M´ethode des r´esidus pond´er´es par la solution adjointe (DWR)

Statique lin´eaire Cette partie traite des travaux d´evelopp´es dans [Becker et Rannacher, 1996; Becker et Rannacher, 2001]. Le point de d´epart est identique `a celui de la m´ethode pr´ec´edente. A partir de la formulation variationnelle (1.152), on a :

Q(e) = B( ˜u, e) = B(e, ˜u) = Ru_h( ˜u) (1.157)

L’erreur sur la quantit´e d’int´erˆet peut donc s’exprimer `a l’aide du r´esidu associ´e au probl`eme de r´ef´erence Ru_h d´efini par :

R_uh(•) = L(•) − B(uh, •) (1.158)

et de la solution exacte du probl`eme adjoint.

On utilise ensuite la propri´et´e d’orthogonalit´e de Galerkin.

Q(e) = Ru_h( ˜u_ex− ˜uh) (1.159)

L’´equation pr´ec´edente peut se r´e´ecrire `a l’aide des r´esidus int´erieurs `a chaque ´el´ement

R(u_h) et des r´esidus sur la fronti`ere des ´el´ements r(u_h) :

Q(e) =

∑

K⊂P

[(R(u_h), ˜u_ex− ˜uh)K+ (r(u_h), ˜u_ex− ˜uh)K] (1.160)

On peut alors en d´eduire un majorant de l’erreur sur la quantit´e d’int´erˆet. Dans le cas de l’´equation de Poisson, on a : |Q(e)| <

∑

K⊂P ρKωK avec ( ρK= ||R(uh)||K+ h^−1/2_K ||r(uh)||∂K

ωK = || ˜u − ˜uh||K+ h¹_K^/2|| ˜u − ˜uh||∂K

(1.161)

Cependant la solution exacte du probl`eme adjoint est inconnue. Par cons´equent, afin de calculer cette borne sup´erieure de l’erreur, deux proc´edures sont envisageables :

– soit on approxime la solution exacte du probl`eme adjoint par une solution tr`es fine ; – soit on majore l’erreur exacte du probl`eme adjoint `a l’aide des estimateurs d’erreur

Une approche similaire a ´et´e d´evelopp´ee dans [Paraschivoiu et al., 1997] ; elle uti-lise aussi la solution du probl`eme adjoint et des densit´es ´equilibr´ees du probl`eme de r´ef´erence. Par contre, l’objectif n’est pas d’´evaluer l’erreur sur la quantit´e d’int´erˆet mais plutˆot de d´eterminer des bornes inf´erieure et sup´erieure sur la quantit´e d’int´erˆet. Pour cela, deux types de maillage sont consid´er´es : une discr´etisation grossi`ere not´ee H et une discr´etisation fine not´ee h. Les ´etapes pour calculer les bornes sur cette quantit´e d’int´erˆet sont les suivantes :

1. r´esoudre le probl`eme de r´ef´erence avec la discr´etisation H ;

2. construire les flux ´equilibr´es du probl`eme de r´ef´erence sur chaque sous-domaine ; 3. r´esoudre `a deux reprises le probl`eme adjoint avec la discr´etisation H ;

4. r´esoudre `a deux reprises des probl`emes de Neumann d´efinis sur chaque sous-domaine avec la discr´etisation h ;

5. en d´eduire les bornes sur la quantit´e d’int´erˆet.

Dynamique La m´ethode “DWR” peut s’´etendre aux probl`emes de dynamique [Schleupen et Ramm, 2000]. Par simplicit´e, la d´emarche est donn´ee pour un probl`eme de dynamique sans amortissement.

Dans un premier temps, on r´e´ecrit le probl`eme de r´ef´erence `a l’aide d’une formula-tion variaformula-tionnelle `a 1-champ en espace et en temps [Hughes et Hulbert, 1988]. Pour chaque intervalle Q_n=Ω_{× [t}n; t_n+1], on a pour tout w_h∈

W

h

n = {wh|wh= 0 sur∂1Ω_× [tn; t_n+1], w_h∈ H¹(Qn)} : (ρ¨u_h, ˙w_h)Q_n+ B(u_h, ˙w_h)Q_n− ( f , ˙wh)Q_n −(ρ_[|˙uh(tn−1)|], ˙wh(tn−1))_Ω −B(uh, ˙w_h)Qn = 0 (1.162)

La premi`ere ligne de (1.162) est associ´ee `a l’´equation d’´equilibre, la deuxi`eme `a la conti-nuit´e de la vitesse entre deux pas de temps et la troisi`eme `a la conticonti-nuit´e du d´eplacement entre deux pas de temps.

Apr`es avoir d´efini la quantit´e d’int´erˆet, le probl`eme adjoint est introduit. On utilise aussi une formulation variationnelle en espace et en temps.

