Contrôle des calculs en dynamique : bornes strictes et pertinentes sur une quantité d'intérêt

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Julien Waeytens

To cite this version:

Julien Waeytens. Contrôle des calculs en dynamique : bornes strictes et pertinentes sur une quan-tité d’intérêt. Autre. École normale supérieure de Cachan - ENS Cachan, 2010. Français. �NNT : 2010DENS0051�. �tel-00561476�

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CACHAN

ENSC-2010/2011

TH `ESE DE DOCTORAT

DE L’ ´ECOLE NORMALE SUP ´ERIEURE DE CACHAN

Pr´esent´ee par

Julien Waeytens

pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L’ ´ECOLE NORMALE SUP ´ERIEURE DE CACHAN

Domaine

M ÉCANIQUE - G ÉNIE M ÉCANIQUE - G ÉNIE CIVIL

Sujet de la th`ese

Contrˆole des calculs en dynamique :

bornes strictes et pertinentes sur une quantité d’intérêt

Soutenue à Cachan le 10 décembre 2010 devant le jury composé de :

Marc Bonnet Directeur de recherche, Ecole Polytechnique Président du jury Arnaud Deraemaeker Directeur de recherche, Université Libre de Bruxelles Rapporteur Pedro D´ıez Professeur, Universitat Politècnica de Catalunya Rapporteur

Luc Gonidou Ing´enieur, CNES Examinateur

Bing Tie Chargée de recherche, Ecole Centrale Paris Examinateur Ludovic Chamoin Maˆıtre de conférences, ENS de Cachan Examinateur Pierre Ladevèze Professeur, ENS de Cachan Directeur de thèse

LMT-Cachan

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Je tiens en premier lieu à exprimer ma profonde gratitude à mon directeur de thèse Pierre Ladevèze pour m’avoir accordé sa confiance en me permettant de travailler sur ce sujet.

J’ai vraiment éprouvé un grand plaisir à travailler avec Ludovic Chamoin. Sa sympathie, sa disponibilité et ses compétences m’ont permis de réaliser la thèse dans les meilleures conditions. En plus d’être un excellent encadrant, c’est un très bon ami. Merci de m’avoir fait découvrir le vin d’Irancy et le stade bourguignon de l’Abbé-Deschamps !

Je suis sensible `a l’honneur que m’ont fait M. Bonnet, M. Deraemaeker, M. D´ıez, M. Gonidou et Mme Tie en acceptant d’ˆetre dans mon jury.

Au cours de ma scolarité, j’ai eu le privilège de travailler avec Theofanis Strouboulis. Je tiens à le remercier de m’avoir accueilli à Texas A&M University et de m’avoir initié au calcul d’erreur.

Je n’oublierai jamais ma première conférence internationale à Bruxelles ; studieuse la journée et festive la nuit. Un grand merci à Eric, pilier de l’équipe erreur, ainsi qu’à Aurélie et Tanguy !

A mes amis de la 211, j’exprime de chaleureux remerciements pour tous les bons moments passés au bar du labo à discuter d’agriculture biologique avec Thomas, du mol avec Matthieu, des night clubs de l’ˆıle de Rhodes avec Grégory, des différentes recettes de brioche avec Chloé, d’IP over pigeon avec Augustin, de spécialités culinaires à base de biscottes avec Pierre-Etienne et des DJ niçois avec Nathan.

Je souhaite remercier Françoise et Lydia pour leur aide concernant les formalités administratives et Amélie pour la recherche d’articles.

J’ai beaucoup apprécié ces années passées au DGM en tant que moniteur et au LMT. Malgré l’absence du soleil et des cigales, c’est un endroit convivial où il fait bon vivre ! Merci à tous pour cette bonne humeur permanente.

Bien sûr, je n’oublie pas mes collègues footballeurs de l’ENS avec qui j’ai joué tout au long de ma scolarité. Je les remercie pour leur accueil et pour leurs innombrables conseils footballistiques.

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Table des mati`eres

Table des mati`eres i

Table des figures v

Liste des tableaux ix

Introduction 1

1 Etat de l’art sur l’estimation d’erreur 7

1 Problème de référence . . . 8

1.1 La visco´elasticit´e . . . 8

1.2 D´efinition du probl`eme . . . 9

1.3 R´esolution du probl`eme . . . 10

2 Estimateur d’erreur globale . . . 12

2.1 Erreur de discr´etisation en espace . . . 12

2.2 Erreur de discr´etisation en temps . . . 24

2.3 Erreur de discr´etisation en espace et en temps . . . 30

3 Les estimateurs d’erreur locale . . . 36

3.1 Les premiers travaux . . . 37

3.2 M´ethodes utilisant un probl`eme adjoint . . . 38

3.3 M´ethodes bas´ees sur l’erreur en relation de comportement . . . . 45

2 La méthode de calcul des bornes garanties sur une quantité d’intérêt 49 1 Problème de référence . . . 51 1.1 Définition du problème . . . 51 1.2 Résolution du problème . . . 52 2 Erreur en dissipation . . . 54 3 Quantité d’intérêt . . . 55 4 Problème adjoint . . . 56

5 Obtention de bornes strictes sur une quantité d’intérêt . . . 57

5.1 Majoration avec l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz . . . 57

5.2 Majoration avec l’in´egalit´e de Legendre-Fenchel . . . 59

6 Exemples num´eriques . . . 66

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6.2 Erreur en dissipation du problème de référence . . . 68

6.3 Etude de la quantité d’intérêt n˚1 . . . 70

3 La technique de construction de champs admissibles en dynamique 81 1 Notion de champs admissibles en dynamique . . . 83

1.1 Cas de l’erreur au sens de Drucker . . . 83

1.2 Cas de l’erreur en dissipation . . . 84

2 Reconstruction des champs admissibles pour l’erreur en dissipation . . . 85

2.1 Démarche générale . . . 86

2.2 Une technique de construction d’une contrainte admissible . . . . 87

2.3 Autres m´ethodes de construction d’une contrainte admissible . . . 90

3 Reconstruction optimis´ee des champs admissibles . . . 93

4.1 Schéma des accélérations linéaires . . . 95

4.2 Schéma des accélérations moyennes . . . 98

4 Am´elioration de la pertinence des bornes d’erreur garanties 101 1 Raffinement global du probl`eme adjoint . . . 103

2 Raffinement local du probl`eme adjoint . . . 114

2.1 Champs admissibles pour des maillages non-conformes . . . 115

2.2 Erreur en dissipation et obtention des bornes . . . 119

3 Encadrement prenant en compte le terme d’´energie cin´etique . . . 121

3.1 D´emarche . . . 121

3.2 Exemples num´eriques . . . 129

5 Calcul de bornes d’erreur garanties pour des quantités ponctuelles 137 1 Fonctions élémentaires . . . 139

1.1 Equation d’onde . . . 139

1.2 Elastodynamique . . . 144

1.3 Visco´elastodynamique . . . 149

2 Bornes sur une quantité d’intérêt ponctuelle . . . 152

2.1 Probl`eme adjoint et sa r´esolution . . . 152

2.2 Reconstruction des champs admissibles pour le problème adjoint . 156 2.3 Obtention de l’encadrement de la quantité d’intérêt ponctuelle . . 158

3.1 Quantité d’intérêt ponctuelle en espace et moyennée en temps . . 160

3.2 Vers des quantités d’intérêt ponctuelles en espace et en temps . . 168

Conclusion 171

(8)

