INTRODUCTION : Quelques d

(1)

1

SURVEILLANCE DES SYTEMES SURVEILLANCE DES SYTEMES

DE PRODUCTION DE PRODUCTION

Belkacem OULD BOUAMAMA Professeur : Ecole Polytechnique de Lille (poltech-lille.fr)

Laboratoire d'Automatique, Génie Informatique et Signal (LAGIS - UMR CNRS 8021) Coordonnées :

[email protected]

Tel: (33) (0) 3 28 76 73 97 , mobile : (33) (0) 6 67 12 30 20 , Bureau F014 Polytech’Lille Pages personnelles :

http://rimbaut.univ-lille1.fr/twiki/bin/view/Main/BelkacemBouamama

MASTER AGII

Chap1/ 2

Prof. Belkacem Ould BOUAMAMA, Polytech’Lille, LAGIS UMR CNRS 8146

PLAN PLAN

Â Introduction : place de la surveillance dans un système de supervision Â Synthèse des méthodes de surveillance

Â Analyse structurelle et graphe biparti

Â Redondance d’informations pour la surveillace Â Synthèse d’observateurs pour la surveillance Â Décisions statistiques

Â Les bond graphs pour la surveillace Â Conception d’un système des supervision.

Â Conclusions et Bibliographie

(2)

3

1. INTRODUCTION 1. INTRODUCTION

Chap1/ 4

INTRODUCTION : Quelques d

INTRODUCTION : Quelques dé éfinitions finitions

Â

Processus industriel

¾Assemblage fonctionnel de composants technologiques associés les uns aux autres de façon à former une entité unique accomplissant ou pouvant accomplir une activité clairement définie

ÂArchitecture du système

¾Modèle orienté composant qui décrit directement le processus industriel comme un réseau des composants industriels.

ÂP&ID (Piping and Instrumentation Diagrams )

¾Plans des Instruments Détaillés ou diagrammes d'acheminement et d'instrumentation. utilisé pour une description visuelle de l'architecture du processus (utilise norme ISO)

ÂFonctionnement normal

¾Comportement appartenant à un ensemble de comportements nominaux pour lesquels le système a été conçu

(3)

Chap1/ 5

INTRODUCTION : Quelques d

INTRODUCTION : Quelques dé éfinitions finitions

Â

Défaillance

¾Modification suffisante et permanente des caractéristiques physiques d'un composant pour qu'une fonction requise ne puisse plus être assurée dans les conditions fixées.

Défaillances naissantes

Ayant un caractère passager

Constantes

Evoluant dans le temps

Catastrophique

ÂFaute (ou défaut)

¾Déviation d'une variable observée ou d'un paramètre calculé par rapport à sa valeur fixée dans les caractéristiques attendues du processus lui-même, des capteurs, des actionneurs ou de tout autre équipement.

Chap1/ 6

INTRODUCTION : Quelques d

INTRODUCTION : Quelques dé éfinitions finitions

ÂDéfauts capteur.

¾ Se caractérisent par un écart entre la valeur réelle de la grandeur et sa mesure.

Â

Défauts d'actionneurs.

¾ Ils se traduisent par une incohérence entre les commandes et la sortie (la pompe délivre un débit incohérent avec sa caractéristique hydraulique).

Â

Défauts du processus physique.

¾ Défaillances dues à des modifications de la structure (fuite, rupture d'un organe,...) ou des paramètres du modèle (encrassement d'un tube d'un four, bouchage d’un tube, ..)

(4)

Chap1/ 7

INTRODUCTION : Quelques d

INTRODUCTION : Quelques dé éfinitions finitions

ÂDéfauts du système (ou de l'algorithme) de commande.

¾Ils se caractérisent par un écart entre la valeur réelle de la sortie du contrôleur (selon l'algorithme implémenté) et sa mesure

ÂUne panne

¾Interruption permanente de la capacité du système à réaliser sa fonction requise.

Chap1/ 8

INTRODUCTION : Quelques d

INTRODUCTION : Quelques dé éfinitions finitions

ÂSymptômes

¾Traductions d'un changement d'un comportement d'une variable détectée par comparaison à des valeurs de référence.

