb,bab,bba

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

1a,2b

,bbb

°3b

Avec les lettresa etb, on peut ´ecrire 2ⁿ mots den lettres Parmi ces 2ⁿ mots, combien ont k lettres aet n−k lettresb ? On note ce nombre

n

k

. Par exemple

3

3

= 1,

3

2

= 2,

2

1

= 2.

Identit´es remarquables :

(a+b)² = (a+b)(a+b) =aa+ab+ba+bb =a²+ 2ab+b² (a+b)³ = (a+b)(a+b)(a+b)

(a+b)³ =aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb (a+b)³ =a³+ 3a²b+ 3ab²+b³

Un peu de combinatoire

Avec les lettres aet b, on peut ´ecrire4 mots de2 lettres : ®aa

2a

,ab,ba

²1a,1b

,¯bb

2b

Avec les lettresa etb, on peut ´ecrire 8mots de3 lettres :

°aaa

3a

,aab,aba,baa

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

2a,1b

,abb,bab,bba

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

1a,2b

,bbb

°3b

Avec les lettresa etb, on peut ´ecrire 2ⁿ mots den lettres Parmi ces 2ⁿ mots, combien ont k lettres aet n−k lettresb ? On note ce nombre

n

k

. Par exemple

3

3

= 1,

3

2

= 2,

2

1

= 2.

Identit´es remarquables : (a+b)² =

(a+b)(a+b) =aa+ab+ba+bb =a²+ 2ab+b² (a+b)³ = (a+b)(a+b)(a+b)

(a+b)³ =aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb (a+b)³ =a³+ 3a²b+ 3ab²+b³

Un peu de combinatoire

Avec les lettres aet b, on peut ´ecrire4 mots de2 lettres : ®aa

2a

,ab,ba

²1a,1b

,¯bb

2b

Avec les lettresa etb, on peut ´ecrire 8mots de3 lettres :

°aaa

3a

,aab,aba,baa

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

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,abb,bab,bba

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

1a,2b

,bbb

°3b

Avec les lettresa etb, on peut ´ecrire 2ⁿ mots den lettres Parmi ces 2ⁿ mots, combien ont k lettres aet n−k lettresb ? On note ce nombre

n

k

. Par exemple

3

3

= 1,

3

2

= 2,

2

1

= 2.

Identit´es remarquables :

(a+b)² = (a+b)(a+b) =aa+ab+ba+bb =a²+ 2ab+b²

(a+b)³ = (a+b)(a+b)(a+b)

(a+b)³ =aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb (a+b)³ =a³+ 3a²b+ 3ab²+b³

Un peu de combinatoire

Avec les lettres aet b, on peut ´ecrire4 mots de2 lettres : ®aa

2a

,ab,ba

²1a,1b

,¯bb

2b

Avec les lettresa etb, on peut ´ecrire 8mots de3 lettres :

°aaa

3a

,aab,aba,baa

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

2a,1b

,abb,bab,bba

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

1a,2b

,bbb

°3b

Avec les lettresa etb, on peut ´ecrire 2ⁿ mots den lettres Parmi ces 2ⁿ mots, combien ont k lettres aet n−k lettresb ? On note ce nombre

n

k

. Par exemple

3

3

= 1,

3

2

= 2,

2

1

= 2.

Identit´es remarquables :

(a+b)² = (a+b)(a+b) =aa+ab+ba+bb =a²+ 2ab+b² (a+b)³ =

(a+b)(a+b)(a+b)

(a+b)³ =aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb (a+b)³ =a³+ 3a²b+ 3ab²+b³

Un peu de combinatoire

Avec les lettres aet b, on peut ´ecrire4 mots de2 lettres : ®aa

2a

,ab,ba

²1a,1b

,¯bb

2b

Avec les lettresa etb, on peut ´ecrire 8mots de3 lettres :

°aaa

3a

,aab,aba,baa

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

2a,1b

,abb,bab,bba

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

1a,2b

,bbb

°3b

Avec les lettresa etb, on peut ´ecrire 2ⁿ mots den lettres Parmi ces 2ⁿ mots, combien ont k lettres aet n−k lettresb ? On note ce nombre

n

k

. Par exemple

3

3

= 1,

3

2

= 2,

2

1

= 2.