Table des mati`eres iii

B Analyse du param`etre de viscosit´e 179

C Obtention du probl`eme adjoint 185

D Preuve du r´esultat fondamental 189

E D´etermination du pas de temps critique 193

F Solution de Green en visco´elastodynamique 195

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Table des figures

1 Validation et v´erification . . . 2

1.1 Problème de référence . . . 9

1.2 Patchs d’éléments pour la méthode SPR . . . 15

1.3 Une premi`ere proc´edure de maillage adaptatif . . . 31

1.4 Problèmes de référence et adjoint en élastodynamique 1D . . . 39

1.5 Solution approchée du problème d’élastodynamique 1D . . . 40

1.6 Erreur sur la quantité d’intérêt en 1D . . . 41

2.1 Fonctions de pond´eration - Legendre-Fenchel . . . 66

2.2 Problème de référence . . . 67

2.3 Déformée et déplacement approchés de la structure en L . . . 68

2.4 Contrainte approch´ee de la structure en L . . . 69

2.5 Cartes d’erreur du problème de référence . . . 69

2.6 Extracteur (Q.I n˚1) . . . 70

2.7 Chargement du probl`eme adjoint (Q.I n˚1) . . . 71

2.8 Déplacement approchée pour le problème adjoint (Q.I n˚1) . . . 72

2.9 Contrainte approch´ee (Q.I n˚1) . . . 72

2.10 Cartes d’erreur du probl`eme adjoint (Q.I n˚1) . . . 73

2.11 Erreurs en dissipation pond´er´ees (Q.I n˚1) - Legendre-Fenchel . . . 75

2.12 Zone d’int´erˆet et extracteur (Q.I n˚2) . . . 76

2.13 Cartes d’erreur du probl`eme adjoint (Q.I n˚2) . . . 76

2.14 Erreurs en dissipation pond´er´ees (Q.I n˚2) - Legendre-Fenchel . . . 78

2.15 Fonctions de pond´eration pour des q.i. ind´ependantes de l’histoire . . . . 79

3.1 Reconstruction classique des champs admissibles - Sch´ema des acc. lin. . 86

3.2 Noeud int´erieur d’un maillage avec des quadrangles `a 4 noeuds . . . 88

3.3 Reconstruction de la contrainte admissible . . . 90

3.4 Cartes d’erreur - Sch´ema des acc. lin. . . 95

3.5 Erreur en dissipation en fonction de h - Meth. 1 - Sch´ema des acc. lin. . . 96

3.6 Erreur en dissipation en fonction de h - Meth. 2 - Sch´ema des acc. lin. . . 97

3.7 Erreur relative en fonction de h - Meth. 1 - Sch´ema des acc. lin. . . 98

3.8 Erreur en dissipation - Reconstruction optimis´ee . . . 99

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4.2 Extracteur (Q.I n˚1) . . . 104

4.3 Définition des différentes zones d’intérêt (Q.I n˚1) . . . 108

4.4 Influence du param`etre de viscosit´e (Q.I n˚1) . . . 109

4.5 D´eform´ee et contrainte pour une structure fortement visqueuse . . . 109

4.6 Zone d’int´erˆet et extracteur (Q.I n˚2) . . . 110

4.7 Bornes sur la Q.I n˚2 - Raffinement du problème adjoint - Cauchy-Schwarz 111 4.8 Influence du paramètre de viscosité (Q.I n˚2) . . . 114

4.9 Zone de raffinement local en espace . . . 115

4.10 Construction des densit´es pour des maillages incompatibles . . . 116

4.11 Densit´es pour des maillages incompatibles . . . 119

4.12 Influence de la zone de raffinement en espace . . . 120

4.13 Influence du maillage dans la zone de raffinement . . . 121

4.14 Fonctions de pondération - Legendre-Fenchel et Legendre-Fenchel Brun . 128 4.15 Chargements du problème de référence sur[0, 2T ] . . . 129

4.16 Chargement du probl`eme adjoint bis (Q.I n˚2) . . . 130

4.17 Cartes d’erreur en dissipation (au carré) du problème adjoint bis (Q.I n˚2) 131 4.18 Problème de référence de type “choc” . . . 133

4.19 Cartes d’erreur des 3 probl`emes (Q.I n˚2) - Exemple n˚2 . . . 135

5.1 Contours d’int´egration dans le plan complexe . . . 142

5.2 Solution de Green en 1D - Equation d’onde . . . 143

5.3 Solutions de Green en 2D et 3D - Equation d’onde . . . 144

5.4 Onde longitudinale et onde transversale . . . 148

5.5 Solution de Green 1D - Equation d’onde avec amortissement . . . 150

5.6 Solutions de Green 2D contraintes planes - Elasto et viscoélastodynamique 152 5.7 Définition des sous-domaines et point d’intérêt . . . 154

5.8 D´ecomposition des densit´es sur le bord∂2Ω . . . 158

5.9 Evolution temporelle des extracteurs pour les quantités d’intérêt A et B . 161 5.10 Problème de référence et problème adjoint . . . 161

5.11 Domaines et fonction de pond´eration pour la structure carr´ee . . . 162

5.12 Cartes d’erreur en dissipation pour le problème de référence . . . 163

5.13 Solution de Green généralisée 2D contraintes planes - Chargement rampe 163 5.14 Cartes d’erreur en dissipation du problème adjoint (Q.I. A) . . . 164

5.15 Solution de Green généralisée 2D contraintes planes - Chargement échelon 166 5.16 Influence de la zone d’enrichissement (Q.I A) . . . 167

A.1 Mod`ele de Kelvin-Voigt . . . 175

A.2 Solution d’un essai de fluage avec le mod`ele de Kelvin-Voigt . . . 176

A.3 Mod`ele de Maxwell . . . 177

A.4 Solution d’un essai de relaxation avec le mod`ele de Maxwell . . . 177

B.1 Mod`ele de Kelvin-Voigt . . . 180

B.2 Amortissement en fonction de la pulsation propre - Mod`ele de Kelvin-V. . 181

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Table des figures vii

B.4 Amortissement en fonction de la pulsation propre - Mod`ele de Maxwell . 182 B.5 Quelques valeurs du facteur d’amortissement . . . 183

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Liste des tableaux

1.1 Paramètres utilisés pour l’exemple d’élastodynamique 1D . . . 39

2.1 Termes des bornes sur la quantité d’intérêt exacte - Legendre-Fenchel . . 67

2.2 Bornes sur la quantité d’intérêt exacte n˚1 - Cauchy-Schwarz . . . 74

2.3 Bornes sur la quantité d’intérêt exacte n˚1 - Legendre-Fenchel . . . 74

2.4 Bornes sur la quantité d’intérêt exacte n˚2 - Cauchy-Schwarz . . . 77

2.5 Bornes sur la quantité d’intérêt exacte n˚2 - Legendre-Fenchel . . . 78

3.1 Erreur en dissipation avec les m´ethodes 1 et 2 - Sch´ema des acc. lin. . . . 98

4.1 Bornes sur la Q.I n˚1 - Raffinement problème adjoint - Cauchy-Schwarz . 105 4.2 Bornes sur la Q.I n˚1 - Raffinement problème adjoint - Legendre-Fenchel 106 4.3 Influence de la zone d’intérêt temporelle (Q.I n˚1) . . . 107

4.4 Influence de la zone d’int´erˆet spatiale (Q.I n˚1) . . . 108

4.5 Bornes sur la Q.I n˚2 - Raffinement problème adjoint - Legendre-Fenchel 112 4.6 Comparaison des bornes sur la Q.I n˚2 - Raffinement du problème adjoint 112 4.7 Influence du temps d’intérêt (Q.I n˚2) . . . 113

4.8 Bornes sur la Q.I n˚2 - Legendre-Fenchel Brun . . . 132

4.9 Influence du chargement sur(T, 2T ) (Q.I n˚2) - Legendre-Fenchel Brun . 133 4.10 Bornes sur la Q.I n˚2 avec Legendre-Fenchel - Exemple n˚2 . . . 136

4.11 Bornes sur la Q.I n˚2 avec Legendre-Fenchel Brun - Exemple n˚2 . . . 136

5.1 Paramètres utilisés pour la structure carrée . . . 161

5.2 Bornes sur les quantités d’intérêt A . . . 165

5.3 Influence de la viscosit´e (Q.I A) . . . 167

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Introduction

Dans les années 70, la mécanique a connu un changement majeur avec le développement de l’outil informatique. Des solutions dites “approchées” de problèmes complexes ont alors pu être calculées sur ordinateur. Le “virtual testing”, i.e. la simu-lation du réel, est devenu un nouvel enjeu. Ainsi est née dans l’industrie une réelle volonté de remplacer au maximum les essais expérimentaux coûteux par des simulations numériques. Ceci a en particulier permis un fort développement dans le domaine de la dynamique, notamment pour le dimensionnement de structures (étude des impacts, problèmes de fissuration, etc). Par exemple, bien que les prototypes physiques soient toujours utilisés pour valider le respect des différentes normes de crash, l’industrie automobile a de plus en plus recours à des simulations numériques, ceci permettant de faire face aux contraintes de temps et de coût. Néanmoins, est-ce que le résultat de la simulation numérique représente la réalité ? En d’autres termes, peut-on faire confiance à la simulation ? Afin de répondre à cette question et de pouvoir prendre des décisions à partir des simulations, les ingénieurs ont besoin de contrôler la qualité des calculs numériques. En effet, une mauvaise maˆıtrise de l’outil numérique peut avoir de lourdes conséquences ; on peut citer l’exemple de l’accident de la plate-forme pétrolière Sleipner [Jakobsen et Rosendahl, 1994], qui a coulé en 1991 suite à une sous-estimation de 50% des contraintes de cisaillement issues d’un calcul par la méthode des éléments finis.