ÂContraintes

¾Limitations imposées par la nature (lois physiques) ou l'opérateur.

ÂRésidu ou indicateur de faute

¾ exprime l'incohérence entre les informations disponibles et les informations théoriques fournies par un modèle

ÂErreur

¾Ecart entre une valeur mesurée ou estimée d'une variable et la vraie valeur spécifiée par un capteur étalon ou jugée (par un modèle) théoriquement correcte.

ÂSpécifications (cahier des charges)

¾Objectifs que doit atteindre le système de surveillance

(5)

Chap1/ 9

INTRODUCTION : Historique INTRODUCTION : Historique

Â Depuis 1840: Apparition de l’automatique

¾Tâches : améliorer la qualité des produits finis, la sécurité et le rendement des unités en implantant des commandes performantes

Â Depuis 1980, nouveau challenge : Supervision

¾Rôles : Fournir à l'opérateur humain une assistance dans ses tâches urgentes de gestion des situations d'alarmes pour l'augmentation de la fiabilité, de la disponibilité et de la sûreté de fonctionnement du processus.

ÂApparition de l’automatisation intégrée

¾Commande des systèmes de production et sûreté de fonctionnement, maintenance, gestion technique, diagnostic de fonctionnement

Chap1/ 10

INTRODUCTION : Automatisation int

INTRODUCTION : Automatisation inté égr gré ée e

Supervision

Monitoring

Regulation

Instrumentation

Entrée Sortie

Aide à la conduite planification, diagnostic interface homme machine

Suivi de l’état du processus Visualisation

Commande logique, régulation Optimisation

Choix et implémentation des capteurs et actionneurs

Observations Décisions

Niveau 3

Niveau 2

Niveau 1 Niveau 0

(6)

Chap1/ 11

What What is is a supervision ? a supervision ?

Â Supervision :

¾Set of tools and methods used to operate an industrial process in normal situation as well as in the presence of failures.

ÂActivities concerned with the supervision :

¾Fault Detection and Isolation (FDI) in the diagnosis level, and the Fault Tolerant Control (FTC) through necessary reconfiguration, whenever possible, in the fault accommodation level.

SUPERVISION SUPERVISION

FDI : How to detect and to FDI : How to detect and to

isolate a faults ? isolate a faults ?

FTC : How to continue to FTC : How to continue to

control a process ? control a process ?

Chap1/ 12

Objective

Objective of of the the supervision supervision

Â

Alarms appear

Â

Even minor problems can rapidly escalate

Â

Long reaction time

before decision

Something goes wrong...

•Equipment failure

•Process drift

•Human error Everything is OK

but changing... ÂOptimisation of the

operations

(7)

Chap1/ 13

Control

Control andand diagnosisdiagnosisTasksTasks

ÂMany advances in Cont.

Eng. BUT

¾ systems do not render the services they were designed for

¾ systems run out of control energy and material waste, loss of production, damage to the environment, loss of human lives

ÂMalfunction causes

¾design errors, implementation errors, human operator errors, wear, aging, environmental aggressions

Chap1/ 14

FDI Purpose FDI Purpose

Â detect malfunctions in real time, as soon and as surely as possible,

Â find their root cause, by isolating the system component(s) whose operation mode is not nominal

Â diagnose the fault by identifying some fault model

(8)

Chap1/ 15

Fault

Fault ToleranceTolerance (FT) system(FT) system underunderfaultfaultsituationssituations

Â Two approches

¾passive approach (robust to faults)

¾ active approach

(fault accommodation / system reconfiguration / objective reconfiguration)

ÂAnalysis of fault tolerance :

¾is a given system, in a given fault situation, still able to achieve its objective(s) ? Â

Design of fault tolerance :

¾provide the system with the hardware architecture and the sofware mechanisms which will allow, if possible, to achieve a given objective not only in normal operation, but also in given fault situations.

