Vers des quantit´es d’int´erˆet ponctuelles en espace et en temps

Dans cette partie, on cherche `a obtenir des bornes garanties sur une quantit´e d’int´erˆet ponctuelle en espace et en temps. On choisit de l’illustrer sur le probl`eme de r´ef´erence pr´esent´e sur la Figure 5.10. Pour cette ´etude, la quantit´e d’int´erˆet retenue est la vitesse horizontale au point Miau temps ti. Pour cela, on choisit de r´eutiliser la quantit´e d’int´erˆet A et de faire tendre les temps t₀et t₁vers le temps d’int´erˆet t_i.

Afin de r´esoudre le probl`eme de r´ef´erence et le probl`eme r´esiduel (associ´e au probl`eme adjoint), on utilise la m´ethode des ´el´ements finis avec le sch´ema d’int´egration de Newmark des acc´el´erations lin´eaires. La mˆeme discr´etisation est employ´ee pour les deux probl`emes, soit 1600 ´el´ements de type QUA4 et 560 pas de temps. De plus, les zonesΩPU M

1 etΩPU M

2 , d´efinies sur la Figure 5.11, sont choisies telles que y_enr= 0, 2 m.

Concernant les param`etres mat´eriaux du probl`eme, ils sont donn´es dans le Tableau 5.1. Dans ce cas, l’amortissement modal associ´e `a la premi`ere fr´equence propre est de 20%. Enfin, pour le temps d’int´erˆet, on prend t_i= 3, 5 ms.

Le d´etail des diff´erents termes des bornes normalis´ees sur la quantit´e d’int´erˆet A en fonction du param`etreϒti d´efini par

ϒt_i =^t1− t0

t_i ^(5.101)

est fourni dans le Tableau 5.4.

Premi`erement, on constate que la valeur de la quantit´e d’int´erˆet est quasi-identique lorsqueϒt<sub>i</sub> est inf´erieur `a 10%. Par contre, `a discr´etisation fix´ee, l’erreur en dissipation du probl`eme adjoint est 20 fois plus importante pour le casϒti= 5, 9% par rapport au cas

ϒti = 28, 0%. Pour ϒti = 5, 9%, l’erreur relative associ´ee est de 98%. Ceci provient du

fait que lorsque le termeϒt_i tend vers z´ero, l’´evolution temporelle du chargement tend vers un Dirac. Par cons´equent, une solution r´esiduelle de qualit´e ne peut ˆetre obtenue par la m´ethode des ´el´ements finis. La mauvaise r´esolution de ce probl`eme entraˆıne alors une d´et´erioration de la qualit´e des bornes sur la quantit´e d’int´erˆet. Par exemple, pour

ϒti= 5, 9%, les bornes normalis´ees sont `a ±200%.

Pour conclure, on a vu que des bornes garanties et pertinentes peuvent ˆetre obtenues pour des quantit´es d’int´erˆet ponctuelles en espace et moyenn´ees en temps. Par contre dans le cadre des probl`emes de dynamique transitoire r´esolus avec la m´ethode des ´el´ements finis et un sch´ema d’int´egration temporelle, on n’a pas r´eussi `a conserver le cˆot´e pertinent de la majoration pour des quantit´es ponctuelles en temps.

Exemples num´eriques 169 t1− t0(µs) 980 560 210 60 20 ϒt_i (%) 28, 0 16, 0 5, 9 1, 7 0, 6 ˆ I_h(m/s) 25, 82 25, 61 25, 75 25, 75 25, 76 ˆ I_hh(m/s) 0, 07 −0,25 1, 85 13, 87 17, 75 ECRE 8, 69.10² 8, 69.10² 8, 69.10² 8, 69.10² 8, 69.10² E_CRE [0,t1] 8, 20.102 8, 08.102 8, 00.102 7, 93.102 7, 92.101 ˜ E_CRE^res,0 4, 50.10⁻² 1, 38.10⁻¹ 1, 02.100 1, 79.101 4, 22.101 ˜ εres,0 CRE (%) 69 88 98 100 100 ¯ ξ− 0, 857 0, 561 −1,955 −34,718 −75,841 ¯ ξ+ 1, 143 1, 439 3, 955 36, 718 77, 841

TAB. 5.4: Evolution des diff´erents termes des bornes adimensionn´ees pour la quantit´e d’int´erˆet A lorsque t₀et t₁tendent vers t_i= 3, 5 ms

Conclusion

• Dans un premier temps, je me suis familiaris´e avec les m´ethodes propos´ees dans

[Ladev`eze, 2006] `a l’aide d’exemples num´eriques 1D lors de mon stage de master re-cherche. Ensuite durant le doctorat, je les ai impl´ement´ees dans Matlab pour traiter des probl`emes 2D. Le but ´etait de montrer la faisabilit´e de la m´ethode sur des exemples acad´emiques et non de d´evelopper un code de calcul robuste et optimis´e afin de traiter des structures industrielles 3D. Ainsi, j’ai prouv´e qu’il ´etait possible d’obtenir une majoration garantie de l’erreur sur une quantit´e d’int´erˆet lin´eaire pour des probl`emes de dynamique en 2D.