Identit´es remarquables :

(a+b)² = (a+b)(a+b) =aa+ab+ba+bb =a²+ 2ab+b² (a+b)³ = (a+b)(a+b)(a+b)

Les coefficients binomiaux

Mots avec les 3 lettres a,a,b : Il y a 3 mani`eres de placer a.

Pour chacune de ces 3 mani`eres, il y a 2 choix pour placera, puis 1 choix pour placer b. Soit 6 mots en tout.

Sia=a, il reste ⁶₂ = 3 mots.

a

a

a

aab aba aab baa aba baa

Th´eor`eme

n

k

= n(n−1). . .(n−k+ 1)

k(k−1). . .2·1

Exemples :

3

2

= 3·2 2·1 = 3

4

2

= 4·3 2·1 = 6

6

3

= 6·5·4 3·2·1 = 20

Les coefficients binomiaux

Mots avec les 3 lettres a,a,b : Il y a 3 mani`eres de placer a.

Pour chacune de ces 3 mani`eres, il y a 2 choix pour placera, puis 1 choix pour placer b. Soit 6 mots en tout.

Sia=a, il reste ⁶₂ = 3 mots.

a

a

a

aab aba aab baa aba baa

Th´eor`eme

n

k

= n(n−1). . .(n−k+ 1)

k(k−1). . .2·1

Exemples :

3

2

= 3·2 2·1 = 3

4

2

= 4·3 2·1 = 6

6

3

= 6·5·4 3·2·1 = 20

Les coefficients binomiaux

Mots avec les 3 lettres a,a,b : Il y a 3 mani`eres de placer a.

Pour chacune de ces 3 mani`eres, il y a 2 choix pour placera, puis 1 choix pour placer b. Soit 6 mots en tout.

Sia=a, il reste ⁶₂ = 3 mots.

a

a

a

aab aba aab baa aba baa

Th´eor`eme

n

k

= n(n−1). . .(n−k+ 1)

k(k−1). . .2·1

Exemples :

3

2

= 3·2 2·1 = 3

4

2

= 4·3 2·1 = 6

6

3

= 6·5·4 3·2·1 = 20

Les coefficients binomiaux

Mots avec les 3 lettres a,a,b : Il y a 3 mani`eres de placer a.

Pour chacune de ces 3 mani`eres, il y a 2 choix pour placera, puis 1 choix pour placer b. Soit 6 mots en tout.

Sia=a, il reste ⁶₂ = 3 mots.

a

a

a

aab aba aab baa aba baa

Th´eor`eme

n

k

= n(n−1). . .(n−k+ 1)

k(k−1). . .2·1

Exemples :

3

2

= 3·2 2·1 = 3

4

2

= 4·3 2·1 = 6

6

3

= 6·5·4 3·2·1 = 20

Les coefficients binomiaux

Mots avec les 3 lettres a,a,b : Il y a 3 mani`eres de placer a.

Pour chacune de ces 3 mani`eres, il y a 2 choix pour placera, puis 1 choix pour placer b. Soit 6 mots en tout.

Sia=a, il reste ⁶₂ = 3 mots.

a

a

a

aab aba aab baa aba baa

Th´eor`eme

n

k

= n(n−1). . .(n−k+ 1)

k(k−1). . .2·1

Exemples :

3

2

= 3·2 2·1 = 3

4

2

= 4·3 2·1 = 6

6

3

= 6·5·4 3·2·1 = 20

Le triangle de Pascal

n\k 0 1 2 3 4 5 6 . . .

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20 15 6 1

. . .

(a+b)⁴ =

a⁴+ 4a³b+ 6a²b²+ 4ab³+b⁴

(a+b)⁵ =

a⁵+ 5a⁴b+ 10a³b²+ 10a²b³+ 5ab⁴+b⁵

(a+b)⁶ =

a⁶+ 6a⁵b+ 15a⁴b²+ 20a³b³+ 15a²b⁴+ 6ab⁵+b⁶

Le triangle de Pascal

n\k 0 1 2 3 4 5 6 . . .