16

FTC levels FTC levels

Main problematics

See : M. blanke and al. « Diagnosis and Fault Tolerant Control » Springer Verlag 2003

(9)

Chap1/ 17

REGION DANGEREUSE REGION DANGEREUSE

REGION DANGEREUSE

Relation entre FDI et FTC Perf=F(Y1,Y2) Relation entre FDI et FTC Perf=F(Y1,Y2)

PERFORMANCES INACCEPTABLES

Y1 Y2

PERFORMANCES DÉGRADÉES PERFORMANCES

DÉGRADÉES

PERFORMANCES REQUISES Reconfiguration

Fault

Chap1/ 18

Fault

Fault accommodation accommodation

Process Controller

Diagnosis Fault

Accomodation Controller

parameters

Ref.

u Y

Supervision

(10)

Chap1/ 19

Fault

Fault Reconfiguration Reconfiguration

Diagnosis New control

configuration

Reconfiguration

Yref Nominal Controller

Process Y

u

New u'

Controller

Y’ref

Y’

Supervision CONTROL

Chap1/ 20

SUPERVISION in INDUSTRY SUPERVISION in INDUSTRY

Maintenance Maintenance

List List ofoffaultsfaults

DIAGNOSTIC DIAGNOSTIC

Technical Technical specification specification

Observations Control signals

Set points

SENSORS Control

INPUT

INPUT OUTPUT

FTC Level Fault accommodation

Reconfiguration

(11)

Chap1/ 21

Medical interpretation Medical interpretation

ε≈0

T

37 +

- NON

ε OUI Examen clinique Diagnostic

Chap1/ 22

supervision

supervision GraphicalGraphicalUser InterfaceUser Interface

(12)

MODEL-BASED RESIDUAL GENERATION

PROCESS ACTUAL OPERATION

MEASURED SITUATION

KNOWN INPUTS

COMPARISON COMPARISON

Residuals Residuals

KNOWN INPUTS UNKNOWN INPUTS FAULTS

MODEL OF THE NORMAL OPERATION

CALCULATED SITUATION COMPORTEMENT REEL

COMPORTEMENT REEL MODELEMODELE

Chap1/ 24

DIAGNOSTIC METHODS (2/2) DIAGNOSTIC METHODS (2/2)

ALGORITMES

Sans modèles À base de modèles

Observateurs

Identification Redondance

d’information

Redondance analytique

Redondance matérielle

(13)

Chap1/ 25

Diagnostic par identification et

Diagnostic par identification et observateurs observateurs

y Modèle

U

y

Residu

+

θ^ˆ -

θref

y

Observateur U

y

Residu

+ -

yˆ

Chap1/ 26

No model No model based based

• Only experimental data are exploited

• Methods : statistical learning, data analysis, pattern recognition, neuronal networks, etc.

?

•Problems

•need historical data in normal and in abnormal situations,

•every fault mode represented ???

•generalisation capability ??

(14)

Chap1/ 27

METHODES SANS MODELES METHODES SANS MODELES

ÂMéthodes de reconnaissances de formes

¾Détermination d’un certain nombre de classes (apprentissage)

¾A chaque classe est associé un mode de fonctionnement (normal, défaillant)

¾Chaque donnée prélevée est affectée à l’une de ces classes : determination du mode de fonctionnement

Chap1/ 28

METHODES QUALITATIVES METHODES QUALITATIVES

Â Utilise la connaissance intuitive du monde :

¾appliquer des modéles de pensée humaine pour des systèmes physiques

¾Exemple : « Quand le débit augmente, la température doit diminuer)

ÂL'avantage principal des méthodes qualitatives:

¾possibilité de n'utiliser que le modèle qualitatif: aucun besoin de grandeurs numériques des paramètres ni de connaissances profondes sur la structure du système.

ÂInconvénients

¾Les défaillances des capteurs ne sont pas détectées. Il n'est pas aisé de déterminer les valeurs limites inférieures et supérieures de déviation. D'autre part un problème combinatoire peut apparaître lors des procédures d'inférences pour les systèmes complexes.

(15)

Chap1/ 29

Residual generation methods Residual generation methods

Â Three main approches

¾Parity space

¾Observer-based

¾ Identificaion

ÂUsed tools and theories

¾Structural analysis

¾Analytical redundancy

¾Graphes, Bond graphs

¾Observers

¾Fuzzy logic

¾IA

¾..