De mani`ere analogue au cas de la statique, l’erreur sur la quantit´e d’int´erˆet est exprim´ee en fonction des r´esidus du probl`eme de r´ef´erence et de la solution exacte du probl`eme adjoint :

J(u) − J(uh) = Ru_h(z) (1.163)

En utilisant la propri´et´e d’orthogonalit´e de Galerkin et l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz, on obtient :

|J(u) − J(uh)| ≤ ||Ru_h|| ||z − zh|| (1.164)

Cette majoration de l’erreur locale est garantie. Cependant, elle n’est pas compl`etement calculable. En effet, la solution exacte du probl`eme adjoint est inconnue. On a deux pos-siblit´es afin d’´evaluer ce majorant :

Les estimateurs d’erreur locale 45

– soit on approxime la solution exacte du probl`eme adjoint z par une solution ap-proch´ee tr`es fine. La majoration n’est alors plus garantie ;

– soit on prend :

z_h= PΠz (1.165)

o`u P etΠsont les op´erateurs de projection en espace et en temps.

Dans [Houston et S¨uli, 2002], les auteurs d´ecomposent l’erreur sur la solution du probl`eme adjoint sous la forme :

z− PΠz= z −Πz+Π_{(z − Pz)} (1.166)

A partir de cette ´ecriture, les estimateurs d’erreur globale explicites sont utilis´es et un majorant de l’erreur sur la quantit´e d’int´erˆet est calcul´e. Les constantes inter-venant dans les estimateurs explicites sont d´etermin´ees `a l’aide de fonctions 1D. Il s’av`ere que cette seconde approche ne permet pas d’obtenir une majoration ga-rantie. De plus, la majoration est de moins bonne qualit´e que la premi`ere approche [Houston et S¨uli, 2002].

3.3 M´ethodes bas´ees sur l’erreur en relation de comportement

Dans cette partie, les diff´erentes approches pour l’estimation de l’erreur locale `a l’aide du concept d’erreur en relation de comportement sont pr´esent´ees chronologiquement.

• Les premiers travaux [Ladev`eze et al., 1999] concernent l’estimation de l’erreur

locale sur la contrainte, le d´eplacement et d’autres quantit´es dans un ´el´ement pour un probl`eme de statique lin´eaire. Deux approches ont ´et´e propos´ees :

Sans l’utilisation d’un probl`eme adjoint Dans cette d´emarche l’objectif ´etait d’obte-nir une estimation de l’erreur locale sur la contrainte sans utiliser de probl`eme adjoint (minimisation du coˆut). Une application sur un probl`eme de statique lin´eaire 3D est pro-pos´ee dans [Florentin et al., 2002].

On rappelle la d´efinition de l’estimateur d’erreur globale en relation de comportement :

(E_h^rdc)²= || ˆσ₋

K

ε_{( ˆu)||}2

σ,Ω⁼

Z

Ω^{( ˆ}σ₋

K

ε( ˆu)) :

K

⁻¹( ˆσ₋

K

ε( ˆu))dΩ (1.167)

Il est d´etermin´e `a partir des quantit´es admissibles not´ees avec un “∧”. Pour plus de d´etails

sur les champs admissibles, on peut se reporter au chapitre 3.

On a vu dans la section 2.1.3 qu’il existe un lien entre l’erreur en solution et l’estima-teur d’erreur en relation de comportement, de la forme :

||σ_{ex− ˆ}σ_||2

Par cons´equent, l’estimateur d’erreur en relation de comportement permet de majorer de fac¸on garantie l’erreur en solution :

||σ

ex−σ

h||²_σ,Ω≤ (Eh^rdc)²= || ˆσ₋

K

ε_{( ˆu)||}2

σ,Ω ^(1.169)

Si on choisit le d´eplacement admissible ˆu tel que :

ˆu= u_h (1.170)

On a alors :

||σ_ex−σ_h||2

σ,Ω≤ (Eh^rdc)²= || ˆσ₋σ_h||2

σ,Ω ^(1.171)

En ce qui concerne l’erreur sur la contrainte dans l’´el´ement K, elle est major´ee de fac¸on heuristique :

||σ_ex−σ_h||2

σ,K ≤ C.(Eh^rdc,K)²= C.|| ˆσ_ex−σ_h||2

σ,K (1.172) o`u C est une constante proche de 1 lorsque la contrainte admissible est obtenue avec la technique de reconstruction am´elior´ee [Ladev`eze et Rougeot, 1997].

Il est important de souligner que la majoration

||σ_ex−σ_h||2

σ,K≤ (Eh^rdc,K)² (1.173) n’est pas garantie. Ceci est illustr´e `a l’aide d’exemples num´eriques dans [Florentin et al., 2002].

Avec l’utilisation d’un probl`eme adjoint Cette d´emarche s’appuie sur les propri´et´es th´eoriques de l’estimateur d’erreur en relation de comportement et sur l’utilisation d’un probl`eme adjoint.

