Chapitre n°7 : calcul littéral, réduction; développement

Chapitre n°7 : calcul littéral, réduction; développement

I. Calcul littéral

1/ Rappels

• Nombres relatifs et opération

–59=4 ; –8–12=–20 ; 6–3=3 ; –1520=5 –15–7=–22 ; –189=–9 ; 29–13=16 ; –8–19=–27

–7×–2=14 ; –8×8=–64 ; 4×–11=–44

–8×5=–40 ; 5×–9=–45 ; –1×–1=1

• Priorités opératoires A=7–2×5

A=7–10 A=–3

B=8–7–48

B=8–7×4 B=8–28 B=–20

C=–2––18

C=–2–7 C=–9

D=7–12×–5

D=–5×–5

D=25 D=25

• Simplifications d'écriture

7×x5=7x5 ; 8×x=8x ; a×b=ab ; 7x×x9=7xx9

Lorsqu'il y a un symbole ou une lettre, on peut enlever le ×. Au lieu de dire « fois » à l'oral, on dira « facteur de.. » ou rien du tout :

• –3y se dit « moins trois y »

• 7x2 se dit « sept facteur de x plus 2 »

2/ Réduire une somme

Quelques exemples A=8x5x

A=13x B=15y3x

On ne peut pas calculer et on laisse comme c'est ! C=–7x5x

C=–2x car –75=–2

D=–3x²5x² « On rappelle que x²=x×x » D=2x²

E=5x –8x² On ne peut pas ! Définition

Réduire une somme, c'est tout simplement calculer les termes de même nature.

Remarque

Par termes de même nature, il faut comprendre :

• les x avec les x : –2x7x=5x ;

• les x² avec les x² : 5x²–7x²=–2x² ;

• les nombres avec les nombres : –815=7

Réduire des sommes plus complexes A=–2x²7x –5x²–3x8

Il y a cinq termes : –2x², 7x, –5x², –3x et 8 .

Les termes de même nature sont :

• –2x² et –5x² ;

• 7x et –3x ;

• 8 (seul).

A= –2x²–5x² 7x –3x 8 A=–7x²4x8 (stop !)

B=–58x12–9x²12x – x² B= –512 8x12x –9x²– x² B=720x –10x²

B=–10x²20x7 (on ordonne)

3/ Réduire un produit

Exemples A=7x×3x A=7×x×3×x A=7×3×x×x A=21x²

B=x×9x B=9x²

C=–2x×–5x C=10x²

D=–9y×5y D=–45y²

Remarque

Puisqu'on a des produits, on utilise les règles de signes.

Explication

Réduire un produit, c'est tout simplement calculer les multiplications grâce :

• aux tables,

• aux règles de signes,

• à x×x=x²

• etc.

4/ Développement

Activité/Exemples

• Avec des nombres...

Calcule 57×99 de tête. Pour calculer 99 fois 57 , on peut calculer 100 fois 57 puis retrancher 1 fois 57 :

99×57=100×57–1×57=5700–57=5643 .

• Quelques remarques...

Pour effectuer ce calcul, on a transformer le produit en une somme.

99×57=100–1×57=100×57–1×57=

• Développe...

1287×15=128×157×15 =...

15,218,7×7=15,2×718,7×7 =....

15×4749=15×4715×49 =....

Définition

Développer un produit, c'est le transformer en une somme.

Propriété : « Formule de développement simple » k, a et b

k×ab=k×ak×b ou encore k×a – b=k×a – k×b Remarques

• On a distribué le k sur le a et le b.

• Distribuer c'est multiplier !!!

Exemples Développe :

A=–7×2x5

A=–7×2x –7×5

A=–14x –35

Application : signe moins ou plus devant une parenthèse A=7–5x –9

A=7–1×5x –9 « On distribue le –1 » A=7–1×5x –1×–9

A=7–5x9 A=–5x16

B=–9x –6x12 B=–9x –1×6x12

B=–9x –1×6x–1×12

B=–9x –6x –12 B=–15x –12

On remarque qu'on peut sauter des étapes en utilisant la règle des signes...

Appliquons cette méthode tout de suite : C=9x –2x –89x²

C=9x –2x8–9x² On remarque que tous les termes entre parenthèses changent de signe.

C=7x8–9x²

Exemples types

A=7–5x –68x–6x7

A=7×–5x7×–68x×–6x8x×7 A=–35x –42–48x²56x

A=21x –42–48x² A=–48x²21x –42

B=4x–95x–x²–7x8

B=4x×–94x×5x – x²7x –8 B=–36x20x²– x²7x –8

B=19x²–29x –8 (à savoir refaire !!!!)

5/ Double développement

Exemple/Activité

On considère A=2x85x –3. Ce développement se fait en deux étapes :

• on distribue 2x sur 5x –3,

• on distribue 8 sur 5x –3. Cela donne :

A=2x×5x2x×–3 8×5x8×–3

A=10x²–6x40x –24 A=10x²34x –24

Formule du développement double

a, b, c et d représentent quatre nombres.

• abcd=acadbcbd

6/ Exemples de développement « plus complexe »

Exemple type 1

A=–2x2x –2–2x22–2x Il y a deux parties à développer :

• –2x3x –7 avec kab=

• –5x27–8x avec abcd=

A=–2x×3x –2x×–7 –5x×7–5x×–8x2×72×–8x A=–6x²14x –35x40x²14–16x

A=34x²–37x14

A'=–7x8–9x7–6x–5x –3

A'=–7x×8–7x×–9x 7×–5x7×–3–6x×–5x–6x×–3

A'=–56x63x² –35x –2130x²18x A'=93x²–73x –21

II. Factorisation

Activité

Calcule 56,125×9356,125×7 de tête !

On a : 56,125×9356,125×7=56,125×937=56,125×100=5612,5

Lorsqu'on passe de 56,125×9356,125×7 à 56,125×937, on passe d'une somme à un produit. C'est une factorisation !

Complète k×ak×b=?

On a k×ak×b=k×ab ! C'est presque la formule du développement, sauf que l'on a échangé les membres !

Méthode

Factorise A=–7x8x² à l'aide de la formule kakb=kab

• 1^ère étape : « On décompose le plus possible pour faire apparaître un facteur commun »

A=–7×x8×x×x A=x×–7x×8x

• 2^ème étape : « On identifie k, a et b » k=x ; a=–7 et b=8x

• 3^ème étape : « On factorise sous la forme k×ab » A=x×–78x

A=x–78x

Définition

Factoriser une somme, c'est la transformer en produit.

Pour lundi 7 mars

• Apprendre et relire le cours

• Exercice : factorise B=12x²–5x ; C=7x49 ; D=–7x²14x

• vasthi : acheter cahier+recopier chapitre 7

• 2h

Pour mardi 8 mars

• Contrôle d'une heure