Cahier N°4 – V 1.1 - 2014
Les circuits R-L-C en alternatif 1
4 Introduction aux circuits R-L-C en alternatif
Le comportement de chacun des trois composants fondamentaux, R, L et C, sera d’abord analysé en les considérants comme idéaux. Chaque composant est supposé parfait et exempt d’une autre composante résistive, selfique ou capacitive.
4.1 La résistance
La résistance en régime alternatif se comporte de la même manière qu’en régime continu
Diagramme temporel Diagramme de Fresnel
Le courant qui traverse la résistance est en phase avec la tension appliquée à ses bornes et la tension s’exprime par la loi d’Ohm :
eff
.
effU R I
Puissance instantanée dissipée dans R La puissance instantanée p(t) = u(t). i(t) est représentée par le graphique ci-contre.
La puissance est sinusoïdale, de fréquence double et toujours positive
Puissance moyenne dissipée dans R La loi de Joule ne s’applique qu’avec des valeurs efficaces pour le courant et la tension.
2 2
. e
U
eP R I
R
Cahier N°4 – V 1.1 - 2014
Les circuits R-L-C en alternatif 2
4.2 La réactance capacitive
La d.d.p. aux bornes du condensateur étant alternative, celui-ci subit des charges et décharges successives. Tout se passe comme si le courant traversait le condensateur lui-même ! Un maximum de charges se déplace avant que la tension ne soit établie aux bornes du condensateur.
Le courant sera dès lors en avance de 90° sur la tension appliquée aux bornes de la capacité.
Diagramme temporel Diagramme de Fresnel
/
90
u i
Réactance capacitive
La réactance capacitive est la résistance apparente qui limite l’intensité du courant lorsque le condensateur est alimenté par une d.d.p.
alternative. Cette réactance se note Xc et est exprimée en Ohm.
Unités : [C] = F et [ω] = rad/s
La réactance d’un condensateur diminue avec la fréquence.
]
1 . XC
C
eff C
.
effU X I
Puissance instantanée dans C
Si on effectue le produit de la d.d.p. aux bornes de la capacité par le courant la traversant, on obtient le graphique ci- contre. On peut constater que :
- La puissance est de fréquence double, - Pendant les alternances positives de la puissance, la capacité emmagasine de l’énergie. Celle-ci est ensuite restituée à la source pendant les alternances négatives.
La puissance moyenne sur un cycle est nulle et il n’y a pas d’effet Joule.
Cahier N°4 – V 1.1 - 2014
Les circuits R-L-C en alternatif 3
4.3 La réactance selfique
La d.d.p. entre les bornes du solénoïde étant alternative, celui-ci oppose constamment une certaine inertie à l’établissement du courant car la tension d’auto-induction s’oppose constamment à u(t)
Le courant sera dès lors en retard de 90° sur la tension appliquée aux bornes de la self.
Diagramme temporel Diagramme de Fresnel
/
90
u i
Réactance selfique
La réactance selfique est la résistance apparente qui s’oppose au passage du courant lorsque dans le solénoïde lorsqu’il est alimenté par une d.d.p. alternative. Cette réactance se note XL et est exprimée en Ohm.
Unités : [L] = H et [ω] = rad/s
La réactance d’une self augmente avec la fréquence
L .
X
L
eff L
.
effU X I
Puissance instantanée dans L
Si on effectue le produit de la d.d.p. aux bornes de la self par le courant la traversant, on obtient le graphique ci-contre.
On peut constater que :
- La puissance est de fréquence double, - Pendant les alternances positives de la puissance, la self emmagasine de l’énergie.
Celle-ci est ensuite restituée à la source pendant les alternances négatives.
La puissance moyenne sur un cycle est nulle et il n’y a pas d’effet Joule.
Cahier N°4 – V 1.1 - 2014
Les circuits R-L-C en alternatif 4
4.4 L’impédance en alternatif
L’association de deux réactances de nature différente, capacitive ou inductive forme toujours une réactance.
L’association d’une réactance et d’une résistance forme une impédance.
L’impédance traduit une forme d’opposition au passage du courant dans un circuit alimenté en alternatif, elle s’exprime en Ohm comme la résistance et la réactance.
Rappel : Les courants et les tensions apparaissant sur les représentations graphiques sont les modules des grandeurs.
Le module d’une grandeur électrique est sa valeur crête.
4.5 Circuit RL–série en alternatif
La tension alternative U est appliquée sur une association en série d’une résistance R extérieure au solénoïde et d’une self L., supposée parfaite.
Si le solénoïde est considéré comme réel, on ajoute sa résistance intrinsèque à celle de la résistance extérieure tel que Rtotal = Rext. + Rself
Les tensions Ur et UL n’étant pas en phase, on ne peut pas additionner les tensions mesurées sur R et L, il faut tenir compte du déphasage, c’est ce qu’on obtient en effectuant l’addition des vecteurs Ur et UL dans la figure de Fresnel, donc :
U UL Ur
Cahier N°4 – V 1.1 - 2014
Les circuits R-L-C en alternatif 5 Construction de la figure de Fresnel :
Le courant I est commun à tous les éléments du circuit et est placé sur l’axe horizontal de référence des phases.