Chap1/ 30

Tâches d

Tâches d’ ’un syst un systè ème de surveillance : FDI me de surveillance : FDI

Alarmes Fonctionnement

normal Modèle

+ -

DIAGNOSTIC Type de panne

Détection

Localisation

Identification

DECISION

Composant défectueux cahier des charges

(16)

Chap1/ 31

Model

Model- - based FDI based FDI

S E N SO R S

Process actual operation

RESIDUAL GENERATOR

MODEL OF THE NORMAL

OPERATION

ALARM GENERATION

0

Isolation Identification ALARM INTERPRETAION

Detection

Chap1/ 32

Dé D étection tection

Â1. Détection

¾Opération logique : On déclare le système est défaillant ou non défaillant

¾Les critères

Non détection ou détection trop tardive➽ Conséquences catastrophique sur le process

Fausses alarmes➽ Arrêts inutiles de l’unité de production. Plus de confiance de l’opérateur

¾Test d’hypothèses : La détection se ramène à un test d’hypothèses

H0 : hypothèse de fonctionnement normal (Domaine de décision D0)

H1 : hypothèse de fonctionnement défaillant (Domaine D1)

Dx : Domaine de non décision

(17)

Chap1/ 33

D D étection é tection

H0 H1

Decide H0 OK Missed detection Decide H₁ False

alarm

OK

¾Problematic

Given R=[r₁, ….r_n] fault indicators

Two distributions are known p(Z/H₀) and p(Z/H₁)

One of two hypotheses, H₀or H₁is true

¾What to do ?

Verify if each r_i(i=1,..n) belongs to p(Z/H₀) and p(Z/H₁)

4 possibilités

Chap1/ 34

Dé D étection tection

P(r_i/H₀).P(H₀)

D₀ D₁

P_fa

P_nd

P(r_i/H₁).P(H₁)

D_x

-α_i +α_i

[ ]

[ _i] [ _i ] _i ⁱ

i

i i i i i

D r r

1 0

, , ,

,

∈

⇒ +∞

+

∪ +

∞

−

∈

⇒ +

−

∈

α α

P_fa

False alarm

r_iest déclaré appartenir à H1 (défaillant) alors qu’il appartient à H0

αi : choisi pour assurer un bon compromis :

•Probabilité H1 min.

•Probabilité de Pnd min.

αi < probabilité de fausse alarme limite fixée.

(18)

Chap1/ 35

Â 2. Localisation

¾Etre capable de localiser le ou les éléments défaillants

¾Les critères

Non isolabilité ➽ Conséquences catastrophique sur le process

Fausses isolabilité➽ Arrêts inutiles de l’unité (ou de l’équipement) défaillant. Plus de confiance de l’opérateur de maintenance

ÂIdentification (diagnostic)

¾Lorsque la faute est localisée, il faut alors identifier les causes précises de cette anomalie. On fait alors appel à des signatures répertoriées par les experts et validées après expertise et réparation des dysfonctionnements.

Chap1/ 36

Specifications Specifications

Objectives

Performances

Constraints

* Which parameters must be supervized ?

* What are the non acceptable values ?

* false alarm

* missed detection

* detection delay

* Available data

* other (cost, complexity, memory, ...)

Specifications

(19)

37

I. Systems I. Systems and faults and faults

Chap1/ 38

System (1) System (1)

ÂCOMPS = {comp1, comp2, comp3, comp4, comp5}

a x

b c d

y z

e

f comp1

comp2

comp3

comp4 comp5

A system is a set of interconnected components

(20)

Chap1/ 39

A

A systemsystem isisa set of a set of interconnectedinterconnected componentscomponents

ÂCOMPS = {input valve, tank, output pipe, level sensor}

System (2) System (2)

Chap1/ 40

System (3) System (3)

ÂWhen non faulty, each component achieves some function of interest

¾because it exploits some physical principle(s)

¾which are expressed by some relationship(s) between the time evolution of some system variables.

Relationships are called constraints,

Time evolution of a variable is its trajectory.

