Quatreexposéssurlasaturation(notesprisesparJ.J.Risler) O Z

Astérisque

O ^SCAR Z ^ARISKI

Quatre exposés sur la saturation (notes prises par J.J. Risler)

Astérisque, tome 7-8 (1973), p. 21-39

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QUATRE EXPOSES SUR LA SATURATION Oscar ZARISKI

(Notes prises par J.J. RISLER)

Nous noterons S.E.S. I, II ou III (resp G.T.S. I, II ou I I I ) , les a r - ticles de O. Zarriski "Studies in e q u i s i n g u l a r i t y " I, II ou III parus dans 1' A m e r i c a n Journal of M a t h e m a t i c s , vol 87 ( 1 9 6 5 ) et vol 90 ( 1 9 6 8 ) (resp : les articles "General theory of saturation" I, II p a r u s d a n s l a même r e v u e ,

v o l 93 (1971), o u III, e n c o u r s d e p u b l i c a t i o n d a n s l a même r e v u e ) .

T o u s les anneaux seront commutatifs, avec éléments unités ; les m o r - phismes d'anneaux étant supposés envoyer l'élément unité sur l'élément u n i t é ,

§ 1 . - D E F I N I T I O N GENERALE D E LA SATURATION

Soient A un anneau, F son anneau total des f r a c t i o n s , K un s o u s - corps de F.

N o u s allons définir la saturation de A par rapport à K : ce sera un sous-anneau de la clôture intégrale A de A dans F,

Soit Cl une clôture algébrique (fixée une fois pour toutes) de K j notons H l'ensemble de K - h o m o m o r p h i s m e s de F dans Q, A le plus petit s o u s - anneau de Q contenant les anneaux \|r(A) (pour tout | 6 H ) , et A la clôture intégrale de A •

(Remarquons que A et A sont des a n n e a u x i n t è g r e s ) .

D é f i n i t i o n 1 . 1

Soient T) et 5 d e u x éléments de F. On dit que 7) domine § par rapport à K (ce que nous noterons T] y 5 ou j| ^ Ç s'il n'y a pas de confusion p o s s i - ble sur le corps K ) , si, queJFs que soient et dans H, on a :

w1 (n) -w2(n)

w1 (n)-w1(n)

w1(n) # w2(n)

w1(n) = w1(n)

w1(n) =

* 2 < ? >

- 21 -

D é f i n i t i o n 1 . 2

Soit B un s o u s - a n n e a u de A contenant A. On dit que B est saturé par rapport à K si B est fermé dans A pour la relation de d o m i n a t i o n , c'est-à-dire si, pour d e u x éléments § et T) de A, les conditions g Ç B et T] ^ § impliquent

T| G B .

R e m a r q u o n s que cette définition implique que A est saturé par rap- port à K : l'ensemble des s o u s - a n n e a u x de A contenant A et saturés n'est donc pas v i d e . Il est clair, d'autre part, que l'intersection d'une famille d ' a n n e a u x saturés est un anneau s a t u r é .

D é f i n i t i o n 1 . 3

Le saturé de A par rapport à K, noté A^., est le p l u s petit s o u s - anneau saturé entre A et A .

R e m a r q u e

D a n s S.E.S. I I I , les hypothèses suivantes sont faites :

a) A est réduit,

b ) F est de dimension finie sur K (ce qui implique que F est n o e t h e r i e n et de p l u s isomorphe à une somme directe finie de corps F ^ ) ,

c) les F^ sont des e x t e n s i o n s séparables de K.

C e s hypothèses ne sont pas i n d i s p e n s a b l e s pour donner une d é f i n i t i o n de la saturation, m a i s sont p r o b a b l e m e n t n é c e s s a i r e s pour p o u v o i r en dire quelque chose d ' i n t é r e s s a n t .

§ 2-CAS D E S V A R I E T E S A L G E B R O I D E S

N o u s a p p e l l e r o n s v a r i é t é algébroïde (ou v a r i é t é a l g é b r i q u e f o r m e l l e ) le spectre V d'un anneau (^satisfaisant aux conditions s u i v a n t e s :

a) & est un anneau local n o e t h e r i e n , complet pour la t o p o l o g i e définie par l'idéal maximal et é q u i c a r a c t é r i s t i q u e ,

b ) & est réduit (ce qui est équivalent à dire que l'idéal ( 0 ) est inter- section finie d'idéaux p r e m i e r s m i n i m a u x : ( 0 ) = ^ n ... n (P ) ,

l n

- 22 -

c) & est équidimensionnel

(i.e. les dimensions des a n n e a u x - ~ sont é g a l e s ) .

(Pi

Faisons d'abord quelques rappels d'algèbre commutative ; soit cp : & - » 6/m le morphisme canonique (m désignant l'idéal maximal de l'anneau

& ) • Un sous-corps k de ^ est appelé corps de coefficients si çp|k est un iso- m o r p h i s m e de k sur #/m. Un tel corps est évidemment m a x i m a l parmi les sous corps de & • On peut m o n t r e r ("Théorèmes de C o h e n " ) que sous les hypothèses faites plus haut, il existe toujours un corps de c o e f f i c i e n t s , et que si la caractéristique de & (et donc de â/in) est 0 , les corps de coefficients sont exactement les sous-corps m a x i m a u x de & .