La d.d.p. Ur, présente aux bornes de R, est en phase avec I car c’est un élément purement résistif. Ur est donc placé sur l’axe horizontal.
Le courant passant dans L est nécessairement en retard sur la tension UL présente à ses bornes. Donc le vecteur UL est en avance sur le courant I traversant le circuit.
La somme vectorielle des d.d.p. Ur et UL est égale à U, la tension délivrée par la source.
4.6 Impédance du circuit RL–série
Si on divise les 3 vecteurs tension par l’intensité I, on obtient selon la loi d’Ohm, les valeurs de réactance, résistance et impédance du circuit.
L’angle de déphasage tension/courant est positif et dépendra du rapport existant entre R et XL à la fréquence de travail du circuit.
L’impédance Z du circuit se calcule par le théorème de Pythagore, on a donc :
2 2
Z R X
LOu bien,
2 ( . )2
Z
R
L
L’impédance d’un circuit RL augmente avec la fréquence.
4.7 Exemple pratique : l’inductance ballast
L’inductance ballast (familièrement, le ballast) est utilisée dans les armatures TL pour limiter le courant traversant le tube fluorescent. Cette inductance réelle possède une résistance interne faible et un coefficient de self induction L élevé.
Voici les relevés électriques sur une armature TL de 65 W :
RL = 19 Ω, U(aux bornes de la self) = 163Veff IL = 0,625 A – fsecteur = 50 Hz Calculez la valeur de l’inductance L ? (Rép. : L = 0,83 H)
Cahier N°4 – V 1.1 - 2014
Les circuits R-L-C en alternatif 6
4.8 Circuit RC–série en alternatif
Construction de la figure de Fresnel :
Le courant I est commun à tous les éléments du circuit et est placé sur l’axe horizontal de référence des phases. La d.d.p. Ur, présente aux bornes de R, est en phase avec I car c’est un élément purement résistif. Ur est donc placé sur l’axe horizontal. Le courant passant dans C est nécessairement en avance sur la tension . Uc présente à ses bornes. Donc le vecteur Uc est en retard sur le courant I traversant le circuit. La somme vectorielle des d.d.p. Ur et Uc est égale à U, la tension délivrée par la source.
4.9 Impédance du circuit RC–série
Si on divise les 3 vecteurs tensions par l’intensité I, on obtient selon la loi d’Ohm, les valeurs de réactance, résistance et impédance du circuit.
L’angle de déphasage tension/courant est négatif et dépendra du rapport existant entre R et Xc à la fréquence de travail du circuit.
L’impédance Z du circuit se calcule par le théorème de Pythagore, on a donc :
2 2
Z R X
COu bien,
2
( 1 )
2Z R .
C
L’impédance d’un circuit RC diminue avec la fréquence.
Cahier N°4 – V 1.1 - 2014
Les circuits R-L-C en alternatif 7
4.10 Le circuit RLC-série en alternatif
Le courant I est commun à tous les éléments du circuit et est placé sur l’axe de référence des phases. La d.d.p. Ur est en phase avec I.
Comme précédemment, le vecteur UL sera en avance sur le courant I et le vecteur Uc sera en retard sur ce même courant.
3 cas sont envisagés en fonction du rapport entre les tensions UL et Uc. Comme ces vecteurs sont en opposition de phase, ils peuvent se soustraire algébriquement. La résultante peut ensuite se tracer au moyen de cette différence et du vecteur Ur. On obtient ainsi le vecteur U.
Diagramme de Fresnel
Si les tensions UL et Uc diffèrent, la résultante U offre un décalage de phase positif ou négatif, c’est-à-dire une impédance de type capacitif ou selfique.
Si UL = Uc, les d.d.p. s’annule mutuellement et on dit que le circuit RLC-série est en résonance.
Cette situation particulière a pour conséquence que la d.d.p. de la source est appliquée sur la résistance R qui peut-être de faible valeur.
Des courants importants peuvent être débités par la source U !
Cahier N°4 – V 1.1 - 2014
Les circuits R-L-C en alternatif 8
4.11 Impédance du circuit RLC-série
L’impédance s’évalue grâce au théorème de Pythagore. La réactance à prendre en compte sera simplement la différence des réactances XL et Xc. La réactance capacitive est négative parce que le vecteur est de sens opposé à celui de l’axe vertical.
2 ( L C)2
Z
R
X X
2( . 1 )
2Z R L .
C
Avec Z exprimé en Ohm
Formule de Thomson
La résonance est obtenue lorsque les réactances sont égales, soit lorsque :
. 1 L .
C
Avec 2. . f
Si l’on résout l’équation par rapport à f, on obtient la formule de Thomson qui détermine à quelle fréquence se produit la résonance pour un produit de valeurs L et C déterminé.