(21)

Chap1/ 41

System System (4) (4)

x = a ∨ b y = ⎤ b z = c ∨ d e = x ∧ y f = z ∧ (⎤ y) SM is the set of all those constraints

a x

b c d

y z

e

f comp1

comp2

comp3

comp4 comp5

Chap1/ 42

SM is the set of all those constraints

Input valve

Tank

Output pipe ^qo⁽^t⁾=^k ^l⁽^t⁾ ) ( ) ) (

( q t q t

dt t dl

o

i −

=

α

=

⇒

=

⇒

=

) ( 1 ) (

0 ) ( 0 ) (

t q t

u

t q t

u

i i

Level sensor

) , 0 (

) ( ) ( ) (

σ ε

ε N

t t l t y

≈

+

=

System (5) System (5)

(22)

Chap1/ 43

Faults Faults (1) (1)

Normal operation is the simultaneous occurence of two situations

1) components really behave as the designer expects

2) interactions between the system and its environment are compatible with the system's objectives.

Chap1/ 44

Faults Faults (2) (2)

1) components behave as the designer expects IF NOT : INTERNAL FAULT

⇒constraints applied to the variables are the nominal ones⇒ OK(comp) is true

(23)

Chap1/ 45

Fault (3) Fault (3)

SD is now ...

OK(input valve) ⇒ OK(tank) ⇒

OK(output pipe) ⇒ OK(level sensor) ⇒

α

=

⇒

=

⇒

=

) ( 1 ) (

0 ) ( 0 ) (

t q t

u

t q t

u

i i

) ( ) ) (

( q t q t

dt t dl

o

i −

=

) ( )

(t k l t q_o =

) , 0 (

) ( ) ( ) (

σ ε

ε N

t t l t y

≈

+

=

OK(comp1) ⇒x = a ∨b OK(comp2) ⇒y = ⎤b OK(comp3) ⇒z = c ∨d OK(comp4) ⇒e = x ∧y OK(comp5) ⇒f = z ∧(⎤y)

Chap1/ 46

Faults Faults (4) (4)

2) interactions between the system and its environment are compatible with the system's objectives

IF NOT : EXTERNAL FAULT

(24)

Chap1/ 47

Examples

Examples of internal of internal faults faults (1) (1)

a x

b c d

y z

e

f comp1

comp2 comp3

comp4 comp5 y ≠ ⎤b ⇒OK(comp2) is false

Chap1/ 48

Examples

Examples of internal of internal faults faults (2) (2)

Process fault : the tank is leaking

Sensor fault : noise has improper statistical characteristics

Actuator fault : input valve is blocked

open _α

α

=

⇒

=

⇒

=

) ( 1 ) (

) ( 0 ) (

t q t

u

t q t

u

i i

) , (

) ( ) ( ) (

Σ

≈

+

= b N

t t l t y ε

ε

) ( ) ( ) ) (

( q t q t q t

dt t dl

l o

i − −

=

(25)

Chap1/ 49

Examples

Examples of external of external faults faults (1) (1)

a = 2

a x

b c d

y z

e

f comp1

comp2

comp3

comp4 comp5

Chap1/ 50

Examples

Examples of external of external faults faults (2) (2)

min 1 2

1) ( )

( ) (

2

1

l t t t

l dt t q

t

o > + − −

∫ ^α

Control algorithm objective : l_min≤ l(t) ≤l_max

cannot be achieved for too large output flows

l_max l_min

(26)

Chap1/ 51

Model

Model based based approaches approaches (2) (2)

Definition (conflictor NOGOOD)

NG is a conflict⇔NG ⊆COMPS and SD ∪{OK(X)⏐X ∈NG} ∪OBS is not consistent

NG1 NG2

NG3

NG1 NG2

NG3

Chap1/ 52

Problems Problems

1) For some given S ⊆ COMPS, how to check the consistency of

SD ∪ {OK(X)⏐X ∈ S} ∪ OBS

2) How to find the collection of the NOGOODS

(27)