Si k et k' sont d e u x corps de coefficients dans Q , il existe un i s o m o r p h i s m e canonique Cp^k, * k -» k' ; il suffit de poser :

V k -

< < P N

On peut aussi définir Cp^ ^, par la condition :

c pkk, ( c ) - c £ m / c 6 k,

N . B . - cp^ k, n'est pas en général le seul isomorphisme de k sur k ' .

D é f i n i t i o n 2 . 1

Soit r la dimension de & . Un ensemble d'éléments x„ , x . . . . , x 1 ' 2 ' r de m tel que l'idéal (x^, x^, x^) soit primaire pour m est appelé un système de p a r a m è t r e s p o u r # •

Il existe toujours des systèmes de p a r a m è t r e s dans un anneau l o c a l .

I n t e r p r é t a t i o n g é o m é t r i q u e :

Ecrivons & comme quotient d'un anneau de séries formelles :

& -» k [ [ y1? v n] ^ / l >c e < lu i géométriquement s'interprète comme un plon-

gement local de la variété V dans un espace affine (sur lequel les coordonnées sont y^, . . yn) . R e l e v o n s les xi en des éléments de k[£y^, v n] ] « Le fait que (x^, x^, x^) soit un système de p a r a m è t r e s pour Qf s'interprète

- 23 -

alors en disant que l'intersection de V avec la variété d'équations : X, = ••• B X = 0 est réduite à l'origine.

1 r

F i x o n s maintenant un corps de coefficients k, et un système de p a r a m è t r e s x^, x^. On a alors les p r o p r i é t é s suivantes :

1 ) Les éléments x^ , • . •,x^ sont analytiquement indépendants sur k (cela veut dire que le s o u s - a n n e a u R = k [ £ x ^ , . . • , ] ] de & est isomorphe à l'anneau des séries formelles en r i n d é t e r m i n é e s ) .

2) A u c u n élément de R n'est diviseur de 0 dans Q^(ceci parce que est supposé é q u i d i m e n s i o n n e l ) .

3 ) &* est un R-module de type f i n i .

Ces p r o p r i é t é s entraînent que si K est le corps des fractions de R, K est canoniquement contenu dans l'anneau total des fractions F de & et que F est un K - e s p a c e v e c t o r i e l de dimension f i n i e .

D é f i n i t i o n 2 . 2

L'anneau (défini au p a r a g r a p h e p r é c é d e n t ) s'appelle la k - s a t u - K

_ ru

ration de a par rapport a (x , ...,x ) . On le note aussi Qr , x .

1 r K \X , • • • , X )

1 r

On peut m o n t r e r que si k est donne, l'anneau Q* est le même pour K

tous les c h o i x suffisamment " g é n é r i q u e s " des p a r a m è t r e s dans les cas s u i v a n t s : - V est une h y p e r s u r f a c e (cf. note (l) à la fin du texte)

- V est une courbe (i.e. r = 1 ) .

P r é c i s o n s un peu ce qui se passe dans le cas r = 1 (le cas d'une h y p e r s u r f a c e sera traité au § 5 ) :

S u p p o s o n s que k soit de c a r a c t é r i s t i q u e 0 et soit x un p a r a m è t r e d e f r . A l o r s & est un anneau local n o e t h e r i e n de d i m e n s i o n 1 , de corps r é -

vk , x

siduel k et de même m u l t i p l i c i t é que & (dans le cas où C est intègre, cf.

G.T.S. I , proposition 2.5 )

Un paramètre x de est dit transverse si on a l'égalité :

- 2 4 -

dim (T^-T) = e ( 6 0 , e ( Ô O désignant la multiplicité de l'anneau local E T (l'iné- k (x)

galité dim ( /' ^ e(^) est toujours s a t i s f a i t e ) . On a alors : K* ^ x^

T h é o r è m e 2 . 3

Si k et k1 sont d e u x corps de coefficients de 0", et x et x¹ d e u x paramètres transverses tels que le résidu de x'/x soit égal à* 1 , alors l'iso- morphisme canonique Vf , : k k^f peut s'étendre en un automorphisme de

Qk x qui envoie x sur x' (G.T.S. I I , théorème k.k et G. T.S. I I I , Appendice A, théorème A. 1 ) .

On voit qu'un anneau saturé possède beaucoup d ' a u t o m o r p h i s m e s , un peu comme un anneau de séries f o r m e l l e s .

Il résulte de ce théorème que, dans le cas des courbes, la satura- tion § ^ ^ est la même pour tout c h o i x du corps de coefficients et pour tout p a r a m è t r e x supposé t r a n s v e r s e .

§ 3 . - LA SATURATION D E PHAM-TEISSIER

(cf. : fractions lipschitziennes d'une algèbre analytique complexe et saturation de Z a r i s k i , par F r é d é r i c Pham et Bernard Teissier, Centre de M a t h é m a t i q u e s de l'Ecole Polytechnique (Juin 1 9 6 9 ) ) «

Nous allons en donner une définition due à J. Lipman, un peu plus générale que celle de l'article o r i g i n a l .

D o n n o n s d'abord quelques rappels algébriques sur la clôture inté- grale d'un idéal (cf. par exemple M. Lejeune et B . T e i s s i e r : Quelques calculs u t i l e s à la r é s o l u t i o n des s i n g u l a r i t é s , séminaire publié par le Centre de M a t h é m a t i q u e s de l'Ecole P o l y t e c h n i q u e ) .

D é f i n i t i o n 3.1

Soient A un anneau, R un sous-anneau de A et I un R-module contenu dans A .