Concernant la quantit´e d’int´erˆet locale, on l’exprime sous forme globale `a l’aide d’un extracteurΣ:

I=

Z

Ωσ:ΣdΩ (1.174)

Par exemple, si on est int´eress´e par la composante xx de la contrainte moyenne dans l’´el´ement E, l’extracteur est le suivant :

Σ= ¹ mes(E)   1 0 0 0 0 0 0 0 0   (x,y,z) (1.175)

De mani`ere analogue aux m´ethodes de la section 3.2, un probl`eme adjoint est utilis´e. Le chargement de ce probl`eme correspond `a une pr´ed´eformation d´efinie par l’extracteur

Σ. L’erreur sur la quantit´e d’int´erˆet peut alors ˆetre calcul´ee `a l’aide de la solution du probl`eme de r´ef´erence et de la solution du probl`eme adjoint sans avoir recours `a la propri´et´e d’orthogonalit´e de Galerkin. Le th´eor`eme ci-dessous est d´emontr´e dans [Ladev`eze et al., 1999].

Les estimateurs d’erreur locale 47

Th´eor`eme. L’erreur I_ex− Ihpeut s’exprimer sous la forme :

I_ex− Ih= Ihh+ Z Ω

K

ε(u_ex− uh) :ε(˜u_ex− ˜uh)dΩ avec I_hh= Z Ω^{( ˆ}σ₋

K

ε( ˆu)) :ε(˜u_h)dΩ ^(1.176) On remarque que :

– si la solution approch´ee du probl`eme de r´ef´erence correspond `a la solution exacte, alors le terme I_hh est nul ainsi que le second terme du membre de droite et on a bien I_ex= I_h;

– si la solution approch´ee du probl`eme adjoint correspond `a la solution exacte, alors le second terme du membre de droite est nul, par contre, le terme I_hh est non nul. On a alors :

I_ex= Ih+ Ihh (1.177) Le terme I_hh, qui est enti`erement calculable, correspond donc `a un terme correcteur. Cependant la plupart du temps les solutions exactes sont inconnues. Afin d’estimer l’erreur sur la quantit´e d’int´erˆet, on majore dans un premier temps le second terme du membre de droite de (1.176) `a l’aide de l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz.

|Iex− Ih− Ihh| ≤ ||uex− uh||u,Ω||˜uex− ˜uh||u,Ω (1.178)

Or, on sait que l’estimateur d’erreur en relation de comportement est une borne sup´erieure garantie de la norme ´energ´etique de l’erreur r´eelle :

||uex− ˆu||²u,Ω≤ (Eh^rdc)² (1.179)

D’o`u la majoration garantie de l’erreur sur la quantit´e d’int´erˆet :

|Iex− Ih− Ihh| ≤ Eh^rdc. ˜E_h^rdc (1.180)

L’erreur sur la quantit´e d’int´erˆet est alors major´ee de fac¸on garantie `a l’aide des estima-teurs d’erreur globale du probl`eme de r´ef´erence E_h^rdc et du probl`eme adjoint ˜E_h^rdc.

• Par la suite, la seconde approche permettant d’obtenir une majoration garantie

de l’erreur sur la quantit´e d’int´erˆet a ´et´e ´etendue aux probl`emes non-lin´eaires et aux probl`emes de dynamique dans [Ladev`eze, 2006; Ladev`eze, 2008b]. L’approche est bas´ee sur l’erreur en dissipation, qui est un estimateur d’erreur en relation de comportement d´efini `a la section 2.3.2, et sur l’utilisation d’un probl`eme adjoint. L’existence d’une relation entre l’erreur en solution et l’erreur en dissipation permet comme pr´ec´edemment d’obtenir une majoration garantie de l’erreur sur la quantit´e d’int´erˆet. C’est pour cette rai-son que cet estimateur est privil´egi´e `a l’erreur au sens de Drucker d´efinie `a la section 2.3.2.

– La premi`ere application a concern´e les probl`emes visco´elastiques lin´eaires en quasi-statique. Dans [Chamoin et Ladev`eze, 2007], la d´emarche d’obtention de bornes garanties sur l’erreur locale a ´et´e illustr´ee sur des exemples num´eriques 2D. De plus, la technique d’encadrement a ´et´e optimis´ee afin d’am´eliorer la qualit´e des bornes suivant le type de quantit´e d’int´erˆet retenue. Un autre moyen d’am´eliorer la pertinence des bornes consiste `a mieux r´esoudre le probl`eme adjoint. Pour cela, le plus simple est de raffiner la discr´etisation du probl`eme adjoint. L’approche clas-sique n´ecessite de r´esoudre une nouvelle fois le probl`eme adjoint avec un maillage plus fin. Dans [Chamoin et Ladev`eze, 2008], une approche non-intrusive `a partir de solutions dites “handbook” [Strouboulis et Babuska, 2000] a ´et´e privil´egi´ee. Ces solutions “handbook” peuvent ˆetre analytiques ou num´eriques ; elles sont ajout´ees `a la solution approch´ee ´el´ements finis `a l’aide de la partition de l’unit´e (PUM). Enfin, une extension `a l’estimation de l’erreur sur des quantit´es d’int´erˆet ponctuelles a ´et´e propos´ee ;

– enfin, une autre application concerne les probl`emes de visco´elastodynamique lin´eaire. C’est l’objet de ce manuscrit, la m´ethode d’estimation d’erreur associ´ee ´etant d´etaill´ee au chapitre 2.

Chapitre 2

Dans le document Contrôle des calculs en dynamique : bornes strictes et pertinentes sur une quantité d'intérêt (Page 58-64)