B138 – Carré magique géométrique [**** à la main]
Problème proposé par Michel Lafond
Justifier l’existence d’un carré "magique" pouvant être partagé par 4 segments en 9 quadrilatères dont les aires sont exactement 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.
Figure approximative :
Solution proposée par Michel Lafond:
L’aire du carré est 81, donc le côté du carré est c = 9.
L’aire du trapèze (OCDE) [Figure 1] montre que OC + ED = 6. Donc on peut poser
L’examen des autres trapèzes permet de la même manière, de définir comme dans la figure 2.
Considérons maintenant un coin du carré avec un quadrilatère d’aire S [Figure 3 ci-dessous]
Dans cette figure, x et y peuvent être négatifs.
Dans le repère orthonormé (O, colinéaire à ; colinéaire à de la figure 3, on calcule facilement les coordonnées de E :
5 6
8 7
9 11 10
12 13
5
6 8 7
9 11 10
12
13
Figure 1
A
B
C D
O E
5
6 8 7
9 11 10
12 13
Figure 2
A
B
C D
O
E
On en déduit que l’aire S du quadrilatère (OCEA) vérifie
En transformant (1), on aboutit à l’équation :
Il est important pour la suite de voir qu’on peut permuter x et y dans (1) ou (2).
Prenons dans la figure 4 ci-dessus, [en supposant l’aire de (OCEA) égale à 6],
En faisant dans (2), on trouve deux solutions pour y [ dans la figure 4] :
Bien entendu, c’est qui convient donc S
Figure 3
A
B
C D
O
E
6 10
12
Figure 4
A
O C
E
On continue avec le coin S-E, en supposant l’aire du quadrilatère S-E égale à 10.
En faisant dans (2), on trouve deux solutions pour y [ dans la figure 4] :
C’est qui convient donc
On continue avec le coin N-E, en supposant l’aire du quadrilatère N-E égale à 12.
En faisant dans (2), on trouve deux solutions pour y [ dans la figure 4] :
C’est qui convient donc
Passons enfin au coin N-O.
On a des valeurs approchées de donc (1) permet de calculer l’aire du quadrilatère N-O :
Compte tenu de la précision (50 chiffres significatifs) des calculs précédents, on peut affirmer qu’avec et les aires 6, 10, 12 étant imposées, le quadrilatère N-O a une aire inférieure à 8.
Recommençons tous ces calculs avec cette fois, dans la figure 4 ci-dessus, [toujours en supposant l’aire de (OCEA) égale à 6],
On trouve successivement avec (2) :
Enfin, en utilisant (1), on trouve que l’aire du quadrilatère N-O est
Compte tenu de la précision (50 chiffres significatifs) des calculs précédents, on peut affirmer qu’avec et les aires 6, 10, 12 étant imposées, le quadrilatère N-O a une aire supérieure à 8.
Par continuité, on peut affirmer qu’il existe une valeur de comprise entre 0,384 et 0,385 pour laquelle l’aire du quadrilatère N-O est exactement égale à 8.
Les aires des quatre trapèzes situés le long des bords du carré étant toutes égales à 27, on en déduit les aires 5, 7, 13, 11 des quadrilatères intermédiaires et l’aire totale 81 donne 9 pour l’aire du quadrilatère central.
Un peu de dichotomie montre que