A l o r s la clôture intégrale I de I dans A, est par définition l'en- semble des éléments x de A qui vérifient une équation de la forme :

n n- 1 ^ _ i . . .

x + a. x + . . . + a = 0 avec a. 6 1 ( 1 < i < n) 1 n i ^ ^

Exemple :

Soit F l'anneau total des fractions de A, et soit x un élément de F qui s'écrira : x = ~ avec a, b 6 A, et b / 0 , A l o r s x est entier (au sens c l a s s i q u e ) sur l'anneau R, si, et seulement si, a est entier sur le sous R-module de A engendré par b .

Soient maintenant R un anneau, A et A ' d e u x R - a l g è b r e s , g : A •> A ' un R - h o m o m o r p h i s m e . On peut c o n s i d é r e r A ' comme une A - a l g è b r e , et on a un h o m o m o r p h i s m e canonique f :

A ' A ' -> A ' <§> A*

R A

N o u s poserons I = Ker f ; c'est l'idéal de A ' i§ A ' engendré

A,A ^ par les é l é m e n t s g(a)<8> 1 - 1 & g(a) ( V a € A ) .

R R D é f i n i t i o n 3 . 2

La saturation de P h a m - T e i s s i e r de A dans A ' relativement à R est 1' a n n e a u :

AR , A . - i * € A . | * < D 1 - 1 • * € V A , A . !

R e p r e n o n s maintenant les n o t a t i o n s du début, et p o s o n s R = A (T\ K (rappelons que K est un s o u s - c o r p s de l'anneau total des fractions F de A ) .

N o u s faisons les h y p o t h è s e s suivantes :

a) A est entier sur R,

b ) K est le corps des fractions de R.

a) implique que F (et donc aussi K ) est algébrique sur le corps des f r a c t i o n s de R.

N o u s e n v i s a g e o n s aussi l'hypothèse suivante, plus forte que l'hypo- thèse b ) :

*

b ) R est intégralement clos dans K.

- 26 -

Q étant une clôture a l g é b r i q u e de K, soit H l!e n s e m b l e des

— *

R - h o m o m o r p h i s m e s : A -» Q, et A le p l u s petit s o u s - a n n e a u de Q contenant les a n n e a u x \Jf(A) ( V i|r € H ) ,

L ' h y p o t h è s e a) implique que A est entier sur R, p u i s q u e l|f(A) est e n t i e ^ sur R ^ \jf € H, On voit donc que si g, r\ € A, la r e l a t i o n j) ^ g é q u i -

K

vaut à dire que ^ (T) ) - l l ^1^ est e n t i e r (au sens défini p l u s h a u t ) sur le R - m o d u l e engendré dans Q par l'élément ^ ( g ) - ^ ^l'^2 ^ H^ *

T r a d u i s o n s ce fait en terme de produit t e n s o r i e l : si ^ et tjr^ 6 H, soit f = \Jr # \|i 1 'homomorphisme : A <& A *•» fi défini par

I 2 R

f(§ # 1) = ^ ( 5 ) et f(l & g ) = T|f ( . R R

II est, d'autre part, clair que tout h o m o m o r p h i s m e de A ® A dans R

Q est de cette f o r m e ,

La r e m a r q u e que n o u s v e n o n s de faire donne alors :

Lemme 3 • 3

Soient g et 7] d e u x é l é m e n t s de A . A l o r s T] ^ g si, et seulement si, _ K

pour tout R - h o m o m o r p h i s m e f : A & A -* f(r\ <gf 1 - 1 T ] ) est entier sur R R R

le sous R - m o d u l e de Q engendré par f ( g £ 1 - 1 <â g) , R R

E n o n ç o n s m a i n t e n a n t une p r o p o s i t i o n due à J, L i p m a n :

P r o p o s i t i o n 3 » ^

Soient g et d e u x é l é m e n t s de A ,

l ) s i 7 ] # 1 - 1^ T | est entier sur le R - m o d u l e e n g e n d r é dans A S A

R R R par § S 1 - 1 ® g, alors 7] j> g

R R K

2) Si R est intégralement clos dans son corps des f r a c t i o n s K et si F est separable sur K (i.e, si F est une somme directe de corps F^, e x t e n s i o n s s e p a r a b l e s de K ) , alors la r é c i p r o q u e est v r a i e ,

1) est é v i d e n t , et n o u s allons donner des i n d i c a t i o n s de d é m o n s - t r a t i o n de 2) (démonstration v a l a b l e sous l'hypothèse p l u s faible que R est

- 27 -

g é o m é t r i q u e m e n t u n i b r a n c h e , i.e. que R est radiciel sur R ) •

S u p p o s o n s donc que j] ^ Ç et posons S =s R [ Ç Î T ] ] (S est un s o u s - anneau de A), Comme S est de type fini sur R , S # S est n o e t h e r i e n et n'a

R

qu'un nombre fini d ' i d é a u x p r e m i e r s m i n i m a u x (p. , • • . , (? • 1 m

D ' a u t r e part, R est intégralement clos, et S & S est e n t i e r sur R

R ; on a donc $ \ f\ R = (O) p a r le "going down" de Cohen-Seidenberg. (c'est ici que l'hypothèse R intégralement clos, ou géométriquement unibranche, inter- vient) .

N o t o n s Cp. le composé de l'application canonique : S ^ S - » S Ä S - ,

i

et á1un plongement S& S ->

N

vi

est de la forme

» i , a où et cp 1,2

sont des R - h o m o m o r p h i s m e s : S -» П .