L’évaluation de la fiabilité des solutions numériques est l’objet des thématiques de recherche de “validation” et de “vérification” (V&V). La validation a pour but d’estimer l’erreur commise entre le réel et le modèle mathématique, tandis qu’en vérification, on cherche à estimer l’erreur entre le modèle numérique et le modèle mathématique, i.e. l’er-reur de discrétisation. Une synthèse de ces deux notions est proposée sur la Figure 1 ex-traite de [Babuska et al., 2007]. Il est important de souligner qu’en vérification, le modèle mathématique est pris comme référence. Dans ce domaine, des estimateurs de l’erreur globale ont d’abord été introduits dans les années 70 ; ils correspondent à la flèche n˚1 de la Figure 1. On peut distinguer d’une part les estimateurs a priori, déterminés à partir du chargement, de la méthode de résolution approchée, des propriétés de la solution exacte, etc... mais ceux-ci sont inadaptés pour la conception robuste. Ils sont utilisés en pratique pour vérifier la convergence de la méthode d’approximation. D’autre part, il existe des es-timateurs a posteriori, qui sont calculés uniquement à partir de la solution approchée du problème ; ces estimateurs sont les plus utilisés à présent. On peut distinguer trois grandes familles d’estimateur d’erreur globale a posteriori :

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1. ceux basés sur la non-vérification des équations d’équilibre. Deux sous-familles ont été développées :

– les estimateurs explicites [Babuska et Rheinboldt, 1978], qui sont déterminés ex-plicitement à partir des résidus d’équilibre à l’intérieur et sur la frontière des éléments, ainsi que des paramètres de discrétisation ;

– les estimateurs implicites [Babuska et Rheinboldt, 1978; Bank et Weiser, 1985], qui nécessitent la résolution de problèmes locaux supplémentaires ;

2. ceux basés sur les défauts de régularité [Zienkiewicz et Zhu, 1987]. Dans la méthode des éléments finis en déplacement, il est bien connu que le vecteur contrainte est discontinu entre deux éléments. L’idée de cette famille d’estimateurs consiste donc à mesurer l’erreur entre la contrainte approchée et une contrainte dite “lissée”. Les différentes méthodes se distinguent alors par le procédé de lissage employé ;

3. ceux basés sur la non-vérification de la relation de comportement [Ladevèze, 1975]. L’idée générale est de considérer la relation de comportement comme la moins fiable des équations du problème. Pour cela, une étape de reconstruction de champs admissibles, qui est un point clé de la méthode, est nécessaire. Ces champs sont obtenus à partir de la solution approchée du problème et vérifient les équations de liaison, les équations d’équilibre et les conditions initiales. L’estimateur consiste alors en une mesure de la non-vérification de la relation de comportement.

Lorsque l’estimateur d’erreur majore l’erreur réelle, on dit que l’estimateur d’erreur est “garanti”. Peu de travaux permettent d’obtenir un estimateur d’erreur globale garanti pour les problèmes linéaires [Ladevèze, 1975; Strouboulis et al., 2000a; Cottereau et al., 2009]. En fait, ces derniers suivent une même démarche qui peut s’exprimer sous la forme de l’erreur en relation de comportement. La différence entre les méthodes est dans la technique de construction des contraintes admissibles à partir de la solution éléments finis [Ladevèze et Pelle, 2004; Parés et al., 2006; Ladevèze et al., 2010].

Reality Mathematical_Model Computational_Model Prediction_(output) Decision

Validation Verification

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FIG. 1: Validation et vérification dans le processus de décision à partir d’une solution numérique

Pour les problèmes dépendant du temps, une première approche introduite dans [Zienkiewicz et al., 1988] consiste à utiliser les outils développés en statique linéaire pour estimer l’erreur à chaque piquet de temps. Cependant, cette méthode ne permet

(18)

Introduction 3

pas de prendre en compte l’erreur de discrétisation en temps. Concernant le contrôle de l’erreur en temps, les travaux de [Park et Underwood, 1980] ont été parmi les premiers à proposer un critère de choix pour le pas de temps dans le cas du schéma de New-mark des différences centrées grâce au calcul de la plus haute fréquence sollicitée lors du chargement. Ces travaux ont été étendus aux schémas de Newmark implicites dans [Bergan et Mollestad, 1985]. D’autres approches ont été envisagées pour estimer l’er-reur de discrétisation en temps. On peut comparer des solutions numériques obtenues avec différentes discrétisations temporelles [Gear, 1971] ou obtenues avec des schémas d’intégration de différents ordres [Thomas et Gladwell, 1988]. On peut aussi approximer la solution exacte présente dans l’expression de l’erreur sur un pas de temps à l’aide d’un développement de Taylor [Zienkiewicz et Xie, 1991] ou d’une solution “post-process” [Wiberg et al., 1992].

Enfin, il existe dans la littérature des méthodes permettant de prendre en compte si-multanément les deux sources d’erreur (espace et temps). La méthode basée sur la non-vérification de l’équilibre s’étend aux problèmes de dynamique [Hughes et Hulbert, 1988; Aubry et al., 1999] à condition d’utiliser une formulation variationnelle en espace et en temps pour résoudre le problème. Dans le cadre des approches plus classiques basées sur une méthode des éléments finis en espace et un schéma d’intégration en temps, les estimateurs d’erreur en relation de comportement suivants peuvent être utilisés :

– “erreur au sens de Drucker” [Ladevèze, 1985] ; pour appliquer cet esti-mateur il est nécessaire que le matériau soit stable au sens de Dru-cker [DruDru-cker, 1964]. Il a été étudié pour les problèmes de (visco)plasticité [Ladevèze et al., 1986; Gallimard et al., 1996; Ladevèze, 2000], les problèmes de dynamique [Combe et al., 1999] et les problèmes avec contact et frottement [Louf, 2003] ;

– “erreur en dissipation” [Ladevèze, 1989] ; cet estimateur est basé sur la non-vérification de la loi de comportement dissipative. Il a été appliqué à des problèmes de (visco)plasticité dans [Ladevèze et Moës, 1997]. Contrairement à l’erreur de Drucker, une relation entre l’erreur en solution et cet estimateur peut être établie, ce qui apporte le caractère garanti de l’estimateur.

Bien que tous ces estimateurs de l’erreur globale fournissent une première in-formation sur la qualité de la solution, celle-ci s’avère souvent insuffisante pour l’ingénieur. De ce fait, des estimateurs d’erreur sur des quantités d’intérêt locales,

e.g. la contrainte de Von Misès dans une zone de la structure, ont été développés. Ils

correspondent à la flèche n˚2 de la Figure 1. Notons que l’erreur de discrétisation dans la zone d’intérêt dépend aussi de l’erreur de discrétisation dans la zone complémentaire, cette notion d’ “erreur de pollution” ayant été introduite et étudiée dans [Babuska et al., 1995]. Dans la littérature, la majorité des méthodes pour l’esti-mation d’erreur locale repose sur la résolution d’un problème adjoint. On peut citer les travaux de [Paraschivoiu et al., 1997; Ladevèze et al., 1999; Strouboulis et al., 2000a; Becker et Rannacher, 2001; Oden et Prudhomme, 2001] pour les problèmes de sta-tique linéaire et [Schleupen et Ramm, 2000; Houston et Süli, 2002; Ladevèze, 2008b;

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Fuentes et al., 2006; Tie et Aubry, 2010] pour les problèmes de dynamique. Cette tech-nique présente l’avantage de réemployer les estimateurs d’erreur globale afin d’évaluer l’erreur locale. Grâce aux estimateurs d’erreur locale, l’ingénieur dispose d’un outil permettant de quantifier l’erreur commise sur des quantités d’intérêt cruciales pour le dimensionnement de structures. Ceci est possible à condition que l’estimateur d’erreur locale soit “pertinent”, i.e. l’estimateur représente correctement l’erreur réelle.