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20 15 6 1

. . .

(a+b)⁴ =

a⁴+ 4a³b+ 6a²b²+ 4ab³+b⁴

(a+b)⁵ =

a⁵+ 5a⁴b+ 10a³b²+ 10a²b³+ 5ab⁴+b⁵

(a+b)⁶ =

a⁶+ 6a⁵b+ 15a⁴b²+ 20a³b³+ 15a²b⁴+ 6ab⁵+b⁶

Le triangle de Pascal

n\k 0 1 2 3 4 5 6 . . .

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20 15 6 1

. . .

(a+b)⁴ =a⁴+ 4a³b+ 6a²b²+ 4ab³+b⁴ (a+b)⁵ =

a⁵+ 5a⁴b+ 10a³b²+ 10a²b³+ 5ab⁴+b⁵

(a+b)⁶ =

a⁶+ 6a⁵b+ 15a⁴b²+ 20a³b³+ 15a²b⁴+ 6ab⁵+b⁶

Le triangle de Pascal

n\k 0 1 2 3 4 5 6 . . .

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20 15 6 1

. . .

(a+b)⁴ =a⁴+ 4a³b+ 6a²b²+ 4ab³+b⁴

(a+b)⁵ =a⁵+ 5a⁴b+ 10a³b²+ 10a²b³+ 5ab⁴+b⁵ (a+b)⁶ =

a⁶+ 6a⁵b+ 15a⁴b²+ 20a³b³+ 15a²b⁴+ 6ab⁵+b⁶

Le triangle de Pascal

n\k 0 1 2 3 4 5 6 . . .

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20 15 6 1

. . .

(a+b)⁴ =a⁴+ 4a³b+ 6a²b²+ 4ab³+b⁴

(a+b)⁵ =a⁵+ 5a⁴b+ 10a³b²+ 10a²b³+ 5ab⁴+b⁵

(a+b)⁶ =a⁶+ 6a⁵b+ 15a⁴b²+ 20a³b³+ 15a²b⁴+ 6ab⁵+b⁶

Une ´ equation du second degr´ e

Consid´erons l’´equation

ax²−x+ 1 = 0

Th´eor`eme

Soit l’´equation du second degr´e

ax²+bx+c = 0

On suppose a6= 0. Soit∆ =b²−4ac lediscriminant. Alors

. si ∆>0, l’´equation admet deux solutions r´eelles(−b±√

∆)/(2a);

. si ∆ = 0, l’´equation admet une unique solution −b/(2a);

. si ∆<0, l’´equation n’admet pas de solution r´eelle.

Dans notre cas, b=−1,c = 1 et donc ∆ = 1−4a. Donc si a< ¹₄, l’´equation admet 2 solutions r´eelles

1±√ 1−4a 2a

Une ´ equation du second degr´ e

Consid´erons l’´equation

ax²−x+ 1 = 0 Th´eor`eme

Soit l’´equation du second degr´e

ax²+bx+c = 0

On suppose a6= 0. Soit∆ =b²−4ac lediscriminant. Alors

. si ∆>0, l’´equation admet deux solutions r´eelles(−b±√

∆)/(2a);

. si ∆ = 0, l’´equation admet une unique solution −b/(2a);

. si ∆<0, l’´equation n’admet pas de solution r´eelle.

Dans notre cas, b=−1,c = 1 et donc ∆ = 1−4a. Donc si a< ¹₄, l’´equation admet 2 solutions r´eelles

1±√ 1−4a 2a

Une ´ equation du second degr´ e

Consid´erons l’´equation

ax²−x+ 1 = 0 Th´eor`eme

Soit l’´equation du second degr´e

ax²+bx+c = 0

On suppose a6= 0. Soit∆ =b²−4ac lediscriminant. Alors

. si ∆>0, l’´equation admet deux solutions r´eelles(−b±√

∆)/(2a);

. si ∆ = 0, l’´equation admet une unique solution −b/(2a);

. si ∆<0, l’´equation n’admet pas de solution r´eelle.