D ' a p r è s le lemme з . з , <р.(т) e i - i & -л) R R

est entier sur le R-module e n g e n d r é par cp (5 ® 1 - §)

R R

; il existe donc un p o l y n ô m e homogène

G

e R [ X , Y ]

i

, tel que С

( Х , 0 ) = X

et

G . ( T )

< F

1 R

• J- OS? T | ,

R

g e » ! -

(g) E P1

P o s o n s

G ( X , Y )

| \ G . ( X , Y )

G ( T I 0 1

1 ® Т ) ,

- ! < # § ) € Ì M U ~ = ( О )

(ceci a cause de l'hypothèse de separabilite ; ; т| d 1 - 1 Ф т | est donc bien entier sur le R-module engendré par £ & 1 - 1 ® § .

T h é o r è m e 3 . 5

Avec les n o t a t i o n s p r é c é d e n t e s , n o t o n s A** la s a t u r a t i o n de Zariski

* K

de A (définition 1.3) et A — la saturation de P h a m - T e i s s i e r (définition 3 . 2 ) . S u p p o s o n s que les h y p o t h è s e s a) et b ) soient v é r i f i é e s . O n a alors :

1) S* A * AK < ^ AR , I

2) S'il existe un élément y € A tel que S*^ =R[ y ]K (u n tel élément s'ap- p e l l e un K - s a t u r a t e u r pour A relativement à R dans la t e r m i n o l o g i e de Z a r i s k i ) on a l'égalité :

S-

AK R,A *

- 2 8 -

La d é m o n s t r a t i o n de ce théorème est simple : pour l ) , il suffit

*

de m o n t r e r que AR — est saturé par rapport à K dans le sens de Zariski ; soient donc Ç 6 A — et T) € A, et supposons que 7] >• § s la p r o p o s i t i o n 3»4

' K et la t r a n s i t i v i t é de la dépendance intégrale impliquent immédiatement que

*

Pour 2 ) , r e m a r q u o n s que l'on a l'égalité ^R[ V]R ~£ = R[y]jç puisque x £ RLy~lrw T implique que x ^ y, d'après la proposition 3 - 4 (l'idéal I « T"

JR , A K,A,A

est p r i n c i p a l , engendré par y (Si - l & y ) .

D ' a u t r e part, on a :

A

R , I

V R , I -

* № R , I

CI (R[y]r. T") _ (d'après la démonstration de l))

K,A R,A

= R [ y" L T • ^^a remarque p r é c é d e n t e m o n t r e donc que AD T" C RTyl,^ = A* ce qui achève la d é m o n s t r a t i o n .

C o r o l l a i r e 3 . 6

Soit & l'anneau local d'une variété algébroïde V de dimension r (les h y p o t h è s e s sont celles du § 2) ; soit k un corps de c o e f f i c i e n t s de &

et (x . ...,x ) un système de p a r a m è t r e s de &" . A l o r s on a l'égalité : l r

k, (x±, . . . , xr) " k [ ( x1 ? . . . , xr) ] , Q-

dans les deux cas suivants :

a) V est une h y p e r s u r f a c e , et ( x x ) peut être prolongé en une

* 1 r

base (i.e. un système m i n i m a l de g é n é r a t e u r s ) x „ , • • . , x , x „ de m . 1 r r+1 — b) r = 1 (V est alors une courbe a l g é b r o ï d e ) et k est de c a r a c t é r i s t i - que 0 .

D é m o n s t r a t i o n

D a n s le cas a ) , & est une extension m o n o g è n e de

R = k[ |( x^, . . • , x^)] ] (0^=R[xr+1] ) et l'hypothèse du théorème 3*5 est évidem-

- 29 -

ment v é r i f i é e .

D a n s le cas b ) , Zariski a montré qu'il existait t o u j o u r s un K - s a t u r a t e u r pour une courbe algébroïde (cf. G . T . S. II, proposition 1.3 9

p. 878)

§ 4 , - SATURATION ET E Q U I S I N G U L A R I T E

D é f i n i t i o n 4 . 1

Soient S et T deux a n n e a u x commutatifs, f : S T un m o r p h i s m e . On dit que f est radiciel (ou que T est une S-algèbre r a d i c i e l l e ) si, pour tout idéal p r e m i e r de S, il y a au p l u s un idéal premier Û C T , tel que

- 1 ^ f (Cj ) = (r , et si, de p l u s , pour tout idéal premier c. T, le corps des

f r a c t i o n s de T/^ est une extension purement inséparable du corps des frac- tions de S/£> (avec (? = f"1(Cj ) ) .

E x e m p l e : Si on suppose que T est entier sur S, alors f est radiciel si, et seulement si, f induit un h o m é o m o r p h i s m e (universel) spec T -> spec S.

Soient V et V1 d e u x v a r i é t é s a n a l y t i q u e s , 0 un point de V, 0' un point de V» , ô* l'anneau local de V en 0 et Çf ' celui de V1 en O ' .

P r o p o s i t i o n 4 . 2

S u p p o s o n s que 9e soit contenu dans & 1 et que &x soit fini sur & .