Chap1/ 53

How How to check to check the the consistency consistency

OBS (controls, measurements) Properties that OBS should

satisfy / values that OBS should have

TEST

Actual system Nominal system model

Detection

Compare actual system and nominal system

Chap1/ 54

Two Two means means to check to check consistency consistency

ÂAnalytical Redundancy

¾properties that OBS should satisfy if actual system healthy

¾properties that are satisfied by the nominal system trajectories

¾check whether they are true or not

ÂObservers

¾ values that OBS should have if actual system healthy

¾ simulate / reconstruct the nominal system trajectories

¾ check whether they coincide with actual system trajectories

(28)

Chap2/ 1

CHAP2:

Structural Analysis using bi-partite graphs

Chap2/ 2

Outline

1) Motivations

2) Structural description 3) Structural properties 4) Matching

5) Causal interpretation of matchings 6) Subystems characterization

7) System decomposition

8) Conclusion

(29)

Chap2/ 3

1) Motivations

Chap2/ 4

• Complex systems : hundreds of variables and equations

• Many different configurations

• Many different kinds of models (qualitative, quantitative, static, dynamic, rules, look-up tables, …)

• Description of physical plants as interconnected subsystems

• Analytic models not available

(30)

Chap2/ 5

The structural description of a system expresses only the links between the variables and the constraints

u - r i = 0 there is a constraint which links u(t), r(t) and i(t)

if r is a given parameter

u(t)

i(t)

Chap2/ 6

Advantages of this approach

- easy to implement and suited for complex systems - allows to determine the FDI/FTC possibilities

- no a priori knowledge of the model equations is necessary

BUT ...

(31)

Chap2/ 7

Structural analysis produces only structural properties

• can the system be observed ?

– can all the system variables be computed from the knowledge of the sensors outputs

• can the system be controlled ?

– can all the system variables be given arbitrary values

• can the system be monitored ?

– can the malfunction of the system components be detected and isolated

• can the system be reconfigured ?

– can the system achieve some objective in spite of the malfunction of some components

Chap2/ 8

2) Structural description

(32)

Chap2/ 9

Behaviour model of a system : a pair (C, Z) Z = {z₁, z₂,...z_N}is a set of variables and parameters, C = {c₁, c₂,...c_M}is a set of constraints

Constraints

algebraic and differential equations, difference equations,

rules, etc.

variables

quantitative, qualitative, fuzzy

time continuous, discrete

Chap2/ 10

= f(x(t), u(t), θ) y(t) = g(x(t), u(t), θ)

Z = x ∪ u ∪ y C = f ∪ g Example : state and measurement equations

)

(t

x &

(33)

Chap2/ 11

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ +⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

) (

) ) (

0 ( ) (

) 0 ( )

( ) ( 0

) (

2 1

2 1 2

1

t x

t e x

t y

t d u t

x t x c b

a t

x t x

&

Directed graph representation

x₁

x₂ u

y

Chap2/ 12

) 0 (

, 0 0

e C

B d c b A a

=

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

Structured matrices : independent a, b, c, d, e

• If a, b, c, d, e not independent, the constraint which links them should be represented

• digraphs do not represent algebraic constraints

(34)

Chap2/ 13

Bi-partite graph representation

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ +⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

) (

) ) (

0 ( ) (

) 0 ( )

( ) ( 0

) (

2 1

2 1 2

1

t x

t e x

t y

t d u t

x t x c b

a t

x t x

&

& ^x1

x₂

y u f₁

f₂ g

Chap2/ 14

⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝⎛

=

⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝⎛

⎟⎟⎠+

⎜⎜⎝ ⎞

⎟⎟⎠⎛

⎜⎜⎝ ⎞

=⎛

⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝⎛

) (

) ) ( 0 ( ) (

) 0 ( ) (

) ( 0

) (

2 1 2

2 1 1

2 1 2

1

t x

t e x

t y

dt z dx

t d u t x

t x c b

a t

z t z

x₁

x₂

y u f₁

f₂ g

z₂ z₁

d₂ d₁ d2=dx₂/dt d1=dx₁/dt Standard form

Constraints are : d₁, d₂, f₁, f₂and g

(35)

Chap2/ 15

Bi-partite Graph ?

• Bi-partite graph : links between variables and constraints

• F = {f1, f2, f3,..., fm} : constraints

• Z = {z1, z2, z3,..., zn} : variables.