De surcroˆıt, l’utilisation d’un estimateur d’erreur globale garanti permet d’obtenir un estimateur d’erreur locale garanti dans le cas linéaire. En ce qui concerne les problèmes non-linéaires et les problèmes de dynamique, des hypothèses simplificatrices sont couramment utilisées comme la linéarisation du comportement. Par conséquent, à notre connaissance, les estimateurs d’erreur locale proposés dans la littérature ne sont pas garantis en non-linéaire et en dynamique.

Dernièrement, une méthode a été proposée dans [Ladevèze, 2008b] afin d’obtenir des bornes garanties sur une quantité d’intérêt locale pour les problèmes de dynamique et les problèmes non-linéaires. Celle-ci est basée sur la résolution d’un problème adjoint et sur l’estimateur d’erreur en relation de comportement appelé “erreur en dissipation”. Dans cette thèse, on s’intéresse à la mise en place de la méthode pour des problèmes linéaires de dynamique transitoire [Ladevèze et Waeytens, 2009].

Pour les problèmes de viscoélasticité, l’erreur en dissipation a permis d’aboutir à des bornes à la fois garanties et pertinentes notamment grâce à une résolution fine du problème adjoint en profitant du caractère local de la solution [Chamoin et Ladevèze, 2007; Chamoin et Ladevèze, 2008]. Cette idée ne fonctionne a priori qu’en quasi-statique. Par conséquent, un élément important de ce travail est de mettre en place une technique permettant d’aboutir à une résolution fine du problème adjoint. Pour cela, des techniques de raffinement du maillage sont introduites et une approche exploitant les solutions élémentaires en milieu infini sont envisagées.

De plus, on rappelle qu’il est nécessaire de reconstruire des champs admissibles afin de calculer l’estimateur d’erreur basé sur “l’erreur en dissipation”. La technique de recons-truction de champs admissibles développée pour l’erreur de Drucker [Combe et al., 1999; Ladevèze et Pelle, 2004] n’étant pas adaptée, une nouvelle stratégie est proposée dans ce travail.

Dans [Ladevèze, 2008b], différentes techniques d’encadrement de la quantité d’intérêt ont été développées. La première méthode, qui est la plus simple à mettre en oeuvre, utilise l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Dans la deuxième méthode, l’encadrement est obtenu à partir de l’inégalité de Legendre-Fenchel et d’une fonction de pondération ayant pour but d’éviter des surmajorations de l’erreur locale. La dernière approche est une variante de la méthode précédente exploitant le théorème de Brun [Bui et Tanaka, 1992]. Notre objectif est donc de mettre en œuvre ces méthodes et de proposer une démarche permettant de sélectionner celle qui est la plus adaptée pour obtenir des bornes pertinentes suivant le problème de référence et la quantité d’intérêt étudiés.

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Introduction 5

Un dernier point de l’étude concerne l’extension de bornes garanties et pertinentes à des quantités d’intérêt ponctuelles. Dans ce cas, on est confronté à la résolution d’un problème adjoint présentant des singularités. Afin de les prendre en compte, on utilise les fonctions élémentaires (fonctions de Green) de dynamique en milieu infini. A la question ”peut-on obtenir des bornes pertinentes pour des quantités ponctuelles en espace et en temps ?”, on apporte des éléments de réponse à la fin du manuscrit.

Ce travail sur l’obtention de bornes garanties et pertinentes sur des quantités d’intérêt en dynamique transitoire est divisé en cinq chapitres :

– le premier comporte un état de l’art sur les estimateurs d’erreur globale et les estimateurs d’erreur locale pour les problèmes de statique et de dynamique ; – le deuxième est un rappel de la méthode de calcul des bornes d’erreur garanties sur

une quantité d’intérêt en dynamique. Des exemples numériques sont proposés afin d’illustrer la méthode ;

– le troisième chapitre traite de la technique de reconstruction des champs admis-sibles pour le calcul de l’estimateur d’erreur en relation de comportement appelé “erreur en dissipation”. Le comportement de cet estimateur est ensuite étudié ; – le quatrième volet présente plusieurs techniques pour améliorer la pertinence des

bornes. Dans un premiers temps, des méthodes basées sur une meilleure résolution du problème adjoint sont développées. Ensuite, une variante de l’encadrement basé sur l’inégalité de Legendre-Fenchel exploitant le théorème de Brun est présentée ; – le cinquième volet est une extension des bornes garanties et pertinentes à des

(21)

(22)

Chapitre 1

Etat de l’art sur l’estimation d’erreur

Dans cette partie, un état de l’art est réalisé pour les estimateurs d’erreur globale et les estimateurs d’erreur locale. On s’intéresse plus particulièrement aux problèmes de

statique et de dynamique avec amortissement.

Sommaire

1 Problème de référence . . . . 8 1.1 La viscoélasticité . . . 8 1.2 Définition du problème . . . 9 1.3 Résolution du problème . . . 10 2 Estimateur d’erreur globale . . . . 12 2.1 Erreur de discrétisation en espace . . . 12 2.2 Erreur de discrétisation en temps . . . 24 2.3 Erreur de discrétisation en espace et en temps . . . 30 3 Les estimateurs d’erreur locale . . . . 36 3.1 Les premiers travaux . . . 37 3.2 Méthodes utilisant un problème adjoint . . . 38 3.3 Méthodes basées sur l’erreur en relation de comportement . . . 45

(23)

1 Problème de référence

Pour illustrer les différents estimateurs d’erreur globale et locale, un problème de viscoélastodynamique est considéré. On le qualifie de “problème de référence”. Avant de le définir, un rappel succinct sur la notion et la modélisation de la viscoélasticité est réalisé.

1.1 La visco´elasticit´e

Newton fut le premier à définir le paramètre de viscosité comme étant le coefficient de proportionnalité entre la contrainte et la vitesse de déformation. La réponse d’une structure viscoélastique dépend donc de la vitesse du chargement. Deux phénomènes ca-ractéristiques ont été mis en évidence :

– à déformation constante la contrainte décroˆıt au cours du temps, c’est la relaxa-tion. Par exemple, dans les assemblages boulonnés, on constate une diminution de l’effort de serrage au cours du temps ;

– à contrainte constante la déformation croˆıt progressivement jusqu’à atteindre un palier, c’est le fluage. Par exemple, dans le domaine du génie civil, une déformation excessive provenant du fluage du béton peut entraˆıner la présence de fissures dans le bâtiment.

Ces phénomènes ne sont pas toujours des inconvénients. En effet, la viscoélasticité peut s’avérer utile pour d’autres applications telles que les appareils auditifs [Lakes, 1999]. Concernant la modélisation de ces phénomènes, une théorie 3D isotrope viscoélastique a été introduite par Maxwell, Kelvin, Voigt et Boltzmann au X IXème siècle. Ensuite, Volterra l’a étendue au cas anisotrope en 1909. Le développement des matériaux polymères a suscité un intérêt croissant pour la viscoélasticité.

On peut distinguer trois approches pour caractériser la viscoélasticité linéaire : – utilisation d’une relation de comportement :

ainsi, le lien entre la contrainte et la vitesse de déformation est exprimé à l’aide d’une intégrale : σi j(t) = Ri jkl(t)εkl(0) + Z t 0 Ri jkl(t −

T

) dεkl d

T

(

T

)d

T

(1.1)

o`u Ri jkl repr´esente le tenseur de relaxation.