A l o r s si 0 1 est radiciel sur & , l'application continue

f . y' -» V (définie localement par l'inclusion & <Z ff» ) est un h o m é o m o r p h i s m e local•

La d é m o n s t r a t i o n se fait par récurrence sur la d i m e n s i o n de V, en utilisant l'existence du conducteur de & dans ff* : cf. S.E.S I I I , p r o p . 5 « 1 «

R e m a r q u e

Soit T une S-algèbre ; pour que T soit r a d i c i e l l e sur S, il faut et il suffit que pour t € T, l'élément t & 1 - 1 (S t soit nilpotent (i.e.

S S a p p a r t i e n n e à tout idéal premier m i n i m a l ) dans l'anneau T (g) T.

S

C e l a signifie que le "morphisme d i a g o n a l " , correspondant au m o r - - 30 -

p h i s m e d ' a n n e a u x : T ^ T -» T, est surjectif, ce qui entraîne facilement que S

T est radiciel sur S (le lecteur intéressé pourra se r e p o r t e r à E . G . A . I ) .

T h é o r è m e 4«3

Soient R C A c A ' trois anneaux, et supposons A1 entier sur A . A l o r s la saturation de P h a m - T e i s s i e r A = A ^ de A dans A1 par rapport à R est un anneau radiciel sur A .

Il suffit, d'après la remarque précédente, de m o n t r e r que si

* * * _ * * _ *

x € A , l'élément x <ST 1 - 1 ® x est nilpotent dans l'anneau A • A .

* A A * * A

La définition de A entraîne immédiatement que x ^ 1 - 1 • x est n i l p o -

*

*

tent dans l'anneau A' * ^ A ' , car l'élément x 1 - 1 x est, par d é f i n i - tion, entier sur le noyau I de 1' a p p l i c a t i o n !

f : A' ^ A ' -» A ' 0 A', d'où une relation : R A

* * n * * n""v

(x £ 1 - 1 # x ) - 2

a (x

# x )

R R v R R

avec a € Iv, d'où : v

* n * * n

f((x fi> 1 - 1 # x*) ) = (x & 1 - 1 & x ) = 0 R R A A

Soit maintenant 0 un idéal premier minimal de A A : il faut

* * A

m o n t r e r que x $ 1 1 ® x G( P ? il suffit pour cela de montrer qu'il

A A #

existe un idéal premier (p* dans A' $ A ' au dessus de (puisque,

* * A

x S 1 - 1 ^ x étant nilpotent dans cet anneau, il appartient à tous les A A

idéaux p r e m i e r s ) •

L'idéal (r est le noyau d'un m o r p h i s m e cp : A # .A -» K où K est A

un corps que l'on peut supposer algébriquement clos ; définit deux applica- tions : A -> K qui coïncident sur A et qui s'étendent en deux applications de A' dans K, puisque A ' est supposé entier sur A . On obtient donc un m o r - phisme cp¹ : A' # A' K, et le noyau iP • de Cp' est un idéal premier de

A H

A' ( S A' au dessus de (P • c.q.f.d.

A

- 31 -

C o r o l l a i r e 4 . 4

S u p p o s o n s R intégralement clos dans son corps des fractions K, et A entier sur R ; alors la s a t u r a t i o n A est r a d i c i e l l e sur A .

K

E n effet, le t h é o r è m e 3»5 m o n t r e que A ^ ^ - A R »ce <luî implique immédiatement le corollaire*

R e m a r q u e

L ' u t i l i s a t i o n de la saturation de P h a m - T e i s s i e r simplifie b e a u c o u p la d é m o n s t r a t i o n de ce c o r o l l a i r e (cf. S.E.S. III, t h é o r è m e 4 . 1 , pour la d é - m o n s t r a t i o n o r i g i n a l e ) .

T h é o r è m e 4 . 5

Soit V une v a r i é t é a n a l y t i q u e complexe, soit ©'l'anneau local de V en un point 0 et soit la s a t u r a t i o n de V en 0 par rapport à un système de p a r a m è t r e s (x) (9*est défini localement en 0 par l'anneau & t *).

<D, Jxj A l o r s l'application canonique f : V •* V est un h o m e o m o r p h i s m e l o c a l .

C e l a résulte du c o r o l l a i r e 4 . 4 et de la p r o p o s i t i o n 4 . 2 .

Ce théorème implique en p a r t i c u l i e r que si V et V sont des v a r i é - tés a n a l y t i q u e s c o m p l e x e s , t e l l e s que 9 ^ ^ et ^!(xi ) soient analytiquement i s o m o r p h e s , alors elles sont localement h o m é o m o r p h e s •

D a n s le cas des h y p e r s u r f a c e s , on a un résultat b e a u c o u p plus fort :

T h é o r è m e 4 . 6

Soient V et V d e u x h y p e r s u r f a c e s complexes, 0 (resp 0 ' ) un point de V (resp V ) , fret CT' les a n n e a u x locaux de V et V en 0 et 0 ' ;

Soit j x ^ , . . . ^ ^ (resp {xj,...,x^ ) un système de p a r a m è t r e s de &

(resp de & %) qui se p r o l o n g e en une base j x ^ , • • • ,x n + 1| de m (resp en une b a s e jx',...,x' J de m ' ) ,

1 1 n +1 » —

S u p p o s o n s qu'il existe un C - i s o m o r p h i s m e f : &^ J ^ J - » &^ j x1) '

- 3 2 -

que f(x^) = x£ (l < i ^ n) ; alors 1¹h o m é o m o r p h i s m e local ; V V1 peut être é t e n d u en un h o m é o m o r p h i s m e local des espaces ambiants : Cⁿ⁺¹ -> £^{n + 1}.