Dans notre cas, b=−1,c = 1 et donc ∆ = 1−4a.

Donc si a< ¹₄, l’´equation admet 2 solutions r´eelles 1±√

1−4a 2a

Une ´ equation du second degr´ e

Consid´erons l’´equation

ax²−x+ 1 = 0 Th´eor`eme

Soit l’´equation du second degr´e

ax²+bx+c = 0

On suppose a6= 0. Soit∆ =b²−4ac lediscriminant. Alors

. si ∆>0, l’´equation admet deux solutions r´eelles(−b±√

∆)/(2a);

. si ∆ = 0, l’´equation admet une unique solution −b/(2a);

. si ∆<0, l’´equation n’admet pas de solution r´eelle.

Dans notre cas, b=−1,c = 1 et donc ∆ = 1−4a.

Donc si a< ¹₄, l’´equation admet 2 solutions r´eelles

√

Solution sous forme de s´ erie

ax²−x+ 1 = 0 ⇔ x= 1 +ax²

= 1 +a(1 +ax²)²

= 1 +a(1 + 2ax²+a²x⁴)

= 1 +a+ 2a²x²+a³x⁴

= 1 +a+ 2a²(1 +ax²)²+a³(1 +ax²)⁴

= 1 +a+ 2a²+ (1 + 4x²)a³+ (4x²+ 2x⁴)a⁴+. . .

= 1 +a+ 2a²+ 5a³+ 14a⁴+. . .

Remarque : Cette s´erie correspond `a la solution ¹⁻

√1−4a 2a

Question :

Y a-t-il un moyen plus simple de d´eterminer les coefficients

1, 1, 2, 5, 14, . . . ?

Solution sous forme de s´ erie

ax²−x+ 1 = 0 ⇔ x= 1 +ax²

= 1 +a(1 +ax²)²

= 1 +a(1 + 2ax²+a²x⁴)

= 1 +a+ 2a²x²+a³x⁴

= 1 +a+ 2a²(1 +ax²)²+a³(1 +ax²)⁴

= 1 +a+ 2a²+ (1 + 4x²)a³+ (4x²+ 2x⁴)a⁴+. . .

= 1 +a+ 2a²+ 5a³+ 14a⁴+. . .

Remarque : Cette s´erie correspond `a la solution ¹⁻

√1−4a 2a

Question :

Y a-t-il un moyen plus simple de d´eterminer les coefficients

1, 1, 2, 5, 14, . . . ?

Solution sous forme de s´ erie

ax²−x+ 1 = 0 ⇔ x= 1 +ax²

= 1 +a(1 +ax²)²

= 1 +a(1 + 2ax²+a²x⁴)

= 1 +a+ 2a²x²+a³x⁴

= 1 +a+ 2a²(1 +ax²)²+a³(1 +ax²)⁴

= 1 +a+ 2a²+ (1 + 4x²)a³+ (4x²+ 2x⁴)a⁴+. . .

= 1 +a+ 2a²+ 5a³+ 14a⁴+. . .

Remarque : Cette s´erie correspond `a la solution ¹⁻

√1−4a 2a

Question :

Y a-t-il un moyen plus simple de d´eterminer les coefficients

1, 1, 2, 5, 14, . . . ?

Solution sous forme de s´ erie

ax²−x+ 1 = 0 ⇔ x= 1 +ax²

= 1 +a(1 +ax²)²

= 1 +a(1 + 2ax²+a²x⁴)

= 1 +a+ 2a²x²+a³x⁴

= 1 +a+ 2a²(1 +ax²)²+a³(1 +ax²)⁴

= 1 +a+ 2a²+ (1 + 4x²)a³+ (4x²+ 2x⁴)a⁴+. . .

= 1 +a+ 2a²+ 5a³+ 14a⁴+. . .

Remarque : Cette s´erie correspond `a la solution ¹⁻

√1−4a 2a

Question :

Y a-t-il un moyen plus simple de d´eterminer les coefficients

1, 1, 2, 5, 14, . . . ?