Par analogie, la déformation est liée à la dérivée de la contrainte par :

εi j(t) = Ci jkl(t)σkl(0) + Z t 0 Ci jkl(t −

T

) dσ_kl d

T

(

T

)d

T

(1.2)

où Ci jkl représente le tenseur de fluage. Ces deux expressions peuvent s’écrire plus

simplement `a l’aide du produit de convolution :

(

σi j(t) = Ri jkl(t)εkl(0) + Ri jkl⊗d_dε_Tkl

εi j(t) = Ci jkl(t)σkl(0) +Ci jkl⊗d_dσ_Tkl

(24)

Problème de référence 9

– utilisation d’une ´equation diff´erentielle :

la contrainte et ses dérivées sont liées à la déformation par une équation différentielle de la forme : P(D)σi j(t) = Q(D)εi j(t) (1.4) avec :          P(D) = N

∑

k=0 pkDk Q(D) = N

∑

k=0 qkDk (1.5)

où D représente l’opérateur de dérivation. – utilisation de variables internes

on distingue les variables ´elastiques des variables visqueuses. Des relations sont ´etablies entre ces variables.

Dans l’annexe A, ces trois approches sont illustrées sur les modèles rhéologiques 1D de Kelvin-Voigt et Maxwell.

1.2 D´efinition du probl`eme

On considère une structure qui à l’instant initial t = 0 occupe le domaine Ω, sa frontière est notée∂Ω. Les conditions initiales en déplacement et en vitesse sont prises nulles. Cette structure est encastrée sur une partie de sa frontière, on la note∂1Ω. Elle est aussi soumise à :

– des efforts surfaciques F_d sur la fronti`ere∂2Ωv´erifiant∂1Ω∪∂2Ω=∂Ωet

∂1Ω∩∂2Ω= Ø ;

– des efforts volumiques f

d sur l’ensemble du domaineΩ.

Une illustration du probl`eme est fournie sur la Figure 1.1.

(25)

Concernant le comportement matériau, on se place en viscoélasticité linéaire. Dans cette partie, on privilégie l’écriture de la relation de comportement à l’aide d’une équation différentielle. On s’intéresse aux problèmes de dynamique transitoire sous l’hypothèse des petites perturbations. Le problème est donc défini par :

Trouver le champ de d´eplacement u(x,t) et le champ de contrainteσ(x,t),

avec t_{∈ [0,T ] et x ∈}Ω, qui v´erifient :

• Equations de liaison : u_∈

U

[0,T ]; u_|_∂₁_Ω_{= 0, ∀t ∈]0,T [} (1.6) (1.7) • Equation d’´equilibre : σ_∈

S

[0,T ]; ₋ Z Ωσ:ε(u ∗_)d_Ω₊Z Ω fd.u ∗_d_Ω₊Z |∂2Ω F_d.u∗dS= Z Ωρ¨u.u ∗_d_Ω_, ∀u∗∈

U

0, ∀t ∈]0,T [ (1.8) • Relation de comportement : σ |t =

A

ε( ˙u)_|_τ;τ_{∈ [0,t]}_{, ∀x ∈}Ω_{, ∀t ∈ [0,T ]} (1.9) • Conditions initiales : u(t = 0) = 0, ˙u(t = 0) = 0, σ(t = 0) = 0

U

[0,T ]est l’espace des champs de déplacement à énergie finie défini surΩ_{×]0,T [,}

U

[0,T ]₀ est l’espace d´efini par

U

[0,T ]₀ _{= {u ∈}

U

[0,T ]; u_|_∂₁_Ω _{= 0, ∀t ∈]0,T [} et}

S

[0,T ] est l’espace des champs de contrainte à énergie finie, défini sur Ω_{×]0,T [. L’opérateur}

A

caractérise le comportement viscoélastique du matériau. ρ est la masse volumique du matériau.

1.3 R´esolution du probl`eme

Pour résoudre ce problème de dynamique il existe deux types de méthode :

1. la plus classique consiste à employer la méthode des éléments finis en es-pace et un schéma d’intégration temporelle. Il est aussi possible d’utiliser une méthode de décomposition de domaine avec des schémas d’intégration et des pas de temps différents sur chaque sous-domaine [Combescure et al., 2003; Mahjoubi et al., 2009] ;

2. une autre approche consiste `a utiliser une formulation variationnelle en espace et en temps. Ainsi :

– lorsque les fonctions de base sont continues en espace et en temps, on parle de “Space-Time Galerkin method” ;

(26)

Problème de référence 11

– lorsque les fonctions de base sont continues en espace et discontinues en temps, on parle de “Time discontinous Galerkin method”. Cette formulation a ´et´e intro-duite dans [Hughes et Hulbert, 1988] ;

– lorsque les fonctions de base sont discontinues en espace et continues en temps, on parle de “Space discontinous Galerkin method”. Pour plus de d´etails, on peut se reporter `a [Falk et Richter, 1999; Grote et al., 2006] ;

– enfin, lorsque les fonctions de base sont discontinues en espace et en temps, on parle de “Space-Time discontinous Galerkin method”. Pour plus de d´etails, on peut se reporter `a [Monk et Richter, 2005].

Dans la suite, on s’intéresse principalement à la première méthode basée sur la méthode des éléments finis et un schéma d’intégration temporelle.

Dans un premier temps, une discrétisation en espace est utilisée. Le problème à résoudre est alors discret en espace et continu en temps, il est communément appelé “problème semi-discret”. De manière générale, il peut s’écrire sous la forme :

M. ¨U(t) +C. ˙U_{(t) + K.U(t) = F(t), ∀t ∈]0,T [}

U(0) = 0, ˙U(0) = 0 (1.10)

U repr´esente le vecteur des inconnues nodales en d´eplacement, F est le vecteur des

ef-forts généralisés, M, C et K correspondent aux matrices de masse, d’amortissement et de raideur.

L’utilisation d’un schéma d’intégration temporelle permet ensuite d’obtenir le problème complètement discret. Les schémas de Newmark [Newmark, 1959] sont une des familles les plus utilisées :

   U_n₊₁= U_n+∆t ˙U_n+∆t 2 2 (1 − 2β) ¨U_n+ 2β_U¨ n+1 ˙ U_n₊₁= ˙U_n+∆t_{(1 −}γ) ¨U_n+γU¨_n₊₁ (1.11)

où(γ,β) sont les paramètres caractéristiques du schéma. Suivant les paramètres choisis, le

schéma est inconditionnellement ou conditionnellement stable. En injectant l’expression de la vitesse et du déplacement dans le problème semi-discret au temps tn+1, on a :

(M +γ∆tC+β∆t2K) ¨U_n+1= F_n+1_{−C( ˙}U_n_{+ (1 −}γ)∆t ¨U_n_{) − K} U_n+∆t ˙U_n+∆t 2 2 (1 − 2β) ¨Un (1.12)

Connaissant l’ensemble des quantités au temps tn, on obtient l’accélération au temps tn+1

en résolvant le système linéaire (1.12). Le déplacement et la vitesse au temps tn+1 sont

ensuite déterminés à l’aide des formules du schéma (1.11). On distingue deux types de schéma :

– schéma explicite ; l’accélération ¨U_n₊₁ peut être calculée directement à partir des quantités cinématiques à l’instant n. Ceci est le cas lorsque les paramètres du

(27)

sch´ema de Newmark sont(γ= 0,β= 0) et que la matrice de masse est remplac´ee

par une matrice de masse diagonalis´ee : ¨ U_n₊₁= M−1_diag F_n₊₁_{−C( ˙}U_n+∆t ¨U_n_{) − K} U_n+∆t ˙U_n+∆t 2 2 U¨n (1.13)

Il est tr`es utilis´e pour les calculs de dynamique rapide, e.g. les chocs ;

– schéma implicite ; le calcul de l’accélération ¨U_n₊₁ nécessite la résolution de systèmes linéaires. Cependant, si le pas de temps est constant, il est préférable de calculer une seule fois l’inverse de la matrice du membre de gauche de (1.12) plutôt que de résoudre le système linéaire à chaque piquet de temps. Il est particulièrement utilisé pour les problèmes de dynamique lente, qui ne nécessitent pas l’utilisation de petits pas de temps.

2 Estimateur d’erreur globale

Le but de la vérification est d’estimer l’erreur commise entre la solution exacte, qui est très souvent inconnue, et la solution approchée du problème. Pour l’évaluer, on utilise des estimateurs a priori, qui sont calculés à partir des données du chargement et des pro-priétés de la solution exacte ou des estimateurs a posteriori qui sont calculés à partir de la solution approchée du problème. Ici, on s’intéresse aux estimateurs d’erreur a posteriori. Les sources d’erreur principales sont : l’erreur de discrétisation en espace et l’erreur de discrétisation en temps. Pour les autres sources d’erreur telles que les erreurs d’arrondi, de géométrie, etc... elles sont négligées. Dans un premier temps, les méthodes pour estimer l’erreur de discrétisation en espace sont étudiées. Ensuite, on s’intéresse aux méthodes permettant d’estimer l’erreur de discrétisation en temps. Enfin, les techniques prenant en compte ces deux sources d’erreur sont présentées.

2.1 Erreur de discr´etisation en espace

Dans cette partie, on se limite à la présentation des estimateurs d’erreur en espace pour un problème de statique. De ce fait, le terme d’accélération n’est pas pris en compte et la relation de comportement est purement élastique.

Il faut savoir que l’estimation de l’erreur de discrétisation en espace est aujourd’hui bien maˆıtrisée ; elle a été l’objet de nombreuses publications et on peut se reporter aux états de l’art [Ainsworth et Oden, 1997; Verfürth, 1999; Grätsch et Bathe, 2005].

Dans ce manuscrit, on pr´esente trois grandes familles d’estimateurs d’erreur globale bas´ees respectivement sur :

– le lissage des contraintes ;

(28)

Estimateur d’erreur globale 13

– la non-v´erification de la relation de comportement.

On introduit l’erreur réelle de discrétisation entre la solution exacte et la solution approchée :

e= u_ex_{− u}_h (1.14)

La norme ´energ´etique de l’erreur est alors :

||e||u,Ω=

r_Z

Ωε(e) :

K

ε(e)dΩ (1.15)

o`u

K

représente l’opérateur de Hooke. Celle-ci peut aussi s’écrire sous la forme :

||e||u,Ω=

r_Z

Ω[σex−σh] :

K

−1[σex−σh]dΩ (1.16)

2.1.1 M´ethode de lissage des contraintes

La contrainte exacte étant inconnue, on ne peut donc pas déterminer la norme énergétique de l’erreur _||e||u,Ω. L’idée est d’approximer la contrainte exacte par une

contrainte dite “lissée” notée σ∗. Celle-ci est calculée à partir de la contrainte éléments finis. On introduit alors l’estimateur d’erreur heuristiqueηh:

E_h2= Z Ω[σ ∗₋_σ h] :

K

−1_[_σ∗₋_σ h]dΩ (1.17)

Le point clé de cette méthode est la construction de la contrainte lisséeσ∗.

Estimateur ZZ1 Le premier choix de contrainte lissée a été proposé dans [Zienkiewicz et Zhu, 1987]. On exprime la contrainte lissée à l’aide des fonctions de base

φiutilisées pour le déplacement approché uh:

σ∗₌

∑

N

i=1

φiσ∗_i (1.18)

o`uσ∗

i représente les inconnues nodales associées à la contrainte lissée.

Afin de déterminer ces inconnues nodales, on minimise l’écart au sens des moindres carrés entre la contrainte lissée et la contrainte approchée.

min σ∗ i Z ΩTr h (σ∗₋σ h) 2i_d_Ω _(1.19)

Ce qui revient à résoudre un système linéaire de la forme :

N

∑

i=1 Z ΩφiφjdΩσ ∗ i = Z ΩσhφjdΩ, j = 1, ..., N (1.20)

(29)

Une fois qu’on a déterminé la contrainte lissée, on peut déterminer un estimateur d’erreur sur chacun des éléments K :

E_h2_,K= Z K [σ∗₋σ h] :

K

−1_[_σ∗₋_σ h]dK (1.21)

D’o`u l’estimateur d’erreur sur l’ensemble de la structure :

Eh=

r

∑

K_⊂P

E_h2_,K (1.22)

Estimateur ZZ2 Pour certains types d’éléments, le déplacement est superconvergent aux noeuds et la contrainte est superconvergente aux points de Gauss [Zlamal, 1980; Mackinnon et Carey, 1989; Zienkiewicz et Taylor, 1989; Babuska et al., 1996]. L’idée est donc de s’appuyer sur ces points de superconvergence pour construire la contrainte lissée σ∗. Cette méthode est appelée “Superconvergent Patch Recovery” (SPR) [Zienkiewicz et Zhu, 1992], les différentes étapes sont les suivantes :

1. comme précédemment, la contrainte lissée a le même degré d’interpolation que le déplacement approché éléments finis :

σ∗₌

∑

N

i=1

φiσ∗_i (1.23)

2. on se place sur un patch d’´el´ementsωn:

– une contrainte lissée “bis” est définie sur le patch. Elle a le même degré d’inter-polation que la contrainte lissée. On la note :

σ∗∗_{(x) =}

∑

N

k=1

akPk(x) (1.24)

où Pk représente les N polynômes d’interpolation et ak sont les coefficients des

polynˆomes ;

– pour déterminer la contrainte lissée “bis”, on minimise l’écart au sens des moindres carrés aux points de Gauss de l’ensemble des éléments du patch :

min ak _i_∈P

∑

G Tr h (σ h(xi) −σ ∗∗_(x i))2 i! (1.25) o`u PGest l’ensemble des points de Gauss du patch ;

– après avoir déterminé la contrainte lissée “bis”, on en déduit les valeurs nodales de la contrainte lissée pour les nint noeuds intérieurs du patch :

σ∗

i =σ

∗∗_(x

i), i = 1, ..., nint (1.26)

Les noeuds int´erieurs au patch sont illustr´es sur la Figure 1.2 extraite de [Zienkiewicz et Zhu, 1992] ;

(30)

FIG. 1.2: Différents patchs d’éléments pour la méthode SPR._{△ points de} superconver-gence pour la contrainte ;_{• noeuds intérieurs au patch, les valeurs nodales de la contrainte}

lissée sont déterminées en ces points pour le patchωn

3. on répète cette opération sur l’ensemble des patchs de la structureΩ. La contrainte lissée est alors obtenue ;

4. on calcule l’estimateur d’erreur sur chaque élément ainsi que l’estimateur d’erreur sur l’ensemble de la structure à l’aide de (1.21) et (1.22).

Lorsque les points de surperconvergence sont inconnus, une autre méthode appelée “Recovery by Equilibrium in Patches” (REP) a été introduite dans [Boroomand et Zienkiewicz, 1997]. Elle est basée sur la reconstruction d’une contrainte équilibrée [Ladevèze et Leguillon, 1983] dans un patch d’éléments. La construction d’une contrainte satisfaisant l’équilibre est l’objet du chapitre 3.

De manière générale, des études [Babuska et al., 1994] ont montré que la méthode “SPR” est plus performante que la méthode “REP”. Il est important de souligner que les estimateurs présentés précédemment sont heuristiques, ils ne représentent pas une borne supérieure garantie de la norme énergétique de l’erreur.

Néanmoins, dans [D´ıez et al., 2007], une démarche basée sur la méthode SPR et la méthode REP a été proposée afin d’obtenir une borne supérieure garantie pour les problèmes de statique. Lorsque la contrainte lissée σ∗ est statiquement admissible sur chaque patchωn, c’est à dire :

− div(σ∗) = f_d, surωn

σ∗_{.n = F}

d, sur∂2Ω∩∂ωn

(1.27)

l’estimateur d’erreur Eh, d´efini en (1.17), v´erifie alors :

(31)

De plus, pour une contrainte lissée continue et ne vérifiant pas l’équilibre sur chaque patch, les auteurs ont démontré un résultat similaire :

||e||2u,Ω≤ Eh2− 2

Z

Ωe.s dΩ (1.29)

s représentant le défaut d’équilibre défini par :

s_{= −(div(}σ∗) + f

d), surΩ (1.30)

Le membre de droite de (1.29) n’étant pas entièrement calculable, le second terme est majoré à l’aide de l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Après la résolution d’un problème aux valeurs propres, on obtient un estimateur d’erreur qui majore la norme énergétique de l’erreur réelle :

||e||u,Ω≤ Eh,G=

q

E_h2+α2₊α _(1.31) le scalaire α dépendant du défaut d’équilibre et de la solution du problème aux valeurs propres.

Bien que cet estimateur Eh,G soit garanti, des applications num´eriques ont montr´e qu’il

´etait peu pertinent.