La d é m o n s t r a t i o n de ce théorème, assez longue,se trouve dans S.E.S.

III (théorème 6 , 1 ) ,

E x a m i n o n s maintenant le cas des courbes (sur un corps de c a r a c - téristique 0) •

Soit d'I'anneau local d'une courbe algébroïde en un point 0 , k un corps de coefficients et x un paramètre : nous avons vu que l'anneau S'k x

était indépendant du c h o i x de k, et du c h o i x de x si x était choisi t r a n s - verse (théorème 2 , 3 ) . N o t o n s cet anneau ; il est facile de voir que &

est la p l u s petite des m a t u r a t i o n s de (pour tous les p a r a m è t r e s de & ) (cf.

note

Inversement, si l'on suppose f intègre, la limite supérieure de toutes ces saturations est l'anneau k + m_s, m étant l'idéal maximal de la clôture intégrale 0 de Û et s un entier que nous allons définir, & est alors un anneau de v a l u a t i o n discrète, isomorphe à k [ [ t ] ] , k étant la clôture a l g é b r i q u e de k dans • N o t o n s s la multiplicité réduite de & ;

s ss inf [v( §) | ç £ m ] ; alors l'anneau k + mS peut se c a r a c t é r i s e r ainsi : c'est le p l u s gros anneau compris entre & et & ayant s p o u r m u l t i p l i c i t é r é - duite et k pour corps résiduel ; cf. G . T . S . I, p r o p . 7,6, p . 6 3 0 .

T h é o r è m e 4 . 7

Supposons que k (toujours de caractéristique zéro) soit a l g é b r i q u e - ment c l o s . Soient C et C ' d e u x courbes algébroïdes p l a n e s sur le corps k . A l o r s une condition n é c e s s a i r e et suffisante pour que C et C aient des sin- gularités é q u i v a l e n t e s (dans le sens a l g é b r o - g é o m é t r i q u e comme dans S.E.S. I)

~* .—'

est que les saturations Of et & * soient analytiquement i s o m o r p h e s .

Ceci est m o n t r é dans S.E.S. III (th. 2 . 1 ) dans le cas irréductible et dans G . T . S . II dans le cas g é n é r a l .

O n peut se p o s e r une question analogue dans le cas des h y p e r s u r f a - ces : soient V et V d e u x h y p e r s u r f a c e s algébroïdes complexes ayant des n o r - m a l i s a t i o n s analytiquement isomorphes (ce qui est b i e n réalisé pour deux cour-

- 33 -

bes p l a n e s ayant le même nombre de composantes i r r é d u c t i b l e s ) .

Soient 9*et 9*1 les s a t u r a t i o n s de V et V1 (pour des c h o i x g é n é r i - ques des p a r a m è t r e s 5 c f . le § 2 et le § 5 p l u s loin) : e s t - c e que lfé q u i v a - lence t o p o l o g i q u e de V et Vf implique que 9*et 9F sont i s o m o r p h e s ? (Nous avons vu que la réciproque était vraie : t h . 4 . 6 ) .

E n v i s a g e o n s m a i n t e n a n t "1' é q u i s a t u r a t i o n " d'une famille d'hyper- s u r f a c e s ; n o u s d é f i n i r o n s une famille d1h y p e r s u r f a c e s a l g é b r o ï d e s à l'aide d'une équation f G ^k[ [ i ' i ] ] ou

X sa ( X . , . . . , X . ) , t = (t.,...,t ) , satisfaisant a u x c o n d i t i o n s s u i v a n t e s :

— 1 r+i — 1 s

1 ) k est algébriquement c l o s , de caractéristique 0 .

2 ) f est sans facteurs m u l t i p l e s dans k

[[x.tJ]»

3 ) f( 0, t ) = 0

4 ) f( 0, X H, t ) = Xn ..

r+1 — r+ 1

*

P o s o n s k s k((t. ,««.t )) (corps de séries f o r m e l l e s à s i n d é t e r -

,S (t)

m i n é e s sur k ) ; on peut c o n s i d é r e r V comme une h y p e r s u r f a c e de d i m e n s i o n

*

r définie sur k , dont n o u s n o t e r o n s :

as k [[x^ , • • • , x^, *r+1] ] l'anneau l o c a l .

N o u s n o t e r o n s d'autre part VQ 1 *hypersurface définie sur k définie par l'équation :

V * * =^{f ( X} l ^X r ⁺ 1 ' ^{0 ) et &} o = ^k[ [ S l " " ' 5^R+1] 3

son anneau local ; on peut aussi considérer V comme une h y p e r s u r f a c e d é f i -

* /v* ° *rr nn

nie sur k , son anneau local étant alors oQ = k [ [ Ç ^ 1 • • • » §r +^ ] ] •

* R e m a r q u o n s que sans h y p o t h è s e s u p p l é m e n t a i r e , l'anneau Q"^ n'est pas n é c e s s a i r e m e n t r é d u i t .

D é f i n i t i o n 4 . 8

O n dit que V^*^ est une famille é q u i s a t u r é e d » h y p e r s u r f a c e s (ou que V ^ * ^ est une d é f o r m a t i o n é q u i s a t u r é e de Vq) si :

- 3 4 -

1 ) V est réduite (i.e. l'équation f (X) n'a pas de facteur m u l t i p l e ) . o o —

*

2) Il existe un k - i s o m o r p h i s m e cp d'anneaux saturés :

k ( ( x1, . . . , xr) ) k ( ( 51, . . . , g^r) ) tel que Cp(x,^) = §^ (i = l , . . . , r ) .