• Afin que cette estimation de l’erreur locale soit employ´ee dans l’ing´enierie, il est

n´ecessaire qu’elle soit aussi pertinente. Diff´erentes possibilit´es ont ´et´e envisag´ees afin d’am´eliorer la qualit´e de la majoration :

– reconstruction des champs admissibles. On a vu qu’il ´etait n´ecessaire de recons-truire des champs admissibles afin de calculer les estimateurs d’erreur en rela-tion de comportement. Dans le cas de la dynamique, il n’existait pas de technique de reconstruction des champs admissibles pour l’estimateur d’erreur en dissipa-tion. Nous avons alors propos´e une m´ethodologie en s’inspirant des travaux de [Combe, 2000] sur la reconstruction des champs admissibles pour l’erreur au sens de Drucker. Une m´ethode de reconstruction optimis´ee a aussi ´et´e propos´ee afin d’am´eliorer la pertinence de la majoration. Cependant, cette m´ethode s’est av´er´ee peu efficace.

– meilleure r´esolution du probl`eme adjoint. Une autre id´ee consistait `a am´eliorer la qualit´e de la solution du probl`eme adjoint en conservant la solution du probl`eme de r´ef´erence. La premi`ere d´emarche mise en œuvre a ´et´e de raffiner globalement en espace et en temps la discr´etisation du probl`eme. Celle-ci ´etant coˆuteuse, on s’est ensuite int´eress´e aux techniques de raffinement local de la discr´etisation autour de la zone d’int´erˆet. Dans ce cas, nous avons ´etendu la m´ethode de reconstruction des champs admissibles `a des maillages incompatibles. Cette technique est efficace lorsque la solution du probl`eme adjoint est tr`es localis´ee, ce qui est le cas en dyna-mique lorsque l’amortissement est tr`es ´elev´e.

lo-cale pouvait ˆetre obtenue `a l’aide de diff´erents encadrements : Cauchy-Schwarz, Legendre-Fenchel et Legendre-Fenchel Brun. L’id´ee ´etait donc de choisir l’encadre-ment en fonction du probl`eme de r´ef´erence `a traiter et de la quantit´e d’int´erˆet rete-nue. On a constat´e que les encadrements de Legendre-Fenchel et Legendre-Fenchel Brun avec une fonction de pond´eration de type lin´eaire devaientt ˆetre privil´egi´e `a celui de Cauchy-Schwarz pour des quantit´es d’int´erˆet d´ependant de l’histoire. Le calcul des bornes avec l’encadrement de Legendre-Fenchel Brun est plus coˆuteux car il n´ecessite la r´esolution d’un probl`eme adjoint bis. Par contre, on a montr´e qu’il permettait d’obtenir des bornes plus pertinentes `a condition que la solution du probl`eme de r´ef´erence ne soit pas grossi`ere et que la discr´etisation du probl`eme adjoint bis soit fine devant celle du probl`eme de r´ef´erence.

Enfin, l’estimation de l’erreur sur des quantit´es ponctuelles a ´et´e ´etudi´ee. La difficult´e majeure ´etait la prise en compte du chargement singulier du probl`eme adjoint. Pour cela, la solution a ´et´e d´ecompos´ee en une fonction de Green analytique et une fonction num´erique d´etermin´ee `a l’aide de la m´ethode des ´el´ements finis. A notre connaissance, il n’existe pas dans la litt´erature une liste exhaustive des fonctions de Green en dynamique pour un comportement mat´eriau de Maxwell, nous les avons alors d´etermin´ees analytiquement `a l’aide du logiciel de calcul formel Maple. La majoration garantie de l’erreur sur une quantit´e d’int´erˆet a ´et´e illustr´ee sur un cas test. On a montr´e que des bornes pertinentes sur une quantit´e d’int´erˆet ponctuelle en espace et moyenne en temps sont obtenues pour un probl`eme fortement amorti. Par contre, nous n’avons pas r´eussi `a conserver le cˆot´e pertinent de la majoration pour une quantit´e d’int´erˆet ponctuelle en espace et en temps.

Pour conclure, ces premiers travaux sur l’obtention d’une majoration garantie et per-tinente en dynamique ont concern´e des probl`emes acad´emiques 2D. Afin de valider ces d´emarches, il est n´ecessaire de consid´erer des probl`emes d’une plus grande complexit´e. Les perspectives de ces travaux sont les suivantes :

– pour am´eliorer la pertinence de la majoration `a l’aide d’une r´esolution plus fine du probl`eme adjoint, il serait int´eressant d’utiliser une proc´edure de maillage adap-tative afin de raffiner la discr´etisation ou d’exploiter les fonctions de Green afin d’enrichir la solution. Ces d´emarches permettraient de diminuer le coˆut de calcul li´e `a la r´esolution du probl`eme adjoint ;

– dans les travaux en quasi-statique [Chamoin et Ladev`eze, 2007], les auteurs ont montr´e que l’encadrement de Legendre-Fenchel avec une fonction de pond´eration de type exponentielle permettait d’obtenir une majoration plus pertinente que l’en-cadrement de Cauchy-Schwarz pour des quantit´es d’int´erˆet ne d´ependant pas de l’histoire. N´eanmoins, on a mis en ´evidence qu’il n’´etait pas possible d’utiliser ce type de fonction de pond´eration avec l’encadrement de Legendre-Fenchel en dy-namique. Dans le cadre de la dynamique, on pourrait donc envisager d’employer la fonction de pond´eration de type exponentielle avec l’encadrement de Legendre-Fenchel Brun ;

Conclusion 173

d’int´erˆet ponctuelles, il serait int´eressant de prendre en compte de mani`ere ana-lytique la r´eflexion des ondes sur le bord de la structure en s’inspirant des travaux de [Taylor, 1978].

Annexe A