2.1.2 Estimateur basé sur les résidus d’équilibre

Cet estimateur a pour but de quantifier la non-vérification de l’équation d’équilibre. Dans cette famille on distingue :

– les estimateurs explicites : ils sont déterminés explicitement à partir des résidus d’équilibre et des caractéristiques du maillage ;

– les estimateurs implicites : ils nécessitent la résolution de petits problèmes locaux dont le chargement provient des résidus d’équilibre.

Dans les deux cas, une formulation variationnelle du probl`eme de statique est em-ploy´ee : B(u, v) = L(v), _{∀v ∈}

U

0 avec      B(u, v) = Z Ω

K

ε(u) :ε(v)dV L(v) = Z Ωfd.vdV + Z ∂2Ω F_d.vdS (1.32)

On cherche une solution approch´ee du probl`eme v_h_∈

U

0,h⊂

U

0. D’o`u :

B(uh, vh) = L(vh), ∀vh∈

U

0,h (1.33)

L’erreur de discr´etisation e v´erifie alors :

B_{(e, v) = R(v), ∀v ∈}

U

0 avec R(v) = L(v) − B(uh, v) (1.34)

R(v) correspondant au terme de r´esidu d’´equilibre.

On remarque que le terme de r´esidu est nul lorsque v appartient `a

U

0,h. On l’appelle

“propriété d’orthogonalité de Galerkin” :

(32)

Estimateurs explicites Les estimateurs d’erreur explicites ont été introduits dans [Babuska et Rheinboldt, 1978]. On présente ici un estimateur d’erreur explicite qui ma-jore la norme énergétique de l’erreur e définie par :

||e||2u,Ω= B(e, e) (1.36)

Dans un premier temps, on réécrit le terme de résidu R(v) de (1.34) sous la forme :

R(v) =

∑

K⊂P Z K r.vdV +

∑

γ⊂∂P Z γR.vdS, ∀v ∈

U

0 (1.37) o`u :

– r représente le résidu d’équilibre à l’intérieur des éléments

r= div(σ_h) + f (1.38)

– R représente le résidu d’équilibre sur la frontière des éléments

R=      F_d₋σ h.n, sur∂K∩∂2Ω 0, sur∂K_∩∂1Ω −12[|σh.n|] ailleurs (1.39)

avec_{[| • |] repr´esentant le saut de la quantit´e au niveau de}∂K.

En utilisant l’équation aux résidus (1.34), le résidu (1.37) et la propriété d’orthogona-lité de Galerkin (1.35), on a : B(e, v) =

∑

K⊂P Z K r_{.(v −}Π_hv)dV +

∑

γ⊂∂P Z γR.(v −Πhv)dS, ∀v ∈

U

0 (1.40)

Πh ´etant l’op´erateur de projection sur l’espace

U

h.

Grâce à l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on peut majorer le second membre de (1.40).

B_{(e, v) ≤}

∑

K_⊂P ||r||L2(K)||v −Πhv||L2(K)+

∑

γ⊂∂P ||R||L2(γ)||v −Πhv||L2(γ) (1.41) D’apr`es [Clement, 1975], on a : ( ||v −Πhv||L2(K)≤ ChK|v|H1(K) ||v −Πhv||L2(γ)≤ Ch 1/2 K |v|H1(K) (1.42)

où C est une constante dépendant de v et de la taille des éléments hK.

Enfin, sachant que :

(33)

une majoration de la norme énergétique de l’erreur de discrétisation en espace est obte-nue : ||e||2u,Ω≤ C

∑

K⊂P h2_K_||r||2_L 2(K)+ 1 2hK||R|| 2 L2(∂K) (1.44) Exceptée la constante C, toutes les quantités de la borne supérieure de l’erreur sont explicitement calculables. Pour la constante C, soit on la majore mais dans ce cas la per-tinence des bornes est dégradée, soit on la détermine en résolvant des problèmes aux valeurs propres.

De plus, les estimateurs explicites peuvent être utilisés pour estimer l’erreur par élément, ce qui est utile pour le maillage adaptatif.

Estimateurs implicites Dans la partie précédente, on a vu que les estimateurs explicites permettaient de majorer la norme énergétique de l’erreur. L’avantage des estimateurs implicites est qu’ils ne dépendent pas d’une constante générique C. Par contre, ils nécessitent la résolution de petits problèmes sur des éléments ou des patchs d’éléments. On peut distinguer trois approches différentes. La méthode la plus répandue consiste à construire des flux équilibrés afin que les problèmes locaux soient bien posés. Cependant, d’autres méthodes permettent d’éviter la construction de ces densités. Enfin, on présente une approche basée sur une approche duale.

1. Méthode des résidus avec des densités équilibrées

Le point de départ est la relation vérifiée par l’erreur sur l’élément K notée e_K :

BK(eK, v) = Z K r.vdV + Z ∂K∩∂2Ω R.vdS + Z ∂K−∂K∩∂2Ω (σ_{.n −}σ h.n).vdS, ∀v ∈

U

0,K (1.45) o`u :

– r est le résidu d’équilibre à l’intérieur de l’élément K :

r= div(σ_h) + f (1.46)

– R est le résidu d’équilibre des efforts surfaciques sur la frontière∂2Ω:

R= Fd−σ_h.n (1.47)

Ces deux résidus sont entièrement calculables. Par contre, le troisième terme du membre de droite de (1.45) est inconnu. On utilise alors l’approximation suivante :

σ_{.n ≈ ¯}σ_h.n = 1

2(σh_|K+σh_|J).n (1.48) J est l’élément adjacent à l’élément K.

(34)

Le probl`eme (1.45) devient alors : On chercheη K∈

U

K tel que : BK(η_K, v) = Z K r.vdV + Z ∂K∩∂2Ω R.vdS + Z ∂K−∂K∩∂2Ω ( ¯σ_h_{.n −}σ_h_{.n).vdS, ∀v ∈}

U

0,K (1.49) L’estimateur d’erreur associé à l’élément K est défini par :

EK= ||η_K||u,K (1.50)

Après avoir résolu ce problème sur chaque élément K, on en déduit l’estimateur d’erreur sur l’ensemble de la structureΩ:

E=r

∑

K⊂P

||η_K||2

u,K (1.51)

L’inconvénient majeur de cette méthode est que l’existence et l’unicité de la solu-tion des problèmes locaux (1.49) ne sont pas assurées. Pour pallier ce problème, on construit des flux équilibrés sur la frontière des éléments∂K. Ce point est détaillé

dans le chapitre 3.

De plus, les problèmes locaux ne pouvant être résolus exactement, on cherche une solution approchée η

h,K ∈

U

h

0,K `a l’aide d’un raffinement “h” ou un raffinement

“p”. Après l’avoir calculée, on en déduit l’estimateur d’erreur surΩnoté Eh:

Eh= r

∑

K⊂P ||η_h_,K||2 u,K (1.52)

Il est important de souligner que l’estimateur Eh construit `a partir de la solution

approchée des problèmes locaux n’est pas une borne supérieure garantie de la norme énergétique de l’erreur.

Dans [Babuska et al., 1999; Strouboulis et al., 2000b], il a été prouvé qu’on pouvait cependant obtenir une borne supérieure garantie EU_h sur la norme énergétique de l’erreur réelle. Son expression est la suivante :

||e||u,Ω≤ EUh = r (EIMPL h )2+

∑

K⊂P (EEX PL h )2 (1.53) o`u :

– E_hIMPLest l’estimateur d’erreur implicite ;

– E_hEX PL est un estimateur d’erreur explicite sur l’´el´ement K. Pour le calcul des

(35)

2. Méthode des résidus sans densités équilibrées

Pour éviter le calcul des densités équilibrées, il existe différentes solutions :

• la première méthode consiste à reformuler le problème (1.49) sur un

sous-espace ˘

U

K ⊂

U

K sur lequel la forme bilin´eaire BK(•,•) est coercive. Dans

[D´ıez et al., 1998], les auteurs proposent de prendre : ˘

U

K = {v ∈ H1(K) / v_|∂K = 0} (1.54)

Le probl`eme (1.45) devient alors : On chercheη K∈ ˘

U

K tel que : BK(η_K, v) = Z K r_{.vdV, ∀v ∈ ˘}

U

0,K (1.55)

On constate que le chargement de ce problème de Dirichlet dépend uniquement du résidu intérieur r. En pratique, (1.55) est résolu à l’aide d’un raffinement “h” ou d’un raffinement “p”, la solutionηh

K appartient au sous-espace ˘

U

h

K. L’estimateur

d’erreur global est alors :

Eh= ||

∑

K⊂P

ηh

K|| (1.56)

Il est important de souligner que le fait d’imposer la nullit´e deηh

K sur le bord de

l’élément K entraˆıne une détérioration de la qualité de l’estimateur d’erreur.