Si l'on considère f comme l'équation d'une h y p e r s u r f a c e V de dimen- sion r+s définie sur k, et si l'on note W l'espace linéaire défini par les é q u a t i o n s : X^ = •.• = ^r+^ - 0 (qui est par hypothèse contenu dans V ) , on dira que V est équisaturée à l'origine, le long de W, p a r rapport a u x p a r a - m è t r e s ( x ^ , . . « , xr) - de la fibre générique lorsque les deux conditions de la définition 4 . 8 sont s a t i s f a i t e s .

R e m a r q u e

Il n'y a aucune hypothèse de transversalité sur les p a r a m è t r e s (x„,...,x ) dans la définition 4 . 8 ; en particulier, la direction

1 r

X„ = X = ... = X = t = . .. = t peut être tangente à V à l'origine.

l r r + 1 1 s

Voici maintenant un critère d'équisaturation (cf. S.E.S. III, t h . 7 . 4 ) :

Théorème 4 . 9

C o n s e r v o n s les n o t a t i o n s p r é c é d e n t e s ; soit D le discriminant (par rapport à la v a r i a b l e X „ ) de l'équation f ( X „ , . .#, X ^ , t ) . V est é q u i -

r*l 1 r+1

saturée à l'origine le long de W par rapport aux p a r a m è t r e s (x.,...,x ) , si

1 r

et seulement si

D = D (X„,...,X ) s (X,,...,X , t„,...,t ) o 1 ' r 1 ' r 1 s où e est une unité (i.e. e( 0 ) ^ o).

Le fait que D soit le produit d'une unité avec une équation ne dé- pendant que des v a r i a b l e s X ^ , . . . , X s'interprète géométriquement en disant que 1' h y p e r s u r f a c e " d i s c r i m i n a n t " (d'équation D = 0) est analytiquement t r i - viale le long de l'espace W d'équations X„ = •.• = X = 0 .

o ^ 1 r

- 3 5 -

O n voit que pour une famille de courbes p l a n e s (r = l) la n o t i o n d1é q u i s a t u r a t i o n est é q u i v a l e n t e à la n o t i o n d1é q u i s i n g u l a r i t é h a b i t u e l l e (cf. S.E.S I ) .

Voici m a i n t e n a n t un t h é o r è m e qui prouve que la n o t i o n d1é q u i s a t u - r a t i o n fournit une bonne n o t i o n d1é q u i s i n g u l a r i t é dans le cas général :

T h é o r è m e 4 . 1 0

S u p p o s o n s V é q u i s a t u r é e à l'origine le long de W par rapport a u x p a r a m è t r e s ( x x ) de la fibre g é n é r i q u e • S o i e n t & 1¹ a n n e a u local de V

1 r

(sur k ) et & l'anneau local de V (sur k ) . A l o r s les p r o p r i é t é s s u i v a n t e s o o

sont r é a l i s é e s :

l) La clôture intégrale & de <9" est c a n o n i q u e m e n t i s o m o r p h e à

6 ^ [ [ t ^ , . . . , t ^ ( i . e . la n o r m a l i s a t i o n V de V est a n a l y t i q u e m e n t t r i v i a l e le long de l'image r é c i p r o q u e de W dans V ) .

k ( ( x1, . . . , xR, V . . . ts) ) ° k ( ( x , , . . . x ))LL 1 sJJ

1 r

3 ) Si l'on se place dans le cas a n a l y t i q u e c o m p l e x e , V est t o p o l o g i q u e -

ment t r i v i a l e le long de W .

La p r o p r i é t é l) est une c o n s é q u e n c e immédiate de 2) et la p r o p r i é t é 3 ) r é s u l t e facilement du t h é o r è m e 4 . 6 , énoncé p l u s haut ( S . E . S . I I I , § 7 ) « La p r o p r i é t é 2) est plus d i f f i c i l e : c'est un t h é o r è m e du type de celui de S e i d e n b e r g dans son article publié à l ' I . H . E . S . (volume en l'honneur de O . Zar i s k i ) •

§ 5 . - SATURATION " A B S O L U E " D ' U N E H Y P E R S U R F A C E (cf. S.E.S. I I I , § 8)

Soient k un corps a l g é b r i q u e m e n t clos de c a r a c t é r i s t i q u e O, V une hy- p e r s u r f a c e a l g é b r o ï d e é q u i d i m e n s i o n n e l l e définie sur k, d'anneau local b* • Soit ( x ^ , . . . , x ^ ) un système de p a r a m è t r e s de & q u i * p u i s s e se p r o l o n g e r en une b a s e (i.e. un système m i n i m a l de g é n é r a t e u r s ) ( x „ , . . . , x , x „) de m : n o u s

1 r r+1 — a l l o n s d é f i n i r une n o t i o n de t r a n s v e r s a l i t é pour ( x „ , . . . , x ) .

1 r

P o s o n s R = k [ [ x ^ , . . • , x ^ ] ] : c'est un s o u s - a n n e a u de 9* i s o m o r p h e à un a n n e a u de séries f o r m e l l e s en r i n d é t e r m i n é e s ;i on a û* =RCxr+i ] ' ce

qui implique que & est fini (et donc e n t i e r ) sur R.

- 36 -

S o i t O un idéal p r e m i e r de hauteur 1 dans V ; 6 est l'idéal d'une s o u s - v a r i é t é irréductible, de c o d i m e n s i o n 1 , W de V .