• U, subset of control variables

• Y, subset of measured variables

• X, subset of unknown variables

• Structure = binary relation

• S : F x Z →{0, 1}

• (fi, zj) →S(fi, zj)

Chap2/ 16

Incidence matrix

⎠

⎝x2(t)⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

=

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ +⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

) ) ( 0 ( ) (

) 0 ( ) (

) ( 0

) (

1 2

2 1 1

2 1 2

1

t e x

t y

dt z dx

t d u t x

t x c b

a t

z t z

0 0 0 1 0

1

1 0 1 0 0

0

0 1 0 1 0

0

1 0 1 1 1

0

0 1 1 0 0

0

2 1 2

1 x z z

x u

y

Elle représente les liens entre les var. et les paramètres du système d’une part , et les contraintes introduites Par les composants d’autre part

(36)

Chap2/ 17

dt x dxi

i=

&

) , , (

) , , ( 0

) , , (

u x x g y

u x x h

u x x f x

a d

a d d

=

& =

dt h d g f C

y u x x x

Z d a d

∪

=

∪

= &

Differential and algebraic equations

y

u x₂ x₁ z2

z1

dx₁/dt dx₂/dt

d1

d₂ f₁

f₂ g

h

Chap2/ 18

Example : Tank System

Vo

PI P₁

Q_O V_b

On-Off

T₁ T₂

Leak

Outflow to consumer Vf1

Leak V_f2 Q_p

Q₁₂

Qf1 Qf2

(37)

Chap2/ 19

y₁ y₂

x

q_o q_i

LC U(t)

y₃

Chap2/ 20

Tank c₁: dx(t)/dt - q_i(t) - q_o(t) = 0 Input valve c₂: q_i(t) - au(t) = 0

Output pipe c₃: q₀(t) - k_v(x(t)) = 0 Level sensor 1 c₄: y₁(t) - x(t) = 0 Level sensor 2 c₅: y₂(t) - x(t) = 0 Output flow sensor c₆: y₃(t) - q_o(t) = 0

Control algorithm c₇: u(t) = 1if lmin≥y₁(t) ≥lmax

u(t) = 0 else

y₁ y₂

x

q_o q_i

LC U(t)

y₃ y₁ y₂

x

q_o q_i

LC U(t)

y₃

Differential constraint c₈: z=dx/dt

(38)

Chap2/ 21

dx(t)/dt x(t)) q_i(t) q_o(t) u(t) y₁(t) y₂(t) y₃(t)

d/dt c₁ c₂ c₃ c₄ c₅ c₆ c₇

c₁: dx(t)/dt - q_i(t) - q_o(t) = 0 c₂: q_i(t) - au(t) = 0

c₃: q₀(t) - k_v(x(t)) = 0 c₄: y₁(t) - x(t) = 0 c₅: y₂(t) - x(t) = 0 c₆: y₃(t) - q_o(t) = 0

c₇: u(t) = 1if lmin≥^x(t)≥lmax

u(t) = 0 else

Chap2/ 22

State space model and digraph

f: dx(t)/dt + k_v(x(t)) + au(t) = 0 g₁: y₁(t) - x(t) = 0

g₂: y₂(t) - x(t) = 0 g₃: y₃(t) - k_v(x(t)) = 0

Tank

u

y₃ y₂ y₁

x

(39)

Chap2/ 23

Bipartite graph of the state space model

y₃ y₂

y₁ x

u

f g₁ g₂ g₃

Chap2/ 24

Standard form of the state space model

y₃ y₂

y₁ z

u

f g₁ g₂ g₃

x

d/dt

(40)

Chap2/ 25

Caractérisation

• La condition d’existence d’une RRA est liée à la caractérisation des sous systèmes

• Un sous système :

– Il est associé à l’ensemble des contraintes Fi qu’il fait intervenir :

• Un sous système : c’est un couple (Fi, ,Q(Fi) dans lequel Q(Fi) est l’ensemble des variables contraintes par Fi – Q(Fi) est décomposé en deux parties

• Qc(Fi): correspond aux variables connues

• Qx(Fi): correspond aux variables inconues

Chap2/ 26 y₁ y₂

x

q_o q_i

LC U(t)

y₃ y₁ y₂

x

q_o q_i

LC U(t)

y₃ Known variables

Unknown variables

0 0 1 1 0 0 0

LC 0

C7

1 0 0 0 0 1 0

FI 0

C6

C8 C5 C4 C3 C2 C1

Fi(i=1-8)

1 1 0 0 0 0 0

LI2 1

0 0 0 1 0

u

0 1 0 0 0

y₁

0 0 0 0 0

y₂

Dif.

Cons.

LI1 Pipe Valve Tank

0 0 1 0 1

q_o

1 0 0 0 1

Z=x’

0 1

0

0 0

1

0 0

1

0 1

q_i y₃

x

0 1

Exemple : Un sous système : c’est un couple (Fi, ,Q(Fi) dans lequel Q(Fi) est l’ensemble des variables contraintes par Fi.

{ }

[C x q q z]

COMP

Tank= ₁, , _i, _o,

Q(Fi)

Q_C(Fi) Q_X(Fi)

(41)

Chap2/ 27

TYPES DE SOUS SYSTEMES

• Les contraintes décrivant le comportement du sous sytème s’écrit :

Fi(Qc(Fi),Qx(Fi))=0

• TYPES DE SOUS SYSTEMES

– Le nbre de solutions pour Qx(Fi) qui peuvent être obtenues à partir de Qc(Fi) caractérise chaque sous système on distingue :

• Un système sous déterminé

• Juste déterminé

• Sur déterminé

Chap2/ 28

Sytème sous déterminé ?

• (F, Q(F)) est sous-déterminé si,

– pour toute valeur de Qc(F), l'ensemble des valeurs de Qx(F) vérifiant les contraintes F est de cardinal supérieur à un.

• Il n y a pas assez d’équations pour déterminer x

• La non unicité des solutions : les variables Qx(F) ne peuvent pas être calculées à partir des valeurs connues des variables Qc(F) et des contraintes F.

– Conséquence d'une modélisation insuffisante du système, ou de la non observabilité de certaines variables.

• Il est déterminé si ce cardinal est égal à un

– Juste déterminé – Sur déterminé

(42)

29\124 Prof. Belkacem Ould BOUAMAMA, Polytech’Lille, LAGIS UMR CNRS 8146

Example Example

i R y₁ u

F₁(i,u)=0

i u

1 1

y₁ 0

F₂(y_1,U)=0 1 0 1

0 )

2 )

1 1 1

=

= ) (F card(Q

) (F card(Q

) card(Q(F

C X

Z=XUK

X={u, i}, K={y_1,} F1: U-Ri=0 F2: y1-u=0

Sous-système : F1(i,u)=0

) (F Q_C ₁ )

(F Q_X ₁

) (F Q ) (F Q )

Q(F₁ = _X ₁ ∪ _C ₁

(F₁, Q(F₁)) est sous-déterminé si, pour toute valeur de Q_C(F₁), l'ensemble des valeurs de Qx(F₁) vérifiant les contraintes F₁est de cardinal supérieur à un.

(F₁, Q(F₁)) est sous-déterminé

30\124 Prof. Belkacem Ould BOUAMAMA, Polytech’Lille, LAGIS UMR CNRS 8146

Example Example

i R y₁ u

y₂

F₃(y_2,i)=0

F₁(i,u)=0

i u

1 1

y₁ 0

F₂(y_1,U)=0 1 0 1

1 )

2 )

3 )

1 1 1

=

= ) (F card(Q

) (F card(Q

) card(Q(F

C X

Z=XUK

X={u, i}, K={y_1,} F1: U-Ri=0 F2: y1-u=0

Sous-système : F1(i,u)=0

) (F Q_C ₁ )

(F Q_X ₁

) (F Q ) (F Q )

Q(F₁ = _X ₁ ∪ _C ₁

(F₁, Q(F₁)) est sous-déterminé si, pour toute valeur de Q_C(F₁), l'ensemble des valeurs de Qx(F₁) vérifiant les contraintes F₁est de cardinal supérieur à un.

(F₁, Q(F₁)) est sous-déterminé

0 1 0

0 0 1