CHAPITRE 12 : CALCUL LITTÉRAL
Objectifs :
5.240 [S] Utiliser une expression littérale.
5.241 [–] Produire une expression littérale.
5.242 [S] Connaître les conventions d'écriture pour simplifier une expression littérale.
5.243 [S] Développer en utilisant k(a+b)=ka+kb et k(a–b)=ka–kb sur des exemples littéraux.
5.244 [S] Factoriser en utilisant ka+kb=k(a+b) et ka–kb=k(a–b) sur des exemples littéraux.
5.245 [S] Tester si une égalité comportant une ou deux inconnues est vraie pour des valeurs numériques données.
I.- CONVENTIONS
Définition : Une expression littérale est une expression mathématique contenant une ou plusieurs lettres qui désignent des nombres.
Les expressions littérales peuvent servir à écrire des formules, à traduire un programme de calcul ou l'énoncé d'un problème.
Exemples :
• formule d'aire : l'aire d'un rectangle de longueur L et de largeur l est donnée par l'expression L×l.
• Programme de calcul : « je choisis un nombre a. Je le multiplie par 4. J'ajoute 9 au produit obtenu. » Ce programme de calcul peut être traduit par l'expression a × 4 + 9.
• Problème de longueur : sur la figure ci-dessous, la longueur AB est donnée par l'expression 7,5 + 2 × x.
Convention : Pour alléger l'écriture d'une expression littérale, on peut supprimer le signe × devant une lettre ou une parenthèse.
Exemples :
a×b peut s'écrire ab ; 3×x peut s'écrire 3x ; 7×(x + 5) peut s'écrire 7(x +5).
Propriété : Pour tout nombre a, on peut écrire : a × a = a² (qui se lit « a au carré ») a × a × a = a3 (qui se lit « a au cube »).
Exemples :
1² = 1 × 1 = 1 ; 4² = 4 × 4 = 16 ; 23 = 2 × 2 × 2 = 8
Attention à ne pas confondre a² et 2a : a² = a × a, alors que 2a = 2 × a = a + a.
II.- DISTRIBUTIVITÉ DE LA MULTIPLICATION PAR RAPPORT À L'ADDITION ET LA SOUSTRACTION.
Propriété : Pour tous les nombres k, a et b, on a :
k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a – b) = k × a – k × b On dit que la multiplication est distributive par rapport à l'addition et à la soustraction.
x
A B
7,5 cm
Exemples :
Développer l'expression suivante : A = 3(x + 7)
On replace le signe × dans l'expression : A = 3×(x + 7) On distribue le facteur 3 aux termes x et 7 : A = 3 × x + 3 × 7 On calcule et on simplifie l'expression : A = 3x + 21 Factoriser les expressions suivantes : B = 5x + 35 et C = x² + 3x On replace le signe × dans l'expression : B = 5 × x + 35 On fait apparaître le facteur commun 5 : B = 5 × x + 5 × 7 On met en facteur le nombre 5 : B = 5 × (x + 7)
On simplifie l'expression : B = 5(x + 7)
On replace le signe × dans l'expression et on repère le facteur commun x : C = x × x + 3 × x On met en facteur la lettre x puis on simplifie : C = x (x + 3)
III.- TEST D'UNE ÉGALITÉ
Définition : Une égalité est une écriture constituée de deux expressions séparées par un signe =.
Une égalité possède deux membres. Pour qu'une égalité soit vraie, les deux membres doivent avoir la même valeur, sinon l'égalité est fausse.
Exemple : 4 + 5 = 3 × 3
membre de gauche membre de droite
Les deux membres de l'égalité sont égaux à 9. Donc l'égalité est vraie.
Définition : Tester une égalité entre deux expressions littérales, c'est remplacer les lettres par des nombres pour savoir si cette égalité est vraie ou fausse pour ces nombres.
Exemple : L'égalité 5x – 3 = 6 + 2x est-elle vraie pour x = 3 ? On calcule séparément les deux membres en remplaçant x par 3 :
d'une part : d'autre part :
5x – 3 = 5 × x – 3 6 + 2x = 6 + 2 × x
= 5 × 3 – 3 = 6 + 2 × 3
= 15 – 3 = 6 + 6
= 12 = 12
Les deux membres de l'égalité valent 12 pour x = 3, donc l'égalité est vraie pour x = 3.
Exemple : L'égalité 4x + 5 = 19 – 2x est-elle vraie pour x = 2 ? On calcule séparément les deux membres en remplaçant x par 3 :
d'une part : d'autre part :
4x + 5 = 4 × x + 5 19 – 2x = 19 – 2 × x
= 4 × 2 + 5 = 19 – 2 × 2
= 8 + 5 = 19 – 4
= 13 = 15
Les deux membres de l'égalité n'ont pas la même valeur, donc l'égalité est fausse pour x = 2.