Comme 8" est entier sur R et que R est intégralement clos, (P fi R est un idéal p r e m i e r de R qui est aussi de hauteur 1 , Il est donc principal engendré par un élément £ ^ •

Soit h£3 1¹h o m o m o r p h i s m e canonique :

-» 0 p î n£> restreint à R est injectif, car 1¹ é q u i d i m e n s i o n n a l i t é de O' implique que & est un R-module sans torsion : on peut donc identifier R à un sous-anneau de & ^ , et K s k ( ( x ^ , . . . , ) ) à un s o u s - c o r p s de l'anneau t o - tal de fractions de dp ; est alors un paramètre de l'anneau & ^ (qui est de dimension l) car est r é g u l i e r dans &p •

D é f i n i t i o n 5 » !

On dit que le système de p a r a m è t r e s (x^,...,x^) est transverse à f( o u à ¥ ) si § ^ est un paramètre transverse de &p •

Si le lieu singulier de V est de codimension plus grande que 1 , V est normale (il suffit d'appliquer le "critère de S e r r e " à & ) et donc sa- turée •

S u p p o s o n s donc que le lieu singulier V . de V soit de codimension s m g

1 , et soient W ^ , . . . , W ^ les composantes inrréductibles de dimension r- 1 de V . : les W. correspondent à des idéaux p r e m i e r s de hauteur 1 de 1' a n -

s m g î î neau & • On a alors :

T h é o r è m e 5 . 2

-\«

La saturation Ô , , v est indépendante du c h o i x des p a r a m è - K \ \ x_^ , • • • , x^ ) )

très (x„,...,x ) p o u r v u qu'ils fassent partie d'une base (x„,.«.,x ,x .) de

1 r l r r + 1

m et qu'ils soient t r a n s v e r s e s à chacune des v a r i é t é s W .# #. , W (au sens de

— 1 q la définition 5»l)«

La d é m o n s t r a t i o n complète de ce théorème se trouve dans G . T . S . III c f . aussi S.E.S III, théorème 8 , 2 .

- 3 7 -

R e m a r q u e s

1 ) Le théorème 5 « 2 , implique que pour "presque t o u s " les systèmes r+1

de p a r a m è t r e s de la forme x! = £ a. x. ( i = l , . . , , r , a . € k ) , la s a t u r a -

1 j = l xj 3 3

tion CT // , N est la m ê m e , "presque t o u s " signifiant qu'il suffit que K \ {x^ , • • • , x^ ;

les a. a p p a r t i e n n e n t à un ouvert de Zariski de l'espace des c o e f f i c i e n t s ,

2) Le théorème 5 » 2 n'est pas vrai en général pour un système de p a - r a m è t r e s t r a n s v e r s e au sens h a b i t u e l .

I n d i q u o n s brièvement sur quoi repose la d é m o n s t r a t i o n de ce t h é o - rème : soit 0 un idéal p r e m i e r de h a u t e u r 1 , et soient R ^ et &p les com- p l é t é s des a n n e a u x R ^ et . Soit le corps des f r a c t i o n s de $

Lemme 5*3

On a l'égalité :

&K = F n ( ^ ( &^a ) )

(avec K = k ( ( x . , . . • , x )) ) . l r

Ce lemme permet de se ramener au cas de la d i m e n s i o n 1 ; il faut alors é t u d i e r sous quelles c o n d i t i o n s les o p é r a t i o n s de s a t u r a t i o n et de c o m p l é t i o n c o m m u t e n t .

Soit donc & un anneau n o e t h e r i e n semi-local de d i m e n s i o n 1 , é q u i d i - m e n s i o n n e l , é q u i c a r a c t é r i s t i q u e et de c a r a c t é r i s t i q u e O ,

S u p p o s o n s que c o n t i e n n e un sous-anneau R régulier de d i m e n s i o n 1

et que :

1 ) & soit un R-module fini,

2) & soit sans t o r s i o n sur R,

3 ) R soit p s e u d o - g é o m é t r i q u e (au sens de N a g a t a )

3 ) signifie que pour tout idéal p r e m i e r <P de R, la clôture intégrale de R/^

- 3 8 -

dans une e x t e n s i o n finie de son corps des fractions est finie sur R/£>

(cf. N a g a t a , Local R i n g s , p . 1 3 1 ) .

Soient R le complété de R, et K le corps des fractions de R ; on a alors :

Lemme 5 . 4

Sous les h y p o t h è s e s p r é c é d e n t e s , il y a un isomorphisme canonique :

7 Ô £ ) su

K ^

A

O n déduit de là que si & est saturé par rapport à K, & est saturé par rapport à K.

* *

NOTES .

Note 1 (p. 24) - (cf. S.E.S. I I I , théorème 8 . 2 , énoncé sans démonstration pour le cas où k est supposé algébriquement clos et de caractéristique 0 ; la démonstration complète, dans le cas plus général, où k est supposé seule- ment d'être de caractéristique 0 , est donnée dans G.T.S. I I I , Corollaire 3 . 5 )

Note 2 (p. 33) - (cf. G.T.S. I, th. 7-2, p. 62k 9 dans le cas où & est intégre ; dans le cas général cf. G.T.S. I I , th. k,$9 p 9 0 5 . Pour un théorème plus fort cf G.T.S. I, cor. J.k et G.T.S. I I I , Appendice A, Lemme A9) .

- 39 -