• une approche plus récente, introduite dans [Parés et al., 2006], est basée sur la

partition de l’unité. Ainsi, on se ramène à la résolution de petits problèmes de Di-richlet sur des patchs d’éléments. Pour cela, on introduit les fonctionsφnassociées

au sommet de chaque patchωn. L’ensemble de ces fonctions v´erifie la partition de

l’unit´e. On noteΨl’ensemble des sommets.

∑

n∈Ψ

φn(x) = 1, ∀x ∈ ¯Ω (1.57)

En utilisant (1.57) dans l’´equation aux r´esidus (1.34), on a :

B(e, v) = B e, v

∑

n∈Ψ φn ! =

∑

n∈Ψ B(e, vφn) =

∑

n∈Ψ (L(vφn) − B(uh, vφn)) (1.58)

o`u vφnappartient `a l’espace H₀1(ωn).

Au bilan, on a donc à résoudre des problèmes de Dirichlet définis sur chacun des patchsωn. On chercheη_n∈

U

0,ωn tel que :

Bn(η_n, v) = Ln(v) − Bn(uh, v), ∀v ∈

U

0,ωn avec      Bn(u, v) = Z ωn

K

ε(u) :ε(v)dV Ln(v) = Z ωn f d.vdV + Z ∂ωn∩∂2Ω F_d.vdS (1.59)

(36)

L’estimateur d’erreur associ´e au patchωnest donc :

En= ||η_n||u,ωn (1.60)

Après avoir résolu ce problème sur chaque patch, on en déduit l’estimateur d’erreur sur l’ensemble de la structureΩ:

E=r

∑

n

E_n2 (1.61)

Cet estimateur présente l’avantage de majorer la norme énergétique de l’erreur :

||e||u,Ω≤ E (1.62)

Par contre, cet estimateur ne peut pas être calculé exactement. En pratique, on cherche une solution approchée très fine ηh

n∈

U

h

0,ωn des probl`emes (1.59) et on

calcule l’estimateur d’erreur associ´e :

E_h=r

∑

n∈Ψ ||ηh n|| 2 u,ωn ≤ E (1.63)

Contrairement `a E, Ehn’est pas une borne sup´erieure garantie de l’erreur exacte.

3. M´ethode des r´esidus avec une approche duale

Les travaux de [Cottereau et al., 2009; Parés et al., 2009] s’inspirant de [Sauer-Budge et al., 2004] proposent une démarche afin d’obtenir une majo-ration garantie de l’erreur exacte. L’idée est de résoudre l’équation aux résidus (1.59) en utilisant une approche duale. Ainsi, on cherche q

ntel que : div(q n) +φnr= 0 surωn [|q n.n|] =φnR sur∂ω int n q n.n = 0 sur∂1Ω∩∂ωn (1.64)

où r et R représentent les résidus intérieurs et les résidus sur la frontière des éléments. On appelle

Q

nl’espace des fonctions q

nsatisfaisant (1.64).

Afin de résoudre ce problème, les auteurs proposent de chercher la solution sous la forme d’un polynôme de degré s sur chacun des éléments K contenus dans le patch

ωn. Par cons´equent, q

n.n n’est pas forcément continu sur les arêtes intérieures des

´el´ements du patch. Il est important de noter que la solution q

n du probl`eme (1.64)

existe mais elle n’est pas unique. On choisit alors : min

q

n∈Qn

Πc(q

(37)

Une fois les solutions qndéterminées sur chaque patch, on utilise ces quantités afin

de d´eterminer une borne sup´erieure garantie sur l’erreur :

||e||2u,Ω≤ 2Πc(q) (1.66)

oùΠcreprésente l’énergie complémentaire et q est défini par :

q=

∑

n∈Ψ

q

n (1.67)

Il faut souligner que des bornes garanties ne peuvent pas être obtenues avec cette méthode lorsque la solution éléments finis du problème de référence est de degré 1 ; il faut qu’elle soit au moins de degré 2.

2.1.3 Estimateur basé sur la non-vérification de la relation de comportement Pour cette méthode, on part du constat que la relation de comportement, qui lie le déplacement à la contrainte, est l’équation la moins fiable du problème. Pour une meilleure compréhension, le problème de statique est réécrit sous la forme suivante :

Trouver le champ de d´eplacement u(x) et le champ de contraintesσ_{(x), avec x ∈}Ω, qui v´erifient :

• u cin´ematiquement admissible (CA) :

u_∈

U

; u_|_∂₁_Ω= 0 (1.68)

•σstatiquement admissible (SA) :

σ_∈

S

; ₋ Z Ωσ:ε(u ∗_)d_Ω₊Z Ωfd.u ∗_d_Ω₊Z |∂2Ω F_d.u∗dS_{= 0, ∀u}∗_∈

U

0 (1.69) • relation de comportement : σ=

K

ε(u), ∀x ∈Ω (1.70)

Le but est de construire un déplacement cinématiquement admissible noté ˆu et une

contrainte statiquement admissible notée ˆσ. L’estimateur d’erreur permet de mesurer la non-vérification de la relation de comportement en utilisant une norme énergétique. On l’appelle plus communément “estimateur d’erreur en relation de comportement” ; il a été introduit dans [Ladevèze, 1975] :

(E_hrdc)2= Z

Ω( ˆσ−

K

ε( ˆu)) :

K

−1_{( ˆ}_σ₋

_K

_ε_{( ˆu))d}_Ω _(1.71)

On remarque que l’estimateur d’erreur est nul lorsque la relation de comportement est vérifiée, on a alors la solution exacte du problème.

(38)

Construction des champs admissibles Après avoir résolu le problème de statique avec une méthode des éléments finis en déplacement, on sait que le déplacement approché vérifie les équations de liaison. Le champ de déplacement approché éléments finis est donc cinématiquement admissible. On peut faire le choix :

ˆ

u= u_h (1.72)

Par contre, la contrainte éléments finis ne vérifie pas l’équation d’équilibre. Dans cette méthode, il est donc nécessaire de reconstruire une contrainte statiquement admissible ˆσ à partir de la contrainte éléments finisσ

h. Cette étape n’est pas triviale, elle est détaillée

au chapitre 3.

Lien entre l’estimateur d’erreur et l’erreur réelle Grâce au théorème de l’hyper-cercle [Prager et Synge, 1947], on peut établir un lien entre l’erreur et l’estimateur d’er-reur en relation de comportement :

(E_hrdc)2_{= ||}σ_ex_{− ˆ}σ_||2_σ_,_Ω_{+ ||u}_ex_{− ˆu||}2_u_,_Ω (1.73) o`u :      || • ||2u,Ω= Z Ωε(•) :

K

ε(•)dΩ || • ||2 σ,Ω= Z Ω• :

K

−1_{• d}_Ω (1.74) Preuve. (E_hrdc)2_{= || ˆ}σ₋

K

ε( ˆu)||2σ,Ω= ||( ˆσ−σ_ex) + (σ_ex−

K

ε( ˆu))||2σ,Ω (1.75)

En d´eveloppant le dernier membre, on obtient :

(E_hrdc)2_{= || ˆ}σ₋σ_ex_||2_σ_,_Ω_{+ ||u − ˆu}_ex_||2_u_,_Ω+ 2 Z

Ω( ˆσ−σex) :ε(uex− ˆu)dΩ (1.76)

Or, le dernier terme du membre de droite de (1.76) s’annule car u_ex _{− ˆu est} cin´ematiquement admissible et les champs σ

ex et ˆσ sont statiquement admissibles. En

effet :      − Z Ωσex:ε(uex− û)dΩ+ Z Ω fd.(uex− û)dΩ+ Z |∂2Ω F_d.(uex− û)dS = 0 − Z Ωσˆ :ε(uex− û)dΩ+ Z Ω fd.(uex− û)dΩ+ Z |∂2Ω F_d.(u_ex_{− û)dS = 0} (1